Full text of "Enseñanza de la Física"

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BIBLIOTECA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 


IV 

Enseñanza 
de la Física 



BIBLIOTECA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 


EMILIO MIRA Y LÓPEZ 

L Manual de Orientación Profesional 

FOWLER D. BROOKS 

//. Psicología de la adolescencia 

BÉLA SZÉKELY 

III. Los Tests (en 2 tomos) 

ENRIQUE LOEDEL 

IV. Enseñanza de la Física 

VOLÚMENES EN PREPARACIÓN 

EUTIMIO D'OVIDIO 

Enseñanza de la Química 

RAÚL OSEGUEDA P. 

El instinto y la educación 

FAUSTO I. TORANZOS 


Enseñanza de las Matemáticas 



BIBLIOTECA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION 
dirigida por el Dr. Alfredo D. Calcagrm 


Enseñanza 
de la Física 

por 

Enrique Loedel 



EDITORIAL KAPELUSZ 


Moreno 372 Buenos Aires 



Todos los derechos reservados por (Copyright, 1949, by) 
Editorial Kapelusz iS. R. L. — Buenos Aires. 
Hecho el depósito que establece la ley 11.723. 
Impreso en la Argentina (Printed in Argentine). 

Publicado en noviembre de 1949. 


LIBRO DE EDICIÓN ARGENTINA 



INDICE GENERAL 

PÁG. 

Prólogo del director de la BIBLIOTECA XIII 

I. EL PROBLEMA DEL MÉTODO 1 

Leyes y teoremas 3 

La inducción en Física 4 

Contenido implícito de las leyes 7 

¿Son tres o cuatro los principios de la dinámica? .... 8 

El proceso inductivo 9 

Inducción y deducción 11 

La teoría física 14 

II. LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 19 

La Física y las ciencias naturales 19 

La experimentación didáctica 20 

Los modos de la experimentación 21 

a) Redescubrimiento 21 

b) Semi inductivo 27 

c) Comprobación simple 28 

d) Previsión 30 

lias determinaciones experimentales y los errores de 

observación 33 

Los cuestionarios 30 

Material experimental 38 

III. LA TRAMA CONCEPTUAL 43 

El vocabulario científico 43 

Definiciones enunciativas e indicativas 45 

Espacio 46 

Tiempo 60 

Reloj patrón 54 

Magnitudes sensoriogenéticas 66 

Temperatura 59 

Definiciones indicativas de magnitudes no sensorioge- 
néticas 60 

Magnitudes derivadas 64 



VIII 


ÍNDICE GENERAL 


PÁG. 

IV. SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 69 

Imagen física del mundo 69 

Sentido y significado de las teorías 70 

Las teorías en la enseñanza 83 

V. EL ALUMNO 87 

Tendencias y aptitudes 87 

La aptitud matemática 92 

Tía aptitud matemática y la Física 95 

El alumno y la Física 103 

El indiferente 104 

El teórico 105 

El práctico 109 

El técnico 110 

Físicos y Químicos 111 

VI. LA FÍSICA EN CASA 115 

Nota del director de la Biblioteca 115 

Estática 116 

Lo que se puede hacer con una goma 116 

Lo que puede hacerse con tres gomas 118 

Fuerzas paralelas 119 

Palanca 120 

Plano inclinado 121 

Dinámica 122 

Caída de los cuerpos 122 

Primera ley 122 

Segunda ley 123 

Independencia de los movimientos 130 

Parábola de caída 131 

Determinación de “g n 133 

Caída por un plano inclinado 136 

Energía 137 

Medida de la masa 139 

Masa y peso 141 

Impulso 141 

Péndulo balístico 145 

Fuerza centrífuga 148 

Momento de inercia 152 

Movimiento vibratorio 157 

Composición de un movimiento vibratorio con otro uni- 
formemente acelerado 158 

Resonancia 159 

Método estroboscopio 160 

Acústica 164 



ÍNDICE GENERAL 


IX 


PÁG. 

Experimentos parado jales 165 

Paradoja de la caída 166 

Paradoja de la tensión superficial 172 

Paradojas hidro o aerodinámicas 179 

. — ^ 

VIL LA FÍSICA EN CASA (Continuación) 181 

Experimentos con la máquina neumática sin máquina 

neumática 182 

Rompevejigas 182 

Hemisferios de Magdeburgo 182 

Expansibilidad del aire 183 

No propagación del sonido en el vacío 183 

Fuente en el vacío 184 

Aplastamiento de una lata 184 

Importancia del mercurio 184 

Peso del aire 185 

Instrumentos de medida 188 

Medida de longitudes 188 

Esferómetro y tornillo micromé trico 188 

Método óptico 191 

Balanza de precisión 193 

Romana 195 

Balanza de Mohr 196 

Medidas indirectas 196 

Calor 200 

Cambios de estado 200 

Dilatación 201 

Dilatación de gases 204 

Calorimetría 205 

Higrometría 207 

Calor y trabajo 208 

óptica 208 

Propagación rectilínea de la luz. Cámara obscura 209 

Diámetro aparente del Sol 210 

Determinación del meridiano, medida de la latitud y de 

la inclinación de la eclíptica 212 

Reflexión de la luz 213 

Distancia de la imagen virtual 215 

Refracción 216 

Reflexión total 218 

Fotometría 219 

Prisma 220 

Prisma de ángulo refringente pequeño 222 

Lentes 223 



X 


ÍNDICE GENERAL 


PÁG. 


Difracción 225 

Observación con luz monocromática 230 

Difracción por un orificio 230 

Redes de difracción 231 

La misma, medida con un disco de fonógrafo 234 

Interferencia 237 

Experimento de Young 238 

Medida de la longitud de onda por interferencias 239 

Experimento de Fresnel 240 

Polarización de la luz 241 

Polarización cromática 243 

Magnetismo y electricidad 245 

Electroestática 245 

Balanza de torsión 248 

Electrización por influencia 249 

Electróforo de Volta 249 

Otros experimentos 249 

Corriente eléctrica 250 

Revelación experimental de la rotación de la 

tierra 250 

Balanza de rotación 259 

Importancia didáctica de esta clase de experimentos . . 265 

VIII. CONCEPTO DE MASA 267 

Masa y peso 267 

Balanzas de pesas 272 

“Gramos locales” 274 

Balanzas de resorte 275 

Ejercitación 277 

Principio de D'Alembert 279 

Aplicaciones 284 

1) Plano inclinado 284 

2) Plano horizontal y un peso 286 

3) Máquina de Atwood 287 

4) Doble plano inclinado 288 

6) Polea móvil 289 

6) Torno 291 

7) Torno y plano inclinado 292 

Sistemas con dos grados de libertad 293 

Aplicación a las rotaciones 295 

Rozamiento 298 

Recapitulando 299 

IX. CONCEPTO DE TEMPERATURA 301 

Introducción 301 



ÍNDICE GENERAL 


XI 


PÁG. 


Cociente y suma de temperaturas 303 

Diversas substancias termométricas 310 

Los gases como substancias termométricas 312 

Temperatura legal 314 

Restricciones en la elección de la substancia termomé- 

trica 315 

Dimensiones de la temperatura 317 

El gas ideal 319 

Escala logarítmica 321 

Temperatura termodinámica 324 

La y las temperaturas 328 

Invariancia y ordenamiento 329 

¿Qué es una magnitud? 330 

¿Qué significa sumar magnitudes? 332 

Temperatura calorimétrica 334 

Arbitrariedad de la escala 339 

La clave de la confusión 341 

Temperatura y tiempo 346 

Conclusión 348 

X. LA RISICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 351 

Lu evolución de la Física y su repercusión en la ense- 
ñanza . 351 

La constante de Planck 353 

Teoría de Bohr 365 

Algunas preguntas interesantes 362 

Relatividad 366 

Física nuclear 369 

XI. LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 371 

Introducción 371 

Consideraciones generales 372 

Repercusión en el campo filosófico 374 

Enunciado de Laplace 377 

Un fusil de electrones 378 

Interacción entre el observador y el sistema observado. 379 

Formulación del principio de Heisenberg 381 

Justificación del principio 383 

Significación del principio 386 

XII. LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA 

DE LA FÍSICA 389 

El fermento histórico 339 

Perspectiva histórica 395 

Dos puntos de vista 398 

Los hechos culminantes de la historia de la Física . . . 400 



XII 


ÍNDICE GENERAL 


PÁG. 

XIII. LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 403 

La Física en los planes de estudio 403 

Amplitud 403 

Ordenamiento 4Ó4 

Selección 413 

Síntesis y conocimientos latentes 414 

Las Matemáticas y la Física en los planes de estudios. 419 
Distribución del programa en lecciones 428 

XIV. RECURSOS DIDÁCTICOS 431 

Dibujos 431 

Dibujos animados 433 

Modelos mecánicos 435 

Movimiento vibratorio armónico 436 

Ondas transversales progresivas 441 

Ondas transversales estacionarias 442 

Superposición de dos ondas progresivas iguales que 

avanzan en sentido opuesto 442 

Ondas semiestacionarias 443 

Ondas longitudinales progresivas y estacionarias .... 446 

Interferencia . 449 

Consideraciones generales sobre los modelos mecánicos. 450 

XV. LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES 

CICLOS 453 

A) Ciclo primario 453 

B) Ciclo medio 456 

Algunos escalones más 461 

C) Ciclo superior 466 

La aberración de la luz y la rueda de Fizeau 468 

La aberración en la teoría ondulatoria 473 

Sistema privilegiado y sistemas plebeyos 476 

La aberración de la luz y la relatividad de la simulta- 
neidad 478 

La aberración de la luz en la teoría de la relatividad. 483 
Deducción de las fórmulas de transformación de Lo- 

rentz, basándose en la aberración de la luz 486 

Representación intuitiva. “Apariencia y realidad” .... 489 

Representación gráfica 492 

Aberración mecánica y óptica 498 

La aberración astronómica y los sistemas de referencia 504 
Física superior en forma elemental 509 

índice alfabético 511 



PRÓLOGO 


Producida la reforma de la enseñanza primaria , mer- 
ced al movimiento educativo de las escuelas nuevas , que 
va extendiéndose progresivamente con sus altibajos ca- 
racterísticos — aceleramientos ocasionales y regresiones 
transitorias — , se impone emprender decididamente la re- 
novación que reclama la segunda enseñanza. En todos 
los países se advierte el mismo anhelo de que se revean 
los fundamentos, las orientaciones , la organización y las 
finalidades de la educación de los adolescentes, en sus 
distintos aspectos , tanto en la escuela media propiamente 
dicha — los colegios o liceos llamados comúnmente de en- 
señanza secundaria — como en la escuela normal y en las 
escuelas e institutos especiales; es decir , desde los estu- 
dios tradicionalmente desinteresados del bachillerato, pre- 
paratorios de la enseñanza superior , y los diversamente 
profesionales y técnicos — del magisterio, la minería, la 
agricultura, la ganadería y todas las otras industrias, el 
comercio, la aviación, la marina, los ferrocarriles y trans- 
portes, las telecomunicaciones, etc . — > hasta los de las 
bellas artes, al par desinteresados y profesionales. 

Más que emprender o ensayar otros cambios e innova- 
ciones en los planes de estudios — que podrían tender a 
ampliar el ciclo medio o a darle la ya consagrada orienta- 
ción humanista , a modificar la sucesión de las materias 
o a seleccionar y completar las enseñanzas , a atender las 
exigencias de la industrialización creciente de los países 
de América o a intensificar la necesaria penetración de 
la técnica científica — , se trata, fundamentalmente, de con- 
certar una reforma substancial en el vasto conjunto de 



XIV 


PRÓLOGO 


las enseñanzas primaria superior y postprimaria , secun- 
daria, normal y especial , que las haga igualitariamente 
asequibles al mayor número posible de educandos — y , 
naturalmente , en primer término , de los más capaces — , 
con lo que aumentará inmediatamente , el porcentaje de 
inscriptos en las diferentes escuelas del ciclo medio con 
respecto a los que terminan la escuela primaria , atrayén- 
dolos con beneficios — culturales y técnicos — y con ga- 
rantías reales . 

La enseñanza media , mirada como enseñanza para pri- 
vilegiados, ha , estado reservada en todo el mundo a las 
minorías dirigentes, a las clases ilustradas o adineradas 
— con todas las excepciones que se quiera — , pero desde 
la última guerra se observa en los países democráticos la 
más seria preocupación por extender a la gran masa del 
pueblo los beneficios de una educación complementaria, 
media, profesional o propiamente técnica 

Se procura ofrecer las mayores posibilidades a los jó- 
venes de uno y otro sexo para completar su preparación , 
fomentando todas las aspiraciones , provocando y canali- 
zando sus intereses intelectuales y el afán de aprender , 
favoreciendo en las ciudades y en las campañas el acceso 
de la generalidad de los aspirantes a las escuelas de ense- 
ñanza media y especial, con el propósito bien definido de 
elevar el nivel cultural de la población y garantir a todo 
individuo su mejoramiento progresivo . 

Dentro del movimiento democrático y de refirmación 
de los derechos humanos, corresponde implantar una ver- 
dadera igualdad educativa, con la misma solidez y firmeza 


1 Sorprende la unanimidad de esta aspiración en los informes 
acerca del movimiento educativo en cuarenta y cuatro países de los 
cinco continentes, que acaba de publicar la Organisation des Nations 
unies pour VÉducation , la Science et la Culture y el Bureau Inter- 
national VÉducation en el Annuaire International de VÉducation et 
de V Enseignement, correspondiente al período 1947-1948 (París- 
Ginebra, 1949, 312 páginas). Faltan allí los informes sobre algunos 
países — como Alemania, Brasil, Cuba, Dinamarca, Guatemala, Ja- 
pón, Méxi-co, Paraguay, Perú, Venezuela, etc. — donde, con variable 
intensidad, se observa idéntica aspiración. 



PRÓLOGO 


XV 


(le los demás derechos y garantías , de modo tal que la 
enseñanza secundaria , profesional , técnica y superior ase- 
guren a todos los individuos esa igualdad de posibilidades 
de acceso — que deben darse o que ya se dan para la en- 
señanza primaria — , de acuerdo únicamente con las eda- 
des , la preparación , las tendencias y las aptitudes . 

Para esto , además de dotar a la instrucción pública en 
sus distintos grados y aspectos de los medios y recursos 
correspondientes y es indispensable que la segunda ense- 
ñanza reciba una nueva estructuración y un impulso nue- 
vo e incesantemente renovado , que , por una parte , articu- 
len su contextura y agilicen su funcionamiento , y, por la 
otra f le infundan el espíritu de una escuela genuinamente 
popular y en lugar del ordenamiento y las modalidades de 
las tradicionales escuelas de élite. Deben coordinarse los 
diferentes tipos de escuelas y colegios de enseñanza pri- 
maria, secundaria, profesional y técnica , entre sí y con la 
enseñanza superior , para permitir que el educando en- 
cuentre y siga sin impedimentos y sin tropiezos el verda- 
dero camino de su vocación y de sus aptitudes , con todas 
las rectificaciones que aparezcan convenientes. 

¿Habrá, acaso, que explicar todavía por qué los méto- 
dos modernos tienden a educar más que a instruir? Los 
profesores de enseñanza media deben convencerse de que 
su función primordial no es la de explicar un programa, 
sino la de actuar solidariamente, dentro de los ideales de 
la educación, por encima de su propia materia de ense- 
ñanza, para contribuir a formar hombres y mujeres en 
la plenitud de su alta expresión y valor.- Tienen que 
instruir, naturalmente: tienen que enseñar matemática, 
literatura, historia, química , física, economía, lógica, y tie- 
nen que enseñarlas en la mejor forma posible, asegurando 
el mayor rendimiento; sin embargo, sobre todo eso, han 
de ver en cada alumno, varón o mujer, una criatura hu- 
mana que — afectiva, espiritual y moralmente — debe ser 
mejorada, a fin de hacerla mejor, más ilustrada, más útil 
a la colectividad y más feliz. 

Para esto, es menester asegurar una enseñanza que 



XVI 


PRÓLOGO 


tenga bien en vista la mentalidad y los intereses de los 
adolescentes , y la necesidad , desde hace tanto tiempo se- 
ñalada y siempre insatisfecha , de romper la artificiosidad 
de la enseñanza escolar , eliminando lo engañoso , ficticio 
y convencional , para colocar al educando , de más en más , 
en situaciones asimilables a las condiciones de la vida 
real . Se aspira a conseguir así que el joven , al completar 
los estudios del ciclo medio , además de la formación espi- 
ritual y de la preparación general adquirida , esté orien- 
tado dentro del vasto y variado panorama nacional , y de 
la limitada y definida realidad circundante , para que pue- 
da empezar a actuar provechosamente en su respectivo 
destino , sea que siga estudios superiores , sea que se dedi- 
que a las actividades productivas , que le aseguren un 
futuro económico desahogado; pero teniendo siempre la 
noción clara de su dignidad y su valer como persona hu- 
mana y de sus responsabilidades , deberes y derechos co- 
mo individuo social y como ciudadano de una democracia , 
según lo señalé en la exposición general que inicia el 
prólogo del primer tomo de esta Biblioteca de Ciencias 
de la Educación. 


* * 

Si es fácil reconocer la participación preponderante 
que corresponde a escuelas, colegios y universidades en 
la conservación, defensa, acrecentamiento y difusión de 
la cultura, no es tan sencillo comprender la importancia 
que en esa acción adquiere la manera cómo allí se trabaja; 
y, más aún, suele resultar difícil, en ciertas circunstan- 
cias, prever su influencia mediata en el desarrollo cul- 
tural. 

Muy pocos advierten ciertamente que los resultados 
dependen, en gran parte, de la forma cómo se enseña y 
del modo cómo se aprende; que el profesor debe realizar 
— y a veces ha de hacerlo el propio alumno, sin igual de- 
liberación — • una meditada elaboración didáctica de las ad- 
quisiciones científicas, técnicas, literarias, históricas, ar- 



PRÓLOGO 


XVII 


tísticas y filosóficas que constituyen el substrátum de 
nuestra cultura . 

Se contribuye así, en proporción hoy principalísima, a 
posibilitar que cada generación llegue al límite alcanzado 
por su predecesora y conserve fuerzas suficientes para 
proseguir el avance . Si por un azar imprevisible pudiera 
darse el caso de que en un momento dado le fuera impo- 
sible al hombre aprehender lo ya hecho por sus anteceso- 
res, o no quisiera hacerlo, se habría alcanzado el vértice 
de la parábola y, a partir de esa generación , comenzarían 
la declinación y la decadencia inevitables . Otra cosa sería 
si, en una conjunción fantástica de fuerzas regresivas, el 
adelanto se interrumpiera por haberse impedido conti- 
nuar la ascensión a los individuos idóneos dentro de las 
grandes masas populares . En tales condiciones , la deten- 
ción sería irreprimiblemente transitoria , y el espíritu hu- 
mano hallaría la forma de recuperar sin dilación las eta- 
pas malogradas . 

Mach y Avenarius, que asignan al saber un fin prag- 
mático — y antes que ellos y al par de ellos Adam Smith 
y Kirchhoff , entre otros pensadores — , han sostenido, co- 
mo norma fundamental de la especulación científica, que 
el saber debe estar regido por el principio de la “ economía 
del pensamiento”. Acéptese o no este principio, ha de 
admitirse que, debido a la ampliación y complicación cre- 
ciente de los conocimientos que el hombre adquiere del 
universo, y de sí mismo y de su propio mundo, se torna 
cada día más imperiosa la necesidad de intensificar el 
esfuerzo didáctico para facilitar la aprehensión y reten- 
ción de lo adquirido y asegurar el ímpetu para las nuevas 
conquistas, procurando que aumente el número de los que 
estén dispuestos a cumplir con tesón el deber de ampliar 
cada día los horizontes de la humanidad . 

Tanto la conservación y el acrecentamiento del caudal 
cultural propiamente dicho, en sus múltiples aspectos, co- 
mo la técnica misma vinculada al progreso material, a la 
adquisición de recursos y productos , y al dominio del 
medio circundante en beneficio del bienestar del hombre, 



XVIII 


PRÓLOGO 


requieren, como nunca, la convergencia del esfuerzo de 
miles y miles de aquellos filósofos , literatos, historiadores, 
pedagogos, artistas y hombres de ciencia — de ciencia pu- 
ra y de ciencia aplicada: físicos, químicos, matemáticos , 
biólogos, patólogos, médicos , agrónomos . 

Los profesores del ciclo medio tienen la responsabili- 
dad de descubrir, estimular y encauzar las aptitudes de 
sus alumnos y ayudarles a desarrollar su individualidad 
como persona y como ciudadano , para orientarlos luego 
adecuadamente hacia las respectivas especicdidades . 

Porque, dentro de este vasto panorama, un aspecto 
fundamental de la enseñanza, en su función formativa, es 
el de superar todas las dificultades que la inevitable es- 
pecialización opone al desarrollo de la cultura . Si es ne- 
cesario subdividir, antes es indispensable unificar y lo- 
grar que quienes van a desenvolverse en un limitadísimo 
sector del ancho y profundo escenario de los conocimientos 
humanos, de la vida social y de la acción constructiva , se 
interesen en la realidad circundante y sean capaces de 
apreciar y comprender, en sus líneas generales, la labor 
de los que actúan en parcelas distantes de las propias . 
Para ello, la elaboración didáctica de las grandes concep- 
ciones del pensamiento humano, debe tender a facilitar 
también su comprensión por los que no van a utilizarlas 
en la vida sino como un elemento de su formación cultural 

“Yo, químico — dirá alguno, por caso — , especializado 
en subproductos del petróleo y dentro de éstos en parafi- 
nas ¿qué tengo que ver con el arte egipcio?” Y, sin em- 
bargo, el arte egipcio, y la filosofía y literatura griegas, y 
la civilización maya, y el arte del Renacimiento, y la de- 
claración de los derechos del hombre, y las doctrinas de 
Monroe y de Drago, y las leyes de la herencia, y los pro- 
blemas del psicoanálisis, y la teoría de la relatividad, y el 
acta de Chapultepec , con todas las preferencias personales 
muy naturales y respetables, son deméritos del acervo in- 
telectual de un hombre culto de nuestra época y de nues- 
tras tierras de América . “ Soy químico — diríamos otros 
en aquel caso — ; pero soy ante todo y sobre todo una per- 



PRÓLOGO 


XIX 


xona humana , miembro de una democracia en la que debo 
actuar como hombre , como padre de familia y como ciuda- 
dano, en beneficio del progreso colectivo , del mejor des- 
tino para mis hijos y de la felicidad común , trabajando 
por el respeto de los derechos fundamentales del hombre , 
el perfeccionamiento de las instituciones y la elevación 
de mis conciudadanos 

Estos son otros de los motivos que me determinaron a 
dedicar varios volúmenes de esta BIBLIOTECA DE CIENCIAS 
DE LA Educación a rever la enseñanza de las diferentes 
asignaturas del ciclo medio especialmente. 

Entre ellas debía figurar , en primer término , sin du- 
da alguna , la Física. Esta ciencia ha experimentado una 
transformación conceptual tan profunda , en lo que va del 
presente siglo, y se ha ampliado en tal forma el dilatado 
dominio de sus aplicaciones, que se hacía impostergable 
revisar y ajustar los métodos seguidos hasta ahora en su 
enseñanza. 

Se trataba, en primer término, de establecer si las 
nuevas concepciones, que le sirven de base, debían seguir 
siendo totalmente ignoradas en la enseñanza que se im- 
parte a los no especialistas. Si así fuera y no se hallara 
forma de poner remedio a tal omisión y abandono, la si- 
tuación resultaría realmente infortunada, y hablo de ello 
por propia experiencia. Yo, que no soy físico, ni matemá- 
tico, ni astrónomo, me mantenía , en lo que a las ciencias 
correspondientes se refiere, dentro de un natural con- 
formismo con los conocimientos generales que de ellas 
poseía. Aun cuando no estuviera en condiciones de calcu- 
lar las órbitas de los astros, reconozco que la ley de gra- 
vitación de Newton se presentaba a mi espíritu con toda 
claridad y podía concebir, con admiración, aunque sin ex- 
trañe za, las predicciones que, dentro de ese marco con- 
ceptual, efectuaban físicos y astrónomos. Aquella situa- 
ción se repetía, formalmente, en lo que respecta a las 
acciones eléctricas y magnéticas; y, ya va para treinta 
años, al conectar mi aparato de radio , en las primeras 
audiciones , por lo menos, pensaba que las vibraciones so- 



XX 


PRÓLOGO 


novas producidas frente al transmisor eran transforma- 
das en ondas electromagnéticas irradiadas a un mar de 
éter imponderable , en reposo absoluto , que reemplazaba 
al alambre de las conexiones telefónicas corrientes , y de- 
bían ser captadas y transformadas inversamente para 
escucharlas como ondas audibles por los auriculares de 
nuestro receptor; así podía explicar someramente a mi 
familia cosas que nos llenaban de asombro y maravilla y 
que hoy aparecen tan naturales que todos las dan por 
sabidas, aunque la enorme mayoría de las gentes las ig- 
nora totalmente y no se toma siquiera el trabajo de que- 
rer comprenderlas . 

La Física parecía desenvolverse y evolucionar , ante los 
ojos de los no especialistas , en una forma pausada , firme 
y progresiva. Eran muchos los que como yo pensaban , 
durante las primeras décadas de este siglo , que los ci- 
mientos del grandioso edificio debían considerarse inamo- 
vibles y — aunque la propia certeza impedía plantearlo 
claramente — , suponíamos que la tarea de los físicos teó- 
ricos se reduciría, en adelante, a retocar solamente este 
o aquel detalle . 

Pero, un buen día nos desconcierta la noticia de que 
aquella solidez de cimientos y ese progresivo, firme y pau- 
sado desenvolvimiento eran sólo un mito. El nombre de 
Einstein aparece de pronto en todos los diarios y perió- 
dicos; se habla de una nueva recimentación de la Física 
y se anuncia también que la transformación alcanza a 
los conceptos de espacio y de tiempo, o, aun, que comienza 
con ellos. Confieso que la enorme mayoría, casi la tota- 
lidad de los hombres a los que ese anuncio podía preocu- 
par, no entendimos en qué consistía esta transformación; 
poco después, los artículos de divulgación nos dejaban a 
obscuras sobre aspectos fundamentales de la nueva con- 
cepción y los trabajos técnicos, erizados de fórmulas, que 
muchos fuimos a buscar, nos eran totalmente inaborda- 
bles. En vano pedíamos la traducción de ese lenguaje 
cabalístico y sospechábamos, sin querer pensar mal, que 
los solemnes filósofos que se daban por enterados, no en- 



PRÓLOGO 


XXI 


tendían más que nosotros . Parecía que una nueva secta 
pitagórica se empeñaba en hacer inexpugnable el sagrado 
recinto para los no iniciados , y llegamos a pensar que sólo 
míos pocos privilegiados podrían gozar el espectáculo de 
esta singular aventura del pensamiento humano. Los nom- 
bres de Kant y de Einstein se encontraban vinculados con 
frecuencia y se hablaba del tiempo en Bergson y del tiem- 
po de la mecánica relativista, del tiempo psicológico y de 
“ geometrías no euclídeas de n dimensiones”. Es decir , de 
cosas que conocíamos bien , y de otras, opuestas a ellas, 
en cuya intimidad no podíamos penetrar. Solamente ad- 
vertíamos una cara de esa doble entidad, bifronte como 
Javo, el dios de la esfera luminosa, de los orígenes y del 
principio de las cosas, que abría y cerraba las puertas 
de los santuarios y de toda clase de accesos reales e idea- 
les. Parecía que de ese nuevo ente bifacial, como de nues- 
fnt luna, no nos sería dado nunca conocer la cara opuesta. 

Si no hubiera sido por las comprobaciones experimen- 
tóles de las que informaban diarios y revistas, quizá mu- 
idlos hubieron concluido por considerar a la relatividad 
como uno Icario más, romo una tentativa frustrada del 
'\Yi telan de! siglo XX” t vanamente empeñado en funda- 
iu i nloi uno orn eo concepción del Universo: del espacio, 
ib I lampo, ib • lo malcrió, de lo energía , del movimiento, 
\b Iti lo ¡, tic bi g ro citación. 

Poco holgamos adelantado en la comprensión de la 
teoría. Y , como si, todo esto no bastara, cuando ya nos es- 
tábamos resignando a adoptar también aquí el pesimista 
ÍKiionumiN el ignorabimus de Emilio Dubois-Reymond, ese 
'dio lo sabemos y no lo sabremos nunca”, y nos olvidába- 
mos de la barabúnda relativista, como la iban olvidando 
nuestros colegas, nos encontramos con una nueva arreme- 
tido de otro físico audaz, Heisenberg, y esta vez dirigida, 
no ya contra los conceptos clásicos de espacio y de tiempo, 
sino contra el propio principio de causalidad. No podía 
ser más palmaria la irreverencia de los físicos frente al 
pensamiento filosófico dominante. Ahora concentraban 
sus ataques contra un principio fundado, sin duda, en 



XXII 


PRÓLOGO 


aquella “asociación de ideas ” indisoluble y automática , 
sentimiento de una conexión habitual , principio racional 
al que sutilmente David Hume negó vigencia; pero que 
admitíamos , hasta sin discutirlo , como “ una ley inevita- 
ble”. Y esas enseñanzas de los filósofos , que considerá- 
bamos tan firmes y que eran formas invariables de nues- 
tro pensar; el propio marco conceptual, los cimientos, las 
bases , los fundamentos con que interpretábamos los he- 
chos de la experiencia , aparecían , de pronto, como normas 
caducas y tambaleantes. 

La conmoción ha sido y sigue siendo demasiado intensa 
y profunda como para no comprender que ella trasciende 
el campo de la física y por eso el educador se inquieta y 
quiere saber si se podrá dar de la nueva estructura una 
visión asequible al hombre culto no especializado. Desde 
el principio admití tal posibilidad, sin saber a ciencia 
cierta por qué ; tal vez apoyado en mi honda y fervorosa 
fe pedagógica. Me agradaba pensar que quizá la situa- 
ción no era enteramente nueva , por cuanto , en su hora , 
también debió significar un gran esfuerzo hacer entender 
cómo podían nuestros antípodas mantenerse y caminar 
“colgados de los pies y con la cabeza dirigida hacia abajo”. 

Aquella posibilidad que anhelaba, aunque no dejara 
de suponerla remota, se convirtió en una certeza al escu- 
char de labios del talentoso maestro doctor Loedel la ex- 
posición de las nuevas conquistas y la considero ahora 
una realidad, después de leer los originales de este en- 
jundioso y admirable libro, que habrá de constituir, estoy 
seguro, un puente cómodo, tendido sobre un caudaloso río 
de rutinas y de errores, que facilitará, en la enseñanza, 
el tránsito de la vieja a la nueva Física. En tal sentido , 
los profesores encontrarán en él mm elaboración didác- 
tica de cuestiones que pasan por ser extremadamente 
complejas, aunque lo insuperable de tal complejidad, en 
la mayoría de los casos, proviene tan sólo de prejuicios 
firmemente protegidos por la recia arquitectura de los 
sistemas mentales dominantes. 

Por ello, y para acometer una obra de esa enverga - 



PRÓLOGO 


XXIII 


dura, el autor, como maestro consumado, advirtió que de- 
bía comenzar por tratar el problema en su entraña misma, 
en sus mismas raíces, analizando el método, las fuentes, 
el alcance, el significado y la estructura del cqnocimiento 
científico, que parte del experimento para llegar a la for- 
mulación de la ley y se remonta de las leyes a los princi- 
pios y a las grandes concepciones teóricas, y explicar lue- 
go cuál es el significado de éstas frente a " la realidad” 
y el papel que desempeñan en la enseñanza. Pero no se 
trata aquí de meras disquisiciones filosóficas: el ejemplo 
concreto asoma en cada caso para mostrar, ya sea lo ade- 
cuado de una definición ■ o un postulado, o para señalar 
las convenciones implícitas que han de advertirse en un 
determinado asunto. De este modo, en un lenguaje llano, 
sin pretensión magistral, explica problemas fundamenta- 
les como si se tratara de una lección dada con el gesto 
risueño y el ademán sugerente, característicos del hombre 
que vive en el ámbito de la labor científica y docente, en 
contacto permanente con estos problemas. 

Para citar un ejemplo, mencionaré su amena versión 
de los postulados que sirven de base a la teoría de la re- 
latividad, en la que los propios sistemas de coordenadas 
proclaman su absoluta equivalencia, lo que no obsta para 
que, a continuación, utilizando tan sólo los rudimentos de 
matemótlcas que se enseñan en tercero o cuarto año de 
cualquier colegio, se deduzcan en una forma enteramente 
novedosa las fórmulas básicas de la teoría de Einstein, 
agregándose una representación gráfica original, desti- 
nada, sin duda, a perdurar. 

Iai metodología especial de la enseñanza ha sido, en 
nmchoa casos, elemental y a veces vana exposición de 
normas más o menos generales y de procedimientos didác- 
ticos que dan al aspirante a profesor la ilusión de que 
sabe por qué, cómo y para qué enseña. Ha carecido, casi 
por regla, de la indispensable fundamentación filosófica 
y aun ha rehuido encarar algunas cuestiones epistemoló- 
gicas que hoy no pueden ser olvidadas en la enseñanza 
media. Hemos querido ofrecer, con está obra del doctor 



XXIV 


PRÓLOGO 


Loedel, también en ese aspecto , un modelo de lo que debe 
ser un buen tratado de metodología especial de la ense- 
ñanza de la Física. Se explica, pxies, que junto a otros 
problemas de proyecciones parecidas , aparezca un capítu- 
lo dedicado a analizar la crisis del principio de causalidad . 

En lo que a la Física clásica se refiere , constituyen 
asimismo verdaderos aportes para asegurar la eficiencia 
de la enseñanza , entre otros temas , la elementalización 
del principio de d* Alembert, el minucioso análisis del con- 
cepto de temperatura y la teoría del movimiento relativo , 
que se presenta — confirmando el significado y la impor- 
tancia de lo que debe ser una cuidadosa preparación di - 
dascálica — como para dividirse en sucesivas etapas — y, 
lo que parece asombroso — , a partir de conceptos que po- 
drían ser comprendidos y asimilados por alumnos de la- 
escuela primaria, hasta llegar a deducir de un modo ele - 
mentalísimo la fórmula de la aceleración de Coriolis y sus 
más importantes consecuencias . Corresponde advertir que 
el autor recuerda con emoción contenida la forma cómo le 
explicara elementalmente este asunto, en su escuelita pri- 
maria rural, su maestra de quinto grado, que era — me 
parece justo revelarlo — su propia madre, meritísima 
maestra de gran capacidad e iniciativa , a quien tributa- 
mos aquí nuestro cordial homenaje . 

La metodología o técnica de la enseñanza exige que el 
profesor se preocupe, para cada clase, de organizar lo que 
va a enseñar, disponiéndolo y presentándolo de modo que 
cumpla plenamente su función informativa y formativa, 
que sea ciencia y experiencia, conocimiento y sedimento, 
saber y estructura , adquisición y organización . Todo lo 
cual es todavía más importante, explicablemente, en las 
materias experimentales. Por eso en esta obra la experi- 
mentación en la enseñanza ha sido tratada con la ampli- 
tud y el detenimiento que corresponde: los diferentes mo- 
dos de realización y medida; las causas y los efectos 
psicológicos de los inevitables errores de observación ; la 
importantísima cuestión del lugar que ha de ocupar el 
experimento o el trabajo en el curso de la clase y otros 



PRÓLOGO 


XXV 


muchos procedimientos, sugestiones y arbitrios tendientes 
a despertar el interés y fomentar la actividad del educan- 
do para asegurar el mejor rendimiento de la enseñanza, 
son analizados con agudo y sutilísimo criterio científico 
y excepcional competencia pedagógica. 

Al» ocuparse especialmente de los recursos didácticos, 
describe varios modelos originales de fácil construcción y 
entre ellos ha de llamar mucho la atención de sus colegas 
el sencillísimo dispositivo hecho con un alambre arrollado 
en forma conveniente, que permite ver cómo la superpo- 
sición de dos ondas progresivas e iguales que se propagan 
en sentido opuesto da lugar a una onda estacionaria. Los 
profesores experimentados saben bien que éste es uno de 
los asuntos más difíciles entre los que se presentan en toda 
la enseñanza de la Física. En adelante, merced al modelo 
He Locdd, podrá ser comprendido por todos los alumnos, 
sin excepción, y sin esfuerzo. 

El capítulo más extenso del libro lo titula él autor “La 
Física en casa" y está destinado fundamentalmente a ex- 
tender la esfera de actividad experimental de los alumnos 
hasta el seno del propio hogar. 

* 

* * 

Ifos Innovaciones concurrentes y complementarias se 
Imponen en la didáctica de la enseñanza media. Una sobre 
la «ihMofluimi impartida o dirigida personalmente por el 
catedrático en el aula de su asignatura o fuera de ella; y 
otra, igualmente importante, en cuanto al estudio y labor 
personal del educando, sin la presencia del profesor, pero 
siguiendo sus directivas, cumplida en la propia escuela, 
en su casa, en un taller o en otro lugar, cualquiera sea, 
adonde concurra habitual o circunstancialmente, no para 
hacer el clásico deber, sino para resolver cuestiones ati- 
nentes a su aprendizaje. 

Para estos fines, se procura establecer los mejores 
"métodos” de enseñanza y de aprendizaje de cada asig- 



XXVI 


PRÓLOGO 


natura o de cada grupo de conocimientos , que dentro de 
los nuevos sistemas constituyen “círculos de interés”, aun- 
que, en vez de hablar de “métodos” nuevos, debe hablarse, 
con mayor precisión, de establecer “procedimientos” de 
enseñanza y de estudio, que resulten más ventajosos y 
con los que se alcance el mayor rendimiento por ser más 
adecuados a los diferentes grados de desarrollo e instruc- 
ción, de aptitudes y de preferencias de los educandos . 

La influencia que tendrá en la enseñanza de la Física 
la posibilidad de substituir , por lo menos en parte, los 
fríos deberes y áridos ejercicios de aplicación — destina- 
dos a ser hechos solamente con lápiz y papel — por ver- 
daderos trabajos experimentales, no tardará en ser valo- 
rada en todo su alcance. Después de haber visto realizar 
a mis propios hijos, en nuestra casa, algunos de los inte- 
resantísimos experimentos expuestos en esa parte del li- 
bro, no me cuesta imaginar cómo apreciarán esta magní- 
fica innovación los padres que se preocupan por la edu- 
cación de sus hijos. En un futuro próximo, serán miles y 
miles los jóvenes que aprenderán deleitándose y haciendo 
trabajar al par sus mentes y sus manos. Veo a unos, con 
tres o cuatro cintas de goma y una regla milimetrada, 
afanados en comprobar las leyes fundamentales de la es- 
tática; a otros, midiendo la velocidad de los proyectiles 
de su escopeta de aire comprimido , después de improvisar 
un péndulo balístico ; aquéllos, construyendo una balanza 
sensible con un simple broche de colgar ropa ; mientras 
éstos, miden directamente la aceleración de la gravedad 
utilizando un disco de gramófono en rotación como cro- 
nógrafo que les permite apreciar hasta el milésimo de 
segundo. 

Por los ejemplos que preceden, se advierte bien que 
no se trata aquí de lo que habitualmente se llama física 
recreativa, pues, a pesar de la simplicidad de los elemen- 
tos a utilizar, el autor se ha ingeniado Ae tal modo al pro- 
yectar cada prueba que, siguiendo sus indicaciones, po- 
drán realizarse con ellas verdaderas mediciones y com- 
probaciones científicas, con una precisión no menor de la 



PRÓLOGO 


XXVIt 


que en general se logra con él instrumental de los labo- 
ratorios de enseñanza, y en muchos casos con mayor evi- 
dencia y exactitud. En corroboración de ello, podría citar 
todavía la determinación dinámica de la masa o la manera 
ilc hallar el peso del aire o la longitud de onda de la luz 
visible, necesitándose, para una u otra cosa, ya sea un 
trozo de goma, una botella o el negativo de la fotografía 
de una persona vestida con un traje a rayas. 

Entre los experimentos de carácter paradójico que allí 
se incluyen, debo mencionar el que él autor denomina “pa- 
radoja de la caída”, porque con él se pone en evidencia 
la falsedad del fundamento de una “comprobación clási- 
ca” y se patentiza, al mismo tiempo, la importancia que 
tiene la ejecución cuidadosa de lo que a priori se presenta 
como evidente. 

Todos estos experimentos tienen un valor educativo 
que excede el estudio de un programa de Física, y contri- 
buyen de modo muy definido a la formación espiritual 
del alumno que practica este aprendizaje eminentemente 
activo, en los que él dispone todos los elementos necesa- 
rios para la experiencia, la ejecuta y observa y analiza 
los resultados de cada prueba. 

La influencia que ejerce en el espíritu del educando 
la comprobación de una ley, la determinación de una mag- 
nitud o la verificación de un fenómeno con un dispositivo 
hecho con sus propias manos, no podrá jamás compararse 
con la impresión habitual que recibe frente a un aparato 
de laboratorio escolar, más o menos complejo y completo, 
que él no ha contribuido a construir y ni siquiera a repa- 
rar de los deterioros ocasionados por su constante em- 
pleo. En él primer caso, la situación del estudiante se 
acerca bastante a la del investigador, pues tiene plena 
libertad para disponer sus elementos de trabajo y modi- 
ficar este o aquel detalle, y serán muchos, a no dudarlo, 
los jóvenes que se lanzarán con entusiasmo y provecho 
para su educación a idear y construir dispositivos ente- 
ramente nuevos y originales. 

En este capítulo incluye Loedel su propio experimento 



XXVIII 


PRÓLOGO 


para revelar la rotación de la Tierra con dos péndulos 
simples y en contados segundos . De esta demostración 
dijo el doctor Alexander Wükens, catedrático de astro- 
física en el Observatorio Astronómico de la Universidad 
Nacional de La Plata : “Muy pronto el experimento de 
Loedel dará la vuelta al mundo ”, y, por su parte , el pro- 
fesor Walter S. HUI, director del Instituto de Física de la 
Facultad de Ingeniería de Montevideo , ha manifestado 
que este experimento “se funda en una idea a la vez sim- 
ple y genial y constituye la mejor prueba didáctica ideada 
hasta hoy de Ui rotación terrestre”. 

El autor se ha 5 . propuesto transmitir a sus jóvenes co- 
legas y a los estudiantes del profesorado en Física los 
resultados de su larga experiencia docente , asesorándolos 
sobre la mejor forma de encarar difíciles cuestiones teó- 
ricas y la manera de realizar una serie completa de expe- 
rimentos sin disponer del clásico “laboratorio de Física”, 
que en la mayoría de los colegios no existe y, en muchos 
de los que existe, se reduce a un museo de aparatos histó- 
ricos destartalados e incompletos, sin aplicación alguna: 
en la enseñanza. Se ha empeñado en conseguir que los 
alumnos se interesen por esta enseñanza y se entusiasmen 
con la experimentación , incitando hasta a los más apáti- 
cos. Y ha incorporado directivas para ayudar al profesor 
a conocer mejor a sus alumnos, distinguiendo entre ellos 
al “teórico” del “práctico” y a éste del “técnico” ; al en- 
tusiasta por el conocimiento del proceso histórico, al que 
se apasiona con el relato de las predicciones espectacula- 
res y al que ansia penetrar el secreto de las nuevas con- 
quistas. 

:¡í 

* * 


El autor de esta obra, doctor Enrique Loedel Pálumbo, 
nació el 29 de junio de 1901, en Montevideo, hijo de padre 
uruguayo y de madre argentina, hizo allá sus estudios 
primarios, secundarios y “ preparatorios de ingeniería” , 
revelando muy temprano su vocación por los estudios a 



PRÓLOGO 


XXIX 


lo, s que dedicaría su vida, tanto que, apenas terminado el 
bachillerato, publicó en su ciudad natal un libro revelador 
sobre “Nuevos conceptos y aplicaciones sobre algunos 
puntos de Física 

Atraído por el prestigio del Instituto de Física de la 
Universidad Nacional de La Plata, vino a esta ciudad a 
seguir simultáneamente los estudios del profesorado en 
física y matemática en la Facultad de Humanidades y 
Ciencias de la Educación , que terminó en 1923, y los del 
doctorado en Física , que coronó también brillantemente, 
en 1925, con una tesis sobre Física molecular, honrándo- 
sele con la representación de los graduados de su promo- 
ción en la solemne colación de grados de la Universidad . 

Becado por nuestra casa de altos estudios para perfec- 
cionar su preparación en Alemania, fué discípulo de Plank 
y de Schrodinger, en Berlín, en 1928 y 1929, y trabajó 
con Reichenbach, siguiendo su curso de Filosofía cientí- 
fica . Vuelto a la Argentina, reanudó su labor, iniciada en 
1921*, en el Colegio Nacional y en la Facultad de Ciencias 
Fisicomatemáticas de la Universidad de La Plata . Actual- 
mente, es profesor de Física en la Facultad de Ingeniería 
y Ciencias Exactas , Físicas y Naturales de la Universidad 
de Cuyo, en San Juan . 

Ha publicado numerosos trabajos de investigación en 
revistas de su especialidad, en la Argentina y en el ex- 
tranjero, sobre relatividad, Física atómica, termodinámi- 
ca, etc • 

Pero, en esta obra dedicada a la metodología de la en- 
señanza de la Física, deseo referirme especialmente a su 
labor docente . El concepto que tengo de su capacidad y 
competencia lo demuestra el siguiente hecho: al organi- 
zar, en 1937, como Decano de la Facultad de Humanida- 
des y Ciencias de la Educación los cursos de metodología 
especial de los diferentes profesorados, encomendé al doc- 
tor Loedel, y el Consejo Académico lo ratificó por una- 
nimidad, la dirección de metodología especial y práctica 
de la enseñanza de los alumnos del profesorado en Mate- 
mática y Física. 



XXX 


PRÓLOGO 


Ahora bien, si tuviera que resumir en cuatro palabras 
el rasgo esencial de la personalidad docente del autor de 
esta obra, diría: “ hace amar su enseñanza” , o, mejor: 
“hace amar la Física ” ; y éste sería su mayor encomio . 
Tal fué el éxito de la labor por él cumplida en los cursos 
iniciales del colegio y sigue siéndolo en la cátedra univer- 
sitaria de Física superior . Lo he visto actuar en uno y 
otro ciclo, pero quiero referirme especialmente al primero, 
puesto que este libro está destinado a los profesores de 
segunda enseñanza . Y voy a aducir un antecedente que 
revela mejor que todo comentario cuál es la influencia 
espiritual y la acción estimulante que ejerce sobre sus 
alumnos . 

Cuando fui rector del gran Colegio Nacional de la Uni- 
versidad de La Plata, por primera vez, en 193Ú, el doctor 
Loedel Palumbo, entre otros cursos, iniciaba en el estudio 
de la Física a los alumnos de una división de tercer año. 
En el magnífico plantel de educadores que tenía a su car- 
go esa misma aula, profesaba castellano un humanista de 
prestigio continental, en quien se aliaban notablemente, 
en perfecto equilibrio , las virtudes cardinales del cate- 
drático, las mejores cualidades del investigador y del fi- 
lólogo erudito , el talento, la sensibilidad y la delicadeza 
de un profundo y exquisito hombre de letras, y la digni- 
dad, hombría de bien y fortaleza de espíritu de un caba- 
llero: el doctor Pedro Henríquez Ureña, cuya muerte sú- 
bita e insospechable — en 19 U6 — , fué tan deplorada en 
toda América . 

Una tarde llega Henríquez Ureña a la rectoría, con su 
paso breve y presuroso, y me dice, poco más o menos: 
“Pues, aquí le traigo una condecoración para un colega . 
Acabo de revisar estas composiciones de mis muchachos 
sobre el tema que habíamos convenido C Elogio de la ma- 
teria que me gusta más'). Y vea Ud en asombrosa ma- 
yoría los alumnos han preferido el nuevo curso de Loedel 
y han escrito el ' Elogio de la Física \ Me ha parecido que 
esto también debía conocerlo el rector”. Comentamos gra- 
tamente el asunto y me dejó las composiciones y sus feli- 



PRÓLOGO 


XXXI 


citaciones para el profesor de Física. Henríquez Ureña 
sabía bien que, por regla, los alumnos de segunda ense- 
ñanza, en un momento en que no están aún definidas las 
preferencias ni orientadas las vocaciones, muestran pre- 
dilección por las asignaturas que les enseñan mejor ; y él, 
el gfan maestro, tan querido y respetado por todos en el 
Colegio, que se ocupaba de cada uno de sus cursos y de 
cada uño de sus alumnos con capacidad, dedicación y res- 
ponsabilidad ejemplares, al par dé los mejores, conside- 
raba un deber traerme tal prueba de la eficiencia docente 
de un sabio concolega. ¡Qué gloria era trabajar con hom- 
bres de tal calidad! 

Fruto de toda esa actuación es esta magnífica obra 
del joven maestro, escrita con un gran amor. Ella acre- 
dita también, mejor que cualquier elogio, la extraordina- 
ria competencia científica y la excepcional vocación pe- 
dagógica de tan eminente profesor. 

Alfredo D. Calcagno. 


La Plata, 18 de enero de 1949. 




I 


EL PROBLEMA DEL METODO 


Leyes y teoremas. — La inducción en Física. — Contenido im- 
plícito de las leyes . — ¿Son tres o cuatro los principios de la diná- 
mica? — El proceso inductivo . — Inducción y deducción . — La 
(cotia física. 


El problema metodológico de la enseñanza queda plan- 
teado con sólo formular una pregunta: ¿Cómo debe ense- 
ñarse? Al pronto no se advierte que una cuestión formu- 
lada en tan breves términos pueda ser tan compleja. En 
efecto, el problema metodológico está subordinado a pro- 
blemas pedagógicos cada vez más generales. Así, es fácil 
advertir que el cómo de nuestra pregunta inicial depende 
del qué : ¿Qué es lo que debe enseñarse? Y este qué está 
supeditado a la finalidad perseguida, o sea al para qué. 

Continuando con este planteo esquemático, diremos, 
todavía, que el cómo, el qué y el para qué son funciones 
del cuándo. El cuándo se refiere al momento en que debe 
enseñarse tal o cual cosa; implica todo el problema del 
ordenamiento y de la oportunidad. El primero, lógico; el 
segundo, psicológico. 

Falta aún lo más importante: el para qué, el qué, el 
cómo y el cuándo dependen del a quién, es decir, del alum- 
no, de cada alumno como unidad psíquica independiente, 
con sus características propias y sus tendencias más o 
menos definidas. 

Como aquí nos ocuparemos exclusivamente de la en- 
señanza de la Física, parecería que con ello quedara eli- 
minada una de las variables del complejo problema: la 



2 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


referente al qué, al contenido, a lo que debe enseñarse. 
Efectivamente, ya sabemos que lo que debemos enseñar 
es Física, pero subsiste aún la pregunta: ¿qué es lo que 
debemos enseñar de la Física? La variable, pues, no ha 
sido eliminada. En lenguaje matemático diríamos que he- 
mos limitado (acotado) su dominio de variabilidad. Con 
esto, el problema se simplifica, sin dejar de ser, por eho, 
sumamente complejo todavía. 

Si el fin primordial del estudio de la Física fuera dar- 
nos una imagen del mundo, descubriendo la realidad que 
se disimula aetrás de las apariencias del fenómeno, el pro- 
blema metodológico, sobre todo en lo que se refiere al qué 
y ai cómo , debería ser enfocado desde cierto ángulo; en 
cambio, sería enteramente diferente el punto de vista si 
se considerara, con los positivistas, que el alfa y el omega 
del conocimiento científico consiste en la formulación de 
la ley que, encadenando unos fenómenos con otros, per- 
mite al hombre prever y señorear sobre la Naturaleza. 

El problema del método de la enseñanza de determi- 
nada disciplina es distinto del problema del método que 
la misma disciplina emplea en sus investigaciones. Debe 
distinguirse, pues, entre los métodos didácticos y los heu- 
rísticos. Los primeros se refieren a las reglas que deben 
seguirse para comunicar un conocimiento ya establecido, 
y los segundos, al modo como esos conocimientos pudieron 
ser adquiridos. En el primer caso, constituirán el núcleo 
del problema el ambiente y la psicología del alumno, en 
el segundo, el ambiente y la psicología del investigador. 

Se trata, como hemos dicho, de dos problemas distin- 
tos; pero de ningún modo independientes. Tanto es así, 
que se ha pretendido hacer que el alumno adquiera sus 
conocimientos en forma análoga a como dichos conoci- 
mientos fueron adquiridos por primera vez. El alumno 
experimentaría interés por determinada cuestión, y en 
posesión de los elementos adecuados podría, por sí solo, 
efectuar el redescubrimiento apetecido, lo cual, como mé- 
todo exclusivo, constituye sin duda una exageración. 

Por otra parte, en el complejo edificio que constituye 
la Física de nuestros días, encontramos hechos , leyes , con- 
venciones y definiciones , hipótesis, principios y teorías . 



LEYES Y TEOREMAS 


3 


Los hechos aparecen agrupados en diferentes compar- 
limientos, con legislación propia, que comunican entre sí 
por extraños pasillos: mecánica y calor, óptica y electro- 
magnetismo, etc. Alas enteras del grandioso edificio han 
debido ser recimentadas últimamente, por aparecer en él 
peligrosas resquebrajaduras, en forma de paradojas y con- 
tradicciones. En otras partes, en cambio, los hechos nue- 
vos se van acumulando, sin encontrar para ellos, aún, la 
estantería adecuada que ha de ordenarlos, y de todas par- 
tes salen amplios corredores que comunican con el edificio 
no menos grandioso de la técnica actual. 


Leyes y teoremas 

La Física ocupa una posición singular entre la Mate- 
mática y las llamadas ciencias naturales. En Matemática, 
los conocimientos se presentan en forma de teoremas, que 
se deducen lógicamente de ciertos postulados que se pre- 
sentan al espíritu como evidentes. El profesor de Mate- 
máticas no tiene por qué entrar a investigar si los postu- 
lados de que hace uso han sido o no extraídos de la ex- 
periencia. Sólo un alumno idiota o genial inquirirá acerca 
de si el teorema de Pitágoras constituye una verdad ra- 
cional o empírica, en tanto que el alumno corriente de 
cualquier curso de Física, quisiera saber lo propio acerca 
de la ley de la palanca o de la regla del paralelogramo. 

¿Conformaremos su apetencia intelectual diciéndole 
que su pregunta escapa al dominio de la Física para en- 
trar en el de la Epistemología? Y si afirmamos que se 
trata de verdades experimentales, ¿cómo concibamos nues- 
tra confianza en su ilimitada exactitud con los inevitables 
errores de observación? 

Para aclarar estas y otras cuestiones análogas, de im- 
portancia fundamental en todo lo que se refiere a la en- 
señanza de la Física, van destinados los párrafos que siguen 
y algunos otros capítulos del presente libro. 



4 


EL PBOBLEMA DEL MÉTODO 


La inducción en Física 

¿De qué modo han sido descubiertas las leyes físicas 
que conocemos actualmente? ¿Qué papel ha desempeñado 
la experiencia en el establecimiento de los principios ge- 
nerales o en la formulación de las teorías físicas actuales ? 

Parecería que para responder a estas preguntas bas- 
tara indagar, históricamente, cómo el auténtico sabio lle- 
gó a establecer una ley, un principio o una teoría. Pero 
efectuada la investigación, nos encontramos con que el 
auténtico sabio, en muchísimos casos, no tiene conciencia 
del camino que lo llevó a su descubrimiento. Así, por 
ejemplo, Arquímedes estableció la ley de equilibrio de la 
palanca creyendo que había llegado a su descubrimiento 
por vía puramente deductiva. Su razonamiento consistía 
en lo siguiente: Si se apoya una barra homogénea, dis- 
puesta horizontalmente, por su punto medio, y se suspen- 
den de la misma pesos iguales a distancias también iguales 
del punto central, la palanca debe permanecer en equili- 
brio, porque no existe ninguna razón para que se incline 
hacia uno u otro lado. Sentado esto como postulado, “evi- 
dente” por sí mismo, y aceptado también que, como conse- 
cuencia del mismo, un peso P, aplicado en A, puede ser 
sustituido por dos pesos iguales a P/2 situados simétrica- 
mente con respecto a A, es fácil probar, por sucesivos pa- 
sos, el conocido enunciado de la ley general de equilibrio 
de la palanca. 

Así, un peso de 2 kg situado a 1 m a la derecha del 
punto de apoyo se equilibra con otro peso de 2 kg situado 
a 1 m a la izquierda, y también con dos pesos de 1 kg 
cada uno, situados a 0,80 m y a 1,20 m, o a 0,70 m y 
1,30 m, o a 0 m y 2 m. En este último caso, tendríamos 
que una pesa de 2 kg situada a 1 m del punto de apoyo 
se equilibra con otra de 1 kg situada del otro lado a 2 m. 
Si proseguimos la separación simétrica de las pesas de 
1 kg, hasta que una de ellas se encuentre 1 m a la dere- 
cha, superpuesta con la de 2 kg, la otra se encontrará a 
3 m a la izquierda, superpuesta con la de 2 kg, la otrá se 



LA INDUCCIÓN EN FÍSICA 


5 


encontrará a 3 m a la izquierda, y tendríamos así que 
3 kg a 1 m se equilibran con 1 kg a 3 m. 

Aparentemente, todo el razonamiento se basa casi ex- 
clusivamente en el principio lógico de razón suficiente, por 
lo cual parecería que la experiencia no ha desempeñado 
aquí ningún papel. Pero esto es sólo aparente. En la época 
de Arquímedes existían balanzas, construidas antes de ha- 
berse formulado explícitamente la ley de equilibrio de la 
palanca, y la “evidencia” del postulado no es más que la 
expresión de un resumen de reiteradas experiencias. Po- 
dría argüirse que, aun cuando la ley de la palanca fue 
formulada con posterioridad a la observación de lo que 
ocurría con las balanzas, es concebible que hubiera podido 
establecerse completamente a priori, partiendo del “prin- 
cipio evidente de la simetría”. Pero el tal postulado de la 
simetría ni siquiera es válido en todos los casos. Un ra- 
zonamiento a priori basado en la simetría espacial nos lle- 
varía a la conclusión que una aguja imanada no puede 
orientarse, ya que “no existe razón suficiente”, diríamos, 
para que la aguja siga una dirección con preferencia a 
otra. Sólo la experiencia puede probar que el equilibrio 
de una palanca no magnética no dependa de la orienta- 
ción. 

Por otra parte, el postulado del que Arquímedes dedujo 
la ley de la Palanca es válido sólo en un sistema estático 
y no en uno dinámico. Un ejemplo lo aclarará: Sea un 
péndulo de 1 m de longitud, en cuyo extremo existe la 
masa de 2 kg. Estáticamente, podemos reemplazar la ma- 
sa de 2 kg, que dista 1 m del punto de suspensión, por 
dos másas de 1 kg cada una, situadas, respectivamente, a 
0,80 y 1,20 m, o a 0,50 y 1,50 m, etc., del apoyo, pues, en 
todos los casos, el momento estático es el mismo. Pero lo 
que no se mantiene constante es el momento de inercia res- 
pecto al punto de suspensión, por lo cual, en todos los ca- 
sos, el tiempo de oscilación será diferente. La masa de 
2 kg situada a 1 m del punto de suspensión tarda, apro- 
ximadamente, 2 seg en efectuar una oscilación completa, 
y reemplazada dicha masa por otras dos, de 1 kg cada una, 
situada una a 2 m del apoyo y la otra en el apoyo mismo, 
el tiempo de una oscilación completa es de casi 3 seg. 



c 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


El mismo postulado “evidente” que utiliza Arquimedes 
para deducir la ley de la palanca se emplea, con otro sen- 
tido, para deducir la probabilidad a priori en el caso, por 
ejemplo, del lanzamiento de una moneda. Se dice, en efec- 
to, que al tirar una moneda un gran número de veces no 
existe ninguna razón para que salga con mayor frecuencia 
cara o cruz. Se deduce de aquí que la probabilidad de que 
caiga de uno u otro lado es igual a Siguiendo el razona- 
miento de Arquimedes, la conclusión tendría que ser otra : 
la moneda debería caer de canto, de la misma manera que 
la palanca — por falta de razón suficiente — no se inclina 
ni a uno ni a otro lado. O bien, si se admite como válido el 
razonamiento que sirve para establecer la probabilidad, 
deberíamos admitir que una palanca simétrica tiene una 
probabilidad igual a $ de inclinarse hacia uno u otro lado. 

El proceso psíquico que encubre el origen empírico de 
un conocimiento, haciéndolo aparecer como apriorístico, 
podría ser denominado “ilusión del a priori 

El mismo Galileo, el fundador del método experimen- 
tal que sigue la ciencia actual en sus investigaciones, des- 
arrolla algunos razonamientos que no condicen con el 
método propugnado por él. De la observación del movi- 
miento pendular, y de la observación de la caída de di- 
versos cuerpos desde diferentes alturas, establece la ley, 
siguiendo un camino puramente inductivo — de lo parti- 
cular a lo general — , que todos los cuerpos tardan en caer, 
desde la misma altura, el mismo tiempo, si se prescinde 
de la resistencia del aire. Pero como para los aristotélicos 
la experimentación y sus resultados eran de poco valor, 
Galileo da de su ley la siguiente “demostración”: Si ima- 
ginamos dos pesas iguales, de plomo, por ejemplo, es 
evidente que ambas tardarán en caer desde la misma al- 
tura el mismo tiempo. Si suponemos ahora que dejamos 
caer ambas pesas juntas, adosadas entre sí, constituirán 
un solo cuerpo de peso doble, el que tendrá que caer, des- 
de la misma altura, en el mismo tiempo en que lo hacía 
cada trozo por separado, pues “no existe ninguna razón” 
para que ambos trozos caigan más rápido o más lenta- 
mente por el hecho de caer juntos. Nuevamente aquí apa- 
rece el principio de razón suficiente. Si los dos trozos 



CONTENIDO IMPLÍCITO DE DAS LEYES 


7 


juntos cayeran más rápido, ya se encontraría alguna “ra- 
zón” para explicar el fenómeno. Ni siquiera es evidente, 
a priori, que un mismo cuerpo, cayendo sucesivamente 
desde la misma altura, emplee siempre en su caída el mis- 
mo tiempo. En el aire, una moneda cae más rápido al caer 
de canto que al caer de plano, y el hecho experimental de 
que el peso de un cuerpo no dependa de su posición — que 
una regla sea atraída por la Tierra con igual fuerza es- 
tando colocada horizontal que verticalmente — , es algo más 
bien asombroso, y que de ningún modo puede ser estable- 
cido a priori. 


Contenido implícito de las leyes 

Una ley enuncia cierta relación de dependencia entre 
determinadas magnitudes y, al mismo tiempo, fija rela- 
ciones, de independencia con otras magnitudes o factores. 
Así, por ejemplo, la expresión 


T ~ z Wí 

que da el tiempo de oscilación de un péndulo simple, para 
amplitudes pequeñas, nos dice que dicho tiempo T depende 
de la longitud l del péndulo y de la aceleración g de la gra- 
vedad en el lugar de observación. 

El número de “leyes” de estructura gramatical nega- 
tiva que podrían ser enunciadas, partiendo de la expresión 
anterior, es infinito. Podríamos, en efecto, decir: “El 
t iempo de oscilación de un péndulo no depende de la orien- 
tación del plano de oscilación, ni del color de la masa pen- 
dular, ni del grado de iluminación, ni del día de la semana 
on que se efectúe la experiencia”, etc. Ninguna de estas 
leyes de carácter negativo se formula explícitamente, pues 
su contenido se considera trivial. En el caso del péndulo, 
sólo se menciona explícitamente la independencia del tiem- 
po de oscilación con respecto a la masa pendular y a la am- 
plitud de las oscilaciones. Sin embargo, es el conjunto de 



8 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


esas “leyes triviales” lo que da a una ley de carácter po- 
sitivo su fecundidad. Que el color de los cuerpos no inter- 
viene en las leyes de la mecánica, es algo que se puede ob- 
tener sólo de la experiencia, pues no creo que un salvaje o 
un niño estén en condiciones de adivinar que dos péndulos 
que difieren sólo en el color tardan el mismo tiempo en 
oscilar. 

En la radiación térmica, el color tiene fundamental im- 
portancia : si se tienen dos recipientes idénticos, de metal, 
que contengan agua en ebullición, el uno brillante y el otro 
pintado de negro, se enfría más rápidamente este último. 
Los pueblos que creen en el poder de ciertos amuletos, y 
nuestros contemporáneos que confían en cábalas y mila- 
gros, no tendrían por qué asombrarse si se les dijera que 
el tiempo de oscilación de un péndulo depende, por ejem- 
plo, de la posición social del observador. 


¿Son tres o cuatro los principios de la dinámica? 

Un ejemplo de importancia, referente al contenido im- 
plícito de un enunciado, le* constituye el principio de masa 
de la dinámica newtoniana. Newton enunció para la di- 
námica tres principios: el de inercia, el de acción y reac- 
ción y el de masa. El principio de la independencia de los 
movimientos fué considerado por Newton como contenido 
en el principio de masa. Otros autores han considerado, en 
cambio, que el principio de la independencia de los movi- 
mientos o de superposición de las fuerzas constituía un 
cuarto principio, independiente de los anteriores, o sea, que 
no podía ser deducido de ellos. 

El principio de masa afirma que la aceleración que 
adquiere un cuerpo bajo la acción de una fuerza es direc- 
tamente proporcional a la fuerza, teniendo su misma di- 
rección y sentido. El factor de proporcionalidad depende 
únicamente del cuerpo, de lo que se llama masa del mismo. 

Para que este enunciado sea válido, es necesario que la 
aceleración que adquiere un cuerpo bajo la acción de una 
fuerza depende sólo de ella, sobrentendiéndose entonces 



EL PROCESO INDUCTIVO 


9 


que dicha aceleración no depende, por ejemplo, de la direc- 
ción (la masa de un cuerpo en la dirección este-oeste es 
igual a la masa del mismo cuerpo en la dirección norte-sur, 
etc.), ni del lugar de observación, ni del estado de movi- 
miento en que se encuentra el cuerpo, ni de la acción de 
oirás fuerzas que se ejerzan sobre él, etc. Esta no depen- 
dencia del efecto de una fuerza de la acción de otras fuer- 
zas, o del estado de movimiento del cuerpo, constituye, pre- 
cisamente, el llamado principio de independencia. 

i Está entonces contenido el principio de independencia 
o superposición en el principio de masa? Lo está, natural- 
mente, y en la misma medida en que se dice, implícitamen- 
te, al afirmar que una mesa es de madera, que ella no es 
ni de hierro ni de plomo. 

En el lenguaje corriente, cuando se afirma que algo 
depende “fundamentalmente” o “sobre todo” de tal o cual 
cosa, no se dice de qué no depende. Así, por ejemplo, si 
afirmamos que el crecimiento de una planta depende fun- 
damentalmente del riego, no excluimos los abonos, ni la 
iluminación, etc. Si preguntáramos si la aceleración que 
adquiere un cuerpo bajo la acción de una fuerza depende 
o no del grado de iluminación del lugar en que se encuen- 
tra el cuerpo, responderíamos de inmediato que no, en 
virtud, precisamente, del principio de masa, que al afir- 
mar que la aceleración sólo depende de la fuerza, afirma 
también, implícitamente, que no depende de nada más. 


El proceso inductivo 

Algunas leyes físicas constituyen la expresión directa 
de resultados empíricos, habiéndose llegado a su formula- 
ción luego de pacientes y minuciosos experimentos u ob- 
servaciones. Tales, por ejemplo, las leyes de Kepler, o las 
del péndulo y caída de los cuerpos, establecidas por Ga- 
lileo. 

Los principios de la dinámica y la ley de gravitación 
de Newton no se encuentran en ese caso. De dichos prin- 
cipios y de aquella ley pueden deducirse desde las trayec- 



10 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


torias de los astros hasta el movimiento de un trompo. 
Las leyes de Kepler (debido a las perturbaciones) y las le- 
yes de la caída (debido a la variación de g con la altura) 
aparecen ahora tan sólo como leyes aproximadas, y dentro 
del mismo marco caben las órbitas cometarias y las com- 
plicadas trayectorias de nuestros aviones. 

Desde luego, el proceso que ha permitido establecer 
aquellos principios, de contenido tan amplio, no es idén- 
tico al proceso que permitió enunciar, por ejemplo, la ley 
de Boyle y Mariotte. En este último caso, de la observa- 
ción directa de un número finito de casos, en que el pro- 
ducto de la presión por el volumen de determinado gas, 
mantenido a temperatura constante, se mantiene invaria- 
ble, se procede por generalización, por inducción, al esta- 
blecimiento de la ley, luego de experimentar con gases di- 
versos. La ley así descubierta, resulta finalmente ser tan 
sólo una ley aproximada. 

En cambio, los principios de la dinámica deben ser con- 
siderados como exactos. Ya esto plantea un arduo pro- 
blema: Si aquellos principios han sido establecidos por in- 
ducción, sobre la base de observaciones y experimentos, 
¿cómo pueden ser exactos, siendo estos últimos sólo apro- 
ximados ? 

Del redar de una esfera a lo largo de un plano incli- 
nado, variando la inclinación de éste puede establecerse, 
por medición directa, que la aceleración de la esfera es 
aproximadamente proporcional a la componente del peso, 
en el sentido de la longitud del plano. Además de esta 
fuerza, actúan el rozamiento y la resistencia del aire. Es- 
tas fuerzas no pueden ser medidas, de modo que es impo- 
sible la comprobación directa de la proporcionalidad entre 
la fuerza y la aceleración. Al postular esta proporcionali- 
dad, estamos definiendo la fuerza, ya que recién entonces 
podremos, de la aceleración con que se mueve la esfera, 
calcular el valor de las fuerzas que sobre ella actúan. 

Los principios de la dinámica: inercia, masa y acción 
y reacción, son, pues, extraídos de la experiencia, pero ele- 
vados a la categoría de tales por definiciones implícitas: 
lo que debemos entender por fuerza y masa, dinámicamen- 
te, queda definido por los mismos. 



INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN 


11 


Con los postulados de la geometría de Euclides ocurre 
algo análogo. Ellos han sido extraídos de la experiencia 
por un complejo proceso de inducción, observando el com- 
portamiento de cordeles tirantes y reglas rígidas. Se de- 
fine, implícitamente, así lo que debemos entender por rec- 
tas, puntos y planos. La suma de los ángulos de un. trián- 
gulo de esta geometría vale dos rectos, y la suma de los 
ángulos de un “triángulo” formado por cordeles tirantes 
o por varillas rígidas vale también dos rectos. Si los pos- 
tulados que sirven de base al edificio geométrico no hu- 
bieran sido extraídos de la experiencia, esta aplicabiiidad 
de lá geometría al mundo físico sería incomprensible. 

Una vez establecidos por Newton los principios de la 
dinámica, el hallazgo de la ley de gravitación no podía 
demorarse. Si no hubiera sido Newton, otro físico la hu- 
biera encontrado, y prueba de ello es que el mismo Newton 
insinuó que podían participar de esta gloria sus ilustres 
contemporáneos Hooke y Huygens. 

Si se calcula la aceleración que tiene en todo momento 
un planeta que recorre una elipse obedeciendo a la ley de 
las áreas, se encuentra, en efecto, que dicha aceleración 
está dirigida constantemente hacia el foco donde se halla 
el Sol, y que su valor varía en razón inversa del cuadrado 
del radio vector. 

De aquí y de la definición de fuerza dada por los prin- 
cipios de la dinámica se obtiene la ley de gravitación, que 
sólo la experiencia podrá decidir si es exacta o tan sólo 
aproximada. 


Inducción y deducción 

Si abrimos un tratado de mecánica y otro de geometría, 
no encontramos entre ellos ninguna diferencia formal. En 
ambos se procede en forma deductiva: en mecánica, par- 
tiendo de los principios; en geometría, de los postulados. 
Durante mucho tiempo se pretendió que uno de los carac- 
teres de los postulados geométricos tenía que ser la evi- 
dencia. 

Descartes, en su Discurso del método , afirma que es 



12 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


necesariamente verdadero aquello que puede concebir en 
forma clara y distinta, aquello que se le presenta como 
evidente. Hoy, después de creadas las geometrías no eucli- 
dianas, de establecida la teoría de la relatividad y las 
mecánicas cuantistas, nos encontramos muy alejados de 
aquel racionalismo ingenuo. 

A los postulados matemáticos les exigimos tan sólo que 
satisfagan condiciones de no contradicción e independen- 
cia, y a los principios de las teorías físicas, que nos per- 
mitan prever. 

Bajo la influencia del racionalismo, luego de estableci- 
dos los principios de la dinámica, y hasta el siglo pasado, 
era frecuente la creencia de que dichos principios eran 
por sí mismos evidentes, constituyendo, “por lo tanto”, 
verdades necesarias. La “evidencia” no era más que una 
consecuencia del hábito originado en la constante aplica- 
ción de los mismos, y las raíces psicológicas de esa creen- 
cia no difieren de las que hacen que esperemos como nece- 
sario que se rompa un vaso de vidrio, o que se abolle otro 
de metal, que se dejan caer desde cierta altura. 

Para los aristotélicos se presentaba como evidente que 
la velocidad debía ser proporcional a la fuerza; el hábito 
del manejo de las ecuaciones de la mecánica newtoniana 
hace aparecer como evidente que sea la aceleración pro- 
porcional a la fuerza, y no la velocidad. 

La constancia de la masa, presupuesta en la mecánica 
newtoniana, no tiene tampoco nada de evidente ni de ne- 
cesario. Por el contrario, es más bien motivo de asombro 
el hecho de que la resistencia que un cuerpo opone al cam- 
bio de velocidad no dependa de la velocidad ni de la direc- 
ción. 

En resumen, la ciencia busca hacerse deductiva, para 
lo cual debe apoyarse en ciertos principios, condicionados 
por la experiencia, pero sin importarle — poco ni mucho — 
que dichos principios se presenten ante nuestro espíritu 
como evidentes. Todas las leyes de equilibrio de la estática 
pueden ser deducidas del principio de los trabajos virtua- 
les, cuya evidencia no debe ser tanta, desde que tantos 
fueron los fracasados inventores del movimiento continuo. 



INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN 


13 


De los dos principios que sirven de base a la teoría del 
calor, el primero, el de conservación de la energía, no es 
en el fondo más que una definición de lo que debemos en- 
tender por energía interna de un sistema aislado, y el se- 
gundo, que señala el incesante aumento de la entropía en 
todos los procesos naturales, no tiene absolutamente nada 
de evidente, en el sentido que los racionalistas dan a esta 
palabra. 

El postulado de la constancia de la velocidad de la luz 
para sistemas que se trasladan, unos respecto a otros, con 
movimiento uniforme y rectilíneo, constancia que hace que 
dicha velocidad sea independiente de la velocidad de la 
fuente y de la del observador, y sobre el cual se asienta 
la teoría de la relatividad, no tiene tampoco nada de evi- 
dente. 

Por otra parte, ¿dónde está la evidencia de las ecuacio- 
nes de Maxwell, o de las de Dirac? 

Debemos convencernos que vivimos en un mundo asom- 
broso : una semilla da origen a un árbol, y las manchas del 
Sol producen desviaciones en la aguja magnética; mientras 
nuestro cuerpo es atravesado en cada minuto por millares 
de partículas cósmicas, pretendemos que el comportamien- 
to del Universo se adapte a nuestra manera de pensar, en 
lugar de esforzar nuestro pensamiento, para que se haga 
apto para la descripción del mundo en que vivimos. 

Copérnico desalojó al hombre de su posición privile- 
giada en el centro del Universo, pero aun desalojados de 
ese centro geométrico, los hombres que vivieron bajo la 
ilusión racionalista de un Descartes o un Leibniz podían 
todavía considerarse a sí mismos como semidioses, ya que 
el mundo había sido hecho por una mentalidad que no di- 
feriría esencialmente de la mentalidad humana. El meca- 
nicismo de los siglos xvm y xix permitió alentar tales es- 
peranzas; la Física de hoy no autoriza semejante opti- 
mismo. 



14 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


La teoría física 

La evidencia o la simplicidad que se buscaba en la 
formulación de una teoría física ha pasado, como vimos, a 
un segundo plano. Ya no se cree hoy que lo considerado 
más simple por la mentalidad humana tenga, por ello, ma- 
yor probabilidad de ser verdadero. ¿Y cuál es el criterio 
de verdad que debe aplicarse a una concepción científica? 
Para los realistas, el objeto de la investigación científica 
sería encontrar la “realidad” que ocultan las apariencias. 
El grado de validez de una teoría física estaría dado por 
el mayor o menor parecido existente entre la imagen dada 
por la teoría y la realidad en sí. Como esta confrontación 
es necesariamente extraempírica, dado que la realidad en 
sí no cae bajo nuestra percepción, dicho criterio de verdad 
es puramente metafísico. Como lo hace notar Ph. Franck 
en su libro La ley causal y sus límites , tal criterio de ver- 
dad adquiriría sentido sólo admitiendo la existencia de un 
ser capaz de captar la realidad en sí y confrontar dicha 
realidad con la imagen que pretendemos dar de la misma. 
El investigador o el autor de una teoría científica se en- 
contraría entonces, frente a ese ser, en posición parecida 
a la de un alumno frente a un examinador. Una teoría se- 
ría verdadera si merece la aprobación de ese ser extrahu- 
mano. Pero el examinador ante cuya consideración pre- 
sentan los teóricos sus especulaciones, permanece encerra- 
do siempre en un impenetrable mutismo. 

Se ha pretendido que no existe tal mutismo, ya que 
el lenguaje de ese ser extrahumano se manifestaría en la 
mayor o menor coincidencia entre las previsiones teóricas 
y la experiencia. Lástima grande que, de acuerdo con esto, 
han sido “aprobadas” las concepciones más dispares y 
opuestas acerca de nuestro mundo físico. 

Tolomeo, con su sistema geocéntrico y sus epiciclos, 
estaba en condiciones de prever, con mucha anticipación, 
la posición de todos los planetas conocidos en su tiempo, y 
Copérnico, conservando las órbitas circulares, perfectas, 
de los griegos, pero llevando al Sol al centro de su sistema, 



LA TEORÍA FÍSICA 


15 


puede prever, igualmente, sus posiciones pasadas y futu- 
ras. 

Kepler, al descubrir sus leyes, se deja llevar por el en- 
tusiasmo y afirma que Dios tuvo que esperar más de cinco 
mil años antes de que apareciera un hombre capaz de 
interpretar su obra. Pero poco tiempo dura la realidad de 
las órbitas elípticas. Con Newton, la “realidad” es ahora 
una fuerza atractiva, que obra en razón inversa del cua- 
drado de la distancia, que retiene a la Luna en su órbita y 
levanta el agua de los mares, y que permite a Leverrier 
descubrir un nuevo planeta. Durante más de doscientos 
años, ésta fué la realidad, expresada tanto por el movi- 
miento de los astros como por el de los cuerpos en la su- 
perficie de la Tierra. 

Llegamos así al año 1914, en que Einstein formula su 
teoría de la relatividad generalizada. En los resultados 
cuantitativos, casi coincide con la teoría newtoniana, pero 
la “realidad” no es ya ninguna fuerza atractiva. La reali- 
dad sería ahora un espacio-tiempo curvado, dentro del cual 
se mueven los planetas, siguiendo la trayectoria más có- 
moda: geodésicas de la variedad espacio-temporal. La 
geometría de Euclides, aplicada al espacio físico, sólo vale 
como una primera aproximación. Debe ser sustituida por 
la geometría de Riemann, en la que la suma de los ángulos 
de un triángulo es siempre mayor que dos rectos, y en la 
cual, desde un punto exterior a una recta, no puede tra- 
zarse ninguna paralela a la misma. Observamos, a través 
de esta reseña, que los resultados de las teorías que se van 
•sucediendo coinciden, cada vez con mayor aproximación, 
con los datos de la experiencia. Las elipses de Kepler dan 
mejor cuenta de las observaciones que las órbitas circu- 
lares copernicanas, y la aproximación es mayor todavía 
en la mecánica de Newton. En ésta quedaba aún sin ex- 
plicación un pequeño desplazamiento angular, de 42" por 
siglo, que experimenta el perihelio de Mercurio, corri- 
miento del que da cuenta exacta la teoría de la gravitación, 
de Einstein. 

Podemos, pues, decir que los resultados teóricos se 
acercan cada vez más y más a los resultados de las obser- 



16 


EL PROBLEMA DEL MÉTODO 


vaeiones, siendo otra de las características del progreso 
de las teorías científicas la mayor amplitud del dominio 
que abarcan. La teoría de Newton no se limita al movi- 
miento de los planetas: caben en ella las órbitas cometa- 
rias, los sistemas estelares múltiples, la caída de los cuer- 
pos en la superficie de la Tierra, etc., y la teoría de Eins- 
tein, aparte de dar cuenta de todos estos hechos, pudo 
prever la curvatura de los rayos de luz en un campo gra- 
vitacional, y el corrimiento hacia el rojo de las líneas es- 
pectrales provenientes de la luz emitida por ciertas es- 
trellas. 

Pero en lo que no se observa ninguna línea de progreso 
continuo es, justamente, en lo que podríamos llamar la 
imagen del mundo que nos brindan las teorías científicas. 
Si la teoría de Einstein hubiera consistido en el agregado 
de algún término a la fórmula de Newton, o en una peque- 
ña variación del exponente 2 que figura en la misma, ten- 
dríamos siempre la misma imagen. Ambas teorías difieren 
infinitamente poco en los resultados, siendo el marco con- 
ceptual de ambas, en cambio, enteramente distinto. 

De aquí que se considere que la parte imaginativa de 
las teorías físicas sea algo accesorio de las mismas. Una 
teoría sería, fundamentalmente, un edificio lógico, levan- 
tado sobre ciertos postulados y convenciones, apto para 
prever los hechos que ocurren en cierto dominio. Las imá- 
genes que la acompañan hacen las veces de andadores del 
pensamiento, que deben ser abandonados en el momento 
en que aquél se siente lo suficientemente poderoso como 
para poder andar solo. 

La oposición entre realistas y empiristas, frente al sig- 
nificado de las teorías físicas, se manifiesta bien diciendo 
que para los primeros las teorías serían descubiertas, en 
tanto que para los segundos aquéllas serían inventadas. 
El que sean inventadas no quiere decir que sean arbitra- 
rias, pues tampoco es arbitrario el fonógrafo de Édison, 
Pero así como el fonógrafo puede adoptar mil formas di- 
ferentes, grabándose el sonido en cilindros, discos o films, 
pudiendo la púa ser de acero o estar constituida por un 
rayo de luz, así también, teorías formalmente distintas 



LA TEORÍA FÍSICA 


17 


l uteclen dar cuenta de los mismos hechos. Por esta razón, 
Duhem afirma que la teoría física tiene por objeto una 
(■lanificación natural de los hechos, coincidiendo substan- 
dalmente con Mach, para quien el objeto de aquélla sería 
poder describir determinado sector de la Naturaleza con 
la mayor economía posible de pensamiento. 




II 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


La Física y las ciencias naturales. — La experimentación di- 
dáctica. — Los modos de la experimentación. — Las determinacio- 
nes experimentales y los errores de observación. — Los cuestiona- 
rios. — Material experimental 


La Física y las ciencias naturales 

Si se interroga a un bachiller acerca de si la Física 
es una ciencia natural, como lo son, por ejemplo, la Botá- 
nica y la Zoología, se sorprenderá ante la pregunta. Los 
vegetales y los animales que ha visto desfilar a lo largo 
del curso escolar por su mesa de trabajo, en el laboratorio, 
mientras estudiaba aquellas asignaturas, son los mismos 
que encuentra a cada paso, en todas partes. En cambio, 
los experimentos de Física que ha realizado o visto reali- 
zar sólo se parecen a ciertos hechos artificiales de la téc- 
nica. En la mente del alumno, la ley de la palanca, por 
ejemplo, no se presenta como una ley natural, pues la 
palanca que utiliza para su comprobación es una barra 
creada artificialmente, con más o menos esfuerzo. Con la 
esquemática varilla graduada que trabajó en el laborato- 
rio, no tropezará jamás en la vida. En ella encontrará 
teléfonos, dínamos, microscopios, etc., que le recordarán 
que tienen algo que ver con lo que estudió bajo el rótulo 
(le Física. La Física y la técnica se confunden en su men- 
tí!, y si fuera sincero, diría de la Física que es una ciencia 
artificial. 



20 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


Los hechos, tal como se presentan en la Naturaleza, 
son demasiado complicados para que podamos aprehen- 
derlos. De la observación de la caída de las hojas en una 
tarde de otoño, ningún genio hubiera podido deducir las 
leyes de la caída. Por eso el primer paso en la investiga- 
ción científica consiste en la creación del hecho puro, del 
hecho científico, en contraposición con el hecho bruto. La 
impresión de artificiosidad que nace de esta circunstancia 
es inevitable, pero esa impresión se irá borrando a me- 
dida que se avanza en el conocimiento de los fenómenos. 

Debido a esta cicunstancia, algunos autores, y entre 
ellos Rousseau, como lo preconiza en su Emilio, prefieren, 
al comienzo, la experiencia a la experimentación, enten- 
diendo por aquélla los resultados que pueden obtenerse de 
la simple observación de los hechos que acaecen sin arti- 
ficiosidad y sin intervención de nuestra voluntad. Debe- 
mos reconocer, sin embargo, que de esa simple observación 
muy poco es lo que puede obtenerse, como se comprende 
si se reflexiona acerca del proceso del desarrollo científi- 
co. La Astronomía se convirtió en ciencia cuando los hom- 
bres comenzaron a construir aparatos para medir ángulos, 
y de la observación del arco iris nadie pudo deducir que 
la luz blanca era una mezcla de varios colores, lo que logró 
Newton experimentando, casi diríamos jugando, con un 
prisma de vidrio. 


La experimentación didáctica 

Es, pues, incuestionable que la experimentación debe 
constituir la base de la enseñanza de la Física. 

Esta experimentación, ya sea llavada a cabo por el 
alumno mismo, o por grupos de alumnos, o por el profesor, 
tiene características especiales, que la hacen distinta de 
la experimentación que con el mismo objeto realizó en su 
hora el investigador. No es posible pretender se realice 
en cada caso el largo proceso inductivo que condujo al 
sabio a la formulación de una ley, y que muchas veces le 
ocupó la vida entera. Por eso los experimentos realizados 
con fines didácticos tienen siempre el carácter de una ve- 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


21 


liíicación, de una comprobación. Si se prescindiera de 
luda comprobación experimental, lo que se enseñaría no 
sería ciencia, sino dogma. Era dogma y no ciencia lo que 
se enseñaba antes de Galileo, al enseñar física peripaté- 
tica. Los creyentes en esos dogmas, contemporáneos del 
sabio italiano, se negaban a mirar lo que ocurría al pie de 
la torre inclinada, porque ello estaba en contradicción con 
lo afirhiado en los textos sagrados de Aristóteles ; se ne- 
gaban también a mirar a través del anteojo, ya que éste, 
por magia diabólica, mostraba que en el cielo inmutable 
e incorrupto existían muchas más de las 1023 estrellas re- 
conocidas por el Estagirita. 

En la enseñanza no basta con instruir; lo fundamental 
es educar. Y educar, en este caso, es hacer que la perso- 
nalidad del alumno no se sienta absorbida por la del maes- 
tro; que el motivo de la aceptación de las afirmaciones no 
sea la autoridad de éste ni la de los textos escritos; que 
en cada caso adquiera conciencia de que por sí mismo hu- 
biera podido llegar a tales o cuales resultados ; que se sien- 
ta actor y autor frente a los hechos, percibiendo con cla- 
ridad cuál ha sido el camino seguido por sus predecesores ; 
que conserve la. independencia de su mente, y hasta una 
honrada rebeldía intelectual, que hagan que sólo se someta 
a los hechos y a su propio juicio. Que aprenda a utilizar 
sus manos y su mente; que sepa del fracaso aleccionador, 
y que sienta en sí mismo la alegría que proporciona la 
aprehensión del fruto tras un prolongado esfuerzo. 


Los modos de la experimentación 

Dijimos ya que la experimentación didáctica es siem- 
pre, por su naturaleza, una verificación. Pero existen di- 
versas maneras de llevar a cabo ésta. Designaremos estos 
métodos con los nombres de redescubrimiento, semiinduc- 
tivo, comprobación simple y previsión. 

a ) Redescubrimiento. — El alumno no conoce de an- 
temano la ley, que debe descubrir por sí mismo. Con los 
elementos de medida adecuados, consigna en una planilla 



22 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


los datos de sus observaciones, y de esos datos, efectuando 
gráficos y tanteos, llegará, con más o menos esfuerzo, a 
la ley buscada. Con este procedimiento, el alumno aprende 
el método seguido en las investigaciones científicas, se 
acostumbra a superar los inevitables errores de observa- 
ción, y a distinguirlos de los llamados errores groseros. 
Realiza un esfuerzo provechoso, compensado luego por la 
alegría de un buen resultado. Para que este método sea 
realmente educativo, es necesario se dé al alumno el mí- 
nimo de indicaciones posible, por lo cual, dado el tiempo 
que insume, sólo es factible llevarlo a cabo a lo largo del 
curso en contadas oportunidades. 

En mi experiencia personal he observado que los jó- 
venes descubren sin mayor esfuerzo las leyes en que apa- 
recen proporciones directas o inversas simples, no así cuan- 
do las relaciones que vinculan las variables son más com- 
plicadas. En el caso del péndulo, sin mayor esfuerzo lle- 
gan al "descubrimiento” de la ley de la independencia del 
tiempo de oscilación con la masa pendular y con la ampli- 
tud (algunos hasta llegan a observar que cuando la am- 
plitud es grande, el tiempo de oscilación es “un poquito” 
mayor), pero no les es tan fácil llegar a la ley de las lon- 
gitudes. Como aquí hay proporcionalidad entre el cuadra- 
do del tiempo de oscilación y la longitud, conviene indi- 
carles que agreguen en su planilla una columna en que 
consignen el cuadrado de aquellos tiempos, y entonces sí 
descubrirán la proporcionalidad, advirtiendo que el co- 
ciente entre la longitud y el cuadrado del tiempo (o el va- 
lor recíproco) se mantiene constante. 

He aquí, en síntesis, el informe de uno de mis alumnos, 
que realizó en su casa experimentos con péndulos: 

"Comencé por fijar con una chinche un hilo de coser en 
el dintel de una puerta. En el extremo libre del hilo colo- 
qué un ganchito de alambre, con el cual sujeté sucesiva- 
mente un ovillo de lana, un anillo de oro y una bolsita con 
bolitas de vidrio. 

"Utilicé para la medida del tiempo un reloj común, 
provisto de segundero central. Largaba el péndulo cuando 
el segundero estaba en cero, y me fijaba nuevamente en 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


23 


la posición de la aguja cuando se habían cumplido 10 os- 
cilaciones completas. 

“Los resultados fueron los siguientes: 


Masa pendular 

Tiempo de 
10 oscilaciones 

Ovillo de lana 

30 seg 

Anillo 

29 seg 

Bolsita 

30 seg 


“Puse dentro de la bolsita sucesivamente, arroz y len- 
tejas, y observé que el tiempo de oscilación era siempre 
el mismo. 

“En estos experimentos, siempre soltaba el péndulo des- 
pués de haberlo separado unos 20 cm de la posición media. 
Efectué otras medidas, soltando el péndulo con aparta- 
mientos iniciales de 40 y 60 cm, y el tiempo no aumentaba 
por ello. 

“La longitud del hilo hasta el ganchito era de 203 cm, 
y hasta el centro de la bolsita, de unos 206 cm. 

“Acorté el péndulo y efectué, utilizando la bolsita con 
bolitas, las medidas que consigno en el cuadro siguiente, 
en que medí el tiempo de 20 oscilaciones, para que el error 
fuera menor : 


Longitud del 
péndulo 

Tiempo de 
20 oscilaciones 

206 cm 

58 seg 

175 cm 

53 seg 

150 cm 

49 seg 

100 cm 

40 seg 

75 cm 

35 seg 


“Se observa que el tiempo de oscilación disminuye a 
medida que la longitud se hace menor, pero no existe pro- 



24 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


porcionalidad, pues si la longitud se reduce a la mitad, el 
tiempo no llega a reducirse tanto”. 

Hasta aquí el informe del alumno, que, como se ve, 
trabajó con verdadero espíritu de investigador. Para ha- 
ber llegado por sí sólo a la ley de las longitudes, hubiera 
debido trabajar más. Si por azar hubiera experimentado 
con longitudes tales que una fuera cuatro veces mayor que 
la otra, entonces probablemente advirtiera que los tiempos 
estaban en ese caso en la relación de 1 a 2. 


Pero, honradamente, no podemos esperar que una ley 
de esta naturaleza sea descubierta por el alumno sin nin- 
guna ayuda. Recordemos que Kepler trabajó casi diez años 
para descubrir su tercera ley, según la cual los cuadrados 
de los tiempos de revolución de los planetas son propor- 
cionales a los cubos de los ejes mayores de las elipses que 
describen. 

Todo consistía aquí en efectuar una tabla y verificar 

T 1 

que, para todos los planetas, el cociente tenía el mismo 

a 3 

valor. Pero ¡cuántos tanteos debió realizar el ilustre as- 
trónomo antes de alcanzar este resultado ! 

En el caso precedente, la ley queda verificada hallando 


el cociente -- que, por lo ilustrativo que resulta para la 

consideración de los errores de observación, transcribi- 
mos a renglón seguido : 


l 

T 

l 

9 = 

4 n°-l 


T* 

T > 

1 

206 cm 

I | 

58 sg 

cm 

0,06124 

seg- 

967,0 

cm 

seg- 

175 „ 

53 „ 

0.06230 „ 

983,8 

» 

150 „ 

49 „ 

0,06262 „ 

988,8 


100 „ 

40 „ 

0,06249 „ 

986,7 

n 

75 „ 

35 „ 

0,06122 „ 

966,8 

tf 


En la última columna hemos mencionado los valores 
de la aceleración de la gravedad, que se obtienen con las 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


■26 


medidas del alumno, utilizando la fórmula correspondiente. 

Frente a un cuadro de valores como el precedente, los 
alumnos se avienen, al comienzo de muy mala gana, a ad- 
mitir que la ley se ha verificado. Acostumbrados a sus 
cálculos aritméticos, en los que no desprecian ni siquiera 
los centésimos, aunque calculen con millones, están lejos 
de considerar que los valores de la tercera columna, y mu- 
cho menos los de la cuarta, expresan una constancia efec- 
tiva, pues sus diferencias son atribuibles a los inevitables 
errores de observación. De esto nos ocuparemos más ade- 
lante, pero digamos desde ya que, admitiendo que no se ha 
cometido error apreciable en la medida de la longitud, las 
diferencias que se observan en la tercera y cuarta colum- 
nas corresponden, en todos los casos, a un error en la me- 
dida total del tiempo, que no excede del medio segundo. 
Dado los medios empleados, se trata de medidas extraor- 
dinariamente buenas. 

La precedente manera de experimentar, en que el alum- 
no llega por sí mismo al redescubrimiento de la ley, puede 
ser utilizada con provecho en el establecimiento de las 
leyes de equilibrio de las máquinas simples, fuerzas para- 
lelas, principio de Arquímedes, ley de Boyle y Mariotte, 
leyes de la reflexión de la luz, espejos en ángulo, ley de 
( )hm, leyes de la electrólisis, etc. 

Conviene subrayar que este procedimiento, ventajoso 
en muchos aspectos, tiene el inconveniente de que el alum- 
no sabe que está realizando una ficción, y sin una prepa- 
ración ambiental especial, puede ser contraproducente. 

Si se da a un alumno una balanza hidrostática, un vaso 
de derrame y un cuerpo atado con un hilo, y se le dice: 

1) Pese el cuerpo suspendido en el aire; 

2) Pese el cuerpo estando totalmente sumergido en el 
agua ; 

3) Halle la diferencia entre ambas pesadas, diferencia 
que se denomina empuje-, 

4) Llene totalmente con agua, hasta el tubo lateral de 
salida, el vaso de derrame ; 

5) Pese vacío el vaso pequeño ; 



26 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


6) Coloque el vaso pequeño debajo del tubo de salida 
del otro vaso y proceda a introducir cuidadosamen- 
te el cuerpo ; 

7) Pese el vasito pequeño con el agua recogida; 

8) Halle, por diferencia, entre las pesadas 7 y 5, el pe- 
so del agua desalojada por la introducción del cuer- 
po en el vaso de derrame; 

9) ¿Qué observa entre el valor del empuje dado por 3 
y el peso del agua desolajada hallado en 8? 

El alumno que creyera, después de haber efectuado un tra- 
bajo de esta clase y de haber seguido al pie de la letra el 
cuestionario precedente, que ha redescubierto el principio 
de Arquímedes, demostraría ser profundamente inocente. 

El caso es diferente si se dan a los alumnos tres o cua- 
tro cuerpos distintos: de aluminio, hierro, bronce, etc., y 
frascos con dos o tres líquidos diferentes: agua, alcohol, 
agua salada ... y se les dice que tendrán que investigar 
de qué depende la pérdida aparente de peso que experi- 
menta un cuerpo al estar sumergido en un líquido. Ten- 
drán libertad para efectuar las medidas con los cuerpos 
total o parcialmente sumergidos, y habrá que sugerirles, 
naturalmente, que el empuje tiene algo que ver con el peso 
del líquido desalojado en cada caso, para lo cual se les ha 
provisto del vaso de derrame, que ellos tendrán que inge- 
niarse en utilizar. 

Desde luego que tampoco en este caso el “redescubri- 
miento” será auténtico, pues el planteamiento del asunto 
ha sido sugerido por el profesor, y los elementos dados pa- 
ra resolver la cuestión tampoco son obra del alumno. Pero 
éste tendrá que resolver muchas dificultades, y en el curso 
de su “investigación” encontrará que el empuje aumenta 
a medida que sumerge más y más el cuerpo; hallará que 
para el mismo cuerpo totalmente sumergido, el empuje 
es mayor en el agua salada y menor en el alcohol, y si, 
finalmente, al observar su cuaderno de anotaciones, logra 
descubrir que en todos los casos el empuje es igual al peso 
del líquido desalojado, podrá repetir, lleno de satisfacción, 
el clásico grito: “¡Eureka!”. 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


27 


b) Semiinductivo. — Designamos así al procedimien- 
to experimental en el que la ley no se da a conocer de an- 
temano a los alumnos — como en el método del redescu- 
brimiento — , pero en el cual los experimentos son condu- 
cidos de tal manera, que el alumno llega por sí mismo, 
formulándole preguntas adecuadas, al enunciado de la ley. 

Si §e trata de establecer, por ejemplo, la ley de la pa- 
lanca, se harán experimentos sucesivos, de modo que am- 
bos brazos se encuentren entre sí en relación sencilla : de 
L a 1 ; de 1 a 2 ; de 2 a 3, etc., y se establece el equilibrio 
por acoplamiento de pesas iguales, de tal modo que se 
advierta visualmente, y casi en seguida, que la relación 
•entre los pesos colocados a uno y otro lado, es igual a la 
de los brazos opuestos. 

Si se trata dé establecer por este procedimiento la ley 
do las longitudes del péndulo, basta para ello tomar dos 
péndulos cuyas longitudes estén entre sí en relación de 
L a 4. Se observará entonces, lanzándolos juntos, que 
mientras el péndulo corto efectúa dos oscilaciones, el largo 
realiza una sola. Si las longitudes estuvieran en la rela- 
ción de 1 a 9, ó de 4 a 9, los tiempos estarían entre sí en 
relación de 1 a 3, ó de 2 a 3, respectivamente, etc. 

Al comprobar, por este procedimiento, la ley de los es- 
pacios en el movimiento uniformemente acelerado, utili- 
zando el plano inclinado de Galileo regularemos el metró- 
nomo, de tal modo que el cuerpo que ha partido de la di- 
visión cero en el instante cero, al tercer golpe del péndulo 
pase por la novena división. Una vez hecho esto, al efec- 
tuar un nuevo experimento se observará que al marcar el 
metrónomo los tiempos 1, 2, 3, 4, etc., el cuerpo pasa, res- 
pectivamente, por las divisiones 1, 4, 9, 16, etc. 

Este método se presta particularmente para los expe- 
rimentos de cátedra realizados por el mismo profesor, te- 
niendo la ventaja de insumir poco tiempo durante la clase 
misma, si se ha tenido la pecaución de preparar de ante- 
mano el material experimental. 

La desventaja del método consiste en que se produce 
en él un verdadero escamoteo de los errores de observa- 
ción. Los resultados que se obtienen de esta manera son 



28 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


siempre demasiado exactos. En el ejemplo que pusimos 
más arriba, de la palanca, si la relación entre los brazos 
de la misma es de 2 a 3, logramos efectivamente el equili- 
brio colocando de un lado tres pesas de 100 gramos cada 
una, por ejemplo, y del otro dos pesas iguales a las ante- 
riores. Pero el equilibrio también se logra, en los dispo- 
sitivos utilizados corrientemente, con dos o tres gramos de 
más o de menos en cualquiera de las dos partes. 

En el caso del péndulo, tampoco lograremos exacta- 
mente que los tiempos de oscilación estén en la relación de 
1 a 2 cuando las longitudes, de acuerdo a nuestras medi- 
das, están en relación de 1 a 4. Si en lugar de detener los 
péndulos, una vez que el corto efectuó dos oscilaciones y 
el largo una, los dejamos que sigan oscilando, tendríamos 
que haber tenido mucha suerte para poder observar una 
nueva coincidencia al cabo de veinte oscilaciones de uno 
y diez del otro. 

La posibilidad de obtener por este procedimiento re- 
sutlados exactos estriba, justamente, en la inevitabilidad 
de los errores de observación. Se efectúan las verificacio- 
nes para ciertas medidas, que en determinada unidad pue- 
den ser expresadas aproximadamente por números enteros, 
y se desprecia la parte decimal. Si el tiempo de oscilación 
del péndulo largo con respecto al corto es de 2,05 ó de 1,95, 
se efectúa la medida con el error necesario para poder ex- 
presar ese tiempo por el número 2. En esto consiste, fun- 
damentalmente, la verificación “exacta” que se logra por 
este procedimiento. 

c) Comprobación simple. — En este método se miden 
directamente las magnitudes que intervienen en la ley cuya 
comprobación se busca, sin elegir de antemano valores 
particulares para dichas magnitudes. Si se trata de veri- 
ficar por este procedimiento la ley de la palanca, y se 
dispone de una regla suspendida de su punto medio, se 
procede a colgar en cualquier parte de la misma, de uno y 
otro lado, sendos platillos, estableciendo el equilibrio me- 
diante municiones, lo que harán, naturalmente, los pro- 
pios alumnos, así como las medidas de los brazos y las pe- 
sadas correspondientes. 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


29 


Supongamos qup un grupo de alumnos haya obtenido 
ol siguiente resultado: 


Fi 

lx 

F, 

k 

345 gr 

35,5 cm 

282 gr 

43,2 cm 


Si los alumnos no han sido instruidos previamente en 
lo que concierne a los errores de observación, y efectúan 
las multiplicaciones sin utilizar la regla de cálculo ni la 
tabla de logaritmos, obtendrán: 

í’i l, = 12243,5 gr X cm; F., U = 12182,4 gr X cm, 

lo que tal vez los induzca a pensar que han operado mal o 
que han cometido, al efectuar las medidas, algún grave 
error. Pero el propio alumno admitirá bien pronto que en 
las pesadas pudo haber cometido un error de medio gra- 
mo, ya que la pesa más pequeña de que disponía era de 
1 gramo. En la medida de los brazos pudo haber come- 
tido también, en más o en menos, un error de 1 mm, por 
lo cual convendría que expresara sus medidas en la for- 
ma siguiente: 

F, = 345 gr ± 0,5 gr ; Z, = 35,5 cm ± 0,1 cm 
F-. = 282 gr ± 0,5 gr; l, = 43,2 cm ± 0,1 cm. 

Se convencerá entonces, por sí mismo, que el producto 
F, / [ podrá estar comprendido entre los valores siguientes: 

_ j 344,5 gr X 35,4 cm = 12195,30 gr X cm 
' 1 1 = l 345,5 gr X 35,6 cm = 12299,80 gr X cm, 

y análogamente: 

r 281,5 gr X 43,1 cm = 12132,65 gr X cm 
b - 2 ^ 1 282,5 gr X 43,3 cm = 12232,25 gr X cm, 



30 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


en que el primer valor de F x l x resulta ser ahora menor 
que el segundo producto: F 2 l 2 . 

En un caso como el presente, debe hacerse notar que no 
tiene sentido escribir el producto con seis cifras, cuando 
de ellas, escasamente se pueden garantizar .tres. 

En el caso precedente, escribiendo los resultados con 
sólo cuatro cifras significativas (una más de las que figu- 
ran en los datos resultados de las medidas), se hubiera 
obtenido : 


F x l x = 12240 gr X cm = 122,4 gr X m 
F 2 1 2 = 12180 gr X cm = 121,8 gr X m 

advirtiéndose en seguida que la igualdad de ambos pro- 
ductos se verifica con un error de sólo 6 en 1200, ó sea 
de i/ 2 %. 

El método de comprobación simple tiene la ventaja de 
que, por el hecho de ser elegidos los datos al azar, bastan 
una o dos comprobaciones, a lo sumo, para llevar al alum- 
no al convencimiento de que la ley en cuestión se verifica 
realmente. Este método es recomendable especialmente 
para aquellas leyes que han sido deducidas teóricamente, a 
partir de otras ya establecidas, sobre todo si se le comple- 
menta con el método que hemos denominado de previsión, 
y que estudiamos a continuación. 

d) Previsión. — Este método es el más espectacular, 
y utilizado con arte, produce en los alumnos intensa emo- 
ción. Muestra, además, en forma explícita, que el poder 
de la ciencia radica en su facultad de previsión. 

Si se trata, por ejemplo, de uáa palanca en equilibrio, 
de la medida de F x , l x y l 2 deducimos el valor de F 2 . Su- 
pongamos que el cálculo arroja que F 2 debe ser igual a 
185 gramos. Si hemos efectuado las medidas cuidadosa- 
mente, podemos colocar de antemano, en uno de los pla- 
tillos de la balanza, pesas por valor de 185 gramos, y ase- 
gurar que colocando en el otro platillo la carga que actua- 
ba sobre la palanca, la balanza estará en equilibrio. Aun 
cuando el error fuera de 1 gramo en más o en menos, no 



LOS MODOS DE LA EXPERIMENTACIÓN 


31 


por olio pierde su efecto un experimento llevado a cabo 
de esta manea. Claro está que el efecto psicológico será 
lanío mayor cuanto más exacto sea el resultado obtenido. 
Si lo que se busca es producir aquel efecto — el profesor 
<lobe saber ser también actor — , como él depende del error 
absoluto y no del relativo, conviene elegir, para verificar 
la previsión, la magnitud menor. Si presumimos, por 
ejemplo, que nuestra previsión estará dentro del l /¿ %, 
ello implicará, en el ejemplo precedente, un error de 1 
gramo en una carga de 200 g, y un error de 5 g en una 
carga de 1000 g. Parecerá más exacto, sin embargo, si el 
error es de sólo 1 g. 

También se puede calcular el valor de una de las car- 
gas, y observar que, colocando en el lugar previsto de la 
palanca la carga calculada, se produce el equilibrio. En 
lodos les casos de equilibrio, este procedimiento es muy 
adecuado, convirtiéndose el rozamiento en un aliado del 
experimentador. Si se trata de un plano inclinado, de 
.‘10 cm de alto y 57 cm de longitud, una resistencia de 570 
gramos se equilibrará con una potencia de 300 gramos, 
y tendríamos que haber cometido algún error grosero en 
las medidas para que, una vez colocadas las pesas en los 
lugares respectivos, el equilibrio no se produjera, puesto 
que debido al rozamiento, los 570 gramos se equilibrarían, 
en el caso precedente, y con los dispositivos habitualmente 
en uso, por una carga que podría variar entre 280 y 320 
gramos, aproximadamente. 

Los errores gruesos que los alumnos suelen cometer en 
estos casos, consisten en que, por distracción, omiten tener 
en cuenta el peso del carro o del platillo, o en que estando 
en el presente caso el plano constituido por una tabla 
gruesa, miden la altura a partir de un punto de la parte 
inferior de la tabla, y la longitud a partir de otro punto 
del borde superior, sin llevar la medida hasta el plano 
horizontal que sirvió de origen a la primera medida. En 
términos más breves: no cierran el triángulo. 

Puede prescindirse, en todos los experimentos de equi- 
librio, del peso de los platillos, reglas y carros que inter- 
vengan en los dispositivos, si se tiene la precaución de 
equilibrar en cada caso, con municiones u otra tara cual- 



82 


I.A EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


quiera, el sistema descargado. Así, por ejemplo, en el caso 
del plano inclinado, para una longitud y una altura deter- 
minada, se equilibrará el peso del carro sin carga con 
munciones colocadas en el platillo de la potencia, y enton- 
ces sí podrá procederse como si el carro y el platillo no 
pesaran nada. Pero si se efectúa un segundo experimento 
variando la relación entre la altura y la longitud, habrá 
que equilibrar nuevamente el dispositivo, quitando o agre- 
gando municiones. 

De la misma manera se experimenta con el dispositivo 
empleado habitualmente para trabajar con fuerzas para- 
lelas, pues de lo contrario habría que tener en cuenta el 
peso de la regla, con lo cual el asunto se complica sin nin- 
gún provecho. 

En el caso de un sistema de poleas móviles, casi diría- 
mos que es indispensable, didácticamente, equilibrar pre- 
viamente el sistema descargado, pues de no hacerlo así, 
llamando p al peso de cada polea y Q a la resistencia, si se 
suponen tres poleas asociadas en serie, la potencia P ha- 
bría que calcularla por medio de la fórmula: 


P = 


Q 

8 


V_ , V_ V_ 

8 ' 4 2 


= Ü- + 
8 ^ 


7 

' 8 ' 


En la vida práctica, el peso de las poleas resulta siem- 
pre despreciable frente a la carga que se quiere levantar, 
pero en el laboratorio puede no suceder eso. Si cada polea 
pesa 80 gramos, la corrección a introducir sería de 70 
gramos, y una resistencia de 400 gramos se equilibrará, 
no con 50 gramos, sino con 120. 

Claro está que si tenemos la precaución de equilibrar 
previamente el sistema, sin carga, podremos asegurar que 
50 gramos colocados en un platillo equilibrarán a 400 co- 
locados en el otro. Como es natural, estas precauciones de- 
ben tenerse en cuenta en todos los casos, cualquiera sea el 
método que se siga en la experimentación. 

Para finalizar con el procedimiento que estamos estu- 
diando en este apartado, digamos que no hay capítulo de 
la Física en que no se lo pueda aplicar con utilidad. Con 



LAS DETERMINACIONES EXPERIMENTALES 


33 


<•1 podrán los alumnos, con sólo un reloj, calcular la lon- 
K ¡ tnd de un péndulo, prever de antemano en qué posición 
deberán colocar una pantalla para recoger en ella la ima- 
gen nítida del filamento de una lámpara dada por un es- 
pejo, un lente o un sistema de lentes; decir de antemano 
cuánto indicará un amperímetro si se efectúa tal o cual 
conexión, etc. 

.Se trata, en todos los casos, de la resolución de un pro- 
blema sobre cuya solución es la Naturaleza misma la que 
lince de juez inapelable. 


Las determinaciones experimentales y los 
errores de observación 

En lo que precede nos hemos ocupado fundamental- 
mente de la manera de establecer o comprobar' las leyes 
que rigen los fenómenos físicos. Vimos entonces la enorme 
importancia que tiene que el alumno se forme una idea 
clara acerca del monto y la inevitabilidad de los errores 
de observación. El mejor procedimiento para alcanzar este 
resultado es hacer que desde el comienzo el alumno efectúe 
por sí mismo determinaciones sencillas de áreas, volúme- 
nes y densidades. 

Si se le propone que determine el área de una hoja 
triangular de metal, o, simplemente, de un triángulo cual- 
quiera que ha dibujado previamente, encontrará, adoptan- 
do sucesivamente por base del triángulo cada uno de los 
lados, que los tres resultados obtenidos no son exacta- 
mente iguales. Él mismo podrá apreciar si la exactitud de 
sus medidas alcanza al milímetro, al medio milímetro o al' 
cuarto de milímetro, y se dará cuenta que si la altura es 
de 100 mm, un error de A mm en la medida de la base 
conduce a un error de 25 mm- en el área. No se trata, 
aquí, de que el alumno diga: “el área es tanto”, sino de 
que afirme: el área debe estar comprendida entre tales y 
tales valores. Se le enseñará entonces a anotar sus resul- 
t ados con sólo una cifra significativa más de las que puede 
asegurar, escribiendo ceros en los lugares restantes. Si 



34 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


una de las bases del triángulo del ejemplo mide 102,5 mm, 
y la altura correspondiente 87,5 mm, pronto descubrirá el 
propio alumno que no tiene sentido expresar el área así: 

A = 4484,375 mm 2 , 

siendo más que suficiente la expresión : 

A = 4480 mm 2 . 


El reemplazar las cifras no significativas por ceros proviene de 
una convención no formulada explícitamente, pero que se ha difun- 
dido al generalizarse el uso de las tablas de logaritmos. 

Tanto es así que es frecuente observar en las memorias de al- 
gunos clásicos científicos la expresión de un resultado con 6, 7 ó 
más cifras significativas, cuando por la precisión empleada hubiera 
sido suficiente consignar sólo 2 ó 3. Así, por ejemplo, en la célebre 
memoria sobre el calor, de Lavoisier y Laplace, del año 1780, des- 
pués de expresar que la precisión del método empleado por ellos 
para determinar calores específicos es de 1 a 40, y algunas veces 
hasta de 1 a 60 (aproximadamente un 2 % de error) , dan una tabla 
de los calores específicos así hallados, con seis cifras significativas. 
El calor específico del “hierro batido” consignado por ellos es: 

C = 0,109985 


valor que hoy se escribiría: 


C = 0,110. 

Cuando los alumnos efectúen sus determinaciones, con- 
viene habituarlos desde el principio a que tengan en cuenta 
el error relativo de cada una de las medidas que efectúan. 
Así, por ejemplo, si deben determinar el volumen de un 
alambre cilindrico de unos 5 m de longitud y unos 2 mm 
de diámetro, y se obtiene para la medida de éste, con un 
tomillo micrométrico : 


d = 1,97 mm, 

apreciándose que el error cometido puede ser de 2 ó 3 cen- 
tésimos de milímetro, o sea del 1 .%, sería absurdo medir 
la longitud hasta el milímetro, y consignar para ella un 
resultado tal como este: 



LAS DETERMINACIONES EXPERIMENTALES 


36 


l = 4973 mm. 

En este caso, bastará, al medir la longitud, con que no se 
cometa un error superior a los 5 cm. 

Si se trata de una medida calorimétrica en la que se 
usa un termómetro dividido de grado en grado, y en el 
que se aprecian "a ojo” los décimos de grado, si la eleva- 
ción de temperatura es de 8 ó 10 grados, el error no podrá 
ser menor del 2 ó 3 ,%, por lo cual es inútil preocuparse 
por la exactitud de las pesadas, en las cuales no importará 
cometer un error de 4 ó 5 gramos en una pesada de 500 
Riamos. 

Al verificar la ley de Boy le y Mariotte con el disposi- 
tivo corriente, del tubo en Ü, debemos extremar las pre- 
cauciones para medir el nivel del mercurio en la rama 
corta, pues en general importa más 1 mm de error come- 
tido en la lectura del nivel del mercurio en aquella rama, 
que un error de 1 cm cometido en la lectura del otro nivel. 

Esto debe tenerse muy en cuenta cuando se desea efec- 
tuar una verificación rápida de la ley por el método que 
liemos llamado de previsión. Supongamos, por ejemplo, 
<pic después de echar mercurio por la rama larga el nivel 
del mercurio en la corta, medido por la regla graduada del 
aparato, es de 4 cm, y en la larga, de 6 cm. Si la rama 
corta alcanza hasta los 24 cm, tendremos encerrado un 
volumen de aire medido por 20 cm (altura de un cilindro 
de sección constante) y a la presión de 78 cm de mer- 
curio, si suponemos que en ese momento la presión atmos- 
férica es de 76 cm. Cuando en la rama corta el nivel 
llegue a los 14 cm, el volumen se habrá reducido a la mi- 
tad (24 — 14 = 10), y la presión tendrá que ser el doble 
(78 X 2 = 156), o sea de 156 cm de mercurio. Como 
ir>6 — 76 = 80, el nivel en la rama larga tendrá que ser 
igual a 94 cm (80 + 14 = 94), de tal modo que la previ- 
sión que podemos efectuar, basándonos en el conocimiento 
de la ley, es que, cuando el nivel del mercurio alcance en 
la rama corta la división 14, llegará en la larga a la divi- 
sión 94. Podremos entonces proceder de dos modos dife- 
rentes: ir echando mercurio poco a poco, fijándonos en 



36 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


el nivel que alcanza en la rama corta, y dejar de echar 
cuando nos parezca que ha llegado a la división 14. Pro- 
cediendo así, nuestra previsión se cumplirá bastante mal, 
pudiendo diferir el nivel observado del previsto en varios 
centímetros. Si, inversamente, echamos el mercurio hasta 
que en la rama larga se alcance la división 94, observa- 
remos que el nivel en la corta difiere del previsto en for- 
ma inapreciable. En el. cuadrito que sigue consignamos 
los niveles que debe alcanzar el mercurio en ambas ramas 
en las proximidades del punto considerado: 


Rama corta 

Rama larga 

13,8 

90,8 

14,0 

94,0 

14,2 

97,4 


Se ve que a una variación de sólo 2 mm en la rama corta 
corresponde una variación de más de 3 cm en la larga, 
por lo cual el error fundamental que se comete en estas 
determinaciones se refiere al volumen y no a la presión. 

Si se trata de determinar constantes conocidas, por 
ejemplo la aceleración de la gravedad por medio del pén- 
dulo, debe evitarse que los alumnos deformen los resulta- 
dos de sus medidas para llegar al resultado “exacto”. Si 
quedan desconformes obteniendo para g 960 cm/seg 2 , en 
lugar de 980 cm/seg-, lo que implica un error de un 2 %, 
mejor será que analicen la causa de ese error, que puede 
provenir de un error en la medida del tiempo, de sólo un 
1 %, ya que el tiempo figura en la fórmula al cuadrado. 
Verán entonces que el error relativo disminuye si, en lu- 
gar de medir el tiempo de 20 ó 30 oscilaciones, miden el 
tiempo transcurrido durante 100 ó 200. 


Los cuestionarios 

Para facilitar los trabajos efectuados por los alumnos, 
individualmente o por grupos, es frecuente entregarles 
una hoja escrita, con las instrucciones que se consideran 



I,OS CUESTIONARIOS 


37 


necesarias. A estas instrucciones se les da, por extensión, 
el nombre de cuestionarios. Cuando éstos se limitan a in- 
dicar lo fundamental, dejando libertad al alumno para 
que encare a su manera el asunto, el cuestionario es útil, 
pero en este caso puede ser sustituido por una breve ex- 
plicación oral del profesor. Esto último no es posible cuan- 
do cada grupo de alumnos trabaja sobre temas diferentes, 
por carecerse en el laboratorio de equipos repetidos de 
instrumental para todo el alumnado. Siendo así, cada tra- 
bajo debe ir acompañado de un cuestionario que, a nues- 
tra manera de ver, debe comenzar por indicar claramente 
el objeto de los experimentos que se van a efectuar. Aun 
.cu el caso de que se pretenda que el alumno llegue por sí 
mismo, aplicando un método puramente inductivo, a de- 
terminada ley o a determinado resultado, debe tener de 
antemano. alguna idea acerca de lo que va a hacer, pues 
ningún investigador emprende un trabajo sin tener pre- 
viamente una idea clara de lo que busca. 

Un cuestionario que indique paso a paso lo que el alum- 
no debe hacer, convirtiéndolo en un semiautómata, hace 
que el trabajo realizado pierda gran parte de su valor 
educativo. Un ejemplo de cuestionario “tipo brete” lo he- 
mos dado en la página 25, al ocuparnos de los métodos 
de experimentación. Utilizando esta clase de cuestionarios, 
es verdad que se logra en las clases prácticas un orden 
casi perfecto, pues los alumnos tienen poco o nada que 
preguntar, pudiendo calcularse el tiempo de tal modo que, 
al final de la clase, todos los alumnos hayan terminado 
con todas las cuestiones propuestas. El inconveniente está 
en que, a pesar de haber trabajado mucho y bien, han pen- 
sado poco. 

En resumen, nos inclinamos por las explicaciones ora- 
les del profesor o de sus auxiliares, y en caso de utilizar 
cuestionarios, preferimos aquellos que siendo explícitos y 
claros al señalar el objeto de la experimentación, no lo 
sean tanto en cuanto al procedimiento que se ha de se- 
guir en la misma. 



38 


LA Experimentación en la enseñanza 


Material experimental 

Existen en nuestro país algunos colegios privilegiados 
que poseen un laboratorio de Física con un rico instru- 
mental y un taller anexo con personal experto, capaz de 
efectuar las reparaciones necesarias y de construir tam- 
bién nuevos dispositivos. 

Entre ellos, y en primer lugar, se cuenta el Labora- 
torio de Física del Colegio Nacional de la Universidad de 
La Plata. El laboratorio cuenta con dos aulas, cada una 
de ellas con nueve mesas, dispuestas en forma de anfi- 
teatro, en tres filas de a tres. En cada mesa se ubican 
cómodamente cuatro alumnos, mirando todos ellos hacia 
el frente del aula, lo que hace que conserven la misma 
ubicación en las clases teóricas y prácticas. 

Cada mesa está provista de un doble mechero de gas 
y de un tomacorriente, que puede ser alimentado indistin- 
tamente con la batería de acumuladores instalada en el 
subsuelo (pudiendo variar el voltaje de 2 en 2, hasta 30 
voltios), o con la corriente continua o alternada de la red 
de alumbrado, teniendo además un travesaño de aitura 
variable, apropiado para la suspensión de péndulos, resor- 
tes, etc. 

En cada experimento que efectúan los alumnos, se pro- 
cura tener en condiciones nueve dispositivos, para que, 
por lo menos, haya uno en cada mesa. Así, por ejemplo, 
en lo que se refiere a electroestática, cada grupo de cua- 
tro alumnos dispone de un péndulo eléctrico, barras de 
lacre, vidrio y ebonita, un electroscopio de hojas de oro, 
un electróforo de Volta, etc., todo lo cual se introduce en 
una caja de madera con divisiones, que se coloca debajo 
de cada mesa, provista en su interior de una lamparilla 
eléctrica, para el secado previo del material, tan indispen- 
sable en nuestro medio, dada la humedad del clima. 

Se debe contar con suficiente material como para que 
los alumnos puedan efectuar por sí mismos experimentos 
relativos a todos los tópicos tratados a lo largo del curso 
escolar. 



MATERIAL EXPERIMENTAL 


39 


Pero la mayoría de nuestros colegios no se encuentran 
on ese caso, y se tropieza con grandes dificultades en la 
realización de los trabajos prácticos. Entre los métodos 
que se han ensayado para superarlas mencionaremos, en 
primer término, el de la experimentación cíclica. 

De acuerdo con este método, el grupo de alumnos que 
hoy trabaja, digamos, en la comprobación del principio 
<le Arquimedes, se ocupará en la clase siguiente del pén- 
dulo, en la subsiguiente de fuerzas paralelas, o de calori- 
metría, etc. 

La falta de paralelismo entre las clases teóricas y las 
prácticas, y el salto mental que debe efectuar el alumno 
al ir realizando sus trabajos sin ningún orden son un 
grave inconveniente. Además, si los trabajos se efectúan 
al comenzar el curso, les falta a los alumnos la indispen- 
sable preparación y hasta el vocabulario para interpretar 
y expresar los resultados de sus experimentos. Si, por el 
contrario, se reserva para las clases finales la ejecución 
de los trabajos, el estímulo que supone el enfrentarse con 
algo nuevo ha desaparecido. 

La realización cíclica es aceptable únicamente en los 
cursos universitarios. En la enseñanza media sólo se ob- 
tienen buenos resultados con ese método, reduciendo cada 
ciclo de trabajos a trabajos afines. Así, por ejemplo, tra- 
tándose de estática, un ciclo podría estar constituido por 
fuerzas concurrentes, fuerzas paralelas y palanca, para lo 
cual, dado el número habitual de alumnos que están a 
cargo de un profesor, deberá disponerse como mínimo de 
fres dispositivos iguales para cada tópico. De este modo, 
en tres clases sucesivas todos los alumnos del curso habrán 
realizado los tres trabajos. 

Otra alternativa que da muy buenos resultados es ha- 
cor que los experimentos de cátedra sean realizados por 
grupos sucesivos, de dos o tres alumnos. En algunos casos 
puede intervenir en la ejecución de las medidas la casi 
totalidad del alumnado. Si se trata de representar gráfi- 
camente la presión de un gas en función de su volumen, 
cada punto de la curva, o sea cada par de medidas, puede 
sor efectuado por alumnos distintos, lográndose de ese 



40 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


modo que toda la clase permanezca atenta y activa, ya 
que mientras unos efectúan las mediciones, los otros com- 
pletan sus planillas, efectuando los cálculos correspondien- 
tes. La comprobación de la ley resulta así hecha por toda 
la clase. 

En forma análoga puede procederse al realizar cual- 
quier otro experimento, siendo también recomendable, en 
muchos casos, que no se limiten los alumnos a efectuar 
las medidas, sino que también preparen el dispositivo 
que se va a emplear. Es preferible perder algo de tiempo 
y hacer, por ejemplo, que ellos mismos efectúen las cone- 
xiones eléctricas de un circuito, guiándose por un esquema 
diseñado en el encerado; que con sus propias manos ins- 
talen el prisma y busquen la posición de desviación mí- 
nima; que regulen el metrónomo en los experimentos que 
lo requieran, y cuando no haya metrónomo, que acorten o 
alarguen un péndulo que hará las veces de tal, máxime si 
se encarga a uno de ellos que dé un “top” al cumplirse 
cada oscilación. 

Si el laboratorio es muy pobre, se encargará a los alum- 
nos que confeccionen en sus casas los dispositivos más 
necesarios. Es extraordinaria la habilidad, el ingenio y el 
entusiasmo con que muchos de ellos realizan esos trabajos. 
Algunos son extremadamente minuciosos, y no quedan 
conformes hasta que el aparato parezca que ha salido de 
las manos de un artesano consumado, cuidando todos los 
detalles estéticos; otros ponen su interés sólo en la parte 
funcional, y aunque el dispositivo resulta rústico y a ve- 
ces grotesco, se pueden efectuar con él medidas lo sufi- 
cientemente precisas. 

Aparte de esto, para la realización de muchos e inte- 
resantes experimentos no se necesita disponer de aparatos 
especiales. Un fotómetro puede ser realizado con sólo co- 
locar una tiza verticalmente sobre la mesa y recoger las 
sombras que las fuentes luminosas proyectan sobre una 
hoja de cuaderno; con un lente convergente cualquiera, 
no hace falta banco óptico alguno para comprobar con 
precisión la fórmula de los focos conjugados: basta una 
lámpara y una pantalla, cuyo soporte móvil es el propio 



MATERIAL EXPERIMENTAL 


41 


experimentador; con un prisma ya se tiene un espectros- 
copio, con sólo colocarlo delante del ojo y observar a su 
través una rendija practicada en una tarjeta, iluminada 
por una lámpara de filamento o por el sol. 

Si se observa de ese modo un tubo Geissler, se perci- 
birá un hermoso espectro de líneas. Resulta más intere- 
sante observar la polarización de la luz utilizando el vi- 
drio de «una puerta como polarizador y el vidrio de un 
cubrerretrato como analizador, que empleando aparatos 
especiales. 

Para experimentos de magnetismo y electricidad, gran 
liarte de lo necesario puede obtenerse por poco precio en 
los llamados “cementerios de automóviles”, y con activi- 
dad y entusiasmo puede lograrse en poco tiempo convertir 
al más pobre de los laboratorios en un centro de actividad 
que podrá cumplir discretamente con su misión. 

Claro está que será siempre difícil improvisar una má- 
quina neumática o pretender efectuar el experimento de 
Torricelli sin mercurio. En estos casos, debe recurrirse a 
los “experimentos de tiza y encerado”, que en mayor o 
menor grado se han de utilizar siempre, pues nunca el 
material experimental didáctico será tan rico como para 
que cada alumno disponga para sí, por ejemplo, de un 
ciclotrón. 

No se trata, pues, de que el alumno realice por sí mis- 
mo o vea realizar todos los experimentos que se mencionen. 
La vida es demasiado breve para que podamos permitirnos 
ol lujo de ser desconfiados hasta el punto de dudar de la 
redondez de la Tierra si no efectuamos, nosotros mismos, 
un viaje de circunnavegación. Tampoco tenemos derecho a 
poner en duda que la velocidad de la luz es de 300 000 
km/seg por el hecho de que no la hayamos medido perso- 
nalmente. De lo que se trata es de que el alumno se inte- 
riorice del método que sigue la ciencia en sus determina- 
ciones, y para ello, lo necesario es que él mismo efectúe 
algunas de ellas. La selección de éstas dependerá del ma- 
terial de que se disponga, así como también la manera de 
efectuarlas — por grupos o individualmente-—, pero en 
el fondo, en todas partes puede seguirse el mismo método, 



42 


LA EXPERIMENTACIÓN EN LA ENSEÑANZA 


con una circunstancia favorable para los alumnos de los 
colegios cuyos laboratorios estén menos provistos, ya que, 
guiados convenientemente, podrán tener la enorme satis- 
facción- de experimentar con instrumentos construidos por 
ellos mismos, que serán además útiles para sus compañeros. 



III 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


El vocabulario científico. — Definiciones enunciativas e indica- 
tivas. — Espacio. — Tiempo. — Reloj patrón. — Magnitudes sen- 
sorio. genéticas. — Temperatura. — Definiciones indicativas de mag- 
nitudes no sensoriogenéticas. — Magnitudes derivadas. 


El vocabulario científico 

Los hechos particulares pertenecientes al dominio de 
una ciencia presentan entre sí ciertas analogías y ciertas 
diferencias por las cuales pueden ser clasificados. Esta 
clasificación se lleva a cabo por medio de conceptos que 
se expresan por palabras, grupos de palabras o símbolos. 
De este modo se crea el lenguaje científico, que, como el 
corriente, se encuentra en constante evolución. El apren- 
dizaje de una ciencia consiste, fundamentalmente, en el 
aprendizaje de su propio lenguaje y, por consiguiente, en 
la comprensión y el sentido de su vocabulario específico. 
Este vocabulario ha sido tomado en gran parte del voca- 
bulario corriente, luego de haber precisado y limitado el 
sentido de cada palabra. 

Todo el mundo conoce la acepción que, en la vida dia- 
ria, se da a las palabras “impulso”, “trabajo”, “acción”, 
pero no todo el mundo sabe lo que en mecánica debe en- 
tenderse por tales términos. La sola comprensión del sen- 
tido preciso de una palabra del lenguaje científico implica 
un conocimiento cuya importancia no es nada desprecia- 
ble. Cuando enseñamos qué es lo que debe entenderse por 



44 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


la palabra fusión , estamos clasificando en el mismo grupo 
hechos, tan diversos como son la obtención del plomo o del 
estaño “derretido”, con la transformación común — pero 
no por eso menos asombrosa — del hielo en agua. De este 
modo, hechos extraños y distantes entre sí aparecen li- 
gados en nuestro espíritu por la red sutil de un concepto, 
que se expresa, en este caso, por un solo vocablo. 

El proceso mental que permite crear el vocabulario 
científico es el mismo que se emplea en la formación del 
vocabulario corriente. Con la palabra “animal”, un niño 
designa indistintamente a un perro, a un gato, o a una 
araña, lo que supone un complicado proceso de abstrac- 
ción, consistente en prescindir de todas aquellas cualidades 
particulares de los objetos que designa con el mismo nom- 
bre. En el concepto que se traduce por la palabra animal, 
no aparece el tamaño, ni el color, ni la forma de éste u 
aquél; pero éste y aquél, y aquel otro, caben igualmente, 
por decirlo así, en el mismo casillero de nuestro espíritu. 
No existe ninguna diferencia esencial en el proceso que 
sigue la mente de un niño al afirmar: “este perro es gran- 
de y peludo” y el proceso que permite al técnico decir: 

kgr 

“este acero tiene un módulo de Young de 20 000 — 

mm- 

y funde a 1400°C”. Se trata, en ambos casos, de una cla- 
sificación hecha utilizando conceptos más o menos vagos 
o más o menos precisos. 

La adjetivación científica es más rica que la adjetiva- 
ción vulgar, pues en aquélla aparecen los números, resul- 
tados de las medidas, que permiten hacer que la cantidad 
de casilleros destinados a la clasificación sea ilimitada. 
Las palabras bajo, alto y mediano se convierten en una 
escala continua de valores con el concepto de estatura, así 
como los vocablos frío, tibio y caliente pierden su vague- 
dad después de haber aprendido a asociar un número a 
cada estado térmico. Por esta razón, aprender a medir es 
también, un poco, aprender a hablar. Cuando de niños 
aprendimos a contar, enriquecimos con ello nuestro voca- 
bulario, ya que, en última instancia, cada número natural 
no es más que el nombre con que designamos a los con- 
juntos de objetos que tienen la propiedad de ser coordi- 



DEFINICIONES ENUNCIATIVAS S INDICATIVAS 45 

nubles entre sí, prescindiendo o haciendo abstracción de 
cualquier otra cualidad. 

Es particularmente importante que el profesor tenga 
conciencia plena, en cada momento, acerca del vocabula- 
rio que poseen sus alumnos. La falta de comprensión por 
parte de ellos es, en muchos casos, debida a lo precario 
de sil vocabulario, tanto del científico como del corriente. 

Para qpe el vocabulario del alumno se vaya enrique- 
ciendo paulatinamente, no basta con darle, de cada tér- 
mino, su definición, ni basta tampoco con que sepa repe- 
tir al pie de la letra la definición dada. Es necesario, 
adeiñás, que después de haber captado su sentido, lo in- 
corpore a su vocabulario familiar, pudiéndolo aplicar con 
•entera propiedad. 

Para esto, lo mismo que en el aprendizaje de una len- 
gua extraña, tendrá que habituar, por ejercicios repetidos, 
su oído, su garganta y su mente al nuevo término. 


Definiciones enunciativas e indicativas 

Definir un concepto es dar su significado. Si el con- 
cepto se expresa por una palabra, daremos el sentido de 
ésta utilizando otras palabras. Se tiene, de este modo, lo 
que puede llamarse una definición verbal o enunciativa. 
Pero para que la definición sea completa, es necesario que 
podamos definir, a su vez, cada una de las palabras que 
han intervenido en la primera definición. Continuando 
con este proceso, parecería que es absolutamente imposi- 
ble dar una definición completa de ningún concepto, pues 
llegamos a un punto en que las palabras que empleamos 
no pueden ser definidas en forma verbal. Se llega así a 
lo que los lógicos llaman indefinibles o conceptos primi- 
tivos. 

Si la ciencia opera con conceptos, y éstos, en última 
instancia, resultan ser combinaciones de otros conceptos 
de los cuales no sabemos decir qué son, parece despren- 
derse de aquí que todo el imponente edificio científico se 
apoya en el movedizo suelo de la metafísica, en forma 
análoga a un témpano que flota en el océano. 



46 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


Pero esta impresión, por lo menos en lo que a las de- 
finiciones atañe, es injustificada. Que ciertos conceptos 
no puedan ser definidos verbalmente, no quiere decir que 
no puedan ser definidos de alguna otra manera. Para com- 
prender de qué otro modo que no sea el puramente verbal 
pueden ser definidos ciertos conceptos, basta con analizar 
la manera con que muchos de ellos han sido aprehendidos 
por nosotros al aprender a hablar. El niño no llega al 
concepto que expresa con la palabra “perro” a partir de 
una definición del tipo: “perro es un animal cuadrúpedo, 
mamífero, etc.”, sino que llega a él a través de indicaciones 
tales como : “esto es un perro, aquello es un perro, y aque- 
llo otro, es también un perro . . . ”. Y los perros están real- 
mente allí, con sus características particulares diferentes, 
pero con algo común a todos ellos, que nos permitirá decir 
mañana, al percibir en nuestro campo visual cierta figu- 
ra : “eso es un perro”. 

Si alguien nos pregunta a qué llamamos verde, por 
cierto que no diremos que “verde es la sensación visual 
que corresponde a una radiación electromagnética de una 
longitud de onda de 6000 unidades Angstróm”, sino que 
señalaremos objetos diversos, que nos parezcan de ese 
color. Del mismo modo, por indicaciones que se traducen 
en actos, manifestaremos lo que entendemos por agudeza 
o gravedad de un sonido respecto a otro, siendo en este 
caso, como en el de los colores, absolutamente imposible 
llegar al concepto a través de definiciones exclusivamente 
verbales. Estas definiciones indicativas no tienen, desde 
luego, nada de metafísicas, pues nacen, precisamente, del 
señalamiento de determinados caracteres empíricos de los 
objetos. Los conceptos de espacio y tiempo empleados en 
Física, al igual que otros que analizaremos a continua- 
ción, sólo son definibles indicativamente, como veremos 
en seguida. 


Espacio 

Al definir lo que entendemos por movimiento unifor- 
me, decimos que en él el móvil recorre distancias iguales, 
en intervalos de tiempo también iguales. ¿Qué debemos 



ESPACIO 


47 


entender por distancias iguales entre sí, y qué por inter- 
valos de tiempo iguales entre sí? Para responder a pre- 
guntas de esta clase, no debemos tratar de apretujar nues- 
tro espíritu, procurando entrar en una especie de trance 
metafísico, que, al decir de Bergson, nos permitiría dar 
el salto capaz de captar la esencia misma de lo que son 
“en sí” el espacio y el tiempo. No; nada de eso. 

Para ctecir qué es lo que entendemos por distancias 
iguales entre sí, fijemos nuestra atención en las opera- 
ciones que efectivamente tendríamos que realizar para 
verificar si entre dos marcas, A y B, existe igual distan- 
cia que entre otras dos A' y B\ Debemos disponer, para 
ello, de un cuerpo rígido, que en la práctica toma la forma 
de una regla o un compás, y al hacer las operaciones co- 
rrientes, para efectuar la verificación, lo que se postula 
en forma implícita es la rigidez del cuerpo utilizado en 
la operación. Si los puntos A y B pueden hacerse coincidir 
(simultáneamente) con las marcas a y ¡3 del cuerpo rígido, 
y en una segunda operación son los puntos A f y B' los 
que coinciden (también simultáneamente) con aquellas 
marcas, las dos distancias AB y A' B r son iguales entre 
sí, por definición *. 

Se trata, como se ve, de una definición operativa, in- 
dicativa, que no sólo nos enseña lo que debemos entender 
por distancias iguales, sino que también, a partir de ella, 
podremos efectuar mediciones reales. 

No debe extrañar que en una definición “geométrica” 
como es ésta, hagamos intervenir los cuerpos rígidos de la 
Física. H. Poincaré hace notar que si no existieran cuer- 
pos sólidos, no habría geometría, y Einstein llama a la 
geometría de Euclides la rama más antigua de la Física. 

En Física, “un punto” es una señal cuyas dimensiones 
son despreciables con respecto a las demás dimensiones 
que intervienen en el problema. En muchos asuntos de 
Astronomía, la Tierra toda puede ser considerada como 


* La palabra “simultáneamente” es indispensable en esa defi- 
nición operativa: los conceptos de espacio y tiempo resultan así 
indisolublemente unidos. Véase, al respecto, el último capítulo. 



48 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


un punto. Cuando decimos “dimensiones despreciables con 
respecto a ... ”, ello tiene un significado bien preciso, cual 
es que las “dimensiones del punto” sean inferiores a los 
probables errores de observación. Análogamente, un es- 
trecho haz luminoso representa en Física “una recta”, a 
condición de que el haz no sea demasiado estrecho, pues 
entonces aparecen fenómenos de difracción. Las dimen- 
siones transversales de esta recta física deben ser gran- 
des en comparación con la longitud de onda, y pequeñas 
con respecto a la longitud considerada del rayo. En este 
sentido, una “recta de rayos X” se aproximaría más a 
una recta euclidiana que una “recta de luz roja”. En mu- 
chos casos, también un hilo tirante o el canto de una 
regla que se puede contrastar con un. rayo de luz repre- 
sentan una recta física, o, si se prefiere, un “segmento 'de 
recta física”. 

Cuando todos los “puntos físicos” de una “recta físi- 
ca” aplicada sobre una superficie coinciden “físicamente” 
con todos los “puntos físicos” de la misma, cualquiera sea 
la orientación de la recta, la superficie en cuestión cons- 
tituirá un “plano físico”. La cara de un cristal, exami- 
nada con luz común se comporta como un plano euclidia- 
no, pero examinada con rayos X deja de ser continua, y 
todo el cristal se convierte en una malla de “puntos”, cen- 
tros de difracción. 

Si efectuamos medidas en que intervienen los puntos, 
las rectas y los planos.de la Física, se observa que, apro- 
ximadamente, dichas medidas obedecen a leyes que coin- 
ciden con las que pueden deducirse, en forma de teoremas, 
de la geometría de Euclides. Lo de “aproximadamente”, 
quiere decir que las diferencias pueden ser atribuidas a 
errores de obsei^vación. 

¿Prueban nuestras medidas que el “espacio” obedece 
entonces a la geometría de Euclides? Hagamos notar, en 
primer término, que nuestras medidas no se refieren al 
“espacio”, sino a cuerpos sólidos y a rayos de luz, es decir, 
a entes físicos , y no a entes geométricos. En segundo lu- 
gar, el espacio es una pura creación de nuestra mente, 
poblado de entes ideales. Se pueden inventar tantos espa- 



ESPACIO 


49 


cios geométricos como se quieran, euclidianos o no, y con 
un número arbitrario de dimensiones. 

Cuando se pregunta acerca de qué geometría es válida 
para el espacio físico, lo que debe entenderse con dicha 
pregunta es si la métrica resultante de la experimentación 
con. cuerpos rígidos y rayos de luz puede ser deducida de 
tal o cual ge'ometría. Hasta hace muy poco, dicha métrica 
parecía ajustarse muy bien con la de la geometría eucli- 
diana, tanto para nuestro mundo de dimensiones medias, 
asequible a medidas directas, como para el mundo de di- 
mensiones astronómicas. El advenimiento de la teoría de 
la gravitación, de Einstein, ha mostraío que se interpreta 
con mayor comodidad y sencillez el resultado de las me- 
didas experimentales con una métrica deducida de una 
geometría rienianniana. 

Para medir una distancia en forma indirecta (tal co- 
mo se mide por la paralaje las distancias astronómicas), 
■es necesario postular la validez de determinada geometría. 
En la práctica, tanto en Física como en Astronomía, la 
geometría cuya validez se postula es la euelidiana. Pare- 
cería desprenderse de aquí que es imposible decidir expe- 
rimentalmente si la métrica del espacio físico corresponde 
o no a la geometría de Euclides, ya que ésta se ha postu- 
lado como verdadera, y es de ese postulado que han sur- 
gido las medidas obtenidas. Sin embargo, no es así. Si se 
observaran algún día estrellas muy lejanas con parala- 
jes negativas (paralajes negativas que se obtendrían del 
hecho de haber postulado que la suma de los tres ángulos 
de un triángulo debe valer dos rectos), se deduciría de allí 
que los rayos de luz siguen en su trayecto rectas de una 
geometría de Riemann, y si, por el contrario, la paralaje 
de todas las estrellas, inclusive las más lejanas, se man- 
tuviera siempre positiva y mayor que cierta paralaje lí- 
mite, habría que adoptar para aquellos trayectos las rec- 
tas de una geometría de Lobatchevsky. 

Naturalmente que, en uno y otro caso, podremos con- 
servar, si así lo deseamos, el “espacio” euclidiano, para lo 
cual bastará suponer que la luz se propaga, no en línea 
recta, sino siguiendo curvas, como si atravesara un medio 
de índice de refracción variable. 



50 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


Tiempo 

¿Qué significado tiene para el físico decir que dos in- 
tervalos de tiempo son iguales entre sí? Para verificar si 
el tiempo que transcurre entre dos sucesos, A y B, es igual 
al transcurrido entre los sucesos A f y B f (vaciado de un 
tanque y caída de un cuerpo desde cierta altura, por ejem- 
plo), utilizamos un reloj , del mismo modo que en la veri- 
ficación de la igualdad de dos distancias empleábamos una 
regla rígida. Pero en la comprobación de la igualdad de 
dos intervalos de tiempo, el caso se presenta algo más com- 
plicado. Debemos decir aquí qué es un reloj. Si dijéramos 
en este momento que un reloj es un aparato que sirve para 
medir el tiempo, caeríamos en un burdo círculo, sin salida 
posible. En el caso de la medida de distancias utilizamos 
un “cuerpo rígido”, y si se nos pregunta ¿qué es un cuerpo 
rígido?, bastaría con señalarlo; “esta regla de madera, 
aquella de hierro, la de más allá de platino, etc.”, y con 
todas ellas se obtienen resultados concordantes si se to- 
man las debidas precauciones. Podemos construir, ade- 
más, un “patrón de distancia”, como efectivamente se ha 
construido, y decir: “eso es un metro”. 

Si procedemos en forma análoga con los relojes que 
realmente se utilizan, encontramos : 

1) Existen relojes de los más diversos tipos: de arena, 
de agua, de péndulo, de resortes, eléctricos, electrolíticos; 
astronómicos, de Sol, de Luna, estelares, etc. 

2) Las indicaciones de dos relojes distintos nunca son 
exactamente coincidentes, siendo las diferencias entre uno 
y otro bien apreciables. 

3) No disponemos de ningún reloj patrón que nos per- 
mita decir: “el tiempo es lo que marca ese reloj”. 

Si fijamos nuestra atención en el fundamento que sirve 
de base para la construcción de los relojes físicos, encon- 
tramos que en todos ellos el presupuesto general que impli- 
ca una definición implícita de intervalos iguales de tiempo 
es el siguiente: 



TIEMPO 


51 


“Acontecimientos iguales, en circunstancias iguales, se 
producen en intervalos también iguales de tiempo”. 

Si llenamos un recipiente con agua una y otra vez, y 
lo dejamos vaciar en circunstancias idénticas, el tiempo 
transcurrido en uno y otro caso deberá considerarse igua 1 , 
de acuerdo con la definición precedente. Del mismo modo, 
dos oscilaciones exactamente iguales de un mismo péndulo, 
efectuadas en idénticas circunstancias, deberán ser con. 
sideradas también como iguales. Si confrontamos ahora 
un reloj de agua con otro de péndulo, vemos, sin embargo, 
que no coinciden exactamente. Lo que ocurre es que no 
pueden realizarse dos acontecimientos que sean exactamen- 
te iguales y que se produzcan exactamente en las mismas 
circunstancias. Dos oscilaciones sucesivas de un mismo 
péndulo, por más precauciones que tomemos, no se produ- 
cen en circunstancias “exactamente iguales”. Entre una y 
otra ha cambiado la posición relativa de la Luna y de los 
demás astros respecto al péndulo, de tal modo que \» r 
cirfcunstancias en que se produce determinado aconteci- 
miento no pueden reproducirse nunca exactamente. Por 
esta razón, el principio anterior, que constituye uno de los 
aspectos del principio de inducción, es sólo aplicable en la 
forma siguiente: 

“Acontecimientos aproximadamente iguales, en circuns- 
tancias aproximadamente iguales, se producen en interva- 
los de tiempo aproximadamente iguales”. Pero esto es inu- 
sitado : tenemos la definición de lo que son intervalos apro- 
ximadamente iguales, y no sabemos lo que son intervalos 
iguales, pues la definición primitiva, por irrealizable, debe 
ser considerada como carente de sentido. 

Pero lo cierto es que los físicos y los astrónomos reali- 
zan medidas de tiempo de extraordinaria precisión. Se 
construyen relojes de péndola, cuya marcha sólo debe ser 
corregida de tanto en tanto. ¿Corregida cómo? Las co- 
rrecciones se efectúan teniendo en cuenta el movimiento 
diurno de las estrellas, por lo cual parecería que el reloj 
patrón que se ha adoptado es la propia Tierra con su mo- 
vimiento de rotación. Si ése fuera el reloj patrón, la velo- 
cidad angular de la Tierra en su movimiento de rotación 
sería constante. Constante por definición. 



52 


I.A TRAMA CONCEPTUAL ' 


Es efectivamente cierto que las medidas de tiempo se 
llevan a cabo considerando a la Tierra como reloj patrón, 
pero no es menos cierto que el tiempo de que hablan los 
astrónomos, representándolo con la inocente letra t, que 
aparece en las ecuaciones de la mecánica, no está definido 
por aquel reloj. 

Si el tiempo estuviera definido por la rotación de la 
Tierra, no tendría sentido la afirmación de los astrónomos 
según la cual, a causa de las mareas, por un efecto de fre- 
namiento, el período de rotación de aquélla debe ir aumen- 
tando constantemente. Para comprender a qué tiempo se 
refieren los astrónomos cuando hacen una afirmación de 
esta clase, supongamos que con el correr de los siglos el 
período de rotación de la Tierra se hiciera doble del ac- 
tual. Estando el tiempo definido por el propio movimiento 
de la Tierra, el día sideral seguiría siendo de 24 horas, pe- 
ro un físico del futuro, comparando sus observaciones con 
las actuales, encontraría resultados como los que siguen: 

“La revolución sideral de la Luna se efectúa ahora — di- 
ría — en algo más de 13 días, mitad del tiempo que em- 
pleaba en el siglo xx.” 

“La longitud del péndulo que bate el segundo es en 
unos 40 cm superior a la longitud del péndulo que batía el 
segundo en aquella época, y que era aproximadamente de 
1 m. 

“El año tiene actualmente unos 180 días de duración, 
y no 365, y, análogamente, observamos en la actualidad 
que el período de revolución de los demás planetas, de sus 
satélites y de muchas estrellas dobles se ha reducido apro- 
ximadamente a la mitad.” 

Observaría también, ese supuesto físico del futuro, que 
la velocidad de la luz y del sonido se han hecho dobles, y 
que una corriente de un amperio, circulando durante un 
segundo por un voltámetro, libera una masa de substancia 
también doble. 

Este físico podría terminar su memoria del modo si- 
guiente: “En el siglo xx, las leyes que los físicos conside- 
raban como válidas eran muy sencillas. Creían, por ejem- 
plo, en el principio de conservación de la energía, y daban 



TIEMPO 


53 


para la expresión de la energía cinética de un cuerpo en 
movimiento la fórmula : E = £ mv 2 . Si sobre el cuerpo no 
actuaba ninguna fuerza, su velocidad, según ellos debía 
permanecer constante. Hoy sabemos que, en esas condi- 
ciones, la velocidad de un cuerpo aumenta constantemente. 
Nuestras fórmulas son mucho más complicadas, pero más 
exactas”. 

No cuesta trabajo imaginar que algún otro físico, cole- 
ga y contemporáneo del precedente, le saldría al paso para 
decirle que las leyes físicas pueden ser conservadas en su 
simplicidad primitiva, a condición de adoptar otra defini- 
ción del tiempo que no se basara en la rotación de la Tie- 
rra. Y esto es lo que se hace, efectivamente, ya que una 
pequeña aceleración secular, observada en el movimiento 
de la Luna, se atribuye en realidad a un paulatino retar- 
damiento de la rotación terrestre. Pero, ¿cuál es esa otra 
definición? Cómo lo hace notar Poincaré, a quien se debe 
•la esencia de la argumentación que precede, la definición 
implícita adoptada por físicos y astrónomos sería la si- 
guiente: “El tiempo es un parámetro que figura en las 
ecuaciones de la mecánica, y cuya elección se hace de tal 
modo que dichas ecuaciones resulten lo más simples po- 
sible.” 

¿Qué diferencia existe entre un “buen reloj” y un “mal 
reloj”? La diferencia estriba en que utilizando el primero, 
las predicciones de la Física y de la Astronomía se cum- 
plen con diferencias inapreciables, y utilizando el segundo, 
las diferencias observadas son mayores. 

La carencia de un reloj patrón convierte el asunto del 
tiempo en algo desagradable, porque decir que el tiempo 
adoptado es aquel que hace que las leyes de la Física sean 
“lo más simples posible” no se presenta al espíritu en la 
forma clara que sería de desear. Las leyes son muchas, y 
el concepto de mayor o menor simplicidad es demasiado 
vago. Si se adoptara como definición de tiempo el movi- 
miento diurno del Sol, un reloj patrón estaría constituido 
por un cuadrante solar, y la ley del movimiento de aquel 
astro resultaría la más simple de todas. No habría des- 
igualdad de los días solares, ni aparecería, en la definición 
del “tiempo medio”, la complicada ecuación del tiempo de 



64 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


los astrónomos. Pero, eso sí, nuestros relojes no solares 
tendrían que ser fabulosamente complicados, al igual que 
todas las leyes de la Física. La ley del isocronismo no val- 
dría, y la velocidad de la luz experimentaría complicadas 
variaciones periódicas, de período anual. Por eso la defi- 
nición implícita del tiempo no puede referirse a la simpli- 
cidad de ésta o de aquella ley, sino a la simplicidad del 
conjunto. 


Reloj patrón 

Así las cosas, y con ánimo de encontrar ubicación ade- 
cuada para algunos hechos de observación que en Física 
clásica se encontraban, por así decirlo, sueltos, fuera de 
la malla conceptual utilizada hasta entonces, Einstein, en 
el año 1905, propuso definir el tiempo postulando la vali- 
dez, en todos los casos, de esta simplísima ley: “La velo- 
cidad de la luz, en el vacío, es constante”. 

De este modo, tenemos ya nuestro ansiado reloj patrón. 
Si con el correr de los años, al efectuar nuevas determina- 
ciones de la velocidad de la luz, utilizando siempre relojes 
concordantes con el “reloj Tierra”, se observara un au- 
mento de aquella velocidad, sabríamos corregir nuestros 
relojes y sabríamos también calcular el aumento del pe- 
ríodo de rotación de la Tierra, correcciones y cálculos que 
efectuaríamos de modo que la velocidad de ¡a luz perma- 
neciera constante. Definir ahora lo que entendemos por un 
“buen reloj”, no ofrece dificultad: es aquel con el cual se 
obtiene para la velocidad de la luz el mismo valor, cual- 
quiera sea el trayecto sobre el cual midamos dicha veloci- 
dad. 

Aclaremos todavía que el postulado de la constancia de 
la velocidad de la luz significa que dicha velocidad no de- 
pende del movimiento de la fuente luminosa con respecto 
al observador, ni del movimiento del observador con res- 
pecto a la fuente. 

Si nos suponemos embarcados en una especie de avión 
interestelar, viajando a gran velocidad con respecto al 
sistema de estrellas fijas, y medimos, dentro de nuestro 
avión, la velocidad de la luz proveniente de ellas, tendre- 



RELOJ PATRÓN 


55 


mos que obtener el mismo valor, cualquiera sea la direc- 
ción de las ondas luminosas que consideremos. Tanto la luz 
que entra por la popa como la que entra por la proa de 
nuestro navio sideral empleará el mismo tiempo en atra- 
vesarlo. 

Algunas de las consecuencias que pueden obtenerse del 
aparentemente inocente postulado de la constancia de la 
velocidad de la luz, las hallará el lector en el capítulo XV. 
Lo que aquí nos interesa destacar es lo siguiente : 

Las medidas de distancias, o sea. la exploración métrica 
del espacio físico, se realizan utilizando cuerpos rígidos. 

Las medidas de tiempo se llevan a cabo utilizando re- 
lojes. 

Los cuerpos rígidos y los relojes son tales que las me- 
didas efectuadas con ellos deben satisfacer el postulado de 
la constancia de la velocidad de la luz. 

En lo que precede hemos definido los conceptos de es- 
pacio y tiempo que utiliza la Física. Con ello hemos tendi- 
do ya los dos hilos principales de la trama conceptual. Las 
definiciones dadas han sido de la clase que hemos llamado 
“indicativas”. Cuando una magnitud se define de esta 
manera, la definición no contesta a la pregunta: “¿Qué 
es tal cosa?”, sino a esta otra: “¿Cómo se mide tal cosa?” 
En el caso tratado hemos indicado cómo se mide una dis- 
tancia y cómo se mide un intervalo de tiempo, y hemos 
visto cuáles son las convenciones y los presupuestos de 
aquellas operaciones de medida. 

Sorprenderá quizá que en un libro dedicado a la ense- 
ñanza de la Física, y enfocado primordialmente a la en- 
señanza de aquella ciencia en el ciclo medio, hayamos de- 
dicado tanta extensión al estudio de dos conceptos ante 
los cuales los alumnos no encuentran ninguna dificultad, 
o si la encuentran son lo suficientemente prudentes como 
para reservárselas. Varios motivos hemos tenido al de- 
tenernos en el análisis precedente. Entre ellos, no es el 
principal el creer que ya es hora de incorporar a la ense- 
ñanza media el estudio de la parte fundamental y de las 
consecuencias más importantes de la teoría, ya clásica, de 
la relatividad. 



5G 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


Tampoco ha sido nuestro objetivo fundamental el mos- 
trar, a título de ejemplo, con el análisis de aquellos con- 
ceptos, que la Física no se asienta en el “frágil y move- 
dizo terreno de la Metafísica”, y que están muy lejos los 
teóricos de hoy de creer, con Dubois Reymond, que existen 
problemas que serán eternamente insolubles para el hom- 
bre de ciencia, tales como los que se refieren a la “esencia” 
ele lo que son “en sí” el espacio, el tiempo o la fuerza.. Los 
“grandes problemas” como éstos, se han reducido a “seudo- 
problemas” ; el lugar de las “esencias” es ocupado hoy por 
convenciones o definiciones adecuadas. 

Lo que aquí nos interesa señalar es que un concepto tal 
como el del tiempo físico, cuyo análisis involucra no pocas 
dificultades, se adquiere, no obstante, en los primeros años 
de nuestra vida. Eso se debe a que comenzamos a manejar 
relojes, externos e internos, desde el momento mismo en 
que abrimos los ojos. Las sensaciones viscerales que desde 
el principio nos urgen a solicitar nuestro alimento son las 
que, conjuntamente con otros complicados procesos fisio- 
lógicos, originan el nacimiento de lo que se llama tiempo 
psíquico. Este tiempo es vago e impreciso, por lo cual muy 
pronto desconfiamos de las indicaciones dadas por nuestro 
“reloj mental”, y preferimos a él una clepsidra cualquiera. 
Pero esto no es exclusivo del tiempo: desconfiamos tam- 
bién de la exactitud del “dinamómetro” constituido por 
nuestros músculos, y optamos por otro de resorte; el tosco 
termoscopio de nuestro tacto es substituido por un termó- 
metro cualquiera, y la apreciación subjetiva de la inten- 
sidad luminosa se objetiva en la fotometría. 


Magnitudes sensor iogenéti cas 

Las reflexiones que anteceden nos llevan a clasificar 
las magnitudes físicas de acuerdo con su origen, lo que 
tiene, como veremos, particular importancia desde el pun- 
to de vista didáctico. Llamamos sensoriogenéticas a aque- 
llas magnitudes de las cuales el niño, el hombre primitivo 
o el salvaje tienen ya alguna noción. Estas nociones apa- 
recen con anterioridad a la adquisición de cualquier co- 



MAGNITUDES SENSORIOGENÉTICAS 


57 


nocimiento que pudiera denominarse científico, y se origi- 
nan como resultado inmediato de nuestra experiencia 
diaria. 

En este sentido serían sensoriogenéticas la longitud 
(grandor), el tiempo, la fuerza (y el peso) y la tempera- 
tura. A está nómina podrían agregarse, todavía, las in- 
tensidades luminosas y las sonoras, y la velocidad. En 
cambio, no son sensoriogenéticas la masa, ni la carga 
eléctrica, ni las intensidades de los campos eléctricos y 
magnéticos, ni ninguna de las magnitudes derivadas, tales 
como la presión, el trabajo mecánico, etc. 

Si los experimentos sobre magnetismo y electroestática 
llaman tanto la atención, eso se debe, en gran parte, a que 
nó tenemos ningún sentido que nos permita sospechar si- 
quiera la existencia, en determinado lugar, de un campo 
magnético o eléctrico. Si nuestros músculos fueran fuer- 
temente ferromagnétieos, la orientación de la brújula no 
produciría en nosotros ni más ni menos asombro que la 
caída de los cuerpos. 

En tal supuesto, la ciencia se habría desarrollado en 
forma totalmente diferente, y es muy probable que, en ese 
caso, Einstein no tropezara con tantas dificultades para 
hallar las ecuaciones del campo unitario, que tan afanosa- 
mente busca, para introducir en el mismo marco teórico 
la gravitación y el electromagnetismo. Volviendo a lo que 
fundamentalmente nos interesa, observemos que desde el 
punto de vista didáctico las magnitudes que hemos llamado 
sensoriogenéticas ofrecen, en general, la particulariiad de 
ser las que, conceptualmente, en el período de iniciación, 
son captadas con menor dificultad, dejando la impresión 
de que se posee de ellas una idea nítida y definida. Como 
desquite de la facilidad con que se han aprehendido esos 
conceptos, en una segunda etapa son precisamente aquellas 
magnitudes las que exigen un mayor esfuerzo de aná’isis 
para clarificar su verdadero significado. 

A esa segunda etapa de que hablamos tendrá que llegar 
algún día el que quiera ser físico teórico, o el que pretenda 
estudiar el sentido y alcance del conocimiento científico, 
pero se puede ser un excelente ingeniero, y aun un gran 



68 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


físico experimental, conservando la ilusión primigenia 
acerca de la sencillez de aquellos conceptos básicos. Por 
estas razones, en la enseñanza media debe procurarse ob- 
tener el mejor aprovechamiento de aquellas nociones pre- 
formadas, procurando no empañar prematuramente las 
ideas que a nuestros educandos se les presentan simples y 
transparentes. Comenzar la parte de cinemática haciendo 
notar desde el comienzo todas las dificultades que se pre- 
sentan, si se quiere aclarar debidamente lo que se entiende 
por “intervalos iguales de tiempo”, sería absurdo y con- 
traproducente, máxime en esta época en que, cada media 
hora, la radiotelefonía nos marca el tiempo con la precisión 
de un décimo de segundo. 

La clasificación que estamos haciendo de las magnitu- 
des físicas, de acuerdo con su origen, o con su significación 
antropomórfica, nos permite encarar el problema, tantas 
veces debatido, acerca de si es preferible comenzar el es- 
tudio de la mecánica por la estática o por la dinámica. 

Si se comienza por la dinámica, habrá que definir la 
fuerza en la forma preconizada por Kirchhoff: fuerza es 
el producto de la masa por la aceleración. Pero de estas 
tres magnitudes, vinculadas por el principio de'NeAvton, 
sabemos definir con propiedad — como lo hace notar Poin- 
caré — sólo una de ellas: la aceleración. ¿Por qué entonces, 
se pregunta el mismo Poincaré, no definir la masa por el 
cociente entre la fuerza y la aceleración? 

El asunto merece, sin duda, ser discutido con deteni- 
miento, pero aquí, lo que nos interesa fundamentalmente 
no es hallar el camino más lógico para fundamentar la 
mecánica, sino el más viable. La elección, didácticamente, 
no puede ofrecer duda alguna. Es la masa la que debe ser 
definida por el cociente entre la fuerza y la aceleración, 
puesto que de la masa no tenemos originariamente ningu- 
na idea, en tanto que de la fuerza, por lo menos nos pa- 
rece tener una idea muy clara. Naturalmente que la fuer- 
za debe ser definida en forma indicativa, mostrando el 
modo de medirla: por el estiramiento de un resorte o de 
un hilo. La fuerza es de aquellas magnitudes de las cuales 
no debe preguntarse “¿qué es?”, sino “¿cómo se mide?”. 
Podría pensarse que también se tiene originariamente al- 



temperatura 


59 


liana idea de la masa en virtud de la resistencia que ofre- 
cen los cuerpos al cambio de velocidad ; pero lo que se apre- 
cia muscularmente en tales casos es esa resistencia, es 
decir, una fuerza. 

Por algo, en el sistema técnico de unidades, anterior al 
C. G. S., figura la fuerza y no la masa entre las magnitu- 
des .fundamentales. El grave inconveniente de este siste- 
ma es que los dinamómetros son muy poco exactos, en tan- 
to que las balanzas de pesas son muy precisas, y con éstas, 
lo que se determina en forma directa es justamente la 
masa. 

Por eso el sistema más conveniente es, sin duda, el C. 
G. S., y de acuerdo con él aparece la fuerza como magnitud 
derivada. Pero en el caso de definir la fuerza a partir 
de. la masa y de la aceleración, habrá que comenzar por dar 
de la masa, por lo menos, una definición indicativa. En 
esta definición tendrá que aparecer la balanza de pesas, 
cuyo equilibrio se logra por las fuerzas del peso del cuerpo 
y de las pesas, y si la relación entre aquellas fuerzas es 
igual a la de las masas (en balanza de brazos iguales), 
eso se debe a la proporcionalidad entre el peso y la masa. 
En resumen, el camino me parece muy poco conveniente. 
Aparté de lo apuntado, la estática, por tratarse en ella 
cuestiones de equilibrio, es esencialmente mucho más ase- 
quible que la dinámica, a la que ha precedido en muchos 
siglos. 


Temperatura 

Ésta es otra de las magnitudes que hemos llamado sen- 
scriogenéticas. Respecto de ella se cumple a las mil ma- 
ravillas lo apuntado más arriba, pues se presenta al es- 
píritu, en el primer ciclo, libre de toda mancha, como uno 
de los conceptos más claros y transparentes. Pero a me- 
dida que avanzamos en nuestro conocimiento, ocurre con 
aquel concepto algo análogo a lo que acontece con los jui- 
cios que con demasiada precipitación nos formamos de 
algunas personas. El concepto se va enturbiando paulati- 
namente, llegando un momento en que, con imperiosa ne- 
cesidad, nos preguntamos: pero, ¿qué es la temperatura? 



60 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


Y sólo después de un concienzudo análisis retorna la pri- 
mitiva confianza y resplandece, con entera claridad, el 
concepto, ya purificado por nuestro porfiado rumiar. Este 
proceso cíclico que estamos describiendo; se advierte con 
toda nitidez en el desarrollo histórico, para repetirse luego 
en cada uno de nosotros, a condición de poner en ello el 
interés y la porfía característica de los hombres de cien- 
cia. La misión del profesor, en este caso, es facilitar la 
tarea del alumno, guiándole por el sendero montañoso más 
corto que conduce a la cumbre, y que da, a pesar de ello, 
muchas vueltas antes de alcanzarla. 

Los mojones fundamentales del camino a seguir en 
este caso los hallará el lector en el Capítulo VIII. 


Definiciones indicativas de magnitudes no 
sensoriogenéticas 

El profesor Pohl propone que la enseñanza de la co- 
rriente eléctrica se comience por el uso de voltímetros y 
amperímetros, antes de dar las definiciones correspon- 
dientes de diferencia de potencial y de intensidad de co- 
rriente eléctrica. Observa que los alumnos miden el tiem- 
po utilizando para ello un reloj, cuyo mecanismo no cono- 
cen, por lo cual nada impediría que utilizaran del mismo 
modo un voltímetro, y que adquirieran la noción de dife- 
rencia de potencial a raíz de la familiaridad que fueran 
adquiriendo con aquel instrumento. En apoyo a esta tesis, 
que significa comenzar por definir en forma indicativa 
una magnitud como la diferencia de potencial, puede se- 
ñalarse la clara idea que adquieren de la misma muchas 
personas por el simple manejo de esos instrumentos. Se 
encuentran, efectivamente, operarios que, sin una prepa- 
ración teórica previa, llegan a adquirir una noción bien 
precisa de los “voltios” y de los “amperios”, noción que 
por cierto no tienen muchos alumnos que saben repetir que 
“existe la diferencia de potencial de un voltio cuando por 
el transporte de un culombio se emplea el trabajo de un 
julio”. 



MAGNITUDES NO SENSORIOGENÉTICAS 


61 


Lo que precede es, efectivamente, en gran parte exacto, 
y no dudamos que el eximio profesor Pohl obtenga, si- 
guiendo este procedimiento, óptimos resultados, como los 
obtendría también, dadas sus condiciones, mediante cual- 
quier otro método. 

Pero cabe hacer a la sugerencia del profesor Pohl una 
importante observación: 

Si tengo un fotómetro construido con una célula fo- 
toeléctrica, puedo explicarle a cualquier persona, aunque 
sea un niño o un analfabeto, qué es lo que puedo medir 
con tal aparato, sin entrar para nada en la descripción 
del mismo. Si resulta que la lámpara A es diez veces más 
intensa que la B, de acuerdo con las indicaciones del ins- 
trumento, el alumno verá que efectivamente la lámpara A 
es . más intensa que la B, y para ello utilizará el “fotóme- 
tro” constituido por su propia retina. La intensidad lu- 
minosa (mejor, la intensidad de iluminación) es una mag- 
nitud sensoriogenética, y por esa razón, basta con dar de 
ella una definición indicativa. Supongamos, ahora, que 
tengo un instrumento que me permita medir la intensidad 
del campo magnético en un lugar cualquiera del espacio. 
Este aparato podría consistir en una pequeña bobina ro- 
tatoria y en un instrumento que indicara la fuerza elec- 
tromotriz inducida. Provistos de tal aparato, le decimos a 
nuestro alumno, que es también un niño o un analfabeto, 
que con él medimos la intensidad del campo magnético en 
diferentes lugares del espacio. Nuestro alumno observará 
que en diferentes lugares, el instrumento señala indica- 
ciones distintas, y aun en un mismo lugar varían sus in- 
dicaciones desde cero hasta un máximo, de acuerdo con la 
orientación que demos al aparato. Si el eje de la bobina 
rotatoria coincide con la dirección de las líneas de fuerza 
del campo, el instrumento marcará cero, y llegará al má- 
ximo cuando el ángulo formado entre aquellas líneas y el 
eje sea igual a 90°. Todo esto se le aparecerá a nuestro 
alumno como un misterio, en tanto que cuando operaba con 
el fotómetro, comprendía muy bien que las indicaciones 
del mismo dependían de la orientación de la placa sensible 
con respecto a los rayos que salían de la fuente luminosa. 
El fotómetro mide la intensidad del flujo luminoso que 



62 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


incide sobre la placa en determinada dirección, y siempre 
puede nuestro alumno colocar, en el lugar de aquélla, su 
propia pupila. En la medida de la intensidad del campo 
magnético no tiene, en cambio, ningún recurso parecido. 
Imaginemos una habitación iluminada únicamente con ra- 
yos ultravioletas, y por lo tanto, completamente obscura. 
En esa habitación, el fotómetro indicará, en diferentes lu- 
gares, distintos valores del flujo, y sus indicaciones de- 
penderán también del ángulo que forman entre sí los rayos 
de luz con la superficie sensible, y siguiendo cuantitativa- 
mente, la misma ley que era dable establecer en el caso 
del aparato que medía la intensidad del campo magnético. 
Se desprende de aquí que una definición puramente indi- 
cativa de una magnitud no sensoriogenética, no puede ser 
nunca enteramente satisfactoria. En el ejemplo que pre- 
cede, el flujo de luz ultravioleta y la intensidad del campo 
magnético aparecen como formalmente iguales. El alumno 
que provisto de un voltímetro observa que conectando el 
instrumento con los bornes de un acumulador indica 2 vol- 
tios, y con los de una pila 1 voltio, se encuentra ante esas 
indicaciones en situación enteramente diferente del que 
observa, utilizando un reloj, que transcurre en un proceso 
un tiempo de 2 horas y en otro un tiempo de 1 hora. En 
este último caso, aunque no sepa cómo está hecho el reloj, 
sabe que es un instrumento con el que mide algo de lo cual 
tiene perfecta noción, en tanto que en el otro caso no sabe 
en verdad qué es lo que mide. 

Sólo provisoriamente puede aceptarse que de una mag- 
nitud no sensoriogenética se dé una definición indicativa. 

En el caso de la diferencia de potencial y de la inten- 
sidad de la corriente, el alumno que comienza por fami- 
liarizarse con los instrumentos que miden esas magnitu- 
des adquirirá una noción de las mismas sólo cuando sepa 
que “el producto de los amperios por los voltios y por los 
segundos” da el trabajo de la corriente expresado en julios. 
Si sabe que cada julio equivale a 0,24 calorías, o a poca 
cosa más de un décimo de kilográmetro, y tiene de estas 
unidades una noción precisa, la ecuación del trabajo : 


E = V 1 1, 


[ 1 ] 



MAGNITUDES NO SENSORIOGENÉTICAS 


63 


dará a las magnitudes F (diferencia de potencial) e 
/ (intensidad) cierto sentido. Pero como todavía tiene 
una sola ecuación, y aparecen en ella dos magnitudes que 
no conoce, Fe/, le hace falta otra ecuación que las vin- 
cule, para saber de verdad qué es F y qué es /. 

Téngase presente que estamos considerando el caso en 
que se comienza a estudiar electricidad por la corriente 
eléctrica y no por electroestática, de tal modo que el alum- 
no no tiene ninguna noción de lo que es la carga eléctrica. 
Por esta razón, nada adelantaríamos con definir a la inten- 
sidad por “el cociente entre la cantidad de electricidad que 
pasa y el tiempo’’. Pero nos hace falta otra ecuación. Ella 
puede obtenerse utilizando fenómenos de electrólisis: 
en este caso, el alumno sabrá que la intensidad es de 1 
amperio cuando en 1 segundo se liberan, por el paso de 
aquella corriente, 1,118 miligramos de plata, es decir, que 
además de la ecuación [1], para definir / se utiliza una 
expresión tal como : 


m = Clt, 


[ 2 ] 


en que m es la masa de una substancia liberada en la elec- 
trólisis, y C, una constante que depende únicamente de la 
naturaleza de dicha substancia. El valor de C, para los 
voltámetros de plata, es : 


C = 0,001118 


gramo 

amperio X segundo 


y este valor se fijaría así por convención, para definir con 
él, indirectamente, la unidad de intensidad. Sólo en pose- 
sión de las ecuaciones [1] y [2] llega el alumno a saber 
lo que son Fe/. 

En lugar de [2] puede utilizarse la ley de Ohm, y de- 
finir el ohmio como la resistencia que ofrece el ohmio pa- 
trón, o, simplemente, se definirán “los ohmios” por los va- 
lores indicados en la caja de resistencias. En ellas, los 
alambres se han tomado de tal longitud y de tal sección, 
que si un carrete es de 1 ohmio, circulará por él 1 amperio 



G4 LA TBAMA CONCEFTUAIj 

cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea 
de 1 voltio. 

En resumen: las definiciones indicativas de magnitu- 
des no sensoriogenéticas tendrán que ser siempre proviso- 
rias. El significado de las mismas se fija posteriormente, 
estableciendo relaciones que vinculan esas magnitudes con 
otras ya conocidas. Esas relaciones equivalen a definicio- 
nes implícitas de las magnitudes consideradas. 

Cuando se va a dar la noción de una magnitud nueva, 
tal como la de diferencia de potencial, puede comenzarse 
por utilizar directamente un voltímetro, pero a condición 
de dar simultáneamente alguna idea acerca de lo que mide 
el aparato. En el caso precedente, la comparación de di- 
cha diferencia de potencial con una diferencia de nivel es 
de lo más indicada, pues nada más natural que apoyarse 
en lo que se conoce para iniciar la excursión por lo des- 
conocido. 


Magnitudes derivadas 

En este apartado deseamos hacer notar el mal hábito 
existente en la definición de algunas magnitudes físicas 
derivadas, que se originan por el cociente de otras. Es cos- 
cumbre dar la definición identificando, en la expresión 
verbal, el concepto que se va a definir por el valor numé- 
rico de la magnitud dividendo, cuando la magnitud divisor 
es igual a la unidad. En esta forma se nos ha enseñado, 
por ejemplo, que “la velocidad es el espacio recorrido en 
la unidad de tiempo”, y durante largos años, el que esto 
escribe enseñó a sus alumnos exactamente de la misma 
manera, creyendo que sus definiciones eran correctísimas, 
e insuperables desde el punto de vista didáctico. Natural- 
mente que sabía, como lo sabe todo profesor, que la velo- 
cidad es la derivada del espacio recorrido con respecto al 
tiempo, y me cuidaba muy bien de que mis alumnos ex- 
presaran siempre en sus problemas, explícitamente, las 
dimensiones de la velocidad en metros sobre segundo o en 
kilómetros sobre hora, etc. ; y a pesar de todo, es tanta 
nuestra inercia mental, que seguía repitiendo año tras año: 



MAGNITUDES DERIVADAS 


65 


“¡ Velocidad es el espacio recorrido en la unidad de tiem- 
po!” Y claro está que esto es incorrecto, porque el espacio 
recorrido en la unidad de tiempo es siempre un espacio y 
nunca una velocidad. En el caso de la velocidad, que la 
definición sea correcta o no, tiene importancia relativa, 
porque el alumno sabe perfectamente de antemano de qué 
se* trata. Pero supongamos que se quiera definir por este 
procedimiento una magnitud de la cual el alumno no tiene 
ninguna idea preformada; sea ésta, por ejemplo, la de 
masa. Aquí, felizmente, se acostumbra dar la definición 
correcta: “Masa de un cuerpo es el cociente de la fuerza 
que sobre él actúa y la aceleración que le comunica”, y por 
eso todo el mundo advierte lo absurdo que sería una de- 
finición del tipo : “Masa de un cuerpo es la fuerza que hay 
que aplicarle para que adquiera una aceleración igual a la 
unidad”. Frente a una definición de esta clase, lo que que- 
da es que “masa ES la fuerza. . .”, con lo cual se identifican 
en- la mente del educando dos conceptos enteramente dife- 
rentes. 


Y sin embargo, a muchos de mis colegas más distin- 
guidos continúa pareciéndoles correctísimas definiciones 
tales como las que siguen: Densidad es la masa de la uni- 


dad de volumen 


\ v 


Intensidad de una corriente es la cantidad de electri- 
cidad que pasa en la unidad de tiempo | 

Diferencia de potencial entre dos puntos de un campo 
eléctrico es el trabajo que se realiza para transportar entre 


los mismos la unidad de carga eléctrica V — V' = 


Capacidad de un conductor es la carga eléctrica que 
hace que aquél adquiera un potencial igual a la unidad 


c = 


etc., etc. 


Sólo el hábito hace que estas definiciones incorrectas 
y antididácticas perduren, pasando de unos a otros trata- 
dos, que prestigian, en muchos casos, las firmas de emi- 
nentes autores. 


5 



66 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


Prueba de ello es que a nadie se le ocurre decir, por 
ejemplo, que la resistencia de un conductor es igual a la 
diferencia de potencial que debe existir entre sus extremos 
para que circule por él una intensidad de corriente igual 
/ y y' \ 

a la unidad I R = j — 1 ; y a nadie se le ocurre dar esta 

definición, sencillamente porque desde el comienzo (vaya 
a saberse por qué), a la resistencia se la definió correcta- 
mente por el cociente entre la diferencia de potencial y la 
intensidad. Creer que al alumno le resulta más fácil captar 
el concepto dando la definición por la unidad (llamémosla 
así), es un prejuicio que se desvanece en seguida no bien 
se comienza a definir a aquellas magnitudes por el cocien- 
te, en la forma correcta y directa que debe hacerse. Des- 
pués de definir una magnitud por cociente, basta tomar 
algunos ejemplos concretos para que los alumnos capten 
su significado. 

Aun en la enseñanza primaria es más conveniente de- 
cirle a los alumnos que para hallar la velocidad se debe 
dividir el espacio recorrido por el tiempo empleado, que 
decirles que la velocidad es el espacio recorrido en la uni- 
dad de tiempo. 

Justamente cuando se les enseña a los alumnos a di- 
vidir, para que aprendan el significado de esa operación, 
se utilizan siempre ejemplos con "números concretos”, de 
significado diferente en el dividendo y en el divisor. Di- 
viden, así, “bolitas” entre "niños”; “pesos” entre “per- 
sonas”, y si obtienen en un problema que a cada niño le 
tocan 3 boliitas, convendría acostumbrarlos a expresar el 
resultado en la forma: 

30 bolitas _ bolitas 
10 niños niños 

De este modo, si se les dice que para hallar la presión 
deben dividir la fuerza actuante sobre la superficie en que 
aquélla se aplica, expresarían siempre una presión en kgr 
sobre cm 2 , y así no confundirían nunca el concepto de pre- 
sión con el de fuerza. En la época en que el que esto es- 



MAGNITUDES DERIVADAS 


67 


cribe enseñaba dando las definiciones por la unidad, ad- 
vertía que los alumnos no encontraban dificultad, en los 
ejemplos, cuando la magnitud divisor estaba expresada 
por un número entero, no así cuando el divisor era menor 
que la unidad. Si se trata de una fuerza de 10 kg aplicada 
sobre una superficie de 0,1 cm 2 , y preguntamos qué fuerza 
se ejerce sobre cada centímetro cuadrado, el alumno píen- 
sa que para contestar a la pregunta habría que saber las 
fuerzas que se ejercen en los alrededores de ese décimo 
de centímetro cuadrado, hasta completar, por lo menos, la 
unidad de superficie. Además, a la pregunta formulada: 
¿qué fuerza se ejerce sobre lcm 2 ?, debe contestarse, en 
el caso del ejemplo precedente, que se ejerce una fuerza 
de 100 kg, y si el alumno dice que la presión es de 100 
kg, la culpa ha sido nuestra, por haberle dicho que se llama 
presión a la fuerza que se ejerce sobre cada centímetro 
cuadrado. Si hubiésemos dado la definición correcta y le 
preguntáramos cuánto vale la presión, es indudable que 
su respuesta hubiera sido : 


p = 100 


kgr 
cm 2 ’ 


sin incurrir en ninguna confusión. 

Quizá muchos colegas piensen que concedemos excesiva 
importancia a una cuestión que, al fin y al cabo, sólo trata 
de la interpretación que se ha de dar a una simple expre- 
sión verbal. Pero es que estas expresiones verbales origi- 
nan en muchos casos confusiones muy grandes. Pondré, 
al respecto, un ejemplo concreto. Al calcular el momento 
de la fuerza aplicada en el centro de gravedad de un pén- 
dulo, con respecto al punto de suspensión, se obtiene : 

M = mg d sen a, 

siendo m la masa pendular, g la aceleración de la grave- 
dad, d la distancia entre el punto de suspensión y el centro 
de gravedad, y a el ángulo que mide el apartamiento de la 
posición de equilibrio. Para oscilaciones pequeñas, en que 
se pueda sustituir sen a por a, se obtiene : 



68 


LA TRAMA CONCEPTUAL 


M = m g da, 


que es ]a expresión del momento que corresponde a ángu- 
los infinitamente pequeños. Se trata, ahora, de introducir 
la llamada cupla directriz, y se dice: “La cupla directriz 
es el valor del momento para un ángulo a igual a la uni- 
dad", luego, haciendo a = 1, y llamando D a la cupla di- 
rectriz, obtenemos: 

D = m g d . 

Nos encontramos aquí con que la fórmula anterior a 
ésta era válida sólo para ángulos pequeños, a pesar de lo 
cual sustituimos en ella a por la unidad, o sea por un ra- 
dián, que vale más de 57°, y, cosa curiosa, obtenemos en 
esta forma el momento que, aplicando la fórmula exacta, 
corresponde a un ángulo de 90°. Estas reflexiones que 
acabo de hacer ocasionaron al autor de este libro, en su 
época de estudiante, sus buenos dolores de cabeza. 

Todas mis tribulaciones de entonces hubieran desapa- 
recido si se me hubiera dicho : “Se llama cupla directriz al 
cociente entre el momento M y el ángulo a”. 

Se ha dicho ya, muchas veces, que el lenguaje propio 
de la Física es el lenguaje matemático. Adaptar el lengua- 
je corriente a este lenguaje, en la medida de lo posible, es 
lo menos que debemos hacer, para evitar confusiones y fa- 
cilitar la tarea de las generaciones venideras *. 


* Debo manifestar que el primero en llamar mi atención sobre 
la incorrección de las “definiciones por unidad”, fué mi ex alumno, 
hoy profesor de Física del Instituto del Profesorado en Catamarca, 
señor Werner Schiller. 



IV 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


Imagen física del mundo. — Sentido y significado de las teorías. 
— Las teorías en la enseñanza. 


Imagen física del mundo 

En un libro dedicado a la enseñanza de la Física no 
puede faltar, en la época actual, un capítulo que trate acer- 
ca de la significación de la teoría física. Ella nos brinda 
una “cosmovisión”, que difiere fundamentalmente de la 
que pudiera formarse por la observación superficial de los 
hechos de la vida diaria. La sólida mesa sobre la que es- 
cribo “es” para la Física un enjambre de partículas elec- 
trizadas en movimiento, y la fuerza que siento contra mi 
brazo, al apoyarlo sobre la mesa, es también la resultante 
de fuerzas eléctricas que actúan a distancia. El tintero 
que tengo delante, sólo en apariencia toca la mesa, pues 
debo considerar que se sostiene por efecto de las fuerzas 
que actúan entre las movedizas partículas situadas a uno 
y otro lado de la superficie de separación. Estas fuerzas 
equilibran el peso del cuerpo, que, de acuerdo a la teoría, 
no debo considerar ya como una fuerza de atracción, sino 
más bien como una fuerza de inercia, proveniente de la 
tendencia que tiene el cuerpo a seguir una geodésica de 
una variedad no euclidiana de cuatro dimensiones, una de 
las cuales es el tiempo. Hasta nuestro espacio familiar y 
euclidiano, que aprendimos a conocer en la escuela, cede 
su paso a otro curvado, que concebimos sin poder imagi- 



70 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


nar, y asociándose al viejo tiempo constituye con él un 
todo nuevo, una “variedad cronotópica”, sede de todos los 
“sucesos” del universo. 

El átomo de los griegos se convierte ahora en compli- 
cadísimos conglomerados de protones, neutrones y elec- 
trones que, saltando de aquí para allá, producen luz y ra- 
yos X, en tanto que en el núcleo atómico, de dimensiones 
inconcebiblemente pequeñas, reside la energía que aumen- 
ta constantmente la hoguera de las estrellas, y que servirá 
para mover nuestras máquinas en un futuro quizá no muy 
distante. 


Sentido y significado de las teorías 

Pero, ¿cuál es el sentido íntimo, el contenido intrínseco 
de la teoría física? ¿Qué relación existe entre una concep- 
ción teórica y la Realidad, así, con mayúscula, o con la 
realidad en sí, de los filósofos? ¿Qué opinan los propios 
físicos teóricos al respecto? ¿Existe también entre ellos, 
como entre los filósofos, posiciones dispares, que van desde 
el realismo hasta el empirismo más extremo ? 

Tratar de estas cuestiones detenidamente nos llevaría 
demasiado lejos, por lo cual prefiero dar del asunto sólo 
una visión panorámica. El punto de vista de un panora- 
ma de esta clase, no puede estar más que en el futuro, por 
lo cual haré la ficción de que el que habla, en lo que sigue, 
es un físico de las generaciones venideras, que examina, 
con muchos siglos de ventaja, la labor de las generaciones 
actuales. 

Si el desarrollo de la ciencia continúa como hasta aho- 
ra, y si el sentido y contenido de la misma es realmente 
el asignado por Mach y Poincaré, el supuesto físico del 
futuro se expresaría, probablemente, en los siguientes tér- 
minos al dirigirse a sus contemporáneos: 

“Hoy disfrutamos de una técnica poderosa y gozamos 
de los beneficios de una psicología, de una ética y de una 
sociología científica en pleno desarrollo. Ha bastado para 
ello encauzar el esfuerzo de unas pocas decenas de gene- 
raciones por el camino iniciado por Galileo, hace sólo unos 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


71 


cientos de años. En los comienzos titubeantes de nuestra 
era científica, jamás pudo nadie sospechar el alto nivel 
u que se llegaría en tan corto tiempo. Efectivamente, es 
difícil establecer el nexo entre los experimentos iniciales 
de Galileo y los llevados a cabo sobre psicología diferencial 
de peces, base de toda nuestra nomenclatura psíquica, así 
como tampoco es fácil darse cuenta de que la elementalí- 
sima matemática utilizada por Galileo para expresar sus 
leyes, no difiera esencialmente de las matrices enedimen- 
sionales, que utilizan los químicos de hoy, para obtener 
desde el material de nuestros zapatos hasta las píldoras de 
alegría. 

“En los primeros cien años que siguieron a la condena 
de Galileo, se avanzó casi exclusivamente en el dominio de 
la mecánica. La mecánica de entonces era apta únicamen- 
te para el mundo de dimensiones medias, es decir, que no 
era aplicable ni a los dominios extremadamente pequeños 
ni a los extremadamente grandes. Sin embargo, por obra 
de Newton pudo aplicarse también aquella mecánica a la 
descripción del movimiento planetario, a condición de su- 
poner la existencia de una fuerza misteriosa que, a título 
de hipótesis, se suponía emanaba de los cuerpos. 

“Nuestros filósofos de los siglos XXI y XXII se ocupa- 
ron afanosamente del problema que se llamó entonces de 
la pluralidad de las explicaciones, y sólo a partir de ese 
momento dióse por aclarada la parte convencional de to- 
da teoría científica. Pero, prosigamos cronológicamente. 

“La noción de fuerza es, como ustedes saben, antro- 
pomórfica, y se deriva del esfuerzo que realizamos para 
levantar un peso o vencer otra resistencia cualquiera. La 
humanidad no pudo de golpe hacer desaparecer sus anti- 
guos dioses sin substituirlos por algo que se les aseme- 
jara. De ahí la fuerza newtoniana. Pero, de todos modos, 
por extraño que nos parezca hoy que intervenga la noción 
de fuerza en una descripción científica, debemos recono- 
cer que aquélla lo era y en alto grado, desde el momento 
que permitía prever. No sólo fué aceptada la atracción 
newtoniana como real — real en un sentido que hoy nos 
cuesta comprender — , sino que trató de extenderse ese 
modelo a otros campos: magnetismo y electricidad. 



72 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


“En aquellos tiempos, cuando un sabio creaba una teo- 
ría creía que descubría algo; no se tenía conciencia toda- 
vía de que aquélla era un invento, tanto o más como puede 
serlo una poesía. Se buscaba la explicación, se inquiría el 
porqué. Cuando los primeros filósofos de la era científica 
hicieron ver el papel descriptivo de la ciencia, ese papel 
se consideró como algo insignificante, y producía en los 
espíritus empapados todavía en las viejas ideas algo así 
como una decepción. 

“Este estado de ánimo se agudizó en el siglo xx de la 
era cristiana. Entonces se planteaban problemas tan- ab- 
surdos como el del tamaño de los fotones. La formación 
de la imagen de una estrella por un objetivo de 5 m de 
diámetro mostraba claramente -que el fotón debía tener, 
por lo menos, ese diámetro, y como aquél era capaz tam- 
bién de arrancar un electrón del seno del átomo, resultaba 
que, simultáneamente, debía ser muy grande y muy pe-, 
queño. 

“Se explica, sin embargo, la perplejidad de los físicos 
de esa época, puesto que ellos eran los herederos espiri- 
tuales de los físicos de los siglos XVili y XIX, que todo lo 
querían explicar, salvo excepciones, basándose en modelos 
mecánicos extraídos del mundo de dimensiones medias. 
Estos físicos habían creado ciertos entes que gozaban de 
caracteres absolutos. (Esta palabra nos resulta hoy muy 
difícil de interpretar; quizá pueda hacérsela corresponder, 
en algunos casos, con el término invariante). Esos entes 
absolutos eran el espacio, el tiempo, la causalidad, etc. 

“Del espacio, por ejemplo, tenían una idea muy rara. 
Sin darse cuenta que la geometría de Euclides no es más 
que la descripción métrica de lo que ocurre en el mundo 
de dimensiones medias, para cuerpos dotados de pequeña 
velocidad, daban a las relaciones de aquella geometría un 
valor que consideraban aplicable a todo el mundo y en 
todos los casos. Creían, por ejemplo, que la distancia en- 
tre dos puntos era invariante, y se asombraron grande- 
mente cuando apareció la teoría de Einstein. 

“El tiempo era también para ellos un invariante y no 
un parámetro, como lo es para nosotros, parámetro que 
indica un reloj. 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


73 


“La confusión en los términos era, en esa época, enor- 
me. Con la misma palabra tiempo, pongo por caso, se de- 
signaba el parámetro de los físicos y la impresión interna 
de que algo pasa y fluye como el agua de un arroyuelo. Y 
así discutían, filósofos y físicos, sin entenderse. 

“La construcción de Minkowsky, que une el espacio 
con el .tiempo, tan apta y sencilla para la descripción cine- 
mática en ausencia de campo gravitatorio, era interpre- 
tada por muchos como algo real, como algo que estaba 
fuera del espíritu que la concibe. No se resignaban a de- 
jar sin sustituto el viejo espacio euclidiano, que era para 
ellos como un enorme recipiente que contenía los cuerpos. 
Aliara tenía que ser el espacio de Minkowsky el recipiente. 
Allí estaban los sucesos, y como el intervalo resultaba un 
invariante, se le daba categoría de absoluto y de real. 

“Yo sé que muchos de ustedes no entenderán estas ex- 
trañas concepciones; tal vez el ejemplo siguiente pueda 
aclarar algo: Cuando en el siglo II antes de Galileo, Colón 
descubrió la América, nadie dudó, sin duda, que América 
existía antes de que fuera descubierta. Pues bien, algunos 
físicos, en su afán teológico, creían que también la cons- 
trucción de Minkowsky existía ya de tiempo atrás, y que 
Minkowsky la descubrió. 

“Todos ustedes saben que el movimiento de los plane- 
tas, de las estrellas múltiples, o el simple movimiento de 
los cuerpos en el campo gravitacional terrestre, puede 
describirse adoptando una geometría riemanniana conve- 
niente. El cálculo de las trayectorias se reduce, en ese 
caso, a un simple problema de cálculo de variaciones, que 
hoy, con las simplificaciones que se han logrado, es capaz 
de resolver cualquier estudiante de los primeros años de 
Matemáticas. Pues bien, había entonces físicos distingui- 
dos que creían que el espacio-tiempo, o variedad cronotó- 
pica, como también se la llamaba, existía realmente. En 
otras palabras: creían que Einstein había descubierto la 
naturaleza no euclidiana del espacio, como Colón había 
descubierto antes un continente. 

“Hoy sabemos que podemos describir los acontecimien- 
tos del mundo físico de muchas maneras, compatibles en- 



74 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


tre sí, y a nadie se le ocurre preguntar cuál de ellas es la 
verdadera, la real, la existente en sí, la absoluta . 

"Hoy tenemos conciencia de que son posibles muchas 
descripciones del mundo físico, de la misma manera como 
es posible ordenar de diversos modos los libros de una bi- 
blioteca, o el fichero de la misma. 

“Hoy sabemos, y en eso estriba nuestro orgullo, que 
la ciencia es una creación del hombre, un invento del 
hombre. jj¿ .- •; 

"Si los físicos de antes pudieran oír este párrafo, se 
sentirían del todo decepcionados. Ellos, en su mayoría, 
trabajaban para descubrir; querían saber cómo era el 
mundo en sí, independientemente del observador. 

"Tal vez se comprenda esto si imaginamos un obser- 
vador extrahumano, un dios, colocado en todos los ángu- 
los posibles del Universo, dotado de sentidos perfectos, 
contemplando el mismo mundo que nosotros percibimos. 

“El físico de entonces quería saber cuál era la imagen 
que de ese mundo se formaría ese dios. 

"Sé que ustedes no me entienden claramente. Es su- 
mamente difícil penetrar en el espíritu de esa época, que 
podría compararse con la adolescencia. Nuestra educación 
también es un factor que dificulta la comprensión de la 
cultura de los primeros siglos de nuestra era, o sea de los 
albores del conocimiento científico. 

"Sabemos, porque se nos ha dicho desde pequeños, que 
la ciencia es humana; una creación del hombre para el 
hombre. 

“A principios del siglo xx, los físicos habían inventado 
un esquema bastante ingenioso, aunque muy ingenuo, para 
explicar, como ellos decían, la materia. Los átomos eran 
pequeños sistemas planetarios, donde el Sol era un núcleo 
con carga positiva, a cuyo alrededor giraban corpúsculos 
diminutos, cargados negativamente, y que llamaban elec- 
trones. 

“Pocos años más tarde encontraron los físicos que esos 
supuestos corpúsculos producían fenómenos de difracción 
e interferencia. 

" Eran por lo tanto ondas, ondas que llamaron de ma- 
teria. Quedaron asombrados frente a este hecho, pues los 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


75 


electrones eran, al mismo tiempo, muy grandes y muy pe- 
queños. 

“Encontraron — bien pronto, felizmente — que era ab- 
surdo hablar de las órbitas de los electrones, pues se die- 
ron cuenta que no se debe hablar de lo que ni en principio 
siquiera puede percibirse. Para nosotros resulta tan ab- 
surdo hablar de la trayectoria real descripta por un elec- 
trón, como del color real del mismo. El color depende de 
la luz que refleja, y para poder hacer perceptible la tra- 
yectoria, aquél debe también ser iluminado, con lo cual la 
trayectoria es perturbada. 

“Hablar de la trayectoria que describe un electrón 
cuando no se le ilumina, equivale a hablar o discutir sobre 
•cuál de dos cuadros es más hermoso, estando ambos en un 
sitio totalmente a obscuras. 

“Se inventaron entonces los espacios de configuración, 
con los cuales se tenía un esquema bastante apto para 
describir los fenómenos atómicos, pero ellos resultaban 
aün desagradables para muchos físicos, pues para tratar 
el comportamiento de n partículas, hacía falta un espacio 
■de 3 « dimensiones. El desagrado provenía de que en el 
espacio de tres dimensiones “no cabían” los átomos, y el 
espacio se consideraba como existente en sí, no como un 
invento, no como algo creado por nuestra mente para or- 
denar nuestras percepciones. 

“Hoy sabemos, gracias a los experimentos realizados 
en los siglos xxn y xxin que es posible, mediante ingenio- 
sos artificios, educar a ciertos animales de tal modo que 
ellos, por haber vivido siempre en ambientes artificiales, 
creados ex profeso, ordenen sus percepciones de tal modo 
que su “intuición del espacio” pueda hacerse corresponder 
a cualquier geometría no euclidiana. Si nuestra intuición 
espacial es tridimensional y euclidiana, ello se debe, como 
todos ustedes saben, a que en ese sencillo esquema se adap- 
tan bien las percepciones métricas de nuestro ambiente 
familiar, o sea del mundo de dimensiones medias. Pero el 
suponer que esa creación nuestra tiene existencia fuera de 
nosotros, es casi tan absurdo como suponer que el azúcar 
es dulce en sí. 



76 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


"Desde muchas generaciones atrás poseemos un len- • 
guaje lógico, cuyas reglas comenzamos a aprender desde 
la escuela, y sabemos que muchas frases del lenguaje co- 
rriente no pueden ser traducidas a ese otro ; eso nos da la 
clave para discernir entre lo que tiene y lo que no tiene 
sentido. 

“Fué en aquella época cuando comenzó la construcción 
de ese lenguaje lógicomatemático, por lo cual no se dis- 
ponía del instrumento apropiado para tratar los problemas 
filosóficos. 

“Ese lenguaje lógicomatemático ha representado, en el 
tratamiento de los problemas filosóficos, el mismo papel 
que en la mecánica la invención del cálculo infinitesimal. 
Gracias a aquel lenguaje simbólico, hoy podemos distin- 
guir, por ejemplo, en el problema del conocimiento, los 
planteamientos falsos del mismo, originados por impre- 
cisión del lenguaje — común — del mismo modo como, sólo 
después de la creación del citado cálculo infinitesimal, pu- 
dieron ser aclaradas las paradojas de Zenón de Elea. 

“Sabemos así las diversas acepciones, en distinta je- 
rarquía, que tiene la palabra conocer, y hoy damos como 
ejercicios instructivos, a los alumnos de lógica, textos an- 
tiguos de los siglos xix y xx, para que ellos descubran, 
con el auxilio del nuevo lenguaje, las falacias en que incu- 
rrían físicos y filósofos de aquella época. 

“En el lenguaje corriente de entonces, una de las acep- 
ciones de la palabra conocer era poder prever ; otra, poder 
describir ; otra, poder repesentarse ; etc. El significado 
“poder prever” se adaptaba a la Física; el “poder repre- 
sentarse”, con su infinidad de matices, al mundo psico- 
lógico. El empleo del mismo término en diferentes sentidos 
originaba confusiones enormes, de las cuales tampoco se 
eximían los físicos. 

“Era frecuente entonces pedirle a la descripción cien- 
tífica, además de previsiones, “algo más”, aun cuando no 
se especificara qué era lo que se pretendía con ese “algo 
más”. La razón psicológica de ese angustioso pedido de 
“algo más” debía ser, sin duda, las ansias de llenar de al- 
guna manera el sitial vacante dejado por los dioses en 
fuga. 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


77 


“Pero además de las acepciones que hemos enumerado 
de la palabra conocer, existían otras cuyo verdadero con- 
tenido nos resulta sumamente difícil aprehender, pues las 
l i ases en que aquélla intervenía no son traducibles a nues- 
tro lenguaje lógicomatemático. Sin embargo, procuraré 
dar a ustedes el sentido psicológico (ya que de sentido 
lógico no es posible hablar) que creo tenía la palabra co- 
nocer, y que he procurado desentrañar leyendo viejos tex- 
tos de los siglos XIX y XX. 

“Por aquella época, entre los glosadores de la teoría 
de la relatividad de Einstein se hablaba como de una rea- 
lidad del espacio-tiempo de Minkowsky, en el cual un pun- 
to material está representado por una línea (línea de uni- 
verso), con lo cual un objeto queda representado por uña 
especie de tubo. Si el objeto está en reposo, el eje del tubo 
sería paralelo a la línea del tiempo. En esta representa- 
ción, un hombre sería una especie de gusano muy largo, 
que se extendería en el tiempo, desde el embrión hasta el 
ataúd, y al cual habría que hacer corresponder una lon- 
gitud temporal igual al trayecto que recorrería la luz du- 
rante el tiempo total de duración de su vida. Pues bien, 
en algunos textos de esa época se habla del hombre como 
de un gusano tetradimensional, cosa que habría sido des- 
cubierta por Minkowsky al unir en su esquema las tres 
coordenadas espaciales, X, Y, Z, con la coordenada t. Lo 
que percibimos en un instante dado sería una sección del 
mundo para t = constante, pero la realidad, lo que es el 
mundo, sería otra cosa. Un dios situado en todas partes 
y extendido en el tiempo, desde el remoto pasado nasta el 
infinito futuro, percibiría, según lo que yo entiendo de lo 
que dicen aquellos glosadores, a los objetos o a los hom- 
bres, como gusanos tetradimensionales. 

“ Conocer , entonces, no sólo sería poder prever lo que 
en tales y cuales circunstancias podremos percibir; cono- 
cer significaría algo más: sería saber cómo percibe Dios 
al mismo mundo objeto de nuestras percepciones. 

“Claro está que esto no se decía explícitamente; las 
frases usuales eran más bien de este tipo: “Aparente- 
mente, las cosas parecen ser así; la teoría, en cambio, 



78 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


enseña que son así”. Conocer, entonces, era dar el salto 
de la apariencia a la realidad. 

“Cuando en el lenguaje corriente nosotros decimos que 
una tabla parece lisa, aunque realmente es rugosa, quere- 
mos significar solamente que si variamos las circunstan- 
cias de nuestra observación, utilizando por ejemplo un 
microscopio, aquélla, que al principio nos pareció lisa, nos 
parecerá luego rugosa. La palabra realmente de nuestra 
frase se refiere, pues, tan sólo, a una apariencia de se- 
gunda clase. 

“ Otro ejemplo: Si se obtienen de un cubo diversas fo- 
tografías, desde diferentes ángulos, trabajando sobre las 
mismas pueden encontrarse algunas relaciones que son in- 
variantes con respecto a ellas. Algunas fotografías tienen 
un contorno cuadrado; otras, hexagonal; unas son más 
grandes que otras, etc. De esas fotografías puedo deducir 
que el objeto tenía forma de cubo, y me expresaría enton- 
ces en esta forma : La apariencia, desde tal punto de vista 
y con tal iluminación, es ésta, pero la realidad es un cubo. 

“Esto significa que ese objeto aparecerá al tacto o a 
la medida directa como un cubo, y la labor científica des- 
arrollada sobre las fotografías vincularían unas aparien- 
cias con otras apariencias, unas percepciones con otras. 
Preferir las impresiones táctiles a las visuales, y decir 
que las primeras trasuntan “la realidad”, sería absurdo. 

“Si suponemos al cubo, objeto fotográfico, inaccesible 
a la observación directa, podremos, estudiando las foto- 
grafías, y luego de postular la validez de determinada geo- 
metría, por ejemplo la euclidiana, establecer ciertas rela- 
ciones entre las longitudes de las líneas del contorno, los 
ángulos, la posición en que se ha colocado la máquina, 
etc., y obtendremos relaciones, más o menos complicadas 
entre esas magnitudes, que resultan ser invariantes. Un 
invariante sería l, longitud de la arista del cubo, otro 

<*=*-£-, ángulo de dos aristas, etc. 

¿i 

“Para muchos, el objeto de la ciencia era entonces aná- 
logo al objeto que se propone el que quiere resolver un 
acertijo. Así como en el ejemplo anterior, mediante reía- 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


79 


dones matemáticas se pasaba de las fotografías al cubo, 
en la ciencia habría que pasar también de la observación 
a la búsqueda de invariantes, los cuales corresponderían a 
la realidad. 

“Si todo se hubiera reducido a llamar real a las apa- 
riencias de segunda o tercera clase, la confusión no hu- 
biera sido mayormente grande. La confusión provenía de 
qüe con la palabra real quería designarse algo que era 
opuesto a la apariencia. Si en el ejemplo anterior, el ob- 
jeto fotografiado era un cristal de cloruro de sodio, y se 
le iluminaba con rayos Roentgen, toda forma geométrica 
desaparecía, obteniéndose en su lugar bonitos dibujos de 
difracción. El cubo debía ser ahora un reticulado espacial 
de tres dimensiones. Esto se expresaría así: lo que al 
tacto o a simple vista tiene la apariencia de un cubo, con 
' caras lisas y aristas rectas, es en realidad un reticulado, 
formado por iones Na + y CK Estos iones ocupan los vér- 
tices de pequeños cubos elementales, que no tienen nada 
en su interior. La forma cúbica con que aparece el con- 
junto es una propiedad que se explicaría por lo relativa- 
mente grande que es la longitud de onda de la luz, capaz 
de ser percibida por nuestros ojos, con lo que, dicha forma 
cúbica del cristal sería también una “propiedad secunda- 
ria ", tanto como su sabor. 

“¿Y qué eran estos iones de Na y Cl? ¿Cómo creéis 
que los físicos de los comienzos del siglo xx de la era cris- 
tiana se representaban los átomos? 

“Aquellos físicos eran profundamente imaginativos: 
mezclaban la poesía con la ciencia, al punto de ser para 
nosotros difícil saber dónde terminaba la una y dónde co- 
menzaba la otra. El átomo de Na, por ejemplo, era para 
ellos un sistema planetario minúsculo, con once planetas. 
El de Cl un sistema con diecisiete. En la red del cristal, 
imaginaban que el átomo de Na cedía gentilmente su pla- 
neta más alejado al átomo de Cl, con lo cual ambos áto- 
mos quedaban convertidos en iones y fuertemente atraí- 
dos, con lo que daban consistencia al cristal. 

“Estas imágenes venían generalmente mezcladas con 
fórmulas matemáticas, y no es fácil saber si las fórmulas 
servían de adorno a la imagen, o si ésta se agregaba para 



80 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


que la lectura resultara menos árida- o más asequible a los 
lectores no matemáticos. 

“Pero, de todos modos, lo que parece seguro es que les 
resultaba muy difícil pensar sin imágenes visuales. 

“Pronto advirtieron, como dije antes, que era absurdo 
hablar de las órbitas de los electrones en el seno del 
átomo. 

“Empezaron entonces a difundirse esquemas donde se 
representaba al átomo por sus diferentes niveles de ener- 
gía, que podían ser medidos directamente. Esto represen- 
tó un gran adelanto. Si el átomo pasa de un nivel de 
energía E a otro E', se sabe, como dato directo de la ex- 
periencia, que la frecuencia v de la radiación que emite 
está dada por la expresión 


E — E' 

” ' “ h 

“Pues bien, los físicos de entonces eran tan fuertemen- 
te imaginativos, que a la fórmula anterior le adjuntaban 
la siguiente imagen: Uno de los electrones del átomo, por 
lo general el que imaginaban en la parte más exterior del 
mismo, originaría la emisión de luz, saltando como un 
acróbata desde uno a otro nivel. 

“A ustedes quizá les parezca que estas imágenes ha- 
rían la Física de aquella época muy divertida, porque, en 
resumidas cuentas, se trataría de imágenes inocentes, que 
no podrían perjudicar mayormente la descripción del fe- 
nómeno, desde que se estaba en posesión de la fórmula 
exacta. Pero no era sin embargo así. Estas imágenes 
traían consigo infinidad de confusiones . Si se medía el 
tiempo durante el cual el átomo permanecía con la ener- 
gía E (tiempo al cual se le llamaba de estacionamiento), 
se encontraba un valor del orden de 10-® segundos, y pa- 
recía que el salto se efectuaba en forma instantánea. En 
cambio, si se prestaba atención a la radiación que el 
átomo emitía, se encontraba que ese tiempo de 10' 8 se- 
gundos era el tiempo de extinción, o sea, debía suponerse 
que el tiempo de estacionamiento era cero, y en cambio, 



SENTIDO Y SIGNIFICADO DE LAS TEORÍAS 


81 


que el electrón tardaba cierto tiempo en efectuar su salto. 

“Empezó a comprenderse entonces que en una descrip- 
ción científica debían hacerse intervenir solamente aque- 
llas magnitudes que son observables, y que no debía mez- 
clarse en la descripción una imagen como la del salto del 
electrón entre dos niveles de energía, que es, en principio, 
inobservable, pues, como ustedes saben, si se pretendiera 
efectuar dicha observación, aun en condiciones ideales, 
habría que iluminar al átomo, con lo cual el supuesto elec- 
trón saltarín, al recibir el impulso luminoso, quién sabe 
dónde iría a parar. 

“Esas imágenes con que los físicos de antaño adorna- 
ban la descripción matemática de los fenómenos observa- 
dos, conducían a veces a graves contradicciones. El ejem- 
plo clásico nos lo dan las imágenes con que acompañaban 
la descripción de los fenómenos ópticos. Ya en el siglo II 
de Galileo encontraron que los fenómenos de difracción e 
interferencia se podían describir utilizando funciones si- 
nusoidales del tiempo y de las coordenadas espaciales. 
Estos físicos-poetas imaginaron entonces que todo el es- 
pacio estaba lleno de una sustancia especial, a la cual lla- 
maron éter, y creían que la luz no era otra cosa que la 
manifestación de las vibraciones de aquel medio. Primero 
creyeron que se trataba de vibraciones mecánicas, y se die- 
ron a la tarea de encontrar las propiedades físicas del 
éter. Éste resultaba ser mucho más rígido que el acero, 
a pesar de lo cual no ofrecía resistencia ninguna al movi- 
miento de los planetas. Luego se pensó que la luz no era 
otra cosa que ondas electromagnéticas. Dejóse entonces de 
hablar de las propiedades mecánicas del éter. Éste era tan 
sólo el sostén de los campos eléctricos y magnéticos, que 
en el caso de una onda varían según una función sinusoi- 
dal. Esto significó un adelanto enorme. En la teoría de 
Maxwell, en efecto, a la cual me estoy refiriendo, la parte 
imaginativa quedaba reducida a un mínimo, tanto que di- 
cha teoría puede ser identificada con dos fórmulas mate- 
máticas, donde intervienen sólo magnitudes observables. 

“Pero he aquí que a principios del siglo XX se descu- 
brió, en los fenómenos de intercambio de energía entre 
materia y radiación, el impulso y la energía de los fotones. 



82 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


La energía unitaria de una radiación de frecuencia v es- 
taba dada por la expresión : 


E = h v, 

donde h es, como saben ustedes, la constante de Planck; 
y el impulso viene dado por: 



siendo c la velocidad de la luz. Para un grupo de fenó- 
menos, era necesario apelar a una imagen corpuscular de 
la luz, y para otro grupo, a una imagen ondulatoria. Quizá 
piensen ustedes que esto mismo prueba que los físicos de 
entonces no tomaban en serio las imágenes que adjunta- 
ban a una teoría, desde el momento que se servían en di- 
ferentes casos de imágenes distintas y contradictorias. 
Pero no es así, sin embargo. 

“La dualidad corpuscular-ondulatoria del comporta- 
miento de la luz les preocupaba enormemente. Resulta 
hasta cierto punto divertido, en la actualidad, escudriñar 
memorias olvidadas de aquella época, en las que se trataba 
de resolver la paradoja. Para que ustedes puedan advertir 
la modalidad poética de los físicos de entonces, mencio- 
naré aquí que algunos propusieron la siguiente solución: 
De un foco luminoso saldrían realmente corpúsculos por- 
tadores de cierta energía y de cierto impulso. Estos cor- 
púsculos eran conducidos, en su movimiento de propaga- 
ción, por una onda, a la cual se la llamó onda piloto. Pero 
se advirtió en seguida que la conducción de los fotones por 
parte de esa onda fantasma era de un carácter sumamente 
raro y misterioso. Consideren ustedes ondas luminosas es- 
tacionarias, producidas por dos haces de luz coherente, 
que se superponen, propagándose en sentido contrario. Se 
obtienen así franjas de interferencia alternativamente bri- 
llantes y oscuras, y la pregunta natural era ésta: ¿Cómo 
pasan los fotones a través de las zonas oscuras? Parecería 
ser que los fotones no tenían existencia continua; desapa- 
recían aquí y reaparecían allá. 



Las teorías en la enseñanza 


83 


“La situación, en consecuencia, era ésta: Sabían cal- 
cular perfectamente, dado un dispositivo cualquiera, en 
qué lugares del espacio se producía un refuerzo o un de- 
bilitamiento de la luz. Si se trataba de franjas de interfe- 
rencia, se calculaban éstas de antemano, y si se colocaba 
en el lugar correspondiente una placa fotográfica, las fran- 
jas aparecían en ella en la forma que se había previsto. 
Lá impresión de la placa en ciertos lugares, revelaba que 
en ellos la luz había sido absorbida por cuantos, porque 
de otra manera no se obtienen las leyes correctas del efecto 
fotoquímico. Luego, los “fotones” llegaban solamente a los 
lugares brillantes, y estos lugares se calculaban mediante 
funciones sinusoidales, que correspondían a la imagen de 
la propagación de la luz por ondas. En éstas, la energía, 
en lugar de estar concentrada en una pequeña porción del 
espacio, debía suponerse, por el contrario, repartida en to- 
da la superficie de onda. 

“Se pensó entonces que las ondas en cuestión fueran 
“ondas de probabilidad”, es decir, entes puramente ma- 
temáticos. El cuadrado de la amplitud de la onda en deter- 
minada región, daba solamente la probabilidad de encon- 
trar allí a un fotón. 

“En lo que se refiere al átomo, y en particular al nú- 
cleo atómico, se realizaron prodigiosos adelantos, sobre 
todo después de finalizada la Edad Media, que, como us- 
tedes saben, se considera actualmente que termina en el 
año 1945, en que se puso fin a la última de las guerras 
que tuvo que soportar la humanidad.” 

Hasta aquí la visión panorámica prometida, puesta en 
labios de un supuesto físico del futuro. Nada importaría 
que aquél no acertara con el juicio que realmente se hará 
algún día acerca de nuestras concepciones científicas ac- 
tuales, con tal que quedara en pie su última afirmación. 


Las teorías en la enseñanza 

Los hechos aislados se conectan entre sí mediante leyes, 
y leyes pertenecientes a dominios distintos encuentran su 
vinculación en lo que se llama una teoría. 



84 


SIGNIFICADO DE LA TEORÍA FÍSICA 


No importa que la teoría trasunte o no “la realidad”; 
no importa que se apoye en imágenes que puedan ser con- 
sideradas como ingenuas; no importa que las de hoy no 
serán las de mañana; lo que realmente interesa es justa- 
mente esa vinculación. Si para establecerla, como un apoyo 
mental, necesitamos apelar de una imagen, que sea ella 
bienvenida. Con su éter mecánico pudo Fresnel vincular 
entre sí las leyes de la reflexión y refracción de la luz, 
dar cuenta de los fenómenos de interferencia, difracción 
y polarización hasta en los más mínimos detalles, y si los 
grandes sabios necesitan para sus ondas de algún sostén, 
sería absurdo que pretendiéramos, desde el comienzo, que 
nuestros alumnos prescindieran de él. 

Con el modelo atómico de Bohr, y con sus órbitas cir- 
culares, “en principio inobservables”, se explica en forma 
maravillosa, al decir de Sommerfeld, “la silenciosa música 
espectral que irradian los diminutos clavicordios atómi- 
mos”, y aprendemos, sirviéndonos del modelo, a descubrir 
insospechadas conexiones entre átomos y estrellas. Cuando 
una teoría ha sido realmente útil en un momento dado, 
nunca llega a ser enteramente falsa. Las conexiones esta- 
blecidas por la teoría y verificadas por la experiencia se- 
guirán siempre tan inconmovibles como los hechos mismos. 

No discutamos aquí si las teorías se descubren o se in- 
ventan. Lo cierto, lo incuestionablemente cierto, es que 
ellas aparecen para simplificar la descripción de los he- 
chos observables. Imaginemos un momento que tuviéramos 
que describir todos los fenómenos de electroestática sin 
hacer uso de la hipótesis de los dos flúidos eléctricos, o 
que enseñamos magnetismo sin apelar a los imanes ele- 
mentales. 

Basta la más mínima reflexión para convencernos que 
una pura descripción, sin el auxilio de . una teoría, sería 
imposible. La teoría que en su hora iluminó el camino del 
investigador facilita igualmente, en general, la tarea del 
profesor y la del alumno. Al captar éste, por ejemplo, que 
el calor no es más que una manifestación del movimiento 
molecular, no sólo verá claro el principio de equivalencia 
y podrá darse mejor cuenta de los cambios de estado, sino 
que más tarde también se le aparecerá como natural y 



LAS .'PEORÍAS EN LA ENSEÑANZA 


85 


previsible la pérdida de las propiedades magnéticas por 
d aumento de temperatura. Fenómenos tan diversos como 
d calentamiento de una plancha por el pasaje de una co- 
rriente eléctrica, y el calentamiento de un serrucho al 
aserrar madera, se presentarán igualmente a su espíritu 
dentro del mismo marco conceptual. La diversidad feno- 
menológica tan múltiple se reduce así a unos cuantos haces 
fáciles de aprehender. El principio de la economía de pen- 
samiento de que habla Mach se cumple ampliamente, y si 
el objetivo de las teorías físicas fuera solamente ése, como 
pensaba el ilustre pensador que debía ser, dicho objetivo 
no es nada despreciable y debe tenérsele muy particular- 
mente en cuenta en la enseñanza. 

Pero aparte de todo esto, las teorías tienen un valor 
epopéyico difícil de mensurar. 

Es necesario despertar la emoción y exaltar el entu- 
vsiasmo que nace de la contemplación de la más prodigiosa 
de las empresas llevadas a cabo por el espíritu humano. 
Los jóvenes aman la aventura, los viajes riesgosos, las 
luchas desproporcionadas. . . Y no hay aventura más gran- 
de que la emprendida por el pensamiento científico. No 
es cierto que la ciencia sea fría y árida; lo que ocurre es 
que los poetas de nuestra época están en rémora. Ellos, 
que supieron cantar las hazañas de los guerreros y con- 
quistadores, permanecen hasta hoy mudos e indiferentes 
frente al prodigio que tienen delante y que transforma al 
mundo. Se necesitan poetas que canten el desigual en- 
cuentro entre Júpiter, armado de rayos, y el cruzado ca- 
ballero de la ciencia que desvía todos sus golpes con su 
puntiaguda espada dirigida a lo alto; poetas que nos di- 
gan de la formidable aventura llevada a cabo por Copér- 
nico, al seguir por el espacio insondable las pistas de los 
astros, y que, con un solo golpe de inaudita audacia, con- 
vierte a nuestro mundo, firme y quieto, en un globo más, 
errante vagabundo de los cielos. 

Newton, el hombre tímido y prudente para enfrentar 
las contingencias de la vida diaria, espera aún, desde su 
sitial de gloria, la llegada del vate que se habrá de inspi- 
rar algún día en su osadía sin límites de legislador del 
ciclo y de la Tierra, y Galileo Galilei, padre, apóstol y 



86 


SIGNIFICADO Í)É LA TEORÍA FÍSICA 


mártir de la ciencia, por cuyo plano inclinado vemos hoy 
rodar, si nos fijamos bien, átomos y estrellas, espera tam- 
bién al Homero que cantará sus hazañas, cual nuevo 
Ulises. 

¿No hay, acaso, elementos poéticos en la ciencia? ¿Aca- 
so no se sienten aún los latidos del corazón de Galle cuan- 
do, con una carta de Leverrier en una mano, dirige con la 
otra el anteojo hacia una remota región del cielo, para 
observar un mundo atrapado en la red de la mecánica de 
Newton ? 

¿No lo veis a Hertz, cabalgando por el éter en las ecua- 
ciones de Maxwell, y haciendo temblar el campo de sus 
hazañas con la misma facilidad con que un niño produce 
ondas arrojando piedras en la tranquila superficie de un 
lago? 

¿No sospecháis de la emoción de un Faraday cuando 
por el simple movimiento de su brazo, armado de un imán, 
puede producir corrientes eléctricas a su antojo? 

Y así podría seguir multiplicando sin límites los ejem- 
plos, pues en todo descubrimiento científico, grande o pe- 
queño, todos los éxitos y todos los fracasos provienen de 
aventuras emprendidas con el corazón henchido de espe- 
ranza, y cuyo resultado aguardamos en suspenso, embar- 
gados por la emoción. 

Para despertar en nuestros alumnos el amor por la 
ciencia no basta con hacer que reciten bien las leyes o las 
teorías que las vinculan ; no es suficiente tampoco con ha- 
cerles sentir una admiración pasiva por los grandes sabios, 
que hasta puede llegar a ser contraproducente o depri- 
mente, lo que debe procurarse es que ellos mismos sientan 
la emoción y la belleza que emana del conocimiento cien- 
tífico. 



V 


EL ALUMNO 


Tendencias y aptitudes. — La aptitud matemática. — La aptitud 
matemática y la Física. — El alumno y la Física. 


La revolución copernicana producida en estos últimos 
tiempos en materia pedagógica, ha consistido, fundamen- 
talmente, en el desplazamiento del centro de gravedad del 
par maestro-alumno hacia este último. 

Ya no es el alumno el que debe girar sobre una órbita 
rígida, viéndose obligado a recorrer el estrecho sendero 
que se le señala, sin decirle siquiera adónde conduce. En 
el esfuerzo educativo del presente se procura que la ener- 
gía motora surja del educando mismo, que lo muevan sus 
propios intereses e inquietudes. No se trata de que ascien- 
dan por la empinada cuesta con la espalda doblada y los 
ojos caídos, sino que emprendan la ascensión con la ale- 
gría que pondría en ello un deportista, que sube por el 
puro gusto de subir. 


Tendencias y aptitudes 

El método para despertar primero y encauzar después 
aquella energía no es sencillo. Las diferencias psíquicas 
individuales complican el problema extraordinariamente. 
No sabemos de qué depende ni cómo se despierta el inte- 
rés por un asunto determinado. El sabio que pasa su vida 
meditando siempre en torno a determinada cuestión, y 



88 


EL ALUMNO 


que se apasiona por todo aquello que pertenece a su espe- 
cialidad, preocupándose vivamente y desde el fondo de su 
alma por los más mínimos detalles de cierto grupo de 
cuestiones, permanece en cambio frío e indiferente delante 
de los más extraordinarios fenómenos que no pertenecen 
a “su sector”. Cuando Galileo construye su anteojo, noche 
tras noche observa y anota cuidadosamente todo aquello 
que va desfilando por su campo visual. 

Descubre así, en poco tiempo, las fases de Venus, los 
satélites de Júpiter; presiente el anillo de Saturno; mide, 
por la sombra que proyectan, las alturas de muchas mon- 
tañas lunares, y descubre también las libraciones de nues- 
tro satélite. Sin descansar, de día medita y analiza los 
resultados de sus observaciones nocturnas, y le queda to- 
davía tiempo para descubrir las manchas solares y el mo- 
vimiento de rotación del astro central. En contraste con 
este interés, esta curiosidad y este apasionamiento, al poco 
tiempo construye un microscopio, con el cual se limita a 
observar superficialmente algunas alas de mariposa, al- 
gunas patas de insectos, y antes de los ocho días de cons- 
truido, el aparato era abandonado en un rincón, sin haber 
efectuado con él ni siquiera una sola observación impor- 
tante. 

Si ambos instrumentos hubieran caído en cambio en 
manos de un zoólogo, es seguro que el telescopio habría 
sido el que hubiera ido a parar al desván de los trastos 
viejos. 

La clasificación de los diversos tipos psicológicos, de 
acuerdo con sus tendencias, aptitudes y características ín- 
timas, es sin duda una tarea sumamente compleja, que 
no se podrá realizar en una sola dimensión, porque el “nú- 
mero de variables” exigiría una representación multidi- 
mensional. 

A pesar de ello, y para tener alguna idea acerca de 
las tendencias que se manifiestan en el hombre frente a 
los estudios científicos, consideraremos una clasificación 
lineal de las ciencias, tal como la de Comte: Matemática; 
Astronomía; Física; Química; Biología y Sociología. 

No discutamos aquí si este orden corresponde o no a 
un orden jerárquico, en el sentido de que las principales 



TENDENCIAS Y APTITUDES 


Sí) 


leyes de cada ciencia sirven de base a las que le siguen y 
se apoyan en las de la ciencia precedente. Lo cierto es que 
esas disciplinas existen y tienen sus cultores. Debemos, 
pues, aceptar como un hecho la existencia de mentalida- 
des particularmente dispuestas para el estudio de una u 
otra disciplina. Si pudiésemos medir de alguna manera la 
atracción que el estudio de cada rama produce en un in- 
dividuo determinado, representando en las abscisas a las 
diferentes ciencias, y en las ordenadas las atracciones res- 
pectivas, tendríamos un perfil característico de las ten- 
dencias que guían su personalidad. 

En el caso de una vocación bien manifiesta, se notaría 
un pronunciado pico en el lugar correspondiente, en tanto 
que en otros casos, la curva seguiría más o menos parale- 
lamente al eje de las abscisas. Con tests especiales podrían 
obtenerse curvas similares a las descriptas. 

Hemos hablado de la “atracción” que el estudio de 
una disciplina o asunto ejerce sobre determinada persona, 
como si se tratara de una verdadera atracción física. Ésta 
puede ser grande o pequeña, estar disimulada por una 
trama de intereses secundarios o por el reclamo imperioso 
del ajetreo constante y rutinario de todos los días; pero 
negar su existencia en el plano psíquico, sería tan absurdo 
como negar la existencia del amor mismo. 

La atracción que en un momento dado puede ejercer 
sobre cualquier mortal un simple problema de palabras 
cruzadas, o la complicada trama de una novela policial, 
no difiere, en esencia, de la atracción que experimenta el 
estudioso al engolfarse en determinada cuestión. 

En la esfera intelectual, el interés que nos mueve a 
ocuparnos de cierto asunto reconoce los más diversos orí- 
genes. Si dicho interés emana de la atracción propia que 
el objeto de nuestro estudio produce en nosotros, diremos 
que se trata de un interés primario . Hablaremos en cam- 
bio de interés secundario , cuando los móviles que nos im- 
pulsan son ajenos al objeto mismo. 

Como no es fácil discriminar el origen de aquellos mó- 
viles, esta clasificación debe ser considerada como pura- 
mente esquemática. 



90 


EL ALUMNO 


En las afanosas búsquedas astronómicas y físicas de 
Galileo, parecería ser que el motor psíquico sacara su 
energía de un puro interés primario. Sin embargo, el es- 
tudio de su biografía no permite descartar que el móvil 
central de su actividad fuera el deseo, casi deportivo, de 
derrotar a los peripatéticos, lo que logró, sin duda, plena- 
mente. 

Prescindiendo de estas sutilezas psicológicas, la histo- 
ria muestra que los sabios se afanan no sólo por aquel 
puro interés primario, sino que también los mueve el amor 
a la gloria y a las ansias de sobresalir. 

Aparte de lo que precede, es frecuente emprender un 
estudio movidos por un “interés secundario”, y proseguir 
luego por el camino iniciado, sin otro móvil que el de con- 
tinuar la marcha. Ahora es la atracción que emana del 
asunto mismo la que nos hace gravitar en su torno. 

Astrólogos que se convierten en astrónomos, y alqui- 
mistas en químicos, los hay por centenares, como hay mé- 
dicos que comienzan sus estudios con el único objeto de 
lucrar, y terminan, a pesar de todo, por enamorarse real- 
mente de su profesión. Hablando en términos generales, 
se advierte que los intereses primarios son tanto menos 
intensos cuanto más indiferenciados se manifiestan. 

Las vocaciones bien definidas aparecen por una pola- 
rización de aquellos intereses, al concentrarse en una única 
dirección. 

Planteada la cuestión en estos términos, debemos pre- 
guntarnos: ¿Qué clase de interés mueve a este o a aquel 
alumno para estudiar tal o cual cosa? Es fácil advertir 
que el interés del educando es, en general, de carácter se- 
cundario. Lo mueve al estudio una imposición externa, 
proveniente del padre o del maestro. En un momento dado 
debe interesarse por la campaña de San Martín, y luego 
de un pequeño intervalo, tendrá que concentrar su aten- 
ción en el teorema de Pitágoras. En uno y otro caso, es 
la libreta de calificaciones o el deseo de captar la voluntad 
del maestro, o la esperanza de alcanzar una mayor consi- 
deración de parte de sus compañeros, etc., lo que le im- 
pulsa a realizar el indispensable esfuerzo de concentra- 
ción. Pero he aquí que, en un momento dado, la esfera 



TENDENCIAS Y APTITUDES 


91 


puramente intelectual es bañada por una corriente emo- 
tiva, y nuestro alumno se olvida de la libreta de califica- 
ciones, se olvida de las imposiciones del padre o del maes- 
tro, se olvida de la consideración que esperaba conquistar, 
se olvida, en fin, de todo, para seguir al héroe en su mar- 
cha a través 'de los picachos nevados, o para saborear el 
placer que emana del proceso que realiza su razonamiento, 
que le permite establecer una verdad general e insospe- 
chada, a partir de un simple diseño mal dibujado. 

En este desborde de emoción se produce el tránsito del 
interés secundario al interés primario. 

Cuando un alumno comienza a leer de mala gana una 
novela, por imposición de su profesor de letras, y termina 
por “devorarla”; cuando después de resolver un problema 
impuesto, busca variar los datos del mismo tratando de 
complicarlo o generalizarlo; si luego de aprender penosa- 
mente una demostración, la repite por puro gusto una y 
otra vez, diciéndose para sí: "claro”, “¡qué notable!”, 
“¡qué maravilla!”; si después de cerrar su texto o escu- 
char la lección sigue pensando en el tema, ya sea en el 
modo cómo vivían los griegos del siglo de Pericles, o en la 
división celular, queriendo saber una y otra cosa por el 
simple gusto de saberla, es que se ha producido el trán- 
sito de que hablábamos. Para que se produzca es necesa- 
rio haber experimentado una vivencia, es decir, un cono- 
cimiento impregnado de emoción. 

Las diferencias psicológicas tan enormes que se obser- 
van entre uno y otro individuo provienen, fundamental- 
mente, de la diversidad de “objetos” que, en unos y en 
otros, sirven de estímulo para producir el despertar de 
una vivencia. 

En términos mecánicos, podríamos expresar lo que 
precede diciendo que cada asunto tiene algo así como una 
rueda dentada capaz de engranar, más o menos fácilmen- 
te, con el rodaje psíquico de cada individuo. 

El “paso” de las Matemáticas, convendría a ciertas 
mentalidades, en tanto que otras engranarían mejor con 
(“1 rodar biológico o histórico. 



92 


EL ALUMNO 


Hacíamos referencia, lineas más arriba, al perfil psí- 
quico que se puede obtener de determinado individuo en 
lo que a sus tendencias se refiere. 

Si se traza otro perfil del mismo individuo, relativo a 
sus aptitudes, entre ambas representaciones se nota, en 
general, un paralelismo bien marcado. 


La aptitud matemática 

Las diferencias de aptitud entre unos y otros indivi- 
duos se advierten en todos los sectores de la actividad hu- 
mana, pero quizás en ninguno de ellos con tanta nitidez 
y amplitud como en lo referente al aprendizaje de las Ma- 
temáticas. 

Aquí, lo que para algunos es un juego, para otros cons- 
tituye un verdadero suplicio. Desde los primeros años se 
manifiestan notables diferencias entre alumnos que, en 
los demás aspectos, tienen aptitudes parecidas. Si el aje- 
drez se enseñara en las escuelas, se comprobarían también 
diferencias de capacidad tan marcadas como las que se 
manifiestan en los estudios matemáticos, cuya “disper- 
sión” es sólo comparable a la que es dable observar en las 
aptitudes artísticas. Creer que la inteligencia puede me- 
dirse por la aptitud matemática, es un error del cual fe- 
lizmente ya se han liberado los pedagogos de hoy. Tal 
creencia no es más ni menos absurda que la suposición de 
que esa facultad pudiera apreciarse por la habilidad con 
que se juega al ajedrez. Grandes estadistas y hombres de 
letras, y personas dotadas de un fino espíritu crítico y 
de observación, han sido pésimos alumnos de Matemáti- 
cas, lo cual es reconocido por muchos de ellos, que hasta 
llegan a jactarse de esa falta de aptitud. 

Los grandes matemáticos han sido siempre precoces. 
Se dice de Gauss que teniendo sólo cinco años, se le enco- 
mendó como deber efectuara la suma de los primeros cien 
números naturales. En pocos minutos presentó el resul- 
tado exacto, e interrogado acerca del procedimiento se- 
guido, manifestó que había multiplicado 101X50, pues 



LA APTITUD MATEMÁTICA 


93 


observó la constancia de la suma de los términos extremos 
de la progresión aritmética, cuya fórmula sumatoria aca- 
baba de deducir y aplicar. A los dieciocho años, este mis- 
mo Gauss publicaba su célebre memoria sobre el método 
de los cuadrados mínimos. Galois, que dejó en Matemáti- 
cas üna obra imperecedera, murió en un duelo a los vein- 
tiún años, y Pascal, a los dieciséis, escribía su Ensayo so- 
bre las cónicas. Los ejemplos de esta clase podrían multi- 
plicarse casi sin límite. 

Si se considera un grupo de N individuos, y se repre- 
senta en el eje de las abscisas una de las características 
medibles de cada uno de ellos, y en el de las ordenadas las 
frecuencias, o sea el número de individuos del grupo con 
tal característica, se obtiene para un "grupo normal”, con 
respecto a la cualidad considerada, la conocida curva en 
campana de Gauss. Si se preparan problemas matemáticos 
de creciente dificultad, y se los somete para su resolución 
a un grupo de cien o mil alumnos del mismo curso, al efec- 
tuar la gráfica de frecuencia se obtiene también la curva 
( n campana, pero con forma aplastada, mostrando así la 
gran "dispersión” del grupo respecto a la aptitud consi- 
derada. Si sobre el mismo grupo se construye la curva de 
frecuencia en lo que se refiere, por ejemplo, a una apti- 
tud física, la campana representada por la curva aparece 
más alargada. 

En 1927, A. Müller dió a conocer, en su obra Wege zür 
Zahl, las investigaciones llevadas a cabo en la ciudad de 
Dresden por un grupo de maestros primarios que traba- 
jaban bajo su dirección. Con el material acumulado en esa 
forma, el autor creyó poder clasificar a los alumnos, en 
lo que al aprendizaje de las Matemáticas se refiere, en los 
lineo tipos siguientes: 

Tipo A: teórico; 

Tipo B: mecanizador; 

Tipo C: aplicador; 

Tipo D: imaginativo; 

Tipo E: refractario. 



94 ÉL ALUMNO 

Pertenecen al primer tipo aquellos alumnos que desean 
conocer el “porqué” de las reglas, sintiendo verdadero pla- 
cer al resolver un complicado problema, sin preocuparse 
mayormente por la exactitud de su resultado. 

En cambio, los del segundo tipo son memorizadores, y 
muy seguros en el cálculo numérico, gustándoles operar 
con números de muchas cifras. Los ejercicios largos y com- 
plicados los deleitan, no así los problemas en que sea ne- 
cesario cierto esfuerzo mental para su planteo. 

Los del tercer tipo son fundamentalmente intuitivos; 
les es indispensable siempre, como apoyo mental, una re- 
presentación objetiva concreta, y consideran absurdo todo 
problema que tenga datos inverosímiles. 

En cambio, los del cuarto tipo son abstractos, en el 
sentido de que les gusta operar con los números, sin cui- 
darse de que tengan o no representación concreta. Las 
curiosidades e historietas aritméticas, así como la resolu- 
ción de acertijos, constituyen para los de este grupo un 
verdadero deleite. 

Por último, los refractarios son aquellos alumnos que 
jamás hubieran podido entrar en la Academia de Platón. 
No se trata de personas anormales, pues muchos de ellos 
sobresalen en el aprendizaje de otras asignaturas. Éstos 
son los que más tarde dirán; “las Matemáticas no se han 
hecho para mí”. Si logran aprender algo, es a costa de 
un gran esfuerzo, que les ocasiona un profundo disgusto 
interior. 

El psicólogo francés A. Binet dice al respecto: “Esta 
ausencia de aptitud para las Matemáticas y para las cien- 
cias en general se observa también en los adultos, aun en- 
tre algunos individuos ilustrados, y hasta de inteligencia 
superior, que reconocen, sin falsa vergüenza, su incapaci- 
dad, y hacen de ello hasta un título de gloria”. 

Para el profesor Neill, director de la escuela de Sum- 
merhill, de Leiston (Inglaterra), esta incapacidad provie- 
ne, en el noventa por ciento de los casos, del hecho de ha- 
ber pretendido enseñar Matemáticas a los niños mucho 
antes de que para ellos tuviera esta disciplina significado 
alguno. 



LA APTITUD MATEMÁTICA Y LA FÍSICA 


95 


Naturalmente, la clasificación de Müller en cinco tipos 
psicológicos, en lo que al aprendizaje de las Matemáticas 
m(‘ refiere, no quiere decir que necesariamente un alumno 
deba pertenecer a uno u otro tipo. El alumno real tiene 
siempre algo de los diversos tipos de la clasificación, y si 
se le cataloga de uno u otro modo es atendiendo a ciertas 
modalidades que parecen ser las más características. 


La aptitud matemática y la Física 

La heterogeneidad en el aprovechamiento de la ense- 
ñanza de la Física proviene, casi exclusivamente, de la 
diversidad en la aptitud matemática de los alumnos. A 
causa de ello, la mayor dificultad en la enseñanza de la 
Física se presenta en el ciclo medio, pues en el ciclo pri- 
mario, la enseñanza de esa disciplina es y debe ser casi 
exclusivamente de carácter cualitativo, y, como veremos 
más adelante, dicha enseñanza se reduce fundamentalmen- 
te a dar nombre a ciertos hechos y fenómenos. Un número 
de alumnos de mayor retentiva, aprenderán más rápida- 
mente que otros; algunos se entusiasmarán con un expe- 
rimento que a otros dejará más o menos indiferentes, pero 
todos se encontrarán exactamente en el mismo plano cuan- 
do se les dice: “a esto se le llama fusión”; “como ven , la 
luz roja es la que menos se desvía”; “los polos norte de 
dos agujas magnéticas se rechazan, como acaban de ver”, 
etc. 

En el ciclo superior, las dificultades originadas por la 
intervención de las Matemáticas, se subsanan en gran par- 
te por la selección que se efectúa en el propio alumnado, 
el cual, por esta misma razón, es mucho más homogéneo. 

En cambio, en el ciclo secundario existen dificultades 
que son casi insuperables para gran cantidad de alumnos. 
Analizaré la naturaleza de esta dificultad tomando un 
ejemplo concreto. 

En nuestro medio, la enseñanza de la Física, en el ciclo 
secundario, se comienza por la mecánica, y al tratar de la 
cinemática es necesario dar el concepto de aceleración y 



96 


EL ALUMNO 


estudiar detenidamente el movimiento uniformemente va- 
riado. Convengo en que, con gran esfuerzo y habilidad, el 
profesor puede hacer que si no todos, por lo menos la gran 
mayoría de los alumnos capten el concepto de aceleración 
como medida de la rapidez con que varía la velocidad. 
Convengo también en que, después de apelar a muchos 
ejemplos numéricos y a referencias constantes a las in- 
dicaciones de los velocímetros de los automóviles (que ad- 
mitiendo que nos indican la velocidad instantánea, nos evi- 
ta el tener que recurrir a la noción de límite), puedan los 
alumnos llegar a interpretar perfectamente la fórmula 

V - Vn + a t, 

pero cuando se quiere pasar de esta fórmula a la del es- 
pacio recorrido, y se representa para ello, en una gráfica, 
la velocidad en función del tiempo, y se demuestra, efec- 
tuando sin decirlo una operación de cálculo integral, que 
el espacio está dado por el área del trapecio que aparece 
en la figura, sólo unos pocos habrán seguido el hilo de la 
demostración. 

Es necesario indagar qué es lo que pasa por el espíritu 
del alumno que, a pesar de haber puesto toda su atención 
y su voluntad para seguir la demostración, se ha quedado 
a mitad de camino. Algunos de ellos deben quedar perple- 
jos, ya desde el comienzo, al ver que un movimiento se 
representa en forma estática, por medio de una figura. 
Otros encontrarán, seguramente, que todo es demasiado 
artificial, y, desde luego, no carecen de motivos para opi- 
nar así. 

Para saber el espacio que recorre en cierto tiempo un 
cuerpo que cae libremente, hemos tenido que representar 
dos rectas ortogonales, que, en verdad, nada tienen que 
hacer con el movimiento; hemos convenido en que deter- 
minado segmento de lo que llamamos eje de las ordenadas 
representa una velocidad, y otro segmento del eje de las 
abscisas, un tiempo. He aquí que el alumno tiene ante sus 
ojos dos rayitas: una representa una velocidad de cinco 



LA APTITUD MATEMÁTICA Y LA FÍSICA 


97 


metros por segundo, la otra, un tiempo de un segundo, o, 
todavía: una, una velocidad v, y la otra, un tiempo t. 

No queremos insinuar aquí que existan alumnos nor- 
males incapaces de comprender una representación de esta 
dase, ya que una cuadrícula en que se indica, p. ej., la 
temperatura en función del tiempo, es interpretada por 
cualquiera, si se le ha dado para ello alguna explicación. 
Lo que deseo hacer resaltar es la cantidad de convenciones 
y abstracciones, necesarias en el camino de la demostra- 
ción, hechas en un tiempo que para muchos alumnos re- 
sulta insuficiente. Aparte de que, en el caso de la cuadrí- 
cula en que se marca la temperatura de un enfermo, la 
gráfica corresponde a un caso concreto: el enfermo está, 
ahí, el termómetro aquí, y el todo resulta importante y 
significativo. 

En cambio, al representar gráficamente un movimien- 
to variado, ya las preguntas : "movimiento de quién”, “mo- 
vimiento de qué”, no tienen respuesta, y si la tienen, es 
en esta forma abstracta: “Se trata del movimiento de un 
punto matemático”. No es la representación gráfica del 
movimiento de aquel automóvil o de este tren, no; es la 
representación gráfica de un movimiento pensado, de un 
movimiento que llamamos uniformemente variado, que pa- 
ra el profesor tiene un gran significado, pero ninguno 
para el alumno. Además, se trata de representar un mo- 
vimiento uniformemente variado cualquiera, es decir, que 
no representemos un movimiento cuya aceleración sea, 

i», ej., de 4 - m -, sino una aceleración indefinida: a. La 
seg 2 

introducción de esta a, que puede tener cualquier valor, 
pero que no tiene ninguno, es precisamente lo que hace 
posible la demostración general, calculando el espacio re- 
corrido en un tiempo también cualquiera: t, y por lo mis- 
mo, indefinido e impreciso. Se me dirá que cuando el pro- 
fesor de Física efectúa una demostración de esta clase no 
lince más que apoyarse en lo que ya han “aprendido” en 
las clases de Álgebra, pero nos permitimos recordar, para 
que se juzgue acerca de la magnitud del esfuerzo que exi- 



98 


EL ALUMNO 


gimos a muchachos adolescentes, cuya estructura psicoló- 
gica es tan compleja y variada, que el Álgebra es una cien- 
cia relativamente reciente, totalmente desconocida por el 
pueblo griego. 

Cuando hayamos logrado que el alumno se desprenda 
clel automóvil o del tren concreto en movimiento, y piense 
en un punto que se desliza sobre una recta, le imponemos 
al punto que su velocidad crezca proporcionalmente al 
tiempo, y representamos todo ello en un sistema de ejes 
coordenados. Aparece entonces, como representación, una 
recta, recta que nada tiene que ver con la trayectoria del 
punto, y el punto mismo que se mueve, objeto de nuestro 
estudio, no tiene representación en esa gráfica, del mismo 
modo que el enfermo no aparece en la cuadrícula. 

Desde luego que, al llegar aquí, hay ya muchos alum- 
nos que se han extraviado en el tupido bosque de las coor- 
denadas cartesianas y de los signos algebraicos. Los que 
han salido airosos de esta encrucijada verán que la pen- 
diente de la recta mide la aceleración del movimiento re- 
presentado; verán, sin necesitar mayores explicaciones, 
que cuando la recta va “hacia arriba”, el movimiento es 
uniformemente acelerado, y que cuando va “hacia abajo”, 
se representa con ello un movimiento uniformemente retar- 
dado. En este último caso, descubrirán por sí mismos que 
la intersección de la recta, que representa la velocidad con 
el eje del tiempo, indica el instante en que la velocidad se 
anula, y tal vez descubran, también, que si se prolonga la 
recta representativa por debajo del eje del tiempo, ello 
significa un cambio en el signo de la velocidad, es decir, 
un cambio en el sentido del movimiento. 

Pero estamos todavía en el comienzo: el movimiento 
acelerado representado en la figura debe ser descompuesto 
en una sucesión de movimientos uniformes. La recta se 
convierte ahora en una escalera; aparecen una sucesión 
de rectángulos, cuyas áreas miden los espacios parciales 
recorridos, y para tener ahora el espacio total recorrido 
por el móvil que se mueve con movimiento uniformemente 
acelerado, es necesario el paso al límite, o sea hacer que 



LA APTITUD MATEMÁTICA Y LA FÍSICA 


99 


los escalones de nuestra escalera se hagan más y más pe- 
queños, hasta que desaparezcan. Sólo entonces habremos 
demostrado que el espacio está dado por el área del tra- 
pecio que se ve en la figura. 

¿Qué pasa, entretanto, por el espíritu de los alumnos 
que.se han extraviado? ¿En qué punto del camino se han 
perdido? ¿Han rodado quizás escaleras abajo, cuando en el 
paso al' límite suprimimos los escalones de la misma ? Pero, 
¿es acaso tan difícil hacer entender cómo caen los cuerpos 
en el vacío? 

La manera precedente de explicar el movimiento uni- 
formemente acelerado es adecuada únicamente para aque- 
llos alumnos que muestren predisposición especial por el 
.estudio de las Matemáticas. En cambio, es contraprodu- 
cente para el resto. No afirmamos de ningún modo que 
haya alumnos en absoluto incapaces para comprender 
aquel razonamiento, pero sí que hay muchos que todavía 
no están maduros para sacar provecho de esa clase de de- 
mostraciones. El mismo alumno que hoy sintió pánico 
frente a esa demostración, pasados uno o dos años puede 
encontrarla sencilla, si es que no se le envenenó el espíritu 
obligándole a estudiar de memoria y repetir lo que está 
fuera de su alcance. 

Veremos, más adelante, que esta y otras muchas difi- 
cultades podrán ser eliminadas, o por lo menos disminui- 
das, con un ordenamiento de los programas, en los cuales 
se tenga en cuenta, más de lo que lo ha sido hasta ahora, 
al alumno mismo. Pero, aun con los programas actuales y 
con la heterogeneidad característica del alumnado que se 
pone a cargo de un profesor, es posible, adoptando un mé- 
todo adecuado, hacer que no aparezcan en nuestros discí- 
pulos prematuros e infecundos complejos de inferioridad. 

El resultado poco halagüeño de la clase sobre el movi- 
miento uniformemente variado a que nos referíamos se 
debe a que el profesor da su lección para un tipo mental 
de alumno, de la misma clase que el tipo mental propio. 
Los alumnos con predisposición para las Matemáticas y 
ccn gran facilidad de abstracción se beneficiarán realmen- 



100 


El, ALUMNO 


te con esa clase de enseñanza, que resultará en cambio de 
un valor negativo para el resto. En cada lección hay siem- 
pre algo fundamental, que debe ser asimilado por la tota- 
lidad de los alumnos. Si el movimiento uniformemente ace- 
lerado es importante, es porque los cuerpos caen con esa 
clase de movimiento, y por ser, además, el movimiento que 
adquiere un cuerpo sometido a una fuerza constante. Pro- 
curemos entonces estudiar primero el movimiento de caída, 
y no, presuntuosamente, el “movimiento uniformemente 
variado en general”. 

Si nos pasamos una clase entera “jugando” con el plano 
inclinado de Galileo, repitiendo una y otra vez el experi- 
mento para diversas inclinaciones del plano, comprobando, 
en todos los casos, que en un tiempo doble o triple el es- 
pacio total recorrido es cuatro o nueve veces mayor, res- 
pectivamente, los alumnos acabarán por saber qué es un 
movimiento uniformemente acelerado, aunque no sepan 
repetir de memoria que “es aquél en que la aceleración es 
constante”. 

En dos reglas puede resumirse el cómo de la caída libre 
de los cuerpos: 

1^) Para hallar el espacio recorrido en cierto tiempo 
por un cuerpo que cae libremente, se multiplica 4,90 por el 
cuadrado del número de segundos que ha durado la caída. 
El resultado queda expresado en metros ( e = 4,90 X t-). 

21) Para hallar la velocidad que adquiere un cuerpo 
al caer libremente al cabo de cierto tiempo, se multiplica 
9,80 por el número de segundos que ha durado la caída. 
El resultado queda expresado en metros sobre segundos. 
( v = 9,80 X t). 

Dos reglas análogas se establecerán luego, para calcu- 
lar el espacio y la velocidad de un movimiento cuya acele- 
ración es “a”. 

A la mayoría de los alumnos les interesa enormemente 
todo aquello que tenga una aplicación práctica y que se 
refiera a algo concreto. Todos tienen una noción más o 
menos precisa de lo que en los automóviles se llama “pi- 
que”. ¿Por qué no aprovechar esta noción para dar el con- 



LA APTITUD MATEMÁTICA Y LA FÍSICA 


101 


repto de aceleración? ¿Por qué no encargarles que midan 
el “pique” de un automóvil real, utilizando un reloj' y las 
indicaciones del velocímetro, o comenzar por darles un 
problema concreto, en que un automóvil, al arrancar, em- 
plea, por ejemplo, 5 seg en pasar de la velocidad cero a 
la de 18 km/hora, y expresar luego la aceleración o “el 
pique” en metros sobre segundos al cuadrado? 

Después de varios problemas de esta clase, es muy po- 
sible que ellos mismos quieran saber el espacio o la longi- 
tud del trayecto recorrido por el automóvil al arrancar, 
para lo cual bastará hallar la semisuma de las velocidades 
inicial y final, llamarle a esa semisuma velocidad media, 
y multiplicarla por el tiempo. 

Si hubiera un alumno tan excepcional que advirtiera 
“la trampa” de la demostración, y que nos dijera, o nos 
diera a entender, que piensa que para hallar la velocidad 
media de un movimiento habría que tomar en cuenta todas 
las velocidades que el móvil adquiere en el intervalo, y no 
sólo las velocidades extremas; después de calificarlo con 
la nota más alta, bastaría indicarle que estudiara por su 
cuenta la demostración correcta. Con seguridad que un 
alumno de esa clase no encuentra dificultades en la demos- 
tración. 

Teniendo en cuenta la heterogeneidad del alumnado, es 
preferible, en muchos casos, dar del mismo asunto dos o 
tres demostraciones diferentes, cada una de ellas dedicada 
a un grupo distinto de alumnos. 

No se trata de que todos aprendan todas las demostra- 
ciones, sino de que cada cual elija la que más se amolda 
a su manera de ser y a su capacidad. En el caso del ejem- 
plo que estamos considerando, en que se trata de hallar la 
fórmula del espacio en un movimiento uniformemente ace- 
lerado, partiendo de la fórmula de la velocidad: 

v = v 0 + a. t, 

una primera “demostración” sería la que se obtiene di- 
ciendo que en ese caso la velocidad media resulta ser igual 



102 


EL ALUMNO 


(“como se podría demostrar”) a la semisuma de las velo- 
cidades inicial y final, con lo cual : 


-( 


V'O + v 0 --\~ ci t 


t = Vq t + -g- « í 2 . 


Al teórieoanalítico le convendría, en cambio, una de- 
mostración en la cual se dividiera el intervalo t en n par- 
tes iguales, de tal modo que las velocidades, al cabo de 
cada uno de esos intervalos parciales, y los espacios tam- 
bién parciales recorridos, supuestos uniformes los movi- 
mientos elementales, serían: 

. t 

Vi v 0 + a — ; 

n 

v 2 = v 0 -|-2 a—; 

n 

. t 

v H = Vo + n a — • 
n 

El espacio total e resulta : 

e = e x e 2 e n = v 0 t H — — (1 + 2 + ... + 

Por ser: 

1 + 2 _+-- • • • + v. = n ( n + o _ _L . _l_ , 

n- ~ 2 n 2 2 T 2 « ’ 


«i = (v« + « 

\ n I n 

<?j = (v 0 H~ 2 a—) — ; 
\ n I n 

«. = f«o + « ~ 

\ n I n 


que para n -> <x> e s igual a La fórmula queda demos- 
trada, habiéndose calculado esta integral: 

e = j 1 (v 0 a t) d t. 


Por último, a otro grupo de alumnos les convendría la de- 
mostración geométrica a que ya nos referimos, y en la 
cual se calcula la misma integral gráficamente. 



EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


103 


¿Se tiene derecho de exigir a muchachos de quince 
años que no han estudiado una palabra de cálculo dife- 
rencial, y que pueden no tener especial predisposición para 
las Matemáticas, demostraciones del tipo de las que pre- 
ceden? Y, por otra parte, ¿se tiene el derecho de privar a 
muchachos bien dispuestos y aptos, de aquellas demostra- 
ciones que constituyen para muchos una verdadera fiesta 
del espíritu? 

Se me dirá que en las clases no se tiene tiempo ni si- 
quiera para hacer una sola demostración, y que, en con- 
secuencia, mal se puede pensar en hacer tres. Pero quizá 
sea preferible hacer tres demostraciones, una sola vez cada 
una, y no una demostración que debería repetirse, si se 
pretendiera que fuera entendida por todos, no menos de 
diez veces. 

En el caso precedente, claro está que puede suprimirse 
la demostración dedicada a los “analíticos”, pero en eam- 
bio consideramos que no debe prescindirse de dar la pri- 
mera, que constituirá para muchos la tabla salvadora. La 
“tabla salvadora” no en el sentido meramente utilitario 
de que, aferrados a ella, podrán pasar con éxito las prue- 
bas a que se los someta, sino en el sentido de que los sal- 
vará en el concepto de sí mismos, evitando que crean pre- 
maturamente que las puertas de la Física están inevita- 
blemente cerradas para ellos. 


El alumno y la Física 

En lo que antecede nos hemos ocupado de los diversos 
tipos de mentalidad matemática en su relación con el 
aprendizaje de la Física. 

Pero, además de esa posible clasificación del alumnado 
de acuerdo con sus aptitudes y modalidades matemáticas, 
cabe otra, referente a la clase de reacciones psíquicas y 
estímulos que el alumno experimenta frente a los hechos 
de la Física misma. Teniendo en cuenta las tonalidades 



104 


EL ALUMNO 


predominantes, que es dable observar, el alumnado puede 
ser clasificado a este respecto en la forma siguiente: 

Indiferente; teórico; práctico; y técnico . 


El indiferente. — Los indiferentes son los alumnos 
más difíciles. Demostraciones o experimentos que entu- 
siasman a sus compañeros, les dejan a ellos impasibles. 
Que el calor sea un flúido o una manifestación del movi- 
miento molecular les tiene completamente sin cuidado, y 
se preocuparán sólo por aprender a repetir lo necesario 
para pasar con éxito las pruebas. 

La Física rebota en ellos, sin penetrar; han ingerido 
todo, sin rumiar nada, y al poco tiempo de haber apro- 
bado su examen no se acordarán siquiera de la ley de la 
palanca. Sus conocimientos no han estado impregnados de 
emoción; nó han sentido ninguna vivencia, pues en su es- 
tudio no lograron nunca pasar de los “intereses secunda- 
rios^ a los “primarios”. No se trata de alumnos torpes ni 
haraganes; por el contrario, muchos de ellos aprenden 
quizá con demasiada rapidez y ejecutan todos los deberes 
que se les encomienda; pero el estudio es en ellos siempre 
un trabajo, nunca un juego. 

Después de esta sombría descripción, digamos que, fe- 
lizmente, no existen alumnos absolutamente indiferentes. 
Las clasificaciones son siempre esquemáticas, y al descri- 
bir el prototipo que corresponde a determinado casillero, 
efectuamos una idealización, con lo cual salimos de la rea- 
lidad. Las clasificaciones son útiles, como lo hace notar 
Vaz Ferreira, cuando somos capaces de manejarlas, pero 
contraproducentes si nos dejamos manejar por ellas. Ma- 
nejar una clasificación significa que, frente a un indivi- 
duo real, podamos decir: tales cualidades pertenecen a tal 
tipo, y tales a tal otro, etc. En cambio, seríamos mane- 
jados por ellas si quisiéramos forzar a un individuo real 
a que entrara en determinado casillero, tratando de no 
ver las cualidades que no encajan en el mismo. El más 
indiferente de los alumnos se “engrana” también alguna 



EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


105 


vez, aunque para interesarse necesite que se trate un tema 
como el de la bomba atómica. 

Algunas veces se produce el “engranaje” por el más 
insospechado de los caminos. Un alumno que no llega a 
interesarse realmente por la teoría ondulatoria de la luz, 
aunque vea y produzca las franjas de interferencia y los 
espectaculares fenómenos de difracción, puede impresio- 
narse si se le muestra una lámina en la que aparece Huy- 
gens enseñándole su teoría ondulatoria a Luis XIV. La 
blanca peluca del insigne físico y la arrogancia del Rey 
Sol pueden producir el efecto psicológico que no logran 
las rayas oscuras que revelan que luz más luz da oscuridad. 

Muy poco sabemos de lo que ocurre en el plano emo- 
cional: el profesor de Física que está al borde de sentir 
desprecio por aquellos alumnos apáticos e indiferentes, no 
advierte que él mismo permanece impávido ante el pro- 
digio de los extraordinarios fenómenos biológicos que ocu- 
rren todos los días, ante sus mismas narices, y en su pro- 
pio jardín. No todos los hombres han de interesarse por 
las mismas cosas, y el alumno a quien miramos hoy con 
desesperación, porque en él “la Física rebota sin pene- 
trar”, podrá llegar a ser mañana un eximio cirujano, que 
salvará la vida de nuestros propios hijos. 

El teórico. — El teórico es el rumiante intelectual, 
el alumno del cual decimos: “tiene pasta”, pasta de sabio 
y de investigador ; constituye una verdadera delicia para 
el profesor que lo es de verdad, y un suplicio para el que 
sólo ocupa la cátedra. Es el alumno que pregunta cosas 
insospechadas, que a veces parecen disparates, y a veces 
son muy profundas. Estudia poco y piensa mucho; da 
vuelta al problema que le proponemos, y sale, a su vez, 
proponiéndonos otro. No es el más rápido en resolver los 
problemas, ni es tampoco el más seguro en sus resultados, 
pero de pronto nos asombra por el método que emplea. 

Si se ha “engranado” con cierto asunto, seguirá pen- 
sando en él, sin importarle mayormente sus otras obliga- 
ciones. 

Pregunta si se lo estimula a que lo haga, y si logramos 



106 


EL ALUMNO 


captar su confianza, podremos descubrir el rico proceso 
psíquico, lleno de interesantes matices, de una vocación 
en estado naciente. Relataré, a continuación, “un caso” 
en parte real y en parte idealizado, con el sólo objeto de 
abreviar, para que sirva de prototipo : 

Se propone en clase el siguiente problema: “Hallar el 
tiempo que tarda un cuerpo, lanzado verticalmente hacia 
arriba, en el vacío, con la velocidad nicial v 0 , en alcanzar 
la altura H, y averiguar si ese tiempo es mayor o menor 
que el que emplea el cuerpo en retornar a su punto de par- 
tida”. El problema se resuelve analíticamente, sin que 
surja ninguna dificultad; se ejemplifica numéricamente, 
y cuando ya todos hemos dejado de pensar en el asunto, 

nuestro alumno, en una de las 
clases siguientes, nos sale con 
la pregunta: “¿Es seguro que 
la aceleración de la gravedad 
tenga el mismo valor para los 
cuerpos que ascienden que pa- 
ra los que caen?” 

Ante una pregunta de esta 
clase, comenzamos por inda- 
gar el origen de la misma, y 
nuestro alumno nos da la siguiente explicación: Si lanza- 
mos un cuerpo hacia arriba, el movimiento uniformemente 
retardado del mismo se representa por la recta v 0 A (fig. 
1), siendo O A el tiempo que tarda en alcanzar la velo- 
cidad cero, o sea la altura máxima. Si la aceleración de 
caída es la misma, la representación del movimiento ace- 
lerado está dada por la recta A B, que tiene la misma 
pendiente que v 0 A, o sea : A B resulta la prolongación de 
v n A. Si los compañeros de nuestro alumno se asombran 
de que un movimiento acelerado esté representado por una 
recta dirigida hacia abajo, aquél les explicará que en la 
gráfica se han considerado positivas las velocidades diri- 
gidas hacia arriba, y que, en consecuencia, cuando el cuer- 
po cae, su velocidad debe ser considerada negativa. El 
espacio recorrido en el ascenso está dado por el área del 




EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


107 


triángulo v 0 O A, y cuando el cuerpo alcanza su punto de 
partida, recorre igual espacio que al subir, por lo cual si 
A C representa el tiempo de caída, los dos triángulos v 0 
O A y A B C deben ser iguales, y O A igual a A C, o sea 
iguales los tiempos que tarda el cuerpo en subir y en caer. 
Después de esta brillante demostración, nuestro alumno 
continúa: Si la aceleración de caída fuera menor que la 
del ascenso, se obtendría una gráfica como la de la figu- 
ra 2, y el tiempo de caída A C sería mayor que el del as- 
censo O A. ¿Cómo se le ocurrió a nuestro alumno pensar 
que pudiera ocurrir esta especie de refracción? Él quería 
saber si en todos los casos, aun lanzando el cuerpo hasta 
enorme altura, ambos tiempos serían iguales. Sabiendo 




que la aceleración disminuye con la altura, se da a la tarea 
de representar, en ese caso, la velocidad en función del 
tiempo. 

Comprende que la curva (fig. 3) será del tipo v 0 A, 
pues la pendiente, en valor absoluto, que mide la acelera- 
ción, tiene que ir disminuyendo. 

Para el movimiento de caída, a partir de A, la pen- 
diente aumenta, y la representación gráfica es la rama 
A B y no la A R. 

En A existe un punto de inflexión. Nuestro alumno se 
pregunta: ¿Es seguro que cuando el área del triángulo 
curvilíneo v 0 O A sea igual al área del triángulo también 
curvilíneo A B C, el segmento O A será igual al A C? 

Y como no cejará hasta convencerse por sí mismo de 
que así es, efectivamente, en el caso de las fuerzas centra- 



108 


EL ALUMNO 


les, cuando la velocidad inicial sea inferior a la parabó- 
lica, puede desde ya asegurarse que tal alumno no se libe- 
rará jamás de la tela que lo ha atrapado. 

El temperamento del teórico se manifiesta en sus de- 
seos de concatenar unas cosas con otras, poniendo en al- 
gunos casos mayor interés en el proceso de deducción que 
en las cosas mismas. Así como entre los físicos debe dis- 
tinguirse entre el físico matemático y el físico teórico, 
reduciendo la escala encontramos también entre el alum- 
nado representantes de aquellas modalidades. El físico 
matemático ama la Física, simplemente, porque ella le 
presenta, en forma constante, problemas en qué ocuparse. 
Eventualmente, podrá interesarse también en aquellas ra- 
mas de la Biología y de la Sociología en que, merced a 
leyes estadísticas, pueda descubrir alguna ordenación sim- 
ple de carácter aritmético. 

Pero con esto no estudia ni Biología ni Sociología; di- 
ríamos, más bien, que el contacto con esas ciencias ha sido 
sólo superficial, y hecho con el único objeto de manejar 
su herramienta preferida: el raciocinio matemático. El 
físico matemático es, antes que nada, matemático, y de su 
amor por otras ramas de la ciencia podría decirse lo que 
de don Juan: “no ama a las mujeres que conquista, sino 
que las conquista para poner a prueba su habilidad de 
conquistador”. 

Un físico matemático se ocupará con deleite, por ejem- 
plo, de este problema : Dado un paralelepípedo de conduc- 
tividad térmica igual a k, hallar la temperatura en cada 
punto de su interior, sabiendo que sus caras se encuentran 
a las temperaturas constantes t u U. . . . t it . El físico teó- 
rico, en cambio, preferiría ocuparse del proceso mismo de 
la conductibilidad, buscando establecer relaciones entre la 
conductividad térmica y eléctrica, sus variaciones con la 
temperatura, etc. 

El alumno teórieomatemático se manifiesta encantado 
con la resolución de problemas, aumentando su interés a 
medida que aumenta la dificultad de aquéllos, pero sin 
preocuparse en especial por asuntos realmente teóricos. 
Así, por ejemplo, si se ha determinado el calor específico 



EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


109 


del hierro y del plomo, aquél se limitará a tomar nota de 
los resultados de sus medidas, siendo poco probable que 
pregunte por qué el calor específico de una de las subs- 
tancias resulta ser unas tres veces mayor que el de la otra. 
El teórico, en cambio, quiere saber si se conoce alguna 
relación que vincule el calor específico con la densidad, y 
se Interesará vivamente si se le enseña la ley de Dulong 
y Petit, de los calores atómicos. 

El teórico, aun sin tener las cualidades de “rumiante” 
indispensables al investigador, y a las que antes hicimos 
referencia, manifiesta su modalidad por la clase de pre- 
guntas que formula. Más que aclaratorias, son indagato- 
rias; sus “¿por qué?” son lanzados en un plano que no 
siempre es fácil captar. Si el alumno pregunta por qué la 
aguja magnética se desvía en la forma que indica la regla 
de Ampére, no hay otro remedio que contestar que porque 
sí, porque así es, pues se trata de una ley primaria, no 
deducible de otras anteriores. Parece, pues, que la pregun- 
ta no tiene sentido, y los compañeros del que la ha for- 
mulado adquieren entonces cierto airecillo de superiori- 
dad, por no haber sido ellos los que preguntaron esa cues- 
tión. Sin embargo, no debemos olvidar que en cierta etapa 
del desenvolvimiento de la Física, los teóricos buscaban 
afanosamente reducir todo a la mecánica. La pregunta del 
alumno debe entonces ser interpretada en esta forma: ¿Es 
posible deducir la regla de Ampére a partir de la mecá- 
nica o de la electroestática ? A esta pregunta debemos res- 
ponder que no, y hacer resaltar que por primera vez nos 
encontramos con fuerzas que no actúan según la recta de 
acción de los cuerpos en presencia. No se trata de una 
fuerza de atracción ni de repulsión, sino de una fuerza 
que actúa lateralmente, y es muy probable que este hecho 
inusitado haya sido la causa de la pregunta formulada. 

El práctico. — A esta clase de alumnos les gusta más 
actuar que pensar. Tienen algunas veces extraordinaria 
habilidad manual, y construyen, con escasísimos elemen- 
tos, casi podría decir cualquier cosa : desde una balanza a 
un motor eléctrico. En los trabajos de laboratorio son mi- 



110 


ÉL ALUMNO 


nudosos y prolijos, gustándoles armar a ellos mismos los 
dispositivos y realizar totalmente la instalación que se va 
a usar. Efectúan las medidas con suma exactitud, y se 
diría que para ellos la finalidad del trabajo está en el tra- 
bajo mismo. En los trabajos de laboratorio realizados por 
grupos, “el práctico” asume inmediatamente la dirección, 
pues será él el primero en advertir y subsanar cualquier 
inconveniente de índole práctica que se presente. Prefiere 
ralizar cien medidas, a efectuar un solo cálculo, de lo cual 
encarga, en su papel de “director”, a sus “ayudantes”. 

Los alumnos dotados de este temperamento hacen en 
sus casas de electricistas y cerrajeros, teniendo todos en 
su haber varios cortocircuitos producidos, y alguno que 
otro reloj despertador al que le sobraron piezas. 

El técnico. — Se entusiasma por todo aquello que 
tiene aplicación, queriendo saber, con preferencia, cómo 
se construyen y cómo funcionan las máquinas. Si tiene la 
habilidad del práctico, construirá también su motor eléc- 
trico si se le presenta la oportunidad, pero no se confort 
mará con construirlo a ciegas, siguiendo paso a paso las 
instrucciones, sino que se interesará por el mecanismo ín- 
timo del mismo. 

Estudia Física movido por análogo interés al que pone 
el físico al estudiar Matemáticas, pues, para él, los cono- 
cimientos científicos constituyen un medio más que un fin. 
Gusta de los ejemplos prácticos, queriendo saber a cuánto 
alcanza el valor de la presión en los cilindros de un auto- 
móvil o de una locomotora, y estudiará ávidamente lo con- 
cerniente a la resistencia del aire, para poder explicar la 
sustentación de los aviones. 

Le produce más emoción el comprender cómo funciona 
un teléfono, que el propio fenómeno de la inducción elec- 
tromagnética, al cual aprende a valorar recién después de 
conocer sus aplicaciones. A esta clase de alumnos habría 
que enseñarles la Física al revés : comenzar por la máqui- 
na a vapor y terminar con la palanca, o explicarles el fun- 
cionamiento de un motor eléctrico para llegar así a las 
leyes de la corriente. 



EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


111 


El teórico, cuando se trata de las aplicaciones, se con- 
forma, en general, con conocer el principio en que aquéllas 
se apoyan, bastándole, por ejemplo, con comprender la ro- 
tación de la rueda de Barlow para dar por conocido el 
funcionamiento de un motor eléctrico. En cambio, el alum- 
no con espíritu técnico quiere saber cómo funcionan los 
motores de verdad, interesándose no sólo por el principio 
en que se fundan, sino también en los detalles de cons- 
trucción. 

FÍSICOS Y QUÍMICOS. — Cada rama de la actividad hu- 
mana tiene sus cultivadores, y no es nada fácil saber cómo 
y por qué unos siguen una senda y otros otra. En la cla- 
sificación de Comte, la Física y la Química ocupan lugares 
vecinos, y en la realidad ocurre también que físicos y quí- 
micos se ocupan, con frecuencia, de los mismos asuntos. 
Pero entre ambos existe una diferencia bien marcada en 
su manera de reaccionar frente a los fenómenos naturales. 
El temperamento del químico es tal, que su interés se des- 
pierta por las diferencias, tratando de descubrirlas aún 
en lo que se presenta casi como idéntico. El físico, por el 
contrario, busca lo idéntico y lo común en lo que para él 
es sólo diferente en apariencia. El interés del físico co- 
mienza a despertar cuando vislumbra que puede descubrir 
una identidad o, por lo menos, un parecido formal entre 
dos fenómenos extraños. 

Por esta razón, sus leyes preferidas son las que pue- 
den comenzar con la palabra “todos”: Todos los cuerpos 
se atraen ; todos son inertes, etc. Que una piedra y un cor- 
cho tengan propiedades tan diferentes, parece no intere- 
sarle después de haber averiguado que ambos caen con la 
misma aceleración, y que la “cantidad de materia” de am- 
bos está medida por su coeficiente de inercia, por su masa. 
El hombre que inventó la palabra materia para designar 
así al substrato hipotéticamente común de todos los cuer- 
pos, tenía alma de físico. Éste no se interesa por las va- 
riadas y complejas reacciones químicas hasta que Lavoi- 
sier descubre su ley de conservación de la masa, que puede 
considerarse como la primera verificación científica de la 



112 


EL ALUMNO 


teoría que involucra la creación de aquella palabra. La ley 
de Lavoisier, como todas las leyes generales de la Química, 
son leyes físicas, como lo son los principios de la termo- 
dinámica, que no excluyen en su formulación que las subs- 
tancias experimenten o no una “transformación íntima y 
profunda”. 

La Química, pues, se ha convertido en una rama de la 
Física, y son ahora los físicos quienes se encargan de efec- 
tuar las “transformaciones más íntimas y profundas"’, 
transmutando los elementos y partiendo los átomos. Pero 
seguirá habiendo siempre químicos y físicos : aquéllos bus- 
carán las ramas, éstos harán los manojos; aquéllos se in- 
teresarán por las diferencias, éstos por las analogías. 

En el alumnado se advierte también, en forma más o 
menos definida, esta diferencia temperamental. Si un quí- 
mico explica el fenómeno de la fusión, acentuará el hecho 
de que cada substancia pura funde a una temperatura di- 
ferente, lo que permite diferenciar y reconocer a cada una 
de ellas. En cambio, la tónica de la explicación de un fí- 
sico recaerá en el hecho de que todas las substancias fun- 
den de la misma manera, conservándose constante la tem- 
peratura en el proceso de fusión. Para el físico, es secun- 
dario que el plomo y el hielo tengan diferentes puntos de 
fusión; lo importante es que ambos fenómenos se rijan 
por la misma ley. 

Les profesores de Física tenemos, generalmente, el de- 
fecto de contemplar los fenómenos desde el ángulo que 
mejor se aviene con esa modalidad, y llegamos demasiado 
rápido a la formulación de la ley general, no dando tiempo 
a que los alumnos alcancen a valorar su significado. 

Debiéramos explicar Física un poco más “química- 
mente”, comenzando por hacer resaltar las diferencias. Si 
se trata, por ejemplo, del principio de Arquimedes, comen- 
zar por llamar la atención del diferente comportamiento 
de casi todos los cuerpos. Observar cómo flota un corcho 
en el agua y cómo* se hunde una munición ; cómo el hierro 
y el plomo se sostienen sobre la superficie del mercurio, 
y cómo el oro se hunde en él; cómo puede hacerse flotar 
en el agua un vaso de vidrio o de metal, y cómo se va 



EL ALUMNO Y LA FÍSICA 


113 


hundiendo a medida que se le carga de municiones, etc. 
Reunir luego todo este manojo de hechos diferentes en un 
enunciado único y general, y hacer notar entonces la iden- 
tidad de la ley que rige el sostenimiento de los barcos y la 
ascensión de los globos. En esta forma habremos conse- 
guido interesar a los “físicos” y “químicos” presentes en 
nuestra clase, en la cual se logrará que los “teóricos” se 
entusiasmen con la conocida deducción del principio con- 
sistente en aislar mentalmente una porción de líquido, 
mientras los “prácticos” serán absorbidos por la balanza, 
y los “teóricomatemáticos” se divertirán resolviendo o 
planteando problemas, siendo seguro que, arrastrados por 
el torbellino de actividad, ningún alumno podrá permane- 
cer indiferente. 

• En este capítulo hemos tratado de clasificar a los 
alumnos de acuerdo con sus características y modalida- 
des, haciendo resaltar las diferencias psíquicas existentes 
entre' unos y otros. Podríamos decir que se ha encarado 
el problema desde el punto de vista “químico”, debiendo 
ahora hacer notar el fondo común de todos ellos, el fondo 
profundamente humano, en el cual resplandece siempre, 
cuando se lo sabe descubrir, un acendrado amor por la 
verdad y la justicia. 

Es en esos sentimientos en los que debe apoyarse la 
obra de todo educador, pues al señalar el camino que con- 
duce a la verdad, indica también la senda paralela de la 
j usticia. 




VI 

LA FÍSICA EN CASA 


Estática: Lo que se puede hacer con una goma. — Lo que puede 
■ hacerse con tres gomas. — Fuerzas paralelas. — Palanca. — Plano 
■inclinado. — Dinámica: Caída de los cuerpos: Primera ley; Se- 
gunda ley. — Independencia de los movimientos. — Parábola de 
caída . — Determinación de tl g”. — Caída por un plano inclinado. — 
Energía. — Medida de la masa . — Masa y peso . — Impulso. — 
Péndulo balístico. — Fuerza centrífuga. — Momento de inercia. — 
Movimiento vibratorio. — Composición de un movimiento vibrato- 
rio con otro uniformemente acelerado. — Resonancia. — Método 
estroboscópico. — Acústica. — Experimentos paradojales: Para- 
doja de la caída. — Paradoja de la tensión superficial . — Parado- 
jas hidrodinámicas. 

NOTA DEL DIRECTOR DE LA BIBLIOTECA 

He señalado en el Prólogo la orientación experimental 
y la fundamentación didáctica de esta parte del libro , tan 
acertadamente intitulada “La Física en casa”. Y considero 
oportuno añadir, para explicar también el cambio de estilo 
en la exposición, que en los capítulos anteriores el autor se 
ha dirigido a sus colegas — particularmente a los profeso- 
res que se inician — y a los estudiantes del profesorado en 
Física, en tanto que aquí ha preferido substituir al profe- 
sor y entrar en contacto directo con el alumno, colocándose 
en su plano mental al indicarle cómo debe proceder en cada 
caso para realizar un extraordinario programa de expe- 
riencias fundamentales sin necesidad de “laboratorio” , y 
empleando únicamente objetos de uso corriente en el hogar 
o de muy fácil adquisición . De este modo, más que suges- 
tiones para el catedrático sobre la forma de asesorar a los 
alumnos al encomendarles cada trabajo, son instrucciones 
que el propio estudiante podrá utilizar directamente como 
guía de su labor . Dichas indicaciones, normas y adverten- 



116 


LA FÍSICA EN CASA 


cias, varían desde la simple insinuación hasta la explica- 
ción detallada, cuando la experiencia lo requiere , y pueden 
servir de pauta para proyectar otros trabajos, siempre 
adecuados al desarrollo intelectual y a la preparación espe- 
cial ele los alumnos de enseñanza media . 

A. D. c. 


ESTÁTICA 

Lo que se puede hacer con una goma 

Disponga una goma de honda, de unos 40 cm de lon- 
gitud, con dos argollitas de llavero, o dos anillos, o dos 
hilos, en la forma que indica la figu- 
ra 4, y con un alfiler o con un alam- 
bre atraviésela por su parte inferior. 
Utilizando una regla milimetrada, us- 
ted podrá saber, por el desplazamien- 
to del alfiler, cuánto se alarga la goma 
al colgar de ella cuerpos diversos. 

Acaba usted de construir un dina- 
mómetro, y si quiere cerciorarse de 
la bondad de su aparato y de sus con- 
diciones de experimentador, cuelgue 
sucesivamente de él dos cuerpos cua- 
lesquiera, y mida con cuidado, hasta 
el milímetro,* cuánto se alarga la go- 
ma en uno y otro caso. El cociente 
entre ambos alargamientos da la re- 
pte. 4. — Dinamómetro. lación entre los pesos de los dos cuer- 
pos utilizados, que usted llevará luego 
hasta el almacén próximo para que los pesen, y verá, no 
sin emoción, que es efectivamente así. 

Sabrá, desde entonces, a cuántos gramos-peso equivale 
cada milímetro de alargamiento de su dinamómetro. 

Usted dirá: ¿Y qué más puedo hacer con este aparato? 
Entre muchas otras cosas, podrá averiguar si el lechero 
de su casa echa o no agua a la leche, para lo cual conviene 




LO QUE SE PUEDE HACER CON UNA GOMA 


117 


utilizar una goma delgada, que se alargue mucho con poco 
peso. 



Pero antes de ponerse usted a averiguar las mañas de 
su lechero, conviene investigue de qué depende la dismi- 
nución de peso que experimenta un cuerpo al estar sumer- 
gido en un líquido, lo que puede hacer en 
la forma que indica la figura 5. Si el cuer- 
po que suspende es un frasco con municio- 
nes en su interior, o con cualquier otra cosa 
(fig. 6), usted observará que la disminución 
de peso que experimenta dicho frasco de- 
pende del líquido que utilice: es menor en 
el aceite ó en el vino que en el agua, y di- 
cho empuje hacia arriba es también dife- 
rente en leche pura que en leche aguada. 

Usted se siente ahora preocupado por la 
honradez de su lechero. Hace ya más de dos 
mil años, un gran físico y matemático de fi*. b. 



118 


LA FÍSICA EN CASA 


Siracusa estaba igualmente caviloso a causa de un orfe- 
bre que había hecho para su rey, Hierón, una corona. 
El rey sospechaba de su orfebre, lo mismo que usted 
de su lechero, y encargó al sabio investigara qué can- 
tidad de plata había puesto aquél en la corona, preten- 
diendo hacerla pasar por oro. Cómo resolvió Arquímedes 
— que así se llamaba el sabio — su asunto, y cómo podrá 
usted resolver el suyo, lo encontrará en cualquier libro de 
Física, y utilizando su dinamómetro podrá no sólo veri- 
ficar el principio que lleva el nombre de aquel sabio, sino 
también hallar la densidad de cualquier sustancia sólida 
o líquida, relativa, por ejemplo, al agua. Si quiere obtener 
mucha precisión en sus medidas, le recomendamos utilice 
una goma larga, que podrá suspender del dintel de una 
puerta, y si se encariña con su aparato, hágale un soporte 
con cuatro maderas. 


Lo que puede hacerse con tres gomas 

Tome tres gomas, de unos 20 cm de longitud cada una 
de ellas, y ate en sus extremos argollas de metal o de hilo. 

Atraviese cada goma 
con dos alfileres, procu- 
rando que la distancia 
entre ambas señales sea 
la misma en las tres. 
Disponga las gomas so- 
bre una mesa, como in- 
dica la figura 7, estiran- 
do una u otra, en la for- 
ma que más le guste, de 
tal modo que la parte O, 
común a las tres, quede 
libre, y los extremos A, 
B y C los sujetará con 
chinches. Coloque debajo de las gomas un papel de dibujo, 
y mida cuidadosamente el alargamiento que experimentó 
cada goma. Este alargamiento es la diferencia en la Ion- 




FUERZAS PARALELAS 


119 


gitud existente entre los alfileres, cuando la goma está 
estirada y cuando no lo está. En el punto O se ejercen tres 
fuerzas, cuyas intensidades son proporcionales a los alar- 
gamientos que acaba de medir. Represente esas fuerzas 
por vectores, y verá que, en todos los casos, uno cualquiera 
de ellos resulta ser igual y opuesto al vector que se ob- 
tiene hallando la diagonal del paralelogramo, que parte de 
O, formado por los otros dos. 

Consulte en un texto lo referente a la regla del para- 
lelogramo de las fuerzas, que es una de las leyes más im- 
portantes de toda la Física. Observe que una fuerza pe- 
queña puede equilibrar a otras dos fuerzas grandes si el 
ángulo que éstas forman es muy obtuso, y observe tam- 
bién, como caso particular, que si las gomas O A y O B 
tienen la misma dirección y las fuerzas que producen el 
mismo sentido, la tercera goma, O C, experimentará un 
alargamiento igual a la suma del experimentado por aqué- 
llas. y la fuerza se ejercerá en sentido opuesto. 

Fuerzas paralelas 

Disponga sobre la mesa una regla de 30 ó 40 cm, con 
las tres gomas en la forma que indica la figura 8. Luego 
de sujetar las gomas, estiradas en forma conveniente, dis- 
póngalas siguiendo di- 
recciones paralelas, y 
encontrará usted intere- 
santes relaciones. Pien- 
se que una cualquiera de 
las tres fuerzas equili- 
bra a las otras dos, y de- 
be, en consecuencia, ser 
igual y opuesta a la re- 
sultante de aquéllas: R, 
igual y opuesta a la re- 
sultante de las fuerzas 
paralelas y del mismo 

sentido F y F r ; F, igual Fig. 8. — Fuerzas paralelas. 




120 


LA FÍSICA EN CASA 


y opuesta a la resultante de las fuerzas paralelas y de 
sentido opuesto R y F', etc. En fin, espero que usted tra- 
tará de encontrar alguna relación entre los segmentos O A 
y O B y las fuerzas F y F'. 


Palanca 



Fije sobre un cajón o en el centro de una mesa un clavo, 
y apoye sobre él una regla en la forma que ilustra la fi- 
gura 9. Para no estro- 
pear la mesa, puede tra- 
bajar en el suelo, utili- 
zando como apoyo una 
arista de la pata. Ate 
dos gomas a los extre- 
mos de la regla y mida, 
después de lograr el 
equilibrio, estirando 
más o menos las gomas, 
las fuerzas que éstas 
ejercen y los brazos de 
la palanca que son los 
segmentos de perpendi- 
cular bajados desde O a 
las direcciones de am- 
bas fuerzas. 

¿Cómo es el cociente 
entre ambos brazos, con 
respecto al cociente en- 
tre las fuerzas aplica- 
das a la palanca? ¿Có- 
mo resultan ser, entre 
F¡«. 9. - Ley de la palanca. sí, los momentos de am- 

bas fuerzas, con respec- 
to al punto de apoyo, o sea los productos de las intensida- 
des de las fuerzas por sus respectivos brazos? 


Observación: Si las distancias entre los alfileres de las 


PLANO INCLINADO 


121 


Komas utilizadas no fuera en todas ellas la misma (cuan- 
do no están estiradas), habrá que tomar como medida de 
cada fuerza el alargamiento relativo , o sea el cociente en- 
tre el alargamiento de la goma y su longitud primitiva. 


Plano inclinado 


Una tabla de dibujo 
rrito cualquiera, con la 



!■' ¡ ir. 10. - — Plano inclinado. 


i la de amasar, un patín o un ca- 
consabida goma, dispuesto todo 
como muestra la figura 10, nos 
permitirán comprobar la ley de 
equilibrio de esta máquina, mi- 
diendo primero, y una vez por 
todas, el alargamiento R que 
produce en la goma el carro 
suspendido libremente en ella, y 
luego los alargamientos P, que 
se producen para diferentes in- 
clinaciones del plano, en que ha- 
brá que medir la altura h y la 
longitud correspondiente l. 

Como hará varias medidas, 
conviene disponga los resultados 
en esta forma : 


R 

P 

h 

1 

P 

h 




R 

i 

— 

— 

— 

— 

— 



Procure que la goma se disponga siempre paralela- 
mente al plano. Como lo que interesa es conocer la incli- 
nación, se divide la altura B C (figura 11) por la longitud 
A B, y si se tomara como longitud el segmento M N, la al- 
tura correspondiente sería N P, y se ve de inmediato que 

B C _ NP 
AB MN ' 



122 


LA FÍSICA EN CASA 


Conviene efectúe un dibujo, representando en forma 
proporcionada el plano inclinado por un triángulo rectán- 
gulo, tomahdo los valores correspondientes de algunas de 
las medidas efectuadas. Represente también en ese dibujo 
las fuerzas P y R, y halle la resultante. ¿Cómo es la re- 
sultante con respecto a la longitud del plano? 

¿Cuál es la ley de equilibrio del plano inclinado? 




¿Podría deducir la ley de equilibrio utilizando la regla 
del paralelogramo, admitiendo que, al estar el carro en 
equilibrio, la resultante entre la fuerza del peso ( R ) y la 
de la goma (P) debe ser perpendicular al plano? 


DINÁMICA 
Caída de los cuerpos 

Primera ley. — Suba a la azotea de su casa o párese 
sobre una mesa y deje caer, simultánea y sucesivamente, 
cuerpos diversos: una caja de fósforos, una moneda, un 
corcho, un trozo de papel, una pluma, etc. El papel y la 
pluma caen más despacio, ¿verdad? Tome ahora un tarri- 
to de lata, como los que se usan para el talco, abierto por 
su parte superior, y coloque dentro de él una pluma, un 
trozo de papel, una moneda u otro objeto cualquiera. Deje 
ahora caer el tarrito con todos los cuerpos que tenga den- 
tro ; ¿ se escapa alguno de ellos por la parte superior, o to- 
dos acompañan al tarrito en su caída? Repita el experi- 
mento, habiendo agujereado previamente con un clavo el 



CAÍDA DE LOS CUERPOS 


123 


fondo del tarrifo, permitiendo así que el aire actúe sobre 
los cuerpos que están dentro. ¿Qué pasa? ¿Cómo caerían 
todos los cuerpos en el vacío? 

Segunda ley. — Pretender que usted tenga en su casa 
una largá tabla lisa, para observar cómo rueda sobre ella, 
cuando la inclina, una esfera pulida, sería demasiado. 

Pero usted tiene las gomas que utilizó en sus experi- 
• mentos de estática, y ya con ello será suficiente. Con dos 



Fig. 13. — Comprobación de las leyes de la caída disparando con una honda. 


de sus gomas y un cuerito, fabríquese una honda, que 
sujetará del borde de una mesa (figura 13), y dispóngase 
con ella a “tirar al blanco”, con una bolita, sobre una pa- 
red. Las gomas las apoyará sobre la mesa, para asegurarse 
que la bolita sea siempre despedida horizontalmente, y 
debe procurar que en los sucesivos tiros que tendrá que 
efectuar, la velocidad de partida no varíe. 

Para lograr esto, haga una marca sobre la mesa, y en 
todos los casos estire la honda hasta la misma. 

Comience por cerciorarse que sabe tirar bien, para lo 
cual efectuará varios tiros, sin variar la distancia, entre 


1 24 


LA FÍSICA EN CASA 


la mesa y la pared. Para registrar exactamente los luga- 
es de los impactos, haga blanco sobre un papel cubierto 
con otro carbónico ; debe ocurrir que todas las marcas ten- 
drán que estar siempre a la misma distancia por debajo 
de la recta A B, situada en la prolongación del plano de 
la mesa con el del tablero situado verticalmente. 

Proceda ahora a disparar contra el tablero, cada vez 
5 ó 6 veces, desde distancias variables, midiendo en cada 
caso la distancia horizontal que media entre aquél y el 
borde de la mesa. 

Vamos a admitir que la bolita se 
mueve en sentido horizontal, con mo- 
vimiento uniforme, de tal modo que 
demorará en alcanzar el tablero do- 
ble o triple tiempo si la distancia en- 
tre la mesa y aquél es también doble 
o triple, pues suponemos que siempre 
la velocidad de partida es la misma. 

Si comienza usted por disparar 
desde 1 m, y la bolita cae en ese tra- 
yecto 5 cm (a partir de la recta AB, figura 14), obser- 
vará que cuando tira desde 2 m, cae cuatro veces más, o 
sea 20 cm, y desde 3 m, nueve veces más. Claro que usted 
no va a obtener números tan exactos, pero disponga sus 
medidas en un cuadro como el siguiente, y podrá verifi- 
car la importante ley descubierta experimentalmente por 
Galileo, y que se refiere a la clase de movimiento que tie- 
nen los cuerpos al caer. 


A B 

— — Ü m 

m 


4, 




Fip:. 14. 




CAÍDA DE LOS CUERPOS 


125 


En la primera columna figura el tiempo medido en 
.unidades arbitrarias. Una unidad de tiempo corresponde, 
por ejemplo, a una separación de 1 m entre la mesa y la 
pared, y es el tiempo que tarda la bolita en recorrer hori- 
zontalmente aquella distancia. En la segunda columna fi- 
gura lo que cae la bolita en esos tiempos, o sea la separa- 
ción entre los impactos y la recta A B, y en la tercera, los 
cocientes entre esos espacios y los cuadrados de los tiem- 
pos. Esos cocientes tienen un valor constante. 

A continuación transcribimos un cuadro, resultado de 
otras medidas : 


* 

e 

1 

1 cm 

2 

o „ 

3 

V „ 

4 

13 „ 

5 

20 „ 

6 

29 „ 

7 

40 „ 


En este caso se tomó la unidad de tiempo igual al 
tiempo que emplea la bolita en recorrer 50 cm, por lo cual 
la distancia se hizo variar desde medio metro hasta 3,50 m. 
A usted le parecerá que el experimento ha resultado muy 
mal, pues si en una unidad de tiempo cae 1 cm, en dos 
unidades debería caer 4 cm y no 3. Pero ese error, que 
parece tan grande, no lo es tanto. Piense usted que si nos 
hubiéramos equivocado en 2 mm en la primera medida, y 
hubiésemos tomado 0,8 cm en lugar de 1 cm, resultaría 
que 0,8 cm X 4 = 3,2 cm, y ya no nos parecería tan malo. 
Si comparamos la tercera medida con la sexta, observa- 
mos que si en 3 unidades de tiempo recorre 7 cm, en 6 uni- 
dades debería recorrir cuatro veces más, o sea 28 cm, y lo 
que se ha medido es 29 cm. Un error de 1 cm parece de- 
masiado grande, pero podríamos pensar que lo que está 
bien son los 29 cm recorridos en 6 unidades, debiendo en- 
tonces recorrer en 3 unidades la cuarta parte, o sea 
7,25 cm, y ahora el error no parece tan grande. 



126 


LA FÍSICA EN CASA 


Como es presumible que el error relativo sea menor al 
medir, por ejemplo, 40 cm que 3 cm, vamos a suponer que 
la última medida sea la mejor, y a partir de ella, y supo- 
niendo que se cumple la ley, calculemos los espacios que 
recorrería el móvil al cabo de 1, 2, 3, etc., unidades de 
tiempo. 

En la primera unidad recorrerá 49 veces menos que 
en las 7 primeras unidades, por ser -7 2 = 49, por lo cual 
el espacio calculado, l\, será: 


, 40 cm 

h ~ 49 


0,8 cm 


Análogamente, el espacio calculado l 2 lo obtenemos di- 

7 

vidiendo 40 cm por el cuadrado de — resultando : 

¿i 


k = 


40 cm 



3,2 cm 


En la misma forma se calculan los espacios í 3 , L¡ 

etc., obteniéndose el cuadro siguiente: 


t 

Observado 

Calculado 

l.ob — Leal . 
= diferencia 

1 

1 cm 

0,8 cm 

+ 0,2 cm 

2 

3 „ 

3,2 „ 

— 0,2 „ 

3 

7 „ 

7.3 „ 

— 0,3 „ 

4 

13 „ 

13,1 „ 

— 0,1 „ 

5 

20 „ 

20,4 „ 

— 0,4 „ 

6 

29 „ 

29,4 „ 

— 0,4 „ 

7 

40 „ 

40,0 „ 

0 „ 


Este cálculo se ha hecho considerando que la última 
medida es la que se ha efectuado sin error, y, verdadera- 
mente, no tenemos ningún motivo para suponer eso. Ade- 
más, se advierte que, salvo en la primera medida, se ha- 
brían cometido en todas las restantes errores negativos, 



CAÍDA DE LOS CUERPOS 


127 


que alcanzan en las últimas hasta 4 mm. Más razonable 
es proceder del modo siguiente: Nosotros queremos veri- 
ficar una ley que dice que los espacios recorridos son pro- 
porcionales a los cuadrados de los tiempos, de tal modo 
que si en el tiempo t recorre el móvil un espacio e, y en 
el t' un espacio e', deberá cumplirse: 

j L_ ¿L 

e' ~ t n 


o lo que es lo mismo: 


e _ e' 


Significa esta última igualdad que el cociente entre el 
espacio recorrido y el cuadrado del tiempo empleado debe 
ser constante. Hagamos, pues, un cuadro en que figuren 
estos cocientes: 


t 

e 

o 

II 

1 

l 

1,000 

2 

3 

0,760 

3 

7 

0,778 

4 

13 

0,813 

5 

20 

0,800 

6 

29 

0,805 

7 

40 

0,816 


Se observa que si se prescinde de la primera medida, 
todos los demás valores se mantienen muy próximos a 
0,80. Esto hace presumir, con fundamento, que es en la 
primera medida donde se ha cometido un error grande, lo 
que no es de extrañar, si se tiene en cuenta que la marca 
dejada por el impacto sobre el papel es en todos los casos 
un “punto” de más de 1 mm de diámetro, y un error de 
sólo 1 mm, al medir 10 mm, representa ya un error del 
10 %. No tomaremos en cuenta, pues, esa primera medi- 



128 


LA FÍSICA EN CASA 


da, y hallaremos el promedio de todos los valores restantes. 
Como la suma es igual a 4,761, y el número de valores es 6, 
el término medio resulta: 


C - 


4,761 

6 


0,793. 


Completemos ahora nuestro cuadro agregando otra colum- 
na con las diferencias entre el valor medio de la constante 
y los valores particulares de la misma. En la última co- 
lumna se indica el tanto por ciento de error: 


c 

C — C 


1,000 



0,750 

0,043 

5 r /r 

0,778 

0,015 

2 „ 

0,812 

0,019 

2 „ 

0,800 

0,007 

1 ,, 

0,805 

0,012 

1 „ 

0,816 

0,023 

3 „ 


¿Podrán ser atribuidas estas diferencias a errores de 
observación ? 

¿No podría ser que la ley no fuera del todo exacta? 
Para contestar a estas preguntas calculemos los espa- 
cios que debería haber caído el móvil, adoptando para la 
constante el valor medio. 

Como, de acuerdo a la ley, debe ser: 

— = constante = C, 

los espacios sucesivos los calcularemos así: 

C, = CX l 2 ; k = C X 2 2 ; f 3 - C X 3 3 ; . . . 

Obteniendo de este modo el cuadrito siguiente, en el 
cual tomamos para los espacios calculados sólo hasta el 
milímetro, redondeando las cifras: 



CAÍDA DE LOS CUERPOS 


129 


t 

l. obs. 

ícal.= 0,793 x t* 

1 

1 cm 

0,8 cm 

2 

3 „ 

3,2 „ 

3 

7 „ 

7,1 „ 

4 

13 „ 

12,7 „ 

5 

20 „ 

19,8 „ 

6 

29 „ 

28,5 „ 

7 

40 „ 

38,9 „ 


Frente a este cuadro, tal vez piense usted que la ley 
está mal, pues considera que no puede haberse equivocado 
al efectuar la séptima medida en más de 1 cm, o sea en 
11 milímetros. Podríamos culpar, desde ya, a la resisten- 
cia del aire, pero es muy posible que no sea ella la respon- 
sable, máxime por el hecho de ser el valor observado ma- 
yor que el calculado. Pero, en la medida de los tiempos, 
¿no habremos cometido también algún error? Suponiendo 
que la bolita hubiera partido siempre con la misma velo- 
cidad, ¿estamos seguros, que las distancias sucesivas es- 
tán en la relación que se indica en la primera columna?. 

Si en lugar de tomar para el tiempo 7 unidades corres- 
pondientes a la última medida, tomáramos 7,1, resultaría 
para el valor calculado del espacio: 

l = 0,793 X 7,1 2 = 39,98 = 40 cm 

y ello significaría que la mesa estaba alejada del tablero 
3,55 m, en lugar de 3,50. Seguramente que no cometimos 
un error tan grande en esta medida, pero habremos come- 
tido inevitablemente algún error en ésta y en las otras. 
El tiempo figura al cuadrado, y un error de 1 % en la 
medida del tiempo influye en el resultado en un 2 %, pues 
9,9 al cuadrado es igual a 98,01, y 10 al cuadrado es igual 
a 100. 

De todo este análisis resulta que podemos quedar muy 
satisfechos con el resultado obtenido, y decir que, efecti- 
vamente, los espacios recorridos en la caída son propor- 
cionales a los cuadrados de los tiempos empleados. 



130 


LA FÍSICA EN CASA 


Independencia de los movimientos 

Si usted realizó el experimento que precede, o si lo 
interpretó, aun sin haberlo realizado, se preguntará cómo 
es que hablamos de caída en sentido vertical, si es que el 

móvil en realidad des- 
cribe una curva. En 
otras palabras : cuan- 
do la bolita, después 
de abandonar la me- 
sa, desciende 40 cm 
siguiendo esa trayec- 
toria curva, ¿estamos 
seguros que en el mis- 
mo tiempo descende- 
ría también 40 cm si 
se la dejara caer li- 
bremente ? 

Tome usted dos 
bolitas (figura 15), 
coloque una de ellas 
sobre el borde de una 
mesa, e impúlsela ho- 
r izontalm ente, dán- 
dole un capirotazo. 
Procure realizar esta 
operación y, al mis- 
mo tiempo, dejar caer 
desde el nivel de la mesa la otra bolita, que sostiene con 
la otra mano. ¿Cuál de las dos llega primero al suelo, 
la que sigue un trayecto curvo o la que sigue el trayecto 
recto? ¿Influye en algo la fuerza con que es lanzada la 
bolita, desde la mesa, en el tiempo de caída? 



Fig. 15. — Comprobando el principio de la independencia 
de los movimientos. 



PARÁBOLA DE CAÍDA 


131 


Parábola de caída 

Tpme una tabla de dibujo o, en su defecto, utilice el 
vidrio de un cuadro, que no tendrá por qué sacar de su 
marco, e incline la tabla o el vidrio o lo que sea en la 
forma que indica la figura 16, colocando sobre ella un pa- 
pel, y encima otro, carbónico. Lance luego una bolita su- 
ficientemente pesada sobre la tabla, y quedará impresa 
sobre el papel la trayectoria seguida *. Antes de levantar 
el papel y observar esta trayectoria, deje caer la bolita 




Fig. 16. — Inscripción de un movimiento Fig. 17. — Parábola de la 

parabólico. caída obtenida sobre una 

tabla inclinada. 

desde la parte superior del plano, cuidando que no le tiem- 
ble la mano, para no imprimirle a la misma ningún mo- 
vimiento lateral. Esta operación conviene la realice dos o 
tres veces, y sabrá luego si su mano no le tembló y si la 
tabla o el vidrio son suficientemente planos al observar 
que estas trayectorias son rectas paralelas entre sí. Ob- 
tendrá de este modo, sobre el papel, un dibujo análogo al 
representado en la figura 17. Las rectas paralelas que se 
ven en ella representan la dirección de la línea de máxima 
pendiente del plano. Trace ahora, dibujando con un lápiz 
bien afilado, una tangente a la curva que sea perpendicu- 


* Conviene utilizar una esfera de acero, como las empleadas en 
los cojinetes de bolillas. 


132 


I,A FÍSICA EN CASA 


lar a la dirección de la pendiente máxima (fig. 18) repre- 
sentada en esta figura por la recta r. En el punto de 
tangencia comenzó la caída de la esferita, siguiendo la 
rama T R, pero el “punto” no queda aquí bien marcado, 
y si tomamos a dicho punto un milímetro más a la iz- 
quierda, o un milímetro más a la derecha, ello puede ori- 
ginar errores muy grandes. Tomemos como unidad de 
tiempo el tiempo que emplea la esferita en “caer” un mi- 
límetro. En este caso, en dos unidades caerá 4 mm ; en 

tres, 9 mm, etc. Si tomamos 
a partir de O, sobre la rec- 
ta r, un segmento O A de 36 
mm y trazamos por A una 
paralela a OT, dicha para- 
lela corta a la curva en el 
punto P. Trazamos ahora, 
desde P, una perpendicular 
a la recta O T, marcando 
en el punto de intersección 
el número 6. Si el punto T 
estuviera bien definido, di- 
vidiendo el segmento T 6 en 
seis partes iguales, tendría- 
mos ya nuestra unidad de 
tiempo. Pero como el punto 
T es impreciso, tomaremos 
sobre r un segmento O B, 
igual a 64 mm, que es el 
espacio recorrido en ocho de nuestras unidades. Proce- 
diendo igual que antes, marcamos sobre 'O T el punto 8, 
y ahora ya es muy fácil precisar el instante cero en que 
comenzó la caída, pues basta con ir tomando segmentos 
6-4, 4-2, 2 -T iguales al 6-8 y dividiendo cada uno de ellos 
en dos partes iguales, y prolongando las divisiones, tene- 
mos ya graduado nuestro reloj gráfico sobre la recta O T. 
Y llegamos ahora a la parte realmente emocionante: Tra- 
cemos por las divisiones del eje del tiempo rectas para- 
lelas a la r, y procedamos a medir cuidadosamente los 



Fie. 18 . — Verif cación de la ley 
<le caída. 




DETERMINACIÓN DE “C 1 


133 


espacios recorridos. Verá usted que la ley se verifica con 
una exactitud asombrosa: que en 7 unidades de tiempo, 
la bolita cae 49 mm; en 9 unidades, 81 mm; en 4, 
16 mm; etc. 

Naturalmente que no es indispensable tomar como uni- 
dad de tiempo el tiempo que emplea la bolita en caer su 
primer milímetro. Si tomáramos como unidad el tiempo 
que emplea en caer los dos primeros milímetros, en dos 
unidades recorrería 8 mm, en 3 unidades, 18 mm, etc., y 
la elección de los puntos P y Q puede efectuarse también 
de muchas maneras, lo que dependerá del tamaño del pa- 
pel, de la forma de la curva, etc. 


Determinación de “g” 

Usted sabe cómo se puede determinar el valor de la 
aceleración de la gravedad utilizando un péndulo, y si 
nunca lo ha hecho, conviene que lo haga. Utilice para ello, 
como reloj, las señales que emite la radio cada media hora 
con la precisión de 1/10 de seg, y cuente el número de osci- 
laciones que efectúa su péndulo durante media hora o más. 
Para poder medir en forma directa el valor de dicha acele- 
ración, debe medirse el tiempo que un cuerpo emplea al 
caer desde determinada altura. Pero para ello se necesita 
un reloj muy preciso, y con el que usted tiene no se puede 
ni soñar en efectuar esa determinación. Sin embargo, si 
usted dispone de un gramófono, podrá darse el gusto uti- 
lizando como reloj el disco del mismo, con el cual podrá 
medir el tiempo hasta casi el milésimo de segundo, y de- 
terminar así lo que tarda un cuerpo al recorrer en su caída 
20 ó 30 centímetros. 

Comience por hacer una marca en el disco, fijando en 
el mismo un papel, y cuente el número de vueltas que da 
el mismo en cierto tiempo. Supondremos, para que usted 
entienda lo que sigue, que su disco efectúa 120 vueltas en 
1 minuto, o sea dos vueltas en 1 seg. * 


La velocidad angular normal es de 78 vueltas por minuto. 



134 


LA FÍSICA EN CASA 


- Ponga ahora sobre el disco una hoja de dibujo, cu- 
bierta con papel carbónico, y sosteniendo en cada mano 
una bolita a diferente altura (fig. 19), déjelas caer simul- 
táneamente en dirección a los extremos de un mismo diá- 
metro. Para verificar si esto es así, convendrá que usted 
repita el experimento una y otra vez, estando el disco en 
reposo. Apoye los brazos en sendas pilas de libros, y mida 

con todo cuidado las al- 



turas que median en- 
tre el lugar de donde 
suelta las bolitas y el 
plano del disco. 



Fig. 19. — Determinando la aceleración de Fig. 20. 

la gravedad utilizando un gramófono. 


En la figura 20 se observa el resultado de un experi- 
mento llevado a cabo de esta manera. La marca 1 es la 
dejada por una bolita que se dejó caer desde 10 cm de 
altura, y la 2, por otra que se soltó simultáneamente con 
la primera, desde 40 cm, y que si hubiera llegado al disco 
al mismo tiempo que aquélla, habría dejado su huella en 2'. 
El ángulo 2'02 resultó ser, en este experimento, de 103°, 
que equivale, dada la velocidad del disco, a: 

103 f\ t AO 

360 X 2 see - °’ 143 se «' 

Este tiempo es igual a la diferencia del tiempo de caída 
entre ambas bolitas, y como se eligieron las alturas, de 
tal modo que una fuera cuatro veces mayor que la otra, 
el tiempo que tarda la segunda bolita es doble del que 


DETERMINACIÓN DE “G” 


136 


tarda en caer la primera, por lo cual el tiempo de caída 
de esta última es el calculado más arriba. Por ser 


e 



9 = 


2 e 
t 1 


resulta : 


2 X 10 cm 
0,143 2 seg 2 


978,0 


cm 

seg 2 


En la figura 21 se ve un dis- 
positivo para efectuar el mismo ex- 
perimento: A y B son dos tubitos 
de metal o cartón, fijos a dos so- 
portes, que usted puede reempla- 
zar por dos piías de libros. En 
estos tubitos se colocan las bolitas, 
que se sostienen por las dos chapi- 
tas fijas a una regla, R, que se 
retira en el momento oportuno. Lo 
qué debe medirse bien son las al- 
turas ex y e 2 . Además, habiendo 
medido previamente la velocidad 
angular del disco, se conocerá la 
diferencia de tiempo que emplean 
ambas bolitas al caer, y con esto se 
podrán hallar los tiempos t x y t 2 de caída de cada una de 
ellas, pues es: 



U — ti = 9 y 




Aun sin tomar muchas precauciones, puede usted de- 
terminar g por este procedimiento con un error no mayor 
del dos o tres por ciento, con lo cual hallará valores com- 
prendidos entre 


m 

seg 2 


m 

seg 2 


9,50 


y 10,10 



136 


LA FÍSICA EN CASA 


ya que el valor real es de 9,80 


vi 

seg- 


pero si se lo propone, 


puede alcanzar una precisión mucho mayor. 


Caída por un plano inclinado 

Usted quiere verificar que la aceleración de caída de 
un cuerpo a lo largo de un plano inclinado es (fig. 22) : 

a = g sen o-, 

o también: 


a = g -y 


siendo h la altura de! plano y l la longitud del mismo. Pero 
no dispone más que de algunas reglas cortas, y la medida 
del tiempo de caída es siempre un asunto muy difícil. Sin 
embargo, puede llevar a cabo la 
verificación de una manera in- 
directa, que es sumamente en- 
tretenida. Comience por dibujar 



Fig. 23. — Verificación de la dependencia 
de la aceleración de caída por un plano 
inclinado con la inclinación de éste. 



en una pared, con tiza, una cir- 
cunferencia tangente al piso 
(fig. 23), y apoye dos reglas 
contra la pared, de manera que 
sus extremos se toquen en el 
punto de tangencia de la circun- 
ferencia. Proceda ahora a de- 
jar caer simultáneamente dos 
bolitas, a lo largo de las reglas, 
desde los puntos A y B en que 
aquéllas cortan a la circunferen- 
cia. Observará usted, cualquiera 



CAÍDA POR UN PLANO INCLINADO 


137 


.sea la inclinación de las reglas, que ambas bolitas llegan 
al mismo tiempo al punto T. El tiempo de caída es el mis- 
mo, sobre cualquier cuerda que pase por T. 

Demostración : El ángulo H A T es recto, por estar 
inscripto en una semicircunferencia (fig. 24), y el ángulo 
A H T es igual al a que mide la inclinación del plano, por 
tener sus lados perpendiculares. 

Por esta razón, llamando i a la longitud de la cuerda 
A T, se tendrá: 

l = 2 R se n a 


siendo R el radio de la circunferencia. Si la aceleración es 
es q, se tendrá 



T 


Este tiempo no depende del ángu- F¡ e . 24. 

lo n, y es el mismo que emplea en 
caer un cuerpo, libremente, desde H hasta T. Si usted de- 
ja entonces caer simultáneamente una esferita desde A 
y otra desde H, deberán llegar al mismo tiempo a T. Sin 
embargo, llega antes la que parte de H, por dos razones: 
una, el rozamiento, y otra, la más importante, que la es- 
ferita rueda por el plano, y parte de la energía potencial 
que tiene en A se transforma en energía rotatoria. 


ENERGÍA 

I) Disponga un péndulo en la forma que indica la fi- 
nura 25, de tal modo que el hilo choque contra el alambre 
dispuesto horizontalmente. ¿A qué altura llega el péndulo 



138 


LA FÍSICA EN CASA 


de uno y de otro lado? ¿En qué caso se arrolla el hilo en 
el alambre? 



Fig. 25. — Transfor- 
mación de energía. 



Fig. 26. — Energía potencial elástica. 


II) Disponga cinco palillos, que pueden ser de dientes, 
en la forma que indica la figura 26, y queme luego con un 
fósforo una de las puntas. ¿No estarán las partículas cons- 



Fig. 27. — Transformación de energía potencial en cinética y viceversa. 


tituyentes de los átomos del uranio 235, que sirve de base 
en la construcción de la bomba atómica, dispuestas en 
forma semejante? 



MEDICA DE LA MASA 


139 


III) Tome una tira larga de cartón y practique en el 
centro de la misma, con un cortaplumas, una canaleta, o, si 
prefiere, use dos tiras separadas entre sí por unos pocos mi- 
límetros, y unidas por la parte de atrás con pequeños tra- 
vesaños. La canaleta servirá de guía a una bolita que usted 
dejará caer desde diferentes alturas, después de haber 
dispuesto todo en la forma que indica la figura 27. Si deja 
caer la bolita desde A, y la parte B del cartón está dis- 



Fig. 28. — “Looping the loop”. 



Fig. 29. — Un cañón de cartón. 


puesta verticalmente, observe, en diferentes casos, la altu- 
ra máxima que alcanza su proyectil. 

Con esta tira de cartón podrá usted fabricar un looping 
the loop, en la forma que indica la figura 28, y también 
un “cañón” (fig. 29), con el cual podrá comprobar todo 
lo referente al tiro oblicuo, y entretenerse en tirar al blan- 
co por elevación, etc. 


Medida de la masa 

Sabe usted que la energía cinética está dada por la 
expresión 

„ 1 
E c = ~ m v 2 , 

y la potencial gravitatoria por 

E p = m g h. 



140 


LA FÍSICA EN CASA 


Nos proponemos aquí medir, dinámicamente, la masa 
de los cuerpos, lo que tiene, conceptualmente, suma impor- 
tancia. 

Disponga su honda 
en una pared (fig. 30), 
como para tirar verti- 
calmente, y estirándola 
siempre hacia la misma 
marca M, arroje hacia 
arriba diversos cuerpos, 
midiendo, lo mejor que 
pueda, la altura alcan- 
zada por los mismos, a 
partir, precisamente, de 
la marca M. 

Si un cuerpo de ma- 
sa m alcanza la altura 
h, y otro de masa m f la 
altura h', deberá cum- 

F!«r. 30. — Medida dinámica de la masa con una honda. plÍTSG 

m g h = m' g h' f 

o sea, por ser g igual para ambos cuerpos: 

m h = m' h* 

puesto que en ambos casos la energía debe ser igual a la 
energía elástica de la honda, que usted procuró estirar 
siempre de la misma manera. 

Se desprende entonces, de la relación escrita última- 
mente, que: 

m _ h' 
m' “ h 

o sea, que las masas de los cuerpos que usted lanza suce- 
sivamente con la misma honda, están entre sí en razón in- 




MASA Y PESO 


141 


versa de las alturas a que llegan. Ya tiene usted un pro- 
cedimiento para medir la masa de cualquier cuerpo. Lo 
único que le hace falta es elegir una masa unitaria, y ésta 
puede ser la masa de cualquiera de los cuerpos utilizados 
por usted. Si el cuerpo que eligió como unidad alcanza una 
altura de 80 cm, y otro llega a 40 cm, dirá que este último 
tiene una masa igual a 2 de sus unidades. Conviene que 
utilice en sus experimentos cuerpos cuyas masas sean re- 
lativamente grandes en comparación con la masa de la 
goma de la honda, para que se pueda despreciar la energía 
cinética de aquélla. 


Masa y peso 

Suspenda usted ahora en su dinamómetro, los cuerpos 
cuyas masas acaba de medir, y observará que sus masas 
son proporcionales a sus pesos. 

Al conocimiento de esta extraordinaria proporcionali- 
dad — motivo de tantas confusiones — se ha llegado inter- 
pretando la primera ley de la caída o, lo que es lo mismo, 
la ley de las masas del péndulo, y no por medidas directas, 
como las efectuadas por usted, cuyos resultados son muy 
poco exactos. 


Impulso 

Consiga un resorte en espiral, para colocarlo en el in- 
terior de un tubo de cartón o lata. Practique en el mismo 
dos ranuras (fig. 31), por las cuales podrá introducir una 
latita doblada en ángulo recto en ambos extremos. Colo- 
que en el tubo dos bolitas u otros dos cuerpos apropiados, 
de tal modo que el resorte tienda a separarlos, lo que ocu- 
rrirá cuando^ usted retire del tubo el disparador. 

Si coloca su cañoncito sobe el ángulo de una mesa, y 
mide las distancias d, y cU que alcanzan los proyectiles al 
llegar al suelo, la relación entre dichas distancias será 
igual a la relación entre las velocidades con que parten am- 
bos, pues los dos tardan do mismo en caer. Si las masas 



142 


La física én casa 


de los proyectiles son Wi y m«, y sus velocidades v 1 y v 2 , 
se cumple : 

m i Vi — m 2 v-2, 


o sea: 


Wl _ _ ¿2_ 

?n-2 ~ Vi ~ di 

Tiene usted así otro procedimiento para medir diná- 
micamente las masas de los cuerpos. 



o i <=■ i > 


'CkmmsCl 

Fijr. 31. — Para impulso y 
acción y reacción. 



Fig. 32. — Verificación de la conserva- 
ción del impulso. 


Observación: En los experimentos que usted realizaba 
con su honda, al colocar en ella, sucesivamente, dos cuer- 
pos de masas «ti y m 2 , adquirían velocidades Vi y v 2 , tales 
que las energías cinéticas de ambos debían ser iguales : 


1 1 

— mi Vi°- = - v ¡¡ - 


En el experimento que acaba de realizar, lo que resulta 
igual es, en cambio, la cantidad de movimiento, y dicha 
igualdad es una consecuencia directa de los principios de 
masa, y acción y reacción. Si una fuerza F, constante, ac- 
túa sobre un cuerpo de masa m, le comunica la aceleración 
a, tal que: 

F 

a = — 
m 




IMPULSO 


143 


Si la fuerza actúa durante un tiempo t, la velocidad que 
adquiere el cuerpo al cabo de dicho tiempo es : 

F 

v = at; o sea : v t > 

m 


de donde: 

F t = mv . 

En el experimento del cañoncito con dos bocas, la fuer- 
za que actúa en todo momento sobre ambos proyectiles es 
igual, por el principio de acción y reacción, y el tiempo 
también es igual. 

Cierto es que la fuerza no es constante, porque a me- 
dida que el resorte se va estirando, dicha fuerza dismi- 
nuye, pero el impulso total, suma de los impulsos elementa- 
les, es igual para ambos cuerpos. Permítame que exprese 
esto mismo en un lenguaje que tal vez usted no conoce 
todavía : 


F dv _ F 
m dt m 


F dt = mdv 


y en consecuencia: 


I’ 1 F d t — m l* r d 


v = m v. 


Por lo tanto, en el caso del cañón se cumplirá siempre 
que: 


nii Vi = m 2 V». 


Los que no son iguales, en este caso, son los trabajos tota- 
les Ai y A 2 que la fuerza ejerce sobre ambos cuerpos, pues 
el de masa pequeña recorre un espacio mayor que el de 
masa grande (fig. 33). La relación entre los trabajos es: 



141 


LA FÍSTCA EN CASA 


La energía del resorte se reparte, pues, entre los pro- 
yectiles en razón inversa de las masas de ambos . Por esta 
razón las armas de fuego son tan pesadas. 

Para comprender lo que ocurre en el caso de la honda, 
representemos la fuerza en función del tiempo. 

La fuerza va disminuyendo desde su valor máximo 
inicial O A (fig. 34) hasta alcanzar el valor cero, para lo 
cual ha empleado cierto tiempo, representado por O B . El 
impulso total está medido por el área O A B. 



Fig. 33. — El impulso sobre 
ambas esferas es igual ; el 
trabajo de la fuerza no lo es. 



Si colocamos en la honda otro cuerpo de masa más pe- 
queña, tardará aquélla en encogerse mucho menos tiempo, 
y el impulso total estará medido por un área tal como la 
OAC. 

La relación entre los impulsos es: 

/i _ m ] v x 
I 2 ~ m. 2 

y si la honda se estira igualmente en ambos casos, los tra- 
bajos Ax y A 2 serán iguales, por lo cual se cumplirá que 

m i vi 1 = m -2 tv J . 

En la figura 35 se ha representado la fuerza en fun- 
ción del estiramiento de la honda, y si dicho estiramiento 
es igual a O A, el trabajo total está medido por el área 
GAP. 



PÉNDULO BALÍSTICO 


145 


De la igualdad escrita últimamente, se obtiene: 


y además: 


V'2~ 

vr 


vii Vi _ V 2 
mor* v, 


m x 


o sea: 


V-2 

v x 


V 

V 


por lo cual la relación entre los impulsos es : 


h_ _ V m i 

En el caso de la honda, la 
energía es igual, y los impulsos 
son proporcionales a la raíz cua- 
drada de las masas. 

Verificación experimental. Si se dispone la honda 
en el borde de una mesa, y se miden las distancias d x y d 2 
alcanzadas por dos proyectiles (fig. 36) de masas m A y m ly 
se observará que por ser m A v x 2 = m. v y, y 

Vi d x 

v o " d 2 ’ 

que 

vii _ d 2 2 

m 2 ~ ~d { 2 



Péndulo balístico 

Suspenda del dintel de una ventana un péndulo, me- 
diante dos hilos. Tome como masa pendular un trozo de 
plomo, madera o masilla, de tamaño adecuado para que 



146 


LA FÍSICA EN CASA 




Fie. 37. 


Midiendo la velocidad de un proyectil con un péndulo 
balístico. 


PÉNDULO BALÍSTICO 


147 


dicha masa no sea atravesada totalmente por el proyectil 
que usted lanzará sobre ella (fig. 37), y cuya velocidad 
quiere determinar. 

Si la masa del proyectil es m, y su velocidad v, la can- 
tidad de movimiento antes del choque es m v, que debe ser 
igual a la cantidad de movimiento después del choque: 

m v — (M + ni) V, 

en que M es la masa pendular, y V, 

. la velocidad con que se mueve la mis- 
ma, en unión con el proyectil, des- 
pués de haber recibido el impacto. 

La energía cinética que adquiere 
el péndulo se transforma en energía 
potencial, y ascenderá hasta cierta 
¿ltura h tal, que: 

\(M 7 m) V 2 = (M + m) g h. 

2 Fie. 38. 


O 



En cuanto al valor de h, se determina fácilmente mi- 
diendo el apartamiento a y la longitud l del péndulo, pues, 
como se ve en la figura 38, se tiene : 

h a 

7i ~ 1 77h ’ 


de donde: 


hl — h- = a 2 . 


Si la masa pendular es muy grande con respecto a la 
del proyectil, h será pequeño, y se puede despreciar su 
cuadrado, con lo cual: 



resultando entonces finalmente, de acuerdo con las ecua- 
ciones anteriores: 



148 


LA FÍSICA EN CASA 


V 


y±j* x /2 £ 

m \/ / 


«. 


Si en sus experimentos utiliza una escopeta de aire 
comprimido, para determinar la masa m de cada proyec- 
til pese cincuenta o cien de los mismos. 


Fuerza centrífuga 


Disponga una varilla A B, de unos 50 cm, en la forma 
que indica la figura 39, y si usted arrolla los cordones en 

que aquélla está suspendida, tie- 
ne ya con ello una máquina cen- 
trifugadora más cómoda que las 
usadas habitualmente en los la- 
boratorios de Física. 

Con algunos tacos de made- 
ra convenientemente taladrados, 
podrá repetir todos los experi- 
mentos que se describen en cual- 
quier texto, y en particular ve- 
rificar la proporcionalidad en- 
tre la fuerza centrífuga y la 
masa. 

Si usted desea verificar cuantitativamente la ley según 
la cual 

F = m «r r, 



Fig. 39. — "Máquina” 
centrifugadora. 


también puede hacerlo, y en una forma no directa, pero 
sorprendentemente sencilla. Para ello, tome un péndulo 
y haga que la masa pendular describa una circunferencia. 
Si el radio de ésta es pequeño con respecto a la longitud 
del hilo, usted observará que el tiempo que tarda el pén- 
dulo cónico (así llamado porque el hilo describe la super- 
ficie de un cono circular) en dar una vuelta entera, es 
igual al tiempo que emplea el mismo péndulo en efectuar 
una oscilación plana completa. Y con esto está comproba- 



FUERZA CENTRIFUGA 


MU 


da la ley. En efecto: al describir el péndulo una circun- 
ferencia de radio r, de centro en A (fig. 41), cuyo plano 
es perpendicular al plano del dibujo, la resultante R, en- 
tre la fuerza centrífuga F y el peso P, debe tener una 
dirección coincidente con la del hilo. 

Se observa, en la figura, que: 



Fig. 40. — Pén- Fig. 41. 

dulo cónico. 


y si r es pequeño, podremos tomar l en lugar de h, con lo 
cual: 

F = P y- • [2] 

El tiempo de oscilación de un péndulo que oscila en un 
plano, y para oscilaciones pequeñas, es; 



Por ser este tiempo igual al que emplea el péndulo có- 
nico de la misma longitud en dar una vuelta, despejando 1 
de esta última fórmula, 

, OT* 

l = ; — r 9 
4 7 r' 



150 


LA FÍSICA EN CASA 


y llevando este valor a la expresión de F, obtenemos: 



o sea: 

F = m oí- r, [4] 


pues es igual a la masa, y igual a la velocidad an- 


gular. 

Esta demostración le habrá parecido a usted, por cier- 
to, bien rara, pues la fórmula [1] es exacta, la [2] sólo 
aproximada, lo mismo que la [3], pues vale únicamente 
para oscilaciones de pequeña ampiltud. ¿Cómo, de dos 
fórmulas aproximadas, [2] y [3], obtenemos la [4], que 
es exacta? 


En realidad, los tiempos de oscilación de un péndulo 
cónico y de un péndulo plano son sólo iguales para am- 
plitudes infinitamente pequeñas. En el péndulo cónico, el 
tiempo T que tarda la masa pendular en dar una vuelta, 
está dado exactamente por la expresión : 


T = 



[5] 


en que figura no la longitud l del hilo, sino la distancia 
vertical h, entre el punto de suspensión y el plano hori- 
zontal sobre el cual gira la masa pendular. De la expre- 
sión [5], que puede comprobarse por medidas directas, y 
de la [1], ambas exactas, se obtiene la [4], 

En realidad, el proceso es otro: de la validez de la 
[1] y la [4] se deduce la [&]. 

Una consecuencia interesante, que se puede comprobar 
de manera sencilla, es la siguiente: De la [1] obtenemos: 



y siendo P = m g, y F = m w- r, resulta : 



FUERZA CENTRÍFUGA 


161 



ü>" 


Esto quiere decir que si se suspenden de una varilla 
vertical péndulos de diferente longitud o de diferente ma- 
sa (fig. 42), y se imprime a la varilla un movimiento de 


rotación, todos los péndulos, cualesquie- 
ra sean sus masas y sus longitudes, gi- 
rarán en un mismo plano horizontal, 




>Fig; 42. — Interesante consecuencia de la ley de la Fig. 48. 

fuerza centrífuga. 


pues la altura h no depende ni de la masa ni de la longitud 
de los péndulos. Puede realizarse este experimento colo- 
cando un corcho en un anillo, del cual se suspenden diver- 
sos péndulos. Conviene 
colgar péndulos iguales 
en los extremos de cada 
diámetro del anillo, pa- 
ra que las fuerzas cen- 
trífugas que actúan so- 
bre el eje de giro se 
anulen. Una vez hecho 
esto, basta clavar en el 
centro de una de las ca- 
ras del corcho una agu- 
ja, que Sera el eje de Fig. 44. — Comprobación indirecta de la 

giro. fórmula de la fuerza centrífuga. 

El buje de este eje 

lo podrá fabricar usted con una latita convenientemente 
doblada y aplicada al corcho de una botella (fig. 43), 
con lo cual tendrá su aparato terminado en la forma 
que indica la figura 44. 




LA FISICA EN CASA 


1 rrz 


Imprimiendo al corcho un rápido movimiento de rota- 
ción, observará que los péndulos giran, efectivamente, en 

el mismo plano horizontal. 

Al disminuir la veloci- 
dad angular se observa 
que los péndulos ya no gi- 
ran en el mismo plano, pe- 
ro siempre, para todos 
ellos, sigue siendo la altu- 
ra h la misma. Los péndu- 
los A y B de la figura 45 
giran en planos horizonta- 
les diferentes, pero la al- 
tura h x del péndulo A debe 
contarse a partir del punto O u y la del punto 0>, 
y se cumple que h t = h 2 . 

Utilizando el aparato que acaba de construir, usted 
puede determinar el valor de la aceleración de la gravedad. 
Para esto, debe medir h y la velocidad angular de giro con 
un reloj. 



Momento de inercia 

Coloque sobre una tabla inclinada varios cuerpos que 
puedan rodar sobre ella (fig. 46) ; por ejemplo, esferas 
macizas (bolitas), esferas huecas (pelotas), cilindros ma- 
cizos o huecos (aros de servilletas), etc. Para asegurarse 
que los cuerpos rueden, sin deslizarse, cualquiera sea la 
inclinación de la tabla, conviene recubrir la misma con un 
paño. Es con este objeto que se recubre también la pizarra 
de los billares. 

Si suelta los cuerpos a un mismo tiempo, observará 
que unos caen por el plano con mayor rapidez que los otros. 

Si el cuerpo pasara de la posición A a la B (fig. 47) 
deslizándose, sin rodar , y si el rozamiento fuera nulo, toda 
la energía potencial gravitatoria se convertiría en energía 
cinética, por lo cual, si el cuerpo parte del reposo, se ten- 
dría : 



MOMENTO DE INERCIA 


153 


mg h 


1 

= — m v 2 

2 


siendo v la velocidad adquirida al llegar al punto B. Si « 
es la inclinación del plano, llamando l al camino recorrido 
entre A y B , se tiene 


h = l sen «, 



Fig. 46. — Partida de una carrera entre uTm pelota, 
un aro de servilleta, una bolita y un lápiz. 


por lo cual la fór- 
mula escrita más 
arriba se convierte 
en 


g l sen a ^ v-. 

¿á 



Por ser el movimiento uniformemente acelerado, sien- 
do a la aceleración de dicho movimiento se tendrá: 

i 1 *- 

l = — - u t-. 

2 

Resulta así : 

1 1 .. 

0 ■ 2 « t-. sen « = 2 v-. 

V 

Dividiendo por t y observando que el cociente de 

z 

os igual a la aceleración a, obtenemos : 
g a sen « = a 2 , 

o sea : 

a = g sen a. 


154 


LA FÍSICA EN CASA 


Ésta es la fórmula que ya fué considerada en otro ex- 
perimento (pág. 136), pero veremos en seguida que si los 
cuerpos ruedan, la fórmula a aplicarse debe ser otra. 

La energía potencial, al pasar el cuerpo de la posición 
A a la B, se transforma en energía cinética de traslación 
y en energía cinética de rotación. Si el momento de iner- 
cia es I, con respecto al eje de giro, y su velocidad angu- 
lar o», la energía rotatoria es : 



por lo cual se tendrá: 

. 1 . , 1 r , 
mg h = — mv 2 -f — 1 « 2 . 

Ct ¿i 


Si el radio de giro es r, se tiene: 
v = <ü r, 


siempre que no haya deslizamiento, pues si el cuerpo gira 
en un ángulo a, lo que avanza es a r, y si esto ocurre en 
un tiempo t (tómese a y t muy pequeños), dividiendo por 
este tiempo se obtiene la fórmula escrita últimamente. 

Resulta, pues, después de dar algunos saltos, que 

, 1 ... 1 / v 2 

y 2 2 m r 2 


Por ser 


de donde: 


— a t 2 , dividiendo por t 2 obtenemos 


g a sen a = a 3 + 


m r 2 


a-, 


a 


g sen a 


[ 2 ] 


m r 2 



MOMENTO t>fi INERCIA 


158 


Sólo en el caso de que el momento de inercia fuera cero 
se obtendría la fórmula [1] . 

Siendo los momentos de inercia los que se mencionan 
a continuación: 


/ = m r 2 

r 1 

I = — m r- 

2 

7 2 

I = — m r- 

j 2 

1 = — m r- 

5 


(cilindro hueco), 
(cilindro macizo), 

(esfera hueca), 

(esfera maciza), 



Fig. 48. — Llegada de la carrera cuya partida se representa 
en la fig. 46. 


las aceleraciones de esos cuerpos a lo largo del plano in- 
clinado resultan ser: 


1 

2 

2 

3 

3 


a = - g sen a (cilindro hueco), 

¿A 


a =-—<7 sen a (cilindro macizo), 

ü 


« =-g-í7 sen a (esfera hueca), 


a 9 sen a (esfera maciza). 


En cambio, un carrito cuyas ruedas tengan una masa 
despreciable en comparación con la masa total, rodaría 
con una aceleración igual a g sen a. 

Los cuerpos representados en la figura 48 se supone 
que partieron al mismo tiempo de O. 




156 


LA FÍSICA EN CASA 


Lo que precede es importante, pues si se quiere hallar 
la aceleración de la gravedad midiendo el tiempo que tarda 
una bolita en recorrer cierto trayecto por un plano incli- 
nado, aplicando la fórmula a = g sen <*, se obtienen siem- 
pre valores demasiados pequeños, imposibles de ser atri- 
buidos a “errores de observa- 
ción”. Utilizando, en cambio, 
las fórmulas transcriptas 
más arriba, se obtienen valo- 
res de g bastante aproxi- 
mados. 

Cuando el radio de giro 
es muy pequeño, como en el 
caso de la figura 49, la ace- 
leración es también pequeña. Uniendo dos carreteles con 
un trozo de lápiz (fig. 50) puede realizarse este experi- 
mento, haciendo rodar a los mismos sobre una regla, lo 
que también puede observarse por la rodadura de un posa- 
cubiertos sobre la hoja de un cuchillo (fig. 51). 



Fisr. 49. — En eate caso la aceleración 
de caída es muy pequeña. 




Después de haber realizado los experimentos que pre- 
ceden, ¿está usted en condiciones de averiguar cómo se re- 
parte en cada caso la energía entre la traslación y la ro- 
tación? ¿Podría prever hasta qué altura llegará una es- 
fera maciza, u otra hueca, si realiza con ellas los expe- 
rimentos a que se refiere la figura 27, suponiendo que am- 
bas rueden en su caída? 




MOVIMIENTO VIBRATORIO 


157 


Movimiento vibratorio 

Ya habrá observado usted, en más de una oportunidad, 
que una goma tirante puede hacérsela vibrar en forma 
análoga a como lo hace una cuerda de guitarra, y tampoco 
habrá dejado de advertir las vibraciones que efectúan los 
resortes, las tablas de los trampolines, etc. 



Fig 52. — Inscripción de un movimiento vibratorio 
sobre un disco de gramófono. 


Figr. 52. 


Se trata, ahora, de que usted registre gráficamente un 
movimiento de esta clase. Para ello, fije en la pata de 
una mesa una regla, mediante una prensa (fig. 52), o, a 
falta de ella, sujete su regla, que debe ser de pequeño es- 
pesor, entre una puerta y el marco de la misma, del lado 
de las bisagras. 

Adapte al extremo de dicha regla un pequeño lápiz. 

Coloque ahora un 
gramófono debajo de la 
regla, de tal modo que, 
al vibrar ésta, la punta 
del lápiz se mueva si- 
guiendo la dirección de 
uno de los radios del 
disco. Cubriendo éste 

í-.avi 'Tirirú! v Unrtían Fig. 54. — - Inscribiendo un movimiento vibratorio sobre 

con un papel, y nacien- Lln vidrio ahumado. 



158 


LA FÍSICA EN CASA 


do vibrar la varilla, se obtendrá un dibujo como el de la 
figura 53, que permitirá determinar el número de vibra- 
ciones que efectúa aquélla en cierto tiempo. 

El cociente entre ese número de vibraciones y el tiem- 
po en que se han efectuado da la frecuencia del movimiento 
vibratorio. 

Si acorta la varilla, observará que la frecuencia au- 
menta. En el caso de la figura 53, el disco efectuaba 78 
vueltas por minuto, o sea 480° por segundo, y como, al 
recorrer el disco 180°, se efectúan 9 vibraciones comple- 
tas, la frecuencia resulta ser de 24 vibraciones dobles por 
segundo. En lugar de una regla puede utilizar también 
una aguja de tejer, por cuyo extremo en vibración (fig. 54) 
hará pasar un vidrio ahumado, o sea expuesto previamente 
a la llama de una vela. 


Composición de un movimiento vibratorio con otro 
uniformemente acelerado 


Tome una cartulina y dispóngala como indica la figu- 
ra 55, recubriendo su parte cóncava con papel carbónico. 




Podría utilizar también una jarra (fig. 56) o un caño. 
Si deja caer ahora una bolita pesada, obtendrá una curva 


RESONANCIA 


159 


como la de la figura 57, que le permitirá comprobar, una 
vez más, que el espacio recorrido en el movimiento de 
caída es proporcional al cuadrado del tiempo. 



Resonancia 

Suspenda del marco de una puerta o de una mesa 
(que por lo visto está constituyendo un soporte universal) , 
dos péndulos iguales, A y B, y únalos en la forma que 




Fig. 58. — Resonancia. Fig. 59. — Resonancia. 

indica la figura 58, colocando en el centro del hilo una 
pequeña pesa, C. Haciendo oscilar uno de los péndulos, 
verá cómo la energía se entretiene pasando al otro, regre- 
sando luego al primero, y así, sucesivamente, y observará 
también que, para que esto se produzca, los péndulos A y B 
deben tener el mismo tiempo de oscilación. 

Otro experimento fácil de realizar consiste en suspen- 
der un pequeño caño de plomo, P, en la forma que indica 
la figura 59, y de él otro péndulo, también bifilar y de 
igual longitud, pero de menor masa, P'. Si del caño de 




160 


LA FÍSICA EN CASA 


plomo suspende usted tres péndulos: P lf P> y P 3 (fig. 60), 
haciendo oscilar a P con pequeña amplitud observará que 
la energía pasa, al cabo de cierto tiempo, a aquel de los 
tres péndulos inferiores cuyo período de oscilación coin- 
cide con el período de P. Cuando usted sintoniza con de- 
terminada estación transmisora su aparato de radiotele- 
fonía, lo que hace es variar el período de oscilación del 
mismo, hasta que coincide con el período de la onda que 
busca: se trata de un fenómeno de resonancia eléctrica, 
análogo a los de resonancia mecánica que acaba de ob- 
servar. 



Fig. GQ. — Resonancia. Fig. 61. — Resonancia. 


Si toma dos agujas de tejer, de unos 40 cm-de largo 
cada una, y las dispone como indica la figura 61, obser- 
vará que haciendo vibrar a una de ellas vibrará la otra, 
siempre que la parte libre de ambas tenga la misma lon- 
gitud. 


Método estroboscópico 

Ya sabe usted cómo se puede inscribir un movimiento 
vibratorio, y sabe también determinar gráficamente la 
frecuencia del mismo. Naturalmente que el método gráfico 
no se presta para determinar la frecuencia de una cuerda 
o de una pequeña varilla en vibración, pues si se le apli- 
cara a la una o a la otra un lápiz, por pequeño que éste 


MÉTODO ESTROBOSCÓPICO 


161 


fuese, haría variar la frecuencia, aparte de que el roza- 
miento del mismo con el disco amortigua rápidamente el 
movimiento. 

Para que usted comprenda el principio del método, con 
la aplicación del cual se solazará más adelante, puede co- 
menzar por efectuar el experimento siguiente, si es que 
cuenta con los elementos adecuados. 



Fie. 62. — Un ventilador en movimiento parece en reposo si se le ilumina con 
una linterna de cine y se regula convenientemente la velocidad de la misma. 


Ilumine un ventilador en marcha (fig. 62) con un pro- 
yector de cine, y variando la velocidad de la manivela en- 
contrará usted que llega un momento en que parece que 
el ventilador estuviera en reposo. Usted sabe que en un 
proyector cinematográfico, la linterna está provista de un 
obturador, para que la luz se eclipse periódicamente. Mo- 
viendo la manija con rapidez no se advierten esos eclipses, 
debido a la persistencia de las imágenes en la retina. Si la 
velocidad del proyector es tal que entre dos destellos suce- 
sivos de luz transcurre un tiempo igual al que emplea el 
ventilador en dar un cuarto de vuelta, éste parecerá en 
reposo, porque veremos a las cuatro paletas siempre en la 


162 


LA FÍSICA EN CASA 


misma posición. Si, en cambio, en el lapso entre dos deste- 
llos el ventilador gira sólo 89°, se le verá moverse en sen- 
tido opuesto al del movimiento real, y a razón de sólo I o 

por cada intervalo de tiempo 
comprendido entre dos deste- 
llos sucesivos. El ventilador 
parecerá, en cambio, avanzar 
lentamente en el propio sen- 
tido de su movimiento, si gi- 
rara a una velocidad angular 
algo mayor de 90° por inter- 
valo. Usted habrá observado 
en el cine que las ruedas de 
los coches parecen, algunas 
veces, en reposo, a pesar de 
que el coche avanza, y otras 
veces se las ve girar en sen- 
tido opuesto al que deberían tener; con lo que precede, ya 
tiene la explicación del fenómeno. 




Fig. 63. — Disco estrobos- 
cópico. 


Fig. 64. — Observación estroboscopios. 

Si usted efectúa el experimento que acabamos de indi- 
car, observará que las paletas del ventilador, cuando éste 
parece en reposo, se presentan como desdibujadas y más 
anchas. Eso se debe a que los destellos de luz emitidos por 


MÉTODO ESTROBOSCÓPICO 


163 


el proyector de cine duran demasiado tiempo. Por esta 
•razón le recomendamos tome un disco de cartón y prac- 
tique en él 12 ó 24 ranuras, estrechas y equidistantes 
(fig. 63). Con dos chinches, fije ahora su disco a un carre- 
tel, y pase por el eje de éste una aguja de tejer. Le será 
fácil, de este modo, hacer girar el disco y observar a tra- 
vés de las ventanas del mismo (fig. 64) una aguja en 
vibración, un ventilador en movimiento, el martillo de un 
timbre mientras vibra, etc. Para lograr que su disco gire 
con velocidad constante, no 
tiene más que aplicarlo sobre 
el disco de un gramófono, en 
la forma que indica la figu- 
ra 65. 

Si llamamos r a la distan- 
cia entre el punto de apoyo 
del disco estroboscópico sobre 
el disco del gramófono y el 
centro de éste, siendo <ü 0 la ve- 
locidad angular del disco mo- 
tor, la velocidad angular a> del 
otro disco será tal que 

iúo r = o) R f 

si designamos por R al radio del disco estroboscópico. 

Se desprende de aquí que 

mr 

“ = ~R~ ’ 



Fig. 65. — El motor del disco estroboscópico. 


o bien: 


siendo N y N 0 el número de vueltas por segundo que efec- 
túan ambos discos. Con esto es fácil determinar la fre- 
cuencia de una cuerda vibrante, o la velocidad de rotación 
de una rueda, etc. 



164 


LA FÍSICA EN CASA 


Ejemplo: Siendo N n = 78 — — — 

minuto 

y R = 18 cm, un ventilador de 4 paletas parece en reposo 
para los siguientes valores de r: 

r = 12 cm; r = 6 cm. 

El disco estroboscópico tiene 12 ventanas. Cuando r = 6 
cm, el ventilador da exactamente media vuelta en el tiem- 
po en que el disco estroboscópico efectúa 1/12 de vuelta, 
si r = 12 cm, al dar el disco estroboscópico 1/12 de vuel- 
ta, el ventilador gira sólo 90°. Resulta así, efectuando los 
cálculos, que el ventilador gira a razón de 156 vueltas por 
minuto. 


ACÚSTICA 

Con los elementos de que ya dispone para estudiar los 
movimientos vibratorios puede, sin ninguna dificultad, 
verificar las leyes de las cuerdas, tendiendo éstas, por 

ejemplo, entre las patas de 
su mesa de trabajo. 

Si lo desea, también podrá 
fabricar algunos tubos sono- 
ros, y si consigue un diapasón 
cuya frecuencia conozca, le 
será fácil determinar, por el 
método de resonancia, la ve- 
locidad del sonido en el aire. 
Para esto último, le basta to- 
mar un tubo de cartulina o, 
simplemente, una revista 
arrollada (fig. 66), e intro- 
ducirla más o menos en una 
pileta con agua, hasta observar que el sonido del diapasón, 
colocado en la embocadura libre del tubo, se refuerza. 

La reflexión de las ondas sonoras puede ponerlas de 
manifiesto con sólo colocar un reloj sobre un plato y apli- 



Fijr. 66. — Determinación de la velocidad 
del sonido por resonancia. 


EXPERIMENTOS PARADOJALES 


165 


o? r cerca del oído otro plato convenientemente inclinado 

(fiar. 67). 



Para comprobar que la altura de un sonido aumenta 
ai aumentar la frecuencia, puede sustituir la rueda den- 
tada de Savart por un simple peine, y percibirá que el 
sonido emitido, al pasar 
por él una tarjeta (fig. 

68), es tanto más agu- 
do cuanto más rápido 
haga deslizar a aquélla 
por sobre los dientes. 



EXPERIMENTOS PARADOJALES 

Se designa en Física con el nombre de paradojas a 
ciertos experimentos cuyos resultados, imprevisibles para 
el común de la gente, parecen además estar en contradic- 


166 


LA FÍSICA EN CASA 


ción con ciertas nociones adquiridas merced a la experien- 
cia cotidiana. 

En la parte concerniente al centro de gravedad, en 
cualquier texto de Física usted podrá ver la paradoja del 
doble cono, que parece subir por un doble plano inclinado. 
También puede usted lograr que una pelota suba por dos 
reglas levemente inclinadas pero suficientemente diver- 
gentes (fig. 69), y observará, que en realidad, la pelota 
va bajando. Si coloca usted sobre una mesa horizontal dos 
libros iguales, en que los bordes de las tapas formen cierto 

ángulo, verá que una 
esfera puesta cerca 
del vértice de dicho 
ángulo se pone a ro- 


Fig. 69. — La pelota parece subir. Fig. 70. 




dar hacia la parte abierta (fig. 70), y lo mismo hará 
aunque los libros estén algo inclinados. 

El centro de gravedad, en todos los casos, baja. 

Las paradojas, una vez que se comprenden, dejan de 
serlo. 


Paradoja de la caída 

Tome dos cuerpos A y B, y únalos mediante un hilo 
(fig. 71). Vaya usted ahora a la azotea de su casa o, sim- 
plemente, párese sobre una mesa, o sobre una escalera, y 
sosteniendo el cuerpo A, deje al B suspendido como una 
plomada. 

Suelte ahora al cuerpo A y dígame si la distancia entre 
ambos se mantiene constante durante la caída. ¿No es 
verdad que si no fuera por el título de este párrafo, usted 


PARADOJA DE LA CAÍDA 


167 


contestaría, sin titubear, que dicha distancia debe perma- 
necer constante? ¿No es cierto, acaso, que cualquier cuerpo 
recorre en el primer segundo de caída 4,90 metros? 

Si la caída dura un segundo, parece evidente que el 
cuerpo A recorrerá en ese tiempo 4,90 m lo mismo que el 
B, y como ambos comienzan a caer al mismo tiempo, no 
se ve por qué la distancia en- 
• tre ellos debe variar. Y sin 
^ embargo varía, y en forma 
que llega a ser notable. Si la 
masa del cuerpo A es mucho 
menor que la de B, se verá 
que al cabo de cierto trayecto 
el cuerpo A alcanza al B , y 
si no chocara, lo pasaría. Us- 
B ted se dará cuenta de la cau- 
sa de este fenómeno si susti- 
f¡*. 7i. tuye el hilo por una goma, y 
si piensa luego que los hilos 
so.n siempre elásticos y se estiran. 

Mientras usted sigue jugando con 
los cuerpos A y B, yo voy a conversar 
sobre este asunto con mis colegas. 

El resultado paradojal que precede 
lo advertí al ensayar un clásico expe- 
rimento, para verificar la segunda ley 
de la caída. El experimento en cues- 
tión consiste en unir, mediante hilos, 
varias esferitas (fig. 72), de tal modo 
que la primera se encuentra a 10 cm 
del suelo, la segunda a 40 cm, la tercera a 90 cm, etc. 
Cortando el hilo que las sostiene a todas, si la primera 
tarda en caer un tiempo uno, la segunda tardará dos, la 
tercera tres, y así sucesivamente, de modo que se percibi- 
rán los ruidos de los choques sucesivamente, separados 
por intervalos iguales de tiempo. A pesar de que este ex- 
perimento se menciona en excelentes tratados, puedo ase- 
gurar que los que lo citan no lo realizaron jamás cuida- 





160 

90 

I Q 


40 



Fig. 72. — Un falso 
experimento clásico. 



168 


LA FÍSICA EN CASA 


dosamente, pues de haberlo hecho habrían notado que lo 
que realmente ocurre está muy lejos de coincidir con lo 
previsto. Al ir cayendo las esferas, es bien visible que el 
hilo deja de estar tirante, disminuyendo la distancia que 
las separa, y los golpes se suceden a intervalos de tiempo 
cada vez menores, como si las de más arriba cayeran con 
mayor aceleración. 

Sirva esto de ejemplo para hacer notar, una vez más, 
la importancia de la experimentación. 

La teoría del fenómeno es la siguiente: Sean dos ma- 
sas: m, y á?o, que supondremos puntuales y unidas por un 
hilo de longitud l (fig. 73). Esta longitud corresponde a 
una tensión nula. Si la fuerza que tiende al hilo es F, su- 
pondremos que ella produce en aquél un alargamiento 
igual a a. Si en un momento dado dejan de actuar las 
fuerzas F, el hilo tiende a recuperar su longitud primitiva, 

y las dos masas se aproxima- 
rán, sin que varíe por ello la 
posición del centro de grave- 
dad del sistema. Admitiendo 
que el estiramiento del hilo se 
cumpla dentro de los límites 
de elasticidad perfecta, el movimiento de las masas w y y 
m 2 será inicialmente vibratorio armónico. Adquirirán sus 
velocidades máximas al cabo de un cuarto de período, y a 
partir de ese momento continuarán acercándose con movi- 
miento uniforme. Las amplitudes de los movimientos vi- 
bratorios de las masas y m > son : 

m-> m , 

a i = a — ; = a ¡ > 

m x -{- m- 2 wii + m > 

como se comprende si se piensa que el período de ambos 
movimientos debe ser el mismo, y que no debe variar la 
posición del centro de masa. Siendo 

F = kct, 

el período de oscilación, común para ambas masas, resulta 
ser : 



Fíjjc. 73. 



PARADOJA DE LA CAlDA 


1 ( 5 !) 


T — 2 TT 


m¡ 1 

mj + m-, k 


y las velocidades r, y v 2 máximas, adquiridas por las ma- 

T 

sas m, y m>, al cabo de un tiempo igual a — , son : 

4 


Llamando a la suma de estas velocidades, se obtiene: 

2 TT O 

v = d, + v¡> = r/ , 

El tiempo t que tardan ambas masas en juntarse en el 
centro G será: 

1 + T 
r T + T 


o sea: 


mi m 2 1 / l ,1 

7 i ... * ~T7 o T i 7~ 


V + m 2 fc \ 2 7T a 4 I 

Si la masa m* es la inferior (fig. 71), la fuerza F es m-, g, 
por lo cual 


resultando para el tiempo r, en que ra, alcanza a m 2 , 


mi a_ lj_ ir 

ffli -j- M; g \ « 2 


Durante este tiempo, el centro de masa G re- 
corre un espacio h igual a g t-, o sea : 

¿A 


h - L ... 

2 -b m < 


a + T 


Así, por ejemplo, si 



170 


LA FÍSICA EN CASA 


»»x = 100 g, m 2 = 900 g, l — 100 cm y a ■ — 4 cm, 
resulta : 

h = 141 cm = 1,41 m, 



y las dos esferas, inicialmente separadas por una distan- 
cia de 104 cm, se juntan, después de recorrer, en el mismo 
tiempo, la de arriba 2,35 m, y la de abajo, sólo 1,31 m. 

De lo que precede se desprende que el clásico experi- 
mento a que se refiere la figura 72 sólo daría resultado 
utilizando masas muy pequeñas, de tal modo que el alar- 



PARADOJA DE LA CAÍDA 


171 


gamiento a de todos los hilos que las unen pudiera consi- 
derarse nulo. Creemos, sin embargo, que es más conve- 
niente mostrar cómo, por la acción del hilo, las masas tien- 
den a juntarse. 

En la figura 75 se ha representado la posición de las 
dos masas, mi y m 2 , en función del tiempo, en un caso 
concreto. Si no actuara la gravedad, y ambas masas estu- 
vieras unidas por un resorte, que también tendiera a se- 
pararlas, el movimiento de las mismas estaría represen- 
tado por los sinusoides B 0 B\ y A 0 A'i, que en la figura 
se han dibujado, a partir de B\ y A\, por puntos. Si las 
masas están unidas por un hilo elástico, dicho hilo deja 
de actuar sobre las mismas no 
bien pasan éstas por sus posicio- 
nes de equilibrio, por lo cual la 
representación del movimiento 
uniforme de cada una de ellas 
(no actuando la gravedad) está 
dado por las rectas B\, B’ 2 , B \. . . 
y A\, A' 2 , A' 3 ... siendo las velo- 
cidades de estos movimientos 
iguales a las velocidades máxi- 
mas de los respectivos movimien- 
tos armónicos. El centro de gra- 
vedad G 0 , quedaría fijo, lo que equivale a decir que su re- 
presentación estaría siempre sobre el eje del tiempo. Si 
suponemos que actúa la gravedad, el centro de masa G 0 se 
moverá con movimiento uniformemente acelerado, y la re- 
presentación de ese movimiento es la parábola G 0 Gi G 2 . . . 
Superponiendo los movimientos de ambas masas con este 
último, resulta para la curva B 0 B x B 2 . . . y para m 2 , 
A 0 Ai A 2 . . . Las partes de las curvas B 0 B x y A 0 Ai re- 
sultan de "sumar” el arco de parábola G 0 Gi con los arcos 
de sinusoide B 0 B\ y A 0 A\. En cambio, el resto de las 
curvas, Bi B¡¡ B 3 . . . y Ai A 2 A 3 . . . resultan de sumar el 
arco de parábola Gi G 2 G 3 . . . con las rectas B\ B' 2 B ' s . . . 
y A\ A' 2 A' 3 . . ., por lo cual dichas partes de curva son 
también arcos de parábola. Estos arcos se cortan en el 




172 


LA FÍSICA EN CASA 


punto P, que representa el lugar y el instante en que m, 
alcanza a m 2 . Para observar el movimiento de ambas ma- 
sas después del encuentro, sin que choquen entre sí, basta 
con darle a m 2 la forma de un aro (fig. 76), y utilizar un 
hilo doble para establecer el vínculo con m u de tal modo 
que al cabo de cierto tiempo de caída se observarán las 
masas en la forma que indica la figura 76 b. 


Paradoja de la tensión superficial 


Con jabón ordinario, agua y un poco de glicerina puede 
usted preparar una solución con la que podrá efectuar los 

interesantes experimentos de 
tensión superficial que se 
mencionan en los textos co- 
rrientes. Entre ellos, es parti- 
cularmente interesante com- 
parar la presión del aire con- 
tenido en dos pompas esféri- 
cas de diferente radio. 

Al objeto, forme dos pom- 
pas de jabón en los extremos 
de dos pequeños tubos de go- 
ma (fig. 77), y proceda des- 
pués a comunicar éstos entre 
sí. ¿Qué ocurre al poner en 
comunicación el aire conteni- 
do en las dos pompas de jabón? ¿Se establece el equili- 
brio al adquirir ambas el mismo radio? Verá usted que 
no, pues la presión del aire encerrado en el interior de 
una película líquida de forma esférica es: 

4 t y 

”-TT- 



Fík. 77. — Paradoja de la tensión 
superficial. 


en que es la tensión superficial del líquido, y i? el radio 
de la esfera. Según la fórmula precedente, la presión es 
tanto mayor cuanto menor es el radio de la esfera. Esta 
presión p es, en realidad, la sobrepresión, o sea la dife- 



PARADOJA DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL 3 7,‘! 

rencia de presión entre el aire interior y el exterior. Al 
comunicar entonces dos pompas del mismo líquido, el aire 
pasa de la menor a la mayor. El aspecto paradojal de este 
experimento proviene de que consideramos a las pompas 
como si estuvieran constituidas po* membranas elásticas 
de una misma goma. Pero las películas líquidas se compor- 
tan de manera diferente. 

La fórmula [1], que explica la paradoja, es un caso 
particular de la fórmula de Laplace que se deduce en los 
tratados ya algo superiores, por lo cual daré de la misma 
una demostración directa, por cierto bien sencilla. 

Si queremos calcular la presión que produce la película 
en el punto O, consideremos un casquete esférico de centro 
en ese punto (fig. 78), y 
de pequeño radio : A B = p. 

Tangencialmente a la su- 
perficie de la esfera se 
ejercen fuerzas provenien- 
tes del resto de la película 
sobre el borde de esa cir- 
cunferencia que estamos 
considerando. En una por- 
ción pequeña de ese borde 
de longitud l, la fuerza / 
que se ejerce sobre dicha 
u la tensión superficial del líquido : 

/ = « l [2] 

Descomponiendo cada una de estas fuerzas en otras dos, 
f n paralela a O C, y í' normal a la anterior, se ve, por la 
figura, que: 

fn A B _ p 

f ~ÁC~~R ’ 

siendo R el radio de la esfera. 

Resulta de aquí que: 


O 



Fig. 78. 

porción, es igual a al, siendo 


f f 

R t. 



174 


LA FÍSICA EN CASA 


y de acuerdo a [2] , /„ = al. 

Como las fuerzas f se anulan dos a dos, en tanto que las 
/« se suman, la fuerza total F„, que actúa en la dirección 
O C, se encuentra sustituyendo en la fórmula anterior l 
por 2 7r p, que es la longitud total del borde, pues emplean- 
do el símbolo S de suma, se tiene: 

F. = 2/, = 2¡-g-«l = -£-«Sl, 

o sea: 



La presión que se ejerce en O la hallamos dividiendo la 
fuerza total F n por la superficie del casquete, que para p 
muy pequeño es w p 2 , por lo cual 

2a 

*> = -R' 

Debemos tener en cuenta, ahora, que en un globo formado 
por una película líquida, ésta está formada por dos capas, 
una interior y otra exterior. Siendo el espesor de la pelí- 
cula despreciable, ambas capas tienen el mismo radio R, 
por lo cual la presión total será el doble de la calculada 
más arriba. 

Con lo que precede, ¿hemos aclarado el aspecto para- 
dojal del experimento? Comprendemos, sin cálculo, que si 
el radio es muy pequeño (una gran curvatura), las com- 
ponentes fn serán más grandes, siempre que en uno y otro 
caso las fuerzas /, tangenciales, tengan el mismo valor. 
Toda la demostración se basa, pues, en el hecho experi- 
mental de que la tensión superficial de un líquido es cons- 
tante, lo que no ocurre con una membrana elástica. Si un 
globo de goma de radio O A pasa a tener otro radio mayor 
O A’, las tensiones (cociente entre la fuerza y la longitud) 
son mayores que las tensiones / (fig. 79 a) , en tanto 



PARADOJA DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL 


176 


que en un globo de película líquida (fig. 79 b), dichas ten- 
siones no varían. 

Si es usted tan indiscreto que pregunda ahora por qué 
no varían esas tensiones, a pesar del estiramiento, en el 
caso de una película líquida, y por qué varían en el caso 
del caucho, yo podría armarle a usted un lío hablándole 
de las moléculas y de las fuerzas con que actúan unas so- 
bre otras, pero lo más honrado es que le diga — en voz 
baja, naturalmente — que ignoro en absoluto el porqué de 
esa diferencia, que debemos aceptar como resultado de un 
hecho experimental. Si usted insiste, para tranquilizar su 
conciencia le diré que piense que al estirar una goma, que 



(°) ib) 

Fig. 79. — Película elástica y película .líquida. 


es un cuerpo sólido, aumentan las distancias que separan 
unas moléculas de las otras, y al aumentar esas distancias, 
las fuerzas se hacen mayores (cosas raras que suceden con 
las fuerzas moleculares, y que hacen que las moléculas 
efectúen movimientos vibratorios alrededor de una posi- 
ción media de equilibrio), en tanto que al estirar una pelí- 
cula líquida, ésta se hace más delgada y las moléculas si- 
guen siempre estando a la misma distancia unas de otras. 

Si A B y C D son las dos capas paralelas de una pelí- 
cula líquida (fig. 80), estirándola podrán disponerse las 
moléculas de dichas capas según A’ B’ y C’ D’, y si siguen 
siendo paralelas, existirá entre ambas una capa molecular 
menos, por lo cual la superficie A’ B’ se habrá hecho una 
vez y media mayor que la superficie A B, y lo mismo 



176 


LA FÍSICA EN CASA 


acontecerá con respecto a la capa C’ D\ Parecería, enton- 
ces, que de una película cuyas caras tienen la superficie S 

3 

puede pasarse a otra de superficie igual a — S, o a 2 S, 

¿i 

sin que fueran posible los valores intermedios. 

Nos encontramos así con que, para explicar una para- 
doja, tenemos que afrontar otra paradoja mayor. Esta pa- 
radoja nace de la suposición de que las dos capas super- 
ficiales de la película se deben mantener paralelas, o sea, 
que aquélla debe conservar siempre el mismo espesor en 
todas partes. En la parte inferior de la misma figura 79, 


A » - - • • » «B A V -. B' 

O— - * * - « -« A 

- - D 



Fig. 80. 


se ha supuesto otra distribución de las moléculas, según 
la cual el espesor de la película es variable. Lo que más 
choca en toda esta explicación es que el espesor de las 
películas líquidas, que vemos tan lisas, varíe bruscamente 
y en forma escalonada, siendo la altura mínima de cada 
escalón igual a la separación que existe entre dos molé- 
culas vecinas. 

El gran físico francés Juan Perrin se ocupó de este 
asunto, y logró medir, por medios ópticos, las alturas de 
estos escalones. Del principio del método empleado nos 
ocuparemos más adelante, y usted podrá, sin salir de su 
casa y sin emplear aparatos especiales, observar el espesor 
variable de estas películas líquidas, que tanto nos están 
preocupando. Antes de abandonar este tópico, quisiera res- 



PARADOJA DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL 


177 


ponder a algunas preguntas que presumo quiere usted for- 
mular. En primer término, deseará saber por qué debe 
agregarse jabón al agua para que las pompas resulten 
consistentes. Si usted deja abierta la canilla del lavatorio, 
observará que en los lugares próximos a donde cae el cho- 
rro de agua se forman burbujas, que no son otra cosa que 
películas de agua pura, con aire dentro. Pero estas burbu- 
jas se rompen fácilmente, debido a que la tensión super- 
ficial del agua es muy grande. La§ burbujas de cerveza 
son mucho más consistentes, porque la tensión superficial 
es menor. 

Agregando jabón se logra disminuir la tensión super- 
ficial, y por . ello aumenta la consistencia de las pompas. 
¿Y por qué al agregar jabón disminuye la tensión super- 
ficial? No lo sé, como tam- 
poco sé por qué los vapo- 
res de éter hacen que dis- 
minuya la tensión superfi- 
cial del agua, lo que puede 
revelarse por medio de un 
experimento sumamente 
interesante. Para ello, ha- 
ga flotar, sobre la super- 
ficie del agua de un plato, 
polvo de corcho o de azufre (fig. 81 ), y deje caer una gota 
de éter (seguramente que el farmacéutico de la esquina le 
regalará un frasquito de éter etílico si usted se lo pide ama- 
blemente) sobre dicha superficie. Verá de inmediato cómo 
todas las partículas se alejan rápidamente del lugar donde 
cayó la gota, formándose un círculo con centro en aquel 
punto. En realidad, basta con acercar a la superficie del 
líquido el tapón del frasco de éter, pues los vapores del 
mismo son ya suficientes para producir el fenómeno. Ocu- 
rre entonces como si por efectos del éter, las moléculas de 
la superficie del agua se durmieran y dejaran de atraerse, 
como lo hacen habitualmente, por efectos del sueño. 

La tensión superficial del agua varía también con la 
presencia del alcanfor, por lo cual verá usted lo divertido 
que es observar los movimientos irregulares, de vaivén, 



Fi«. 81 . 


178 


LA FÍSICA EN CASA 


que experimenta un trocito de esa substancia al flotar so- 
bre el agua. Como alrededor del trocito la tensión super- 
ficial es diferente, aquél es solicitado por fuerzas que se 
dirigen ya en un sentido ya en otro. 

Para terminar con este asunto de la tensión superfi- 
cial, le recomendaré efectúe un último experimento. Tome 
dos anillos, jabónese las manos y, sosteniendo a cada uno 
de ellos entre las yemas del pulgar y del índice de cada 
mano, júntelos y sepárelos luego con cuidado, de modo 
que se forme una película como la indicada en la figura 82 . 
La forma geométrica de esta superficie recibe el nombre 

de catenoide, pues la genera- 
triz de la misma es una cate- 
naria. Se llama así la forma 
de la curva que adopta, por 
acción de su propio peso, una 
cadena flexible sostenida por 
sus extremos. La forma de la 
superficie de la película de la 
figura 82 tiene la propiedad 
de que en todos sus puntos la 
curvatura total es nula, al 
igual que en un plano. Ello es una consecuencia de la fór- 
mula de Laplace, según la cual la presión producida por 
una película líquida es: 



Fig. 82. 



en que R x y R 2 son los radios de 
curvatura principales de la super- 
ficie en el punto considerado. Co- 
mo en ambas caras de la película 
se ejerce la presión atmosférica, la 
presión p debe ser nula, por lo 
cual 


R i + R 2 °’ 



Fig. 83. 


PARADOJAS HIDRODINÁMICAS 


179 


o sea : R x = — R 2 , 

como se ve en la figura 83 para el punto O de la super- 
ficie, que en el plano del círculo Ci es cóncava, y en el 
normal, de centro C 2 , convexa. 


Paradojas hidro o aerodinámicas 

Tome un carretel de hilo y sople fuertemente, por el 
orificio central, contra una pequeña hoja de papel colocada 



la lámina P 

se eleva. F¡g. 85. 


en el otro extremo del tubo. Lo mejor será que sujete, 
mediante tres hilitos, el disco de papel al carretel, en la 
forma que muestra la figura 84. Observará entonces que 
cuanto más fuerte sopla por A, más se adhiere al carretel 
el disco P. Otra variante del mismo experimento es la si- 
guiente: Coloque sobre dos libros (fig. 85) una hoja de 
papel, y sople luego fuertemente por el interior del hueco 
que queda entre la hoja de papel y la mesa, soplando con- 
tra esta última como si quisiera que el aire, después de 
“reflejarse” en la superficie de la mesa, hiciera levantar 
al papel. Verá que éste procede en forma opuesta a sus 
propósitos. 


180 


LA FÍSICA EN CASA 


Sí coloca un fósforo encendido frente a un espejo, y 
procede a soplar contra la superficie especular en las pro- 
ximidades de la llama, ésta se dirigirá hacia el espejo, 
como si fuera atraída por la corriente de aire (fig. 86). 
Análogamente, si sopla en el espacio comprendido entre 
dos péndulos formados por dos pelotas livianas (fig. 87), 
de celuloide, observará que éstas se atraen fuertemente. 



Si dispone de un aparato 
aspirador de polvo podrá 
efectuar estos experimentos 
“en grande”, convirtiendo al 



F¡k. 87. 


aspirador en soplador, con sólo conectar el tubo en la par- 
te opuesta a la habitual. En este caso, podrá observar 
también cómo una pelota liviana se sostiene en forma es- 
table en el chorro de aire que lanza el aparato. 

Los resultados paradojales de los experimentos prece- 
dentes se explican por el llamado teorema de Bernoulli, 
que se obtiene como consecuencia inmediata del principio 
de conservación de la energía, y cuya deducción encon- 
trará usted en cualquier tratado. 


VII 


LA FÍSICA EN CASA 

(Continuación) 


Experimentos con la máquina neumática, sin máquina neu- 
mática: Rompevejigas. — Hemisferios de Magdeburgo. — Expan- 
sibilidad del aire . — No propagación del sonido en el vacío. — 
Fuente en el vacío. — Aplastamiento de una lata. — Importancia 
del mercurio. — Peso del aire. — Instrumentos de medida: Medida 
de longitudes. — Esferómetro y tomillo micrométrico. — Método 
óptico. — Balanza de precisión. — Romana. — Balanza de Mohr. — 
Medidas indirectas. — Calor: Cambios de estado . — Dilatación. — 
Dilatación de gases. — Calorimetría. — Higrometría. — Calor y 
trabajo. — ÓPTICA: Propagación rectilí?iea de la luz. Cámara obs- 
cura. — Diámetro aparente del Sol. — Determinación del meri- 
diano, medida de ia latitud y de la inclinación de la eclíptica. — 
Reflexión de la luz. — Distancia de la imagen virtual. — Refrac- 
ción. — Reflexióyi total. — Fotometría. — Prisma. — Prisma de 
ángulo refringente pequeño. — Lentes. — Difracción. — Observa- 
ción con luz monocromática. — Difracción por un orificio. — Redes 
de difracción. — La misma , medida con un disco de fonógrafo. — 
Interferencia. — Experimento de Yoitng. — Medida de la longitud 
de onda por interferencias. — Experimento de Fresnel. — Polari- 
zación de la luz. — Polarización cromática. — Magnetismo y elec- 
tricidad: Electroestática. — Balanza de torsión. — Electrización 
por influencia. — Electróforo de Volta. — Otros experimentos. — 
Corriente eléctrica. — Revelación experimental de la rotación 
de LA Tierra. — Balanza de rotación. — Importancia didáctica de 
esta clase de experimentos. 



182 


LA FÍSICA EN CASA 


EXPERIMENTOS CON LA MÁQUINA NEUMÁTICA, 

SIN MÁQUINA NEUMÁTICA 

La “máquina neumática” que se usará en los experi- 
mentos que siguen se basa en el mismo principio que el 
utilizado en las ventosas, que, probablemente, le habrán 
aplicado a usted alguna vez. 

¡ni 

Rompevejigas 

Tome un tubo de ensayo, 
coloque en él un poquito de 
agua y hágala hervir. Tape 
inmediatamente el tubo con 
una goma de globo, sujetán- 
dola con un broche de ropa. 
En el interior del tubo tiene 
usted agua y sus vapores a 
una temperatura próxima a 
los cien grados centígrados. 

Fie. 88. - -Rompevejigas”. Enfríe el tubo en una corrien- 

te de agua (fig. 88) y obser- 
vará que la tela de goma, después de ir penetrando en el 
interior del tubo, se rompe estrepitosamente. 



Hemisferios de Magdeburgo 


Tome dos frascos de boca 
ancha iguales, y provéase de 
una arandela de goma que 
ajuste las bocas de los mis- 
mos. 

Conviene recubrir la go- 
ma y el borde de los frascos 
con vaselina, a fin de lograr 
un ajuste hermético. Puede 
efectuar el vacío, en cada uno 



Fig. 89. — Presión atmosférica. 



EXPANSIBILIDAD DEL AIRE 


183 


de loa frascos, de la misma manera que en el experimento 
anterior, colocando en cada uno de ellos un poquito de 
agua a la que se hace hervir introduciéndolos en un reci- 
piente con agua en ebullición. Si el agua del recipiente es 
salada, el agua pura de los frascos hervirá más fácilmente. 
Proceda luego a unirlos por sus bocas, interponiendo la 
arandela de goma. Verá que al enfriarse el agua, es bas- 
tante difícil separarlos. Más fácil, e igualmente ilustrativo, 
es utilizar un solo frasco y aplicarlo contra un plato o 
contra una goma gruesa y lisa (fig. 89). 


Expansibilidad del aire 

Introduzca en el fraseo, cuando el agua está en ebulli- 
ción, un globito de goma cerrado y con poco aire en su 


interior. Cierre inmediata- 
mente el frasco en forma her- 
mética, utilizando un tapón 
de goma con vaselina, o apli- 
cando el plato y la arandela 
de goma del experimento an- 
terior, y observará, al en- 
friar el frasco, la dilatación 
del aire contenido en el globo 
(fig. 90). 



Fig. 00. — Expansibilidad de los gases. 



Fig. — 91. El 
sonido no se 
propaga en el 
vacío. 


No propagación del sonido en el vado 


Utilizando una horquilla, fije un cas- 
cabel en la parte inferior del tapón del 
frasco de los experimentos precedentes, 
y observará que al hacerse el vacío, el 
sonido emitido al sacudir el frasco casi 
no se percibe (fig. 91). 

Para tener una idea acerca del gra- 
do de vacío que logra por este procedi- 
miento, invierta el tubo o frasco utili- 
zado sobre un plato con agua. Al en- 



184 


LA FISICA EN CASA 


friarse el frasco o tubo, si estaba lleno 
de vapores , y no sólo de aire caliente, el 
agua ascenderá y llenará casi por com- 
pleto el recipiente, pues la tensión de 
los vapores, a temperaturas bajas, es 
muy pequeña. 


Fuente en el vacío 

Para realizar este experimento ne- 
cesita hacer pasar un tubo por el centro 
del tapón (preferible de goma) de una 
botella, y taparla con él después de pro- 
ducir vapores en su interior. Al inver- 
tir la botella sobre un recipiente con 
agua (fig. 92), la fuente comenzará a 
funcionar no bien se enfríe aquélla. 
Conviene disponer de otro pequeño tapón de goma para 
el tubo. 



92. — Fuent« 

en el vacío. 


Aplastamiento de una lata 

Tome una lata de aceite y haga en ella el vacío por el 
procedimiento que ya conoce. Observará su deformación, 
debida a la presión atmosférica. Conviene que la lata tenga 
la forma de un paralelepípedo, pues las cilindricas suelen 
resistir la presión sin deformarse. 


Importancia del mercurio 

Los experimentos precedentes son sólo cualitativos. 
Puede afirmarse que si en la Naturaleza no hubiera mer- 
curio o un líquido análogo, de densidad comparable a la 
de aquel metal, se hubiera demorado muchísimo el cono- 
cimiento que tenemos acerca de la presión atmosférica y 
de las leyes de la compresibilidad de los gases. 




PESO DEL AIRE 


185 


Cierto es que hoy se fabrican manómetros metálicos, 
pero ellos se gradúan por comparación con manómetros de 
mercurio. 

Además de su gran densidad, el mercurio tiene la ven- 
taja de que la tensión de sus vapores, a temperatura am- 
biente, es. sumamente pequeña. No disponiendo de mercu- 
rio, es imposible medir, ni siquiera aproximadamente, la 
presión atmosférica. Por esta razón no encontrará aquí 
ningún sustituto casero del experimento de Torricelli ni 
del referente a la comprobación de la ley de Boy le y Mar- 
riott e: 


Peso del aire 

Tome una lata cilindrica, o bien un frasco, y colocando 
algo de agua en su interior, hágala hervir y ciérrela en 
seguida herméticamente. Se 
prestan particularmente para 
este experimento ciertas latas de 
sal que ya vienen con un peque- 
ño tapón de goma. Una vez fría 
la lata, se la pesa, primero va- 
cía y después con aire. La dife- 
rencia de ambas pesadas nos da- 
rá el peso del aire contenido en 
el recipiente. 

Usted creerá que yo me he 
olvidado de que en su casa no 
tiene balanza alguna de preci- 
sión, pero no es así. La balanza 
con la cual podrá usted efectuar 
sus pesadas consistirá, en este 
caso, en una simple botella. Tome para ello una aguja de 
tejer y atraviese con ella una tapa de lata A B, luego 
un tapón T\ y por último el tapón T de la botella B 
(fi g. 93). 

Coloque municiones, en el interior de esta botella, de 
tal modo que introduciéndola en el agua de la bañera se 



f’'ÍK. 93. — Modo de pesar 
el aire s'n balanza. 



186 


LA FÍSICA EN CASA 


sumerja hasta el punto E de la varilla, cuando sobre el 
platillo A B está colocado el recipiente R vacío. 

Le convendrá tener también algunas municiones en el 
platillo A B, que irá quitando o agregando, hasta conse- 
guir que todo el aparato flote, sumergiéndose sólo hasta 
un punto de enrase conveniente. Si abre usted ahora el 
recipiente R, entrará en él aire, y el aparato se introdu- 
cirá algo más en el agua, hasta alcanzar un punto E’. 
¿Cuál es el peso del aire que ha entrado en el recipiente? 
Por el principio de Arquimedes, dicho peso debe ser igual 
al peso de un volumen de agua igual al volumen de varilla 
comprendido entre los enrases E y E’. Para conocer este 
volumen deberá medir previamente el diámetro de la va- 
rilla, y luego la distancia comprendida entre los puntos 

E y E’. 

En cuanto a la me- 
dida del diámetro de la 
varilla, puede para ello 
construir en cartulina el 
“aparato” que se repre- 
senta en la figura 94, 
calando en el cartón un 
triángulo en que el cateto menor valga 1 cm y el mayor 
10 cm. De este modo, pegando convenientemente una ti- 
rilla de papel milimetrado sobre el cateto mayor, podrá 
determinar el diámetro de un alambre cualquiera, apre- 
ciando casi hasta el décimo de milímetro. En el caso de 
la figura, la varilla tiene un diámetro de 3,5 mm, o sea, 
0,35 cm. La sección de la misma resulta entonces igual a 
0,096 cm®, y con dicha varilla consignaremos, a título de 
ejemplo, que la diferencia entre los dos enrases resultó 
ser, en un experimento, de 7 cm. El volumen de agua des- 
alojada por el peso del aire fué, por lo tanto: 

0,096 cm J X 7 cm = 0,672 cm 3 . 

Como 1 cm 3 de agua pesa 1 gramo, el aire del recipiente 
pesaba 0,672 gramos. Se encontró, además, que el volumen 
interior del recipiente era de 550 cm 3 . Para hallar este 



Fifi;. 94. — “Aparato” para medir diámetros 
de alambres. 



PESO DEL AIRE 


187 


valor se le pesó primero con el poco de agua que había 
servido para efectuar en §1 el vacío, y luego se le volvió a 
pesar lleno de agua. La diferencia fué de 550 gramos. 
Resulta-entonces que 1 litro de aire pesa 1,22 gramos. Les 
recuerdo que 1 litro de aire seco, a la presión normal y a 
. 0°C de temperatura, pesa 1,293 gramos. 

Si usted efectúa prolijamente una medida de esta clase, 
y logra superar las pequeñas dificultades que se le irán 
presentando, le aseguro que su esfuerzo se verá amplia- 
mente compensado por una gran satisfacción. Le quedará 
además, como saldo, “su balanza”, que no es otra cosa que 
un aerómetro de Nicholson, con el cual podrá pesar un 
anillo o una moneda, con la misma facilidad con que el 
almacenero pesa un paquete 
de sal. 

Observación : Para la me- 
dida del diámetro de la varilla, 
siendo la tangente del ángulo 
igual a 0,1, basta con tomar 
(fig. 95), para dicho valor, la 
décima parte de la longitud l. 

Si el ángulo a fuera más gran- 
de, se cometería con ello un error apreciable, pero para 
el caso supuesto, el error es tan sólo de 0,25 por mil, pues 
efectuando el cálculo resulta para el diámetro D el valor: 

D = l X 0,09976. 

Se obtiene este valor, observando que el radio R es: 

R = l ■ tg “ , 

y siendo 



tg a = 0,1, resulta : tg — = 0,004988 


Si l es, por ejemplo, igual a 10 cm, tomaremos para el diá- 
metro D el valor 10 mm. Si calculáramos exactamente, 



188 


LA FÍSICA EN CASA 


deberíamos tomar para el diámetro el valor 9,976 mm. 
Sería enteramente ridículo preocuparse por una diferen- 
cia de unos 2 centésimos de milímetro, cuando los errores 
provenientes de la construcción del aparato y de la deter- 
minación exacta del lugar del contacto superan en mucho 
a aquella cantidad. El mismo dispositivo puede ser em- 
pleado para la medida de diámetros de tubos o anillos, 
construyendo para ello una cuña de cartón o lata. 


INSTRUMENTOS DE MEDIDA 

Medida de longitudes 

En el párrafo anterior vimos una manera sencilla de 
construir un aparato para medir con él, con bastante pre- 
cisión, el diámetro de un 
alambre o de una varilla. En 
realidad, hubiéramos podido 
efectuar dicha medida sin to- 
marnos el trabajo de cons- 
truir aparato alguno. Para 
ello basta apoyar el extremo 
de una regla sobre una mesa 
horizontal (fig. 96) y medir a, b y h. El diámetro x del 
alambre será tal que: 



x _ a 

h ~ T 


Esferómetro y tornillo micrométrico 

Con un tornillo de los que se emplean en las manijas o 
tiradores de ciertos cajones, y que se consiguen por pocos 
centavos en cualquier ferretería, es fácil construir un es- 
ferómetro como el representado en la figura 97. A B es 
una pequeña tablita, que se atraviesa con dos clavos o tor- 
nillos fijos : C i y C ., . El tornillo móvil pasa por el punto me- 



ESFERÓMETRO Y TORNILLO MICROMÉTRICO 


189 


dio, y debe adaptársele un círculo de cartón o lata, dividido 
en 48 ó 96 partes iguales (la división del círculo en 100 
partes iguales ofrece algunas dificultades). La reglita V 
sirve para medir el número entero 
de vueltas que avanza el tornillo 
en uno u otro sentido, y conviene 
pegar a la misma una tirilla de 
papel milimetrado. Para medir con 
este aparato el radio de curvatura 
de un lente, se comienza por colo- 
car a éste sobje una superficie pla- 
na (mármol o cristal), y se gira 
el tornillo central hasta que las 
tres puntas se apoyen sobre el pla- 
no. Se determina así el cero de la 
regidla y el del disco. Se lo aplica 
luego sobre la superficie esférica 
o cilindrica cuyo radio se desea ha- 
llar, y se miden las vueltas y las 
fracciones de vueltas que deben darse al tornillo para que 
las tres puntas se apoyen sobre la misma. 

Ejemplo: La distancia entre 
las puntas C } y es de 3 cm; el 
paso del tornillo, 1 mm. El disco 
está dividido en 48 partes. Apli- 
cando el aparato sobre un lente, 
debe girarse el tornillo una vuelta 
entera, más tres divisiones del dis- 
co. La flecha f (fig. 98) resulta 
entonces igual a: 

3 

/ — 1 mm + — mm = 1,06 mm. 
4o 

El resultado de la operación aritmética es igual a 
1,0625 mm, pero sería vano creer que nuestra precisión 
alcanzará a los diez milésimos de milímetro, por lo cual 
nos limitaremos a consignar sólo las dos primeras cifras 



Fifi-. 98. 



F¡c. 97. — Esferó- 
metro. 


190 


LA FÍSICA EN CASA 


decimales. Como se ve en la figura, por la semejanza de 
los triángulos A B P y A B O, se tiene: 

PB _AB 
A B ~ B O 

Llamando a al segmento A B, igual, en nuestro ejem- 
plo, a 15 mm, por ser P B la flecha f, será B O igual a 
2 R — f, si R representa el radio buscado, con lo cual: 

/ ... « » 1, «L 

a ~ 2 R — f’ 2 ' 2 / ’ 

resultando R igual a unos 105 mm. Al aplicar esta fórmula 

f 

puede, en general, ser despreciado el término — , y basta 

¿t 

con calcular el radio tomando: 



Como, además, la flecha / se halla dividiendo el número 
de divisiones D en que se gira el tornillo por el número 48, 
resulta para R : 


R - 


24 a? 

D 


En nuestro caso, por ser a igual a 15 mm, se obtiene: 


24 X 15 2 
D 


5300 

D 


mm. 


El valor 5300 es la constante de nuestro aparato. En 
el ejemplo precedente, D resultó ser igual a 51 (una vuel- 
ta, más tres divisiones, o sea 48 -f 3), por lo cual obtene- 
mos R directamente en milímetros, efectuando la opera- 
ción: 


5300 


104 mm. 


R 


51 



MÉTODO ÓPTICO 


191 


Naturalmente que el mismo esferómetro puede ser uti- 
lizado como tornillo micrométrico, y medir con él pequeños 
espesores. 

Método óptico 

Si se desea hallar el diámetro de un hilo de coser o 
de un cabello, el tornillo micrométrico no es apropiado, 
■pues el hilo o el cabello se aplastan por la presión del mis- 
mo. Se procede entonces a observarlos con un microscopio, 
provisto de un micrómetro. Pero también se puede susti- 
tuir éste instrumento de njuchas maneras. Si usted dispone 
de un proyector cinematográfico, puede proyectar sobre 
una pantalla la imagen nítida 
del hilo o del cabello, y medir 
sobre la misma el ancho de 
ambas imágenes. 

Si el cuadrito de la linter- 
na tiene un ancho de 1 cm, y 
en la proyección aparece am- 
plificado a 1 m, el aumento 
será igual a 100, por lo cual, 
si el hilo tuviera un diámetro 
de 0,2 mm, aparecerá como una gruesa soga de 2 cm de 
diámetro, apreciándose también en la imagen las barbas 
del mismo, imperceptibles a simple vista. Un cabello co- 
mún, visto con ese aumento, aparece con un espesor de 
6 ó 7 mm. 

Si usted no dispone de un proyector, puede fabricarlo 
si posee una lupa, o sea un simple lente de aumento, y si 
tampoco dispone de una lupa, quizá tenga en su casa una 
esfera de vidrio, como las empleadas para adorno en al- 
gunos artefactos eléctricos. En este último caso, utilice la 
esfera E como lente, e iluminando el hilo H (fig. 99) con 
una lámpara L, proyecte la imagen del mismo sobre la 
pantalla P. Para que la imagen resulte nítida, utilice sólo 
la parte central de la esfera, para lo cual debe intercalar 
en el trayecto de los rayos un cartón con un orificio, que 
es el diafragma D de la figura. Naturalmente que para 




192 


LA FÍSICA EN CASA 


que la habitación quede a obscuras, deberá recubrir con- 
venientemente la lámpara L. 

Si no dispusiera de un proyector cinematográfico, ni 
de una lupa, ni de una esfera de cristal, y estuviera empe- 
ñado en conocer el diámetro de los sedosos cabellos de su 
amada, podrá lograrlo igualmente, y con la misma pro- 
saica precisión, si tiene a mano un simple vaso de vidrio 
cilindrico, o aproximadamente cilindrico, de paredes lisas. 
Disponiendo la lámpara, el hilo, el vaso con agua y la pan- 
talla en la forma que muestra la figura 100, bastará me- 



Fig. 100, — Para medir, ópticamente, el diámetro de un hilo. 


dir el ancho a de la imagen, y las distancias x e y del hilo 
y su imagen al eje del vaso. El diámetro d del mismo será: 


De esta manera podrá medir también el ancho de una 
estrecíia ranura formada con dos hojas de afeitar, y que 
utilizaremos más tarde para efectuar con ella interesantes 
experimentos de óptica. 


BALANZA DE PRECISIÓN 


3ÍK5 


Balanza de precisión 

Ya es hora de que usted disponga en “su laboratorio'' 
de una buena balanza de precisión. Para construirla, sólo 
necesita un broche de los utilizados para sujetar ropa, una 
aguja de tejer de 20 ó 30 cm de largo, dos agujas o alfi- 
leres, y un soporte, que podrá ser un frasco de vidrio o 
un simple vaso. En la figura 101 se ve la cruz de la ba- 
lanza, formada por la aguja de tejer, que pasa por el ori- 
ficio formado por el resorte del broche. Como sería muy 
casual que el diámetro de la 
aguja fuera tal que ajustara 
perfectamente en el orificio, 
será necesario calzarlo con 
alguna cuña, consistente, por 
ejemplo, en un trozo de pa- 
lillo de dientes. Las cuchillas 
de la cruz serán las dos agu- 
jas o los alfileres (preferible 
agujas, que son más rígidas), 
clavados a uno y otro lado del 
broche, en dirección perpen- 
dicular a la cruz, algo más 
abajo del orificio del resorte 
y, en lo posible, ambos recta- 
mente alineados. En la parte 
inferior del broche se sujetará 
el fiel de la balanza, y que, al mismo tiempo, hará bajar 
algo el centro de gravedad de la cruz, que debe estar por 
debajo de las cuchillas. 

Antes de colocar los platillos, el aparato puede servir 
para verificar, en forma magnífica, la ley de equilibrio de 
la palanca. Para ello pueden utilizarse hojas de afeitar. 
Se observa así que dos hojas iguales, colocadas a ambos 
lados, se equilibran si sus brazos son iguales ; que una sola 
hoja puede equilibrar a dos o a tres colocadas del otro 
lado, siempre que el brazo de acción de la primera sea 
doble o triple del de las segundas, etc. (fig. 102). 



un trozo de lápiz, que será 



194 


LA FÍSICA EN CASA 


Los platillos pueden consistir en dos tapas iguales de 
cartón, sujetas por tres hilos en los extremos de la cruz. 
Para que el punto de suspensión de los platillos no varíe, 

conviene practicar pequeñas 
hendiduras en los lugares 
donde aquéllos se sujetan, 
con una lima. 

Por último, se colocará en 
el interior del frasco, sopor- 
te de la balanza, una cartu- 
lina graduada en divisiones 
iguales, frente a la cual efec- 
tuará su recorrido el fiel de 
la balanza, al oscilar, 
de pesas”, ésta puede consistir 
en algunas hojas de afeitar, monedas o fósforos. No im- 
porta, para una gran cantidad de determinaciones, el co- 
nocimiento del peso 
en gramos (mejor se- 
ría decir la masa) de 
determinado cuerpo. 

Colocando la ba- 
lanza sobre el borde 
de una mesa, puede 
ser utilizada como ba- 
lanza hidrostática, y 
del peso de un mismo 
cuerpo en el aire y 
sumergido en el agua 
(fig. 103) puede ob- 
tenerse su densidad 
relativa al agua. 

Así, por ejemplo, supongamos que en el aire un anillo 
sea equilibrado por 50 fósforos, y sumergido en el agua, 
por 47. El empuje es igual a la diferencia de ambas pesa- 
das, por lo cual, un volumen de agua igual al del anillo 
tiene un peso de 3 fósforos, y de aquí, la densidad, d, del 
anillo será: 




En cuanto a su “caja 



romana 


195 


d = 


50 

3 


- 16,7. 


Jinetillo. — Para apreciar fracciones de peso infe- 
riores, en nuestro caso, al “fósforo”, basta tomar un fós- 
foro, doblarlo y colocarlo sobre la cruz. 

Si se divide ésta en 10 partes iguales, desde la cuchilla 
hasta el punto de suspensión de los platillos, cada división 
representará un déci- 
mo del peso colocado 
en ella (fig. 103). 


Romana 

Se puede construir 
esta balanza en forma 
análoga a como se ha 
construido la anterior, 
o bien utilizando una 
regla, en la forma que 
muestra la figura 104. 



Balanza de Mohr 

Para hallar la densidad de liquides puede utilizarse 
la balanza común, pesando para ello un mismo cuerpo, 
sumergido en el agua y en el líquido cuya densidad se 
busca. 

Se obtienen resultados muy precisos y rápidos con la 
balanza de Mohr, cuya construc- 
ción no ofrece tampoco dificultad 
alguna. Trátese, en primer lugar, 
de que el pequeño frasco F (fig. 
105), cerrado y con algunas mu- 
niciones en su interior, suspendido 
en el extremo del brazo largo de 
la balanza, se equilibre con una 





LA l'ÍSICA EN CASA 


106 


tuerca o cualquier otro contrapeso colocado en el extremo 
del brazo corto. Una vez hecho esto, coloqúese el frasco F 
en el interior de un vaso con agua. Para restablecer el 
equilibrio, habrá que colgar del gancho G un alambre, que 
se irá recortando poco a poco, hasta lograr el objeto desea- 
do. El peso de este alambre es igual al empuje que experi- 
menta el frasco F estando sumergido en el agua. Diremos 
que este empuje es igual a 1, y nuestro alambre tendrá 
un peso igual a la unidad. Conviene disponer de dos alam- 
bres iguales, de peso unitario. Se trata ahora de que usted 
se ingenie y logre cortar otro alambre más delgado que el 
anterior, y cuyo peso sea lo más exactamente posible igual 
a la décima parte del peso unitario. Para ello utilizará 
usted su balanza común, que supongo ya ha construido. 
El brazo largo de la balanza que estamos construyendo 
debe ser dividido en diez partes iguales, y ya con esto po- 
demos comenzar a determinar la densidad del vino o del 
aceite, de la leche o del agua salada, etc. Si se trata de 
agua salada, por ejemplo, ya no bastará para restablecer 
el equilibrio el que coloquemos en el gancho G la pesa 
unitaria. 

Si el equilibrio se lograra con la pesa unitaria en G, 
y la que pesa un décimo también en G, el empuje valdría 
1,1, y ésta sería la densidad del agua salada. En el caso 
de la figura, en que la pesa de un décimo está colocada en 
la séptima división, el empuje vale 1,07, y es ésta, en con- 
secuencia, la densidad del líquido utilizado. 


Medidas indirectas 

Hemos visto ya varios ejemplos de mediciones indirec- 
tas, y veremos todavía, en lo que sigue, algunos más. 

No es, ni puede ser, en forma directa la determinación 
de la masa de los átomos o de la distancia que nos separa 
de las estrellas, por lo cual las medidas indirectas tienen 
^ran importancia. Así, por ejemplo, midiendo el tiempo 
de oscilación de un cuerpo suspendido puede determinarse 
su momento de inercia, y el módulo de elasticidad de una 



MEDIDAS INDIRECTAS 


197 


varilla se determina con mucha precisión midiendo la ve- 
locidad con que se propaga el sonido en la misma. 

Daremos aquí un ejemplo simple de una determina- 
ción indirecta. Supongamos que queremos determinar el 
llamado coeficiente de restitución. 

Si una pelota rebota contra una pared, el coeficiente 
de restitución es igual al cociente entre la velocidad que 
adquiere la misma des- 
pués del choque y la ve- 
locidad que tenía antes 
de chocar. En los cuer- 
pos perfectamente elás- 
ticos (no existe ningún 
cuerpo que lo sea en ab- 
soluto), el coeficiente de 
restitución es igual a la 
unidad, y en los absolu- 
tamente plásticos (tampoco los hay en forma absoluta), 
dicho coeficiente vale cero. En las substancias reales, el 
coeficiente de restitución varía entre cero y uno. 

Tomemos una bolita de vidrio, acero o marfil, y tra- 
temos de determinar el valor de dicho coeficiente cuando 



Ficr. 106 . — Grabando los impactos sucesivos 
de una bolita. 


75 


47 


PiB. 107. 


2 9 1 173 10,505 


aquélla choca contra un mármol o contra una baldosa. Si 
la dejamos caer verticalmente, desde una altura h, sobre 
un plano horizontal, alcanzará después del choque una al- 
tura menor: h’. 

La velocidad V, al chocar contra el suelo, será v 2 g h, 
y la velocidad V', después del choque, estará dada por 
V 2 <7 W, por lo cual el coeficiente de restitución e será 




198 


LA FÍSICA EN CASA 


Si suponemos li — 100 cm, y h’ = 64 cm, el coeficiente 
de restitución será igual a 0,8. Una medida realizada de 
esta manera, ya es indirecta, pero como la medida de las 
alturas que va alcanzando la esfera en los rebotes suce- 
sivos no es fácil de efectuar, mediremos el mismo coefi- 
ciente en forma algo más indirecta todavía. Para ello, co- 
loquemos sobre la superficie horizontal de choque una hoja 
de papel delgada, cubierta con otra de papel carbónico, y 
dejemos caer nuestra bolita B sobre la hoja, en la forma 
que muestra la figura 106. Retirando el carbónico, obser- 
varemos las marcas de los impactos en la forma que indica 
la figura 108. Si la superficie sobre la que se apoya el pa- 
pel es bien plana, todas las marcas aparecerán en línea 
recta, y se observará que el diámetro de dichas marcas 

va disminuyendo. Estas 
marcas miden el aplas- 
tamiento que experi- 
menta la bolita en cada 
choque. En la figura 
107 se han indicado, en 
milímetros, las distan- 
cias sucesivas obtenidas 
en un experimento en el cual se utilizó una esfera de acero. 
La superficie de choque era una losa de mármol. Se ob- 
serva que el cociente entre dos recorridos sucesivos se 
mantiene aproximadamente constante: 



47.0 

75.0 


0,627; 


29.0 

47.0 


0,617; 


17,3 

29,0 


0,597 ; 


10,5 

17,3 


0,607; 


6.5 

10.5 


0,619. 


Las raíces cuadradas de estos cocientes tienen los va- 
lores siguientes: 

0,790; 0,787; 0,772; 0,779; 0,787. 

El término medio de estos valores es 0,783, por lo cual 



MEDIDAS INDIRECTAS 


199 


tomaremos, para el coeficiente de restitución de la esfera 
utilizada, el valor 


£ = 0,78. 

Es fácil probar que el coeficiente de restitución puede 
hallarse en la forma indicada. 

Si llamamos V 1 a la velocidad con que rebota la esfera 
luego del primer choque en A (fig. 108), y descompone- 
mos dicha velocidad en sus componentes horizontal y ver- 
tical F lf y Vj y con la misma velocidad Vi y las mismas com- 
ponentes, chocará, luego de describir un arco de parábola, 
en el punto B. De allí seguirá con la velocidad V 2 , cuyas 
componentes son V 2x y V.,,„ 

Los espacios recorridos serán: 

ei = V u .ti; e 2 = V. lx .U, 

siendo ti el tiempo que tarda la esfera en ir de A a B, 
y t 2 , de B a C. 

Estos tiempos son iguales al doble de los empleados 
por la esfera en “caer” desde las alturas hi y h¡>, por lo 
cual 

hi = g t-V; h . = g t 2 - ■ 

Además, se tnsne: 


Viy = V 2 ghi ; 

por lo cual, 

^2 V _ ¿a ¿2 F 2X 

e, Fi^ ti Vi x 

o sea : 





200 


LA FÍSICA EN CASA 


Para que el experimento resulte bien, es necesario que 
la superficie de choque sea plana. Utilizando una bolita 
de vidrio o de piedra, siempre podrá encontrar usted en 
alguna parte del patio de su casa alguna baldosa sufi- 
cientemente plana para realizar con éxito este experi- 
mento. 

Observe que, de paso, ha comprobado también la igual- 
dad de los ángulos de incidencia 3 r reflexión en el choque, 
pues sólo así los cocientes 

F 2£ _ V* 

v» y v l}/ 

son iguales, e iguales, a su vez, a ♦ 

y i 

Si representa gráficamente los espacios e x ; e -> ; ; etc., 

tomando para cada uno de ellos, en las abscisas, los nú- 
meros 1, 2, 3, etc., obtendrá cierta curva. Pero si repre- 
senta en las ordenadas los logaritmos de aquellos espa- 
cios, obtendrá una recta. Lo mismo ocurre con los movi- 
mientos vibratorios amortiguados. Si usted se ingenia y 
mide la amplitud de las oscilaciones de un péndulo, diga- 
mos, cada cinco oscilaciones sucesivas, observará también 
que el logaritmo de dichas amplitudes va decreciendo li- 
nealmente. Interpretando los datos de la figura 108 como 
las amplitudes sucesivas de un movimiento oscilatorio 
amortiguado, el llamado decrecimiento logarítmico de las 
oscilaciones sería igual a 0,62. 


CALOR 


Cambios de estado 

Con naftalina, y utilizando un tubo de ensayo o una 
cacerolita, podrá usted observar fácilmente la fusión, la 
vaporización y la ebullición de dicha substancia, así como 
la condensación de los vapores y la solidificación. Si dis- 



DILATACIÓN 


201 


pone de un termómetro, podrá determinar los puntos de 
fusión y ebullición, y observar el interesante fenómeno de 
la sobrefusión. Que el agua en estado sólido ocupa mayor 
volumen que el agua en estado líquido, 
ya lo habrá advertido al observar cómo 
un trozo de hielo flota en el agua, pero 
lo interesante de este fenómeno es que, 
de su cuidadosa observación, se obtiene 
una prueba directa del principio de Ar- 
químedes. Si se tiene un vaso con agua 
lleno hasta el borde, y un trozo de hielo 
flotando en él, se observa, al fundirse 
el hielo totalmente, que el agua no se 
derrama (fig. 109), por lo cual debe 
admitirse que el trozo de hielo, una vez fundido, ocupa 
un volumen igual al que ocupaba sólo la parte sumergida. 
Luego, el peso total del trozo de hielo es igual al peso 
de un volumen de agua igual al de la parte sumergida. 
Pero este trozo de hielo está flotando, y debe recibir, en 
consecuencia, un empuje hacia arriba igual a su peso. Se 
desprende de aquí que dicho empuje es igual al peso del 
* líquido desalojado. 



Dilatación 

Para comprobar que una varilla se dilata al ser ca- 
lentada, puede utilizarse una instalación como la indicada 
en la figura 110. Una aguja de tejer de unos 40 cm de lon- 
gitud se coloca sobre dos frascos, y F 2f de tal modo que 
el extremo A de la aguja se apoye contra una pared, mien- 
tras la punta B de la misma presiona contra un espejito 
E , que puede girar sobre un eje horizontal. La luz de una 
lámpara L es proyectada per el espejo contra la pared 
opuesta de la habitación, observándose en ella una mancha 
luminosa, semejante a la superficie del espejo utilizado. 
Al ser calentada la varilla, se observa el desplazamiento 
de la mancha luminosa. Se obtiene mayor nitidez si se in- 
tercala en el trayecto de los rayos un lente L', que pro- 



202 


LA FÍSICA EN CASA 


yecte en P la imagen del filamento de la lámpara. Como 
este lente no es indispensable, en nuestra figura lo hemos 
indicado con puntos. Si se quiere ser aún más prolijo, se 
intercalará entre el lente L y la lámpara una ranura ho- 
rizontal, de tal modo que el lente proyecte sobre P la ima- 
gen de esta ranura. En cuanto a la ranura, puede ser 
construida recortando en una tapa de cartón un rectán- 
gulo de tamaño conveniente. 



Fig. 110. — Para observar la dilatación de una varilla por medio de un espejo. 


El dispositivo descripto es apto para una observación 
“objetiva”, en el sentido de que pueden ser varios los ob- 
servadores que perciban simultáneamente el desplazamien- 
to de la mancha luminosa sobre la pared. Para una obser- 
vación “subjetiva”, basta con que el observador se coloque 
en una posición fija, observando desde ella la imagen dada 
por el espejo de un punto cualquiera, o de una escala, fija 
en determinado lugar. La manera de pasar de esta insta- 
lación improvisada a la construcción de un aparato es tan 
simple, que no insistiremos en ello. 

Si usted quiere saber el valor de la dilatación que ex- 
perimenta la varilla, no tiene más que colocar entre la 
punta de la misma y la cara posterior del espejo donde 
aquélla se apoya un trozo de hoja de afeitar, y ver cuánto 


DILATACIÓN 


203 


se desplaza la mancha luminosa con la interposición de la 
hoja. Si conoce el espesor de ésta, una simple proporción 
le permitirá calcular la dilatación de la varilla. 

Para la medida del coeficiente de dilatación lineal de 
la varilla utilizada habría que saber en cuántos grados ha 
sido elevada la temperatura de la mis- 
ma, y esto es ya un asunto más difícil, 
pues aparte de requerir un termómetro, 
sería necesario calentarla en forma ho- 
mogénea. Esta operación no es posible 
realizarla en forma improvisada. 

Para la realización del conocido ex- 
perimento de Gravesande, puede tomar- 
se una moneda y retorcer sobre uno de 
sus diámetros un alambre (fig. 111). 

La moneda, que pasará en forma ajustada por el alam- 
bre, deja de poder pasar por él si se la calienta. Para 
calentarla, basta con pasearla sobre una llama, utilizando 

una pinza. 

La dilatación de los lí- 
quidos por la acción del 
calor se observa en los ter- 
mómetros, y si se quiere 
observar la dilatación del 
agua, puede hacerse de la 
manera indicada en todos 
los textos. Como para ello 
es necesario disponer de 
un balón de vidrio, provis- 
to de un tapón de goma 
atravesado por un tubo de pequeño diámetro, de todo lo 
cual, seguramente, usted no dispone, le propongo verifique 
dicha dilatación en la forma siguiente: Coloque en am- 
bos platillos de su balanza dos llaves iguales, cada una de 
ellas sumergida en un vaso con agua (fig. 112). 

Procure, agregando pesos convenientes de uno u otro 
lado, que la balanza se encuentre en equilibrio cuando la 
temperatura del agua en ambos vasos sea la misma. Si 
calienta ahora el agua de uno de los vasos, observará que 



Fig. 112. — Dilatación del agua. 



Fig. 111. — Ex- 
perimento de 
Gravesande. 




204 


LA FÍSICA EN CASA 


la llave colocada en él parece más pesada. Esto se debe 
a que la densidad del agua ha disminuido, como conse- 
cuencia de su aumento.de volumen. Si su balanza no es 
suficientemente sensible, opere con un cuerpo que tenga, 
relativamente, un volumen grande. Sepa que es de esta 
manera como se efectúan las medidas de precisión que 
permiten conocer el valor de la dilatación del agua a di- 
ferentes temperaturas. Lo que se halla es la densidad, y, 
desde luego, debe conocerse por medidas previas la dila- 
tación que experimenta el sólido utilizado. 


Dilatación de gases 

Tómese un tubo de ensayo y caliénteselo de cualquier 
manera. Invirtiéndolo luego sobre una taza con agua 
(fig. 113), se observará que al irse enfriando el aire con- 
tenido en el tubo, el agua sube algo. 




F e. 113. — Para determinar 
el coeficiente de dilatación 
de los gases. 



Para determinar en forma aproximada el coeficiente 
de dilatación del aire, caliéntese el tubo colocándolo en el 
interior de una pava que contenga agua en ebullición. De 
este modo, la temperatura inicial del aire del tubo será, 
muy aproximadamente, igual a 100° C. Al invertirlo luego 
sobre el recipiente que contiene agua fría, introducimos 
el tubo en él hasta que el nivel del agua dentro y fuera del 
tubo sea el mismo. Al hacer esta operación, utilizando una 



CALORIMETRÍA 


206 


esponjita echamos agua fría sobre el tubo, para lograr 
el enfriamiento del aire que contiene. Supondremos que 
utilizamos agua a 0 o C, para lo cual deberemos colocar al- 
gunos trozos de hielo en el recipiente que estamos utili- 
zando. El coeficiente de dilatación « está dado por la re- 
lación : 

_ Figo — Vo 

n 100 Vo 

siendo V VH) y V 0 los volúmenes ocupados por el gas a 
100° C y 0 o C, respectivamente. Si el tubo es cilindrico, 
dichos volúmenes son proporcionales a las magnitudes a 
y b, representadas en la figura 114, por lo cual 

a — b 

a = ToolT ’ 

Ejemplo: Se obtuvo en una medida a ---- 20 cm; b — 
13 cm, de donde 


20 — 13 _ 1 r 1 i 

1300 ~ 185 L c j 


El valor de a 


ís por lo cual el error cometido 

273° C 


ha sido muy grande. La causa está en haber utilizado aire 
húmedo. Con aire seco se hubiera obtenido: 


a = 20 cm b = 14,6 cm 


20 — 14,6 _ _1 f 1 1 
1460 " ” 270 L °C J 


Calorimetría 

Disponiendo de un termómetro, las medidas calorimé- 
tricas realizadas por el método de las mezclas son de lo 
más simple. Sin él, sólo pueden efectuarse medidas de esta 
clase utilizando un calorímetro de hielo. Éste puede con- 



206 


LA FÍSICA EN CASA 


sistir, simplemente, en un trozo de hielo, al cual se le prac- 
tica un agujero. El orificio puede practicarse utilizando 
un chorro de agua hirviendo. Una vez hecho el orificio, 
se comienza por determinar el calor de fusión del hielo. 
Para ello, después de haber secado cuidadosamente el in- 
terior del orificio, utilizando una esponja y papel secante, 
se introduce en él cierta cantidad de agua en ebullición, 

por ejemplo, 12 gramos. Mientras 
el agua se va enfriando, conviene 
tapar el agujero con otro trozo de 
hielo (fig. 115). 

Se espera de 10 a 15 minutos, 
y se procede a recoger toda el agua 
contenida en el pozo, utilizando 
primero una jeringa o pipeta, y 
luego papel secante. Digamos que 
el agua obtenida de esta manera 
haya sido igual a 27 gramos. Se 
han fundido, en consecuencia, 15 gramos de hielo 
(27 — 12 = 15), y para ello se necesitaron: 

12 gramos de agua X 100° C = 1200 calorías. 



Fig. 115. — Calorímetro 
de hielo. 


El calor de fusión del hielo es, entonces : 


1200 cal. 
15 gramos 


80 


[ 


cal. 1 
gramo J 


Éste es, justamente, el valor del calor de fusión del 
hielo. Usted puede sentirse muy satisfecho si obtiene va- 
lores que difieren del precedente en sólo un 5 %. 

Para determinar ahora el calor específico del hierro 
con que está hecha una llave, por ejemplo, comenzará por 
calentarla, colocándola en el interior de un tubo, que a su 
vez pondrá en el interior de un recipiente que contenga 
agua en ebullición. Llevando luego la llave a su pozo de 
hielo, si es m' la masa de agua obtenida de la fusión, y m 
la masa del cuerpo, el calor específico de éste será: 



HIGROMETRÍA 


207 


c 


80 m' _ g m/_ 

1 00 rn ’ m 


Para m — 200 gramos de hierro, se obtienen 27,5 gra- 
mos de hielo fundido, resultando : 


C = 0,11 


cal. "I 
gramo X ° C J 


Higrometría 


Supondré que dispone usted de un termómetro con el 
cual puede medir la temperatura ambiente y también la 
temperatura del agua de un vaso en el 
que ha introducido algunos trozos de 
hielo. Observará que a medida que el 
hielo se funde, la temperatura va dis- 
minuyendo, y que llega un momento en 
que las paredes de su vaso (fig. 116) 
se empañan. Se ha alcanzado así la lla- 
mada temperatura de rocío. Suponga- 
mos que la temperatura ambiente sea 
igual a 25° C, y la de rocío, de 15° C. 

Consultando una tabla que dé los valo- 
res de la tensión máxima del vapor de 
agua a diferentes temperaturas, se en- 
cuentra que para las temperaturas precedentes, dichas 
tensiones son: 


15° C 12,7 mm de mercurio 

25° C 23,5 „ „ 



Fie. 116. — 
Hidrómetro. 


El estado higrométrico del aire será: 


H = 


12,7 

23,5 


= 0,54 = 54 %. 



208 


LA FÍSICA EN CASA 


Calor y trabajo 

La medida del equivalente mecánico del calor es difí- 
cil, aun disponiendo de un laboratorio, por lo cual no se 
trata aquí de efectuar ninguna medida cuantitativa. Pue- 
de usted contentarse con frotar contra una madera el guar- 
dapunta metálico de su lápiz, y observar cómo aquél se 
calienta por el roce, pudiendo la temperatura del mismo 
llegar a ser tan alta que puede sentir, al aplicarlo contra 
su mano, la sensación de una leve quemadura. De modo 
análogo, si usted siente algún día deseos de no ir al cole- 
gio, apliqúese el termómetro y, subrepticiamente, frote su 
bulbo en las frazadas de la cama. Tenga la precaución 
de no frotar demasiado, pues de lo contrario su madre 
creerá que usted se muere irremisiblemente. Si dispone de 
un termo, coloque en él un poco de agua y mida su tem- 
peratura inicial. Agite ahora el termo durante un buen 
rato, y mida nuevamente la temperatura del agua. Por 
más que ya sabe el resultado que va a obtener, no dejará 
de asombrarse al ver que el agua está, al final, más ca- 
liente que al principio. 

Al doblar un alambre reiteradamente en un mismo lu- 
gar, como para quebrarlo, observará, igualmente, que el 
alambre se calienta, al igual que el serrucho al aserrar la 
madera, etc. 


ÓPTICA 

El capítulo de calor, como acabamos de ver, se presta 
muy poco para efectuar mediciones disponiendo de pocos 
elementos. Se explica así que haya sido esa rama de la 
Física una de las que más han demorado en desarrollarse. 
En la época de Galileo, no se sabía medir aún la tempe- 
ratura, y sólo a mediados del siglo pasado se estableció la 
equivalencia entre el calor y el trabajo. En cambio, en 
óptica, las leyes de la reflexión son conocidas desde tiem- 
po inmemorial, y ya Tolomeo consiguió medir los ángulos 
de incidencia y refracción para el agua y el vidrio. No 



PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ 


209 


es, pues, extraño que en óptica se puedan efectuar muy 
buenas medidas disponiendo de pocos recursos. 


Propagación rectilínea de la luz. — Cámara obscura 

No deja de llamar la atención que para estudiar el com- 
portamiento de la luz debamos, por lo general, obscurecer 
total o parcialmente la habitación en la cual realizamos 
nuestros experimentos. Esta situación paradójica se repi- 
te, sin embargo, en las más variadas circunstancias: los 
mejores cantos a la liber- 
tad han surgido desde la 
prisión, o bajo la tiranía, 
y nunca se aprecia tanto 
la paz como en época de 
guerra. Por eso comenza- 
remos nuestro estudio de 
la luz obscureciendo nues- 
tra habitación. Si en ella 
penetra, por alguna rendi- 
ja, algún rayo de luz so- 
lar, observaremos su tra- 
yecto rectilíneo por el pol- 
vo que se encuentra en sus- f¡b- ni. — "Cámara obscura", 
pensión en el aire, y que 

aquél ilumina en su camino. El rayo de luz no es visible: 

10 que vemos son las partículas de polvo. Esta luz, difun- 
dida por pequeñas partículas en suspensión, se llama luz 
de Tyndall, y es la que se utiliza en el ultramicroscopio. 

Si encendemos ahora una lámpara, y colocamos delan- 
te de ella un cartón en el que hemos practicado un orifi- 
cio pequeño, observaremos, haciendo incidir la luz que pa- 
sa a través del agujero sobre un papel (una pantalla), que 
en éste se dibuja claramente la imagen invertida del fila- 
mento de la lámpara o de la llama de la bujía utilizada 
(fig. 117). 

Alejando la pantalla del orificio O, se observa que la 
imagen se hace más grande, y si nos tomamos el trabajo 

1 1 




210 


LA FÍSICA EN CASA 


de medir, para cada caso, el tamaño de la imagen y la 
distancia correspondiente, de la pantalla al orificio, ob- 
servaremos que ambas magnitudes son proporcionales, o 
sea que si la distancia O P se hace doble o triple, el tamaño 
de la imagen también se duplica o triplica. 

Si nuestra habitación da a la calle, y ésta se encuentra 
bien iluminada, en un hermoso día de sol, podremos ob- 
servar, utilizando alguna rendija de las persianas, cómo 
se proyectan en el techo las imágenes de los vehículos y 
transeúntes, y cómo parecen moverse dichas imágenes en 
sentido opuesto al real. Si limitamos convenientemente la 
entrada de la luz, de manera que ésta lo haga por un solo 
orificio, las imágenes se presentarán asombrosamente ní- 
tidas, y podremos gozar así de un espectáculo cinemato- 
gráfico en colores, sin molestia alguna. 


Diámetro aparente del Sol 

Lo que ya sabemos, nos permite medir en forma cómo- 
da el diámetro aparente del Sol. Se denomina así al án- 
gulo formado por dos visuales, dirigidas a los extremos 
de un diámetro del disco solar. Para conocer el valor de 
este ángulo, practiquemos en una tarjeta un pequeño ori- 
ficio con un alfiler, y coloquemos la tarjeta en el marco 
de una ventana o de una puerta (fig. 118 ), de modo de 
poder observar la imagen del Sol dada por el orificio. Si 
la pantalla en que recogemos la imagen la situamos per- 
pendicularmente a los rayos, dicha imagen se presentará 
como un círculo luminoso, cualquiera sea la forma del ori- 
ficio. Puede el orificio ser triangular o cuadrado, pero si 
sus dimensiones son pequeñas con respecto a la distancia 
a que se encuentra la pantalla , la mancha luminosa se 
presentará siempre como un círculo. Si inclinamos la pan- 
talla, la imagen se convertirá en una elipse, cuyo eje me- 
nor tiene iguales dimensiones que el diámetro del círculo 
primitivo. 

Estas elipses ya han sido observadas seguramente por 
usted en múltiples circunstancias. Dentro de la sombra 



DIÁMETRO APARENTE DEL SOL 


211 


proyectada por un árbol aparecen en gran cantidad : cada 
una de ellas es una imagen del Sol, producida por cada 
uno de los intersticios del follaje. Volviendo ahora a la 
imagen del disco solar que obteníamos en la forma indi- 
cada en la figura 119, basta con medir el ancho a de la 
elipse (eje menor de la misma), y la distancia d, entre el 



centro de dicha elipse y el orificio de la tarjeta, para ob- 
tener el diámetro aparente a del Sol, pues 

a 

« = ---- • 

d 


Ejemplo: Siendo d = 110 cm, se obtiene a — 1 cm. por 
lo cual el ángulo a será: 

1 cm 


a 


110 cm 


radianes = 31 


212 


LA FÍSICA EN CASA 


Para medir la distancia < 
distancias x e y, indicadas en 



Fig. 119. — Medida del diáme- 
tro aparente del Sol. 


I, es conveniente medir las 
la figura 120. Se logra ma- 
yor precisión, en esta me- 
dida del diámetro aparen- 
te del Sol, efectuando en 
una tarjeta dos pequeños 
orificios, a distancia cono- 
cida, a, uno del otro. Se ale- 
ja luego la pantalla, hasta 
que las imágenes del Sol 
producidas por cada orifi- 
cio (fig. 121) sean tangen- 
tes. El diámetro aparente 
está dado por el cociente 
a 

~d ' 


Determinación del meridiano, medida de la latitud y de la 
inclinación de la eclíptica 

La sencilla instalación de la figura 120 nos permite 
realizar una serie de importantes medidas de Astronomía, 
por lo cual no resisto a la tentación de indicarle el camino, 
para que usted efectúe una excursión por aquel campo. 

En primer lugar, si marca en el piso, utilizando una 
plomada, el pie de la vertical que pasa por el orificio de 
su tarjeta, y señala igualmente el lugar donde se proyectan 
los centros de las imágenes del disco solar en horas de la 
mañana y de la tarde de un mismo día, podrá trazar, en la 
forma descripta en cualquier texto de Cosmografía, con el 
nombre de “método del gnomon”, la meridiana de su ha- 
bitación. Sobre esta recta meridiana, que usted puede se- 
ñalar mediante un hilo tendido, se proyecta el centro de la 
imagen solar, cuando el Sol pasa, a mediodía, por el plano 
meridiano. Este plano, en su caso, es el plano vertical de- 
terminado por el orificio de su tarjeta y el hilo horizontal, 
o el trazo efectuado en el piso, con que señaló la meri- 
diana. 


REFLEXIÓN DE LA LUZ 


213 


Si dispone de una brújula, observará que el eje de la 
aguja imanada no coincide exactamente con la dirección 
de la meridiana astronómica que usted acaba de determi- 
nar. Si mide el ángulo formado por el eje de la aguja y 
la meridiana, determina con ello la llamada declinación 
magnética. 

Si quiere conocer la altura con que culmina el Sol cada 
día, no tiene más que medir las distancias x e y (fig. 120) 
en el momento en que la imagen del Sol se proyecta sobre 
la meridiana. De varias observaciones de esta clase efec- 
tuadas por uno de mis alumnos, con intervalos de 8 a 10 
días, y a lo largo de todo un año, en la ciudad de La Plata, 
consignaré aquí las siguientes: 


Fecha 

y 

* 

tgh = — 

X 

h 

21 de marzo 

200 cm 

140 cm 

1,428 

55°0' 

21 de junio 

tt ff 

320 „ 

0,613 

31°30' 

22 de setiembre 

t> t* 

140 „ 

1,428 

55°0' 

22 de diciembre 

tt » 

41 „ 

4,878 

78°30' 


De este cuadro se desprende que la altura del Sol varía 
entre 31°30', (altura mínima) y 78°30' (altura máxima). 
Siendo la diferencia igual a 47° el valor de la inclinación 
de la eclíptica sobre el plano del ecuador, resulta ser de 
23°30'. Además, por ser igual a 55° el término medio de 
estas dos alturas extremas, 55° será el ángulo que el plano 
del ecuador forma con el horizonte del lugar. Dicho plano 
forma con la vertical del lugar un ángulo complementario 
de aquél, o sea, en este caso, de 35°, y ésta es, justamente, 
con bastante aproximación, la latitud de La Plata. 


Reflexión de la luz 


Nada más fácil que verificar la igualdad de los ángu- 
los de incidencia y de reflexión. Tómese para ello un vaso 
con agua (fig. 120) y obsérvese la imagen de una lámpara 




214 


I, A FÍSICA EN CASA 


pi'oducida por la superficie del líquido. Midiendo la dis- 
tancia vertical y 1} que separa la lámpara del plano hori- 
zontal que pasa por la superficie del líquido, así como la 
distancia x u entre el pie de aquella vertical y el punto 
donde se refleja la luz, si se miden también las magnitu- 
des análogas y 2 y x 2 , referentes a la posición del ojo del 
observador, se verificará en todos los casos que: 

Vi _ 2/a 

Xi 

De esta igualdad se desprende la de los ángulos i y r. 



Fiff. 120. — Ley de reflexión. 


Puede disponerse, para efectuar cómodamente las me- 
didas, una regla R, colocada verticalmente, y observar qué 
punto P de la regla se ve alineado con el centro del vaso 
y la imagen L’ de la lámpara L. 

En lugar de un vaso con agua, puede utilizarse un pe- 
queño espejo, que debemos colocar sobre la mesa o el piso, 
de modo que quede perfectamente horizontal. Esto último 
lo logramos suspendiendo sobre el espejo una plomada: si 
la superficie especular es horizontal, la imagen del hilo de 
la plomada parecerá ser la continuación del hilo real. 



DISTANCIA DE LA IMAGEN VIRTUAL 


215 


Distancia de la imagen virtual 


Utilizando un vidrio de puerta o ventana puede reali- 
zarse un interesante experimento. Coloqúese frente al vi- 
drio una bujía encen- 
dida, y del otro lado, 
una bujía apagada 
(fig. 121) . Esta últi- 
ma aparecerá encen- 
dida si se la coloca 
en una posición con- 
veniente. Cuando se 
logre esto, se verá 
que ambas bujías se 
encuentran situadas 
simétricamente res- 
pecto al plano del vi- 
drio. Fie:. 121. Distancia de la imagen virtual. 








|¡P 


k 

Ib j 


j\ Jm 


Refracción 


Supongo que usted habrá observado ya cómo una regla 
introducida en forma inclinada en el agua parece quebra- 
da, y cómo, también, el 
tapón del lavatorio, in- 
visible desde cierta po- 
sición, se hace visible 
desde la misma cuando 
en aquél se vierte agua 
hasta una altura conve- 
niente. 

Para determinar el 
índice de refracción del 
agua, tome un cartón y 
recórtelo de la manera 
indicada en la figura 
122, e introdúzcalo en 



Fiir. 122. — Midiendo el índice de refracción 
del agun. 


216 


LA FÍSICA EN CASA 



Fig. 123. 


posición vertical en un recipiente con agua. Clave luego 
dos alfileres (preferiblemente negros, para distinguirlos 
mejor) en la parte del cartón que está dentro del agua, 

y otros dos en la parte exterior, 
de manera que los cuatro alfile- 
res parezcan, observados desde 
el canto del cartón, en línea rec- 
ta. Mida luego los ángulos i y r 
con un transportador, y el co- 
ciente de los senos de esos án- 
gulos le dará el índice de re- 
fracción del agua. Puede tam- 
bién proceder gráficamente, tra- 
zando, con centro en O (fig. 
123), una circunferencia de radio cualquiera, y midiendo 
los segmentos A B y C D, perpendiculares a la normal n 
a la superficie del agua en el punto O. El cociente en- 
tre ambos segmentos, por 
ser ambos proporcionales 
a los valores de los senos 
de los ángulos, da el índice 
de refracción del agua con 
respecto al aire. En la fi- 
gura 123 hemos indicado 
por i (ángulo de inciden- 
cia) al que en realidad es 
ángulo de refracción, pues 
la luz pasa, en el experi- 
mento que estamos descri- 
biendo, del agua al aire, y 
no inversamente. 

Disponiendo de un va- 
so cilindrico de vidrio, 
puede determinarse rápi- 
damente el índice de refracción del líquido que contiene, 
procediendo del modo que sigue: Se adhieren, en partes 
opuestas del vaso, dos tiras de papel, y observando des- 
de O se procura ver alineados, en línea sobre la cual se 
coloca el vaso. Haciendo un dibujo a escala de la sección 


Fig. 124. — Para determinar el 
índice de refracción de un 
líquido. 




REFRACCIÓN 


217 


central del vaso, y señalando en este dibujo la posición 
correspondiente de las miras utilizadas, se podrán conocer 
los ángulos de incidencia y refracción, y con ellos el índice 
de refracción del líquido. Claro está que puede evitarse el 



dibujo si se miden las magnitudes convenientes y se cal- 
culan los ángulos sobre la base de esas medidas. 

La medida del índice de refracción del vidrio se efectúa 
fácilmente si se utiliza un cristal como el empleado en las 

repisas de los cuartos de baño. Con 
vidrios de esta clase, de cantos pa- 
ralelos, fué como Snellius estable- 
ció la ley de refracción. Aún sin 
retirar el cristal de su posición, 
basta colocar en el canto del mismo 
próximo a la pared, una señal que 
puede consistir en una horquilla, A. 
Mirando la horquilla a través de 
todo el espesor del vidrio, se la 
verá en una posición tal como B, fácil de señalar, así como 
la posición A' (figs. 125 y 126), desde donde se mira. He 
aquí el resultado de una medida: espesor e de la lámina, 
120 mm ; distancia A' A" = 40 mm ; distancia A B = 25 
mm, resultando: 

t e, i = — = = 0,542; sen i - 0,477 

e 120 


— a — >í 

B: A ; 



218 


LA FÍSICA EN CASA 


tg r 


A/ A" 

e 


40 

120 


0,333; sen r = 0,317 


sen i 
sen r 


0,477 

0,333 


Dado que observando desde diferentes posiciones se ob- 
tiene siempre el mismo valor para n, se comprueba así la 
ley de la refracción. 


Reflexión total 


Colocando dentro del agua un vaso vacío o una . lam- 
parilla eléctrica (fig. 127), se observa que su superficie 

parece plateada, y miran- 
do la superficie del agua 
de una ancha copa, de la 
manera que muestra la fi- 
gura 128, se observa que 
la misma se comporta co- 
mo un espejo perfecto. Se 
trata, en ambos casos, del 
fenómeno de la reflexión 
total de la luz, que se pro- 
duce cuando el ángulo de 
incidencia es superior al 
ángulo límite. Para deter- 
minar este ángulo, colo- 
qúese un alfiler en la po- 
sición A, el que se verá re- 
flejado en la superficie del 
agua si se observa desde 
una posición tal como O. 
Corriendo el ojo de O ha- 
cia O', llega un momento 
en que el brillo de la imagen varía bruscamente, llegando 
finalmente a desaparecer. Interesa aquí fijar la posición 
en que se efectúa ese cambio de brillo, que indica la tran- 





FOTOMETRÍA 


219 


sición entre la reflexión total y la reflexión común. Se 
introduce para ello en la copa un segundo alfiler, B, que 
se corre hasta observarlo en coincidencia con la imagen 
de A, en el momento en que aquél cambia de brillo. He- 
cho esto, es fácil determinar el ángulo límite. He aquí una 

medida llevada a cabo uti- 
lizando una dulcera de vi- 
drio : Distancia A B = 104 




mm, y distancia entre los alfileres y la superficie del lí- 
quido, igual a 47 mm (fig. 129), de donde: 

ko 

sen l — ; l = 47°53' ^ 48° 

v 52* + 47- 

y por lo tanto, el índice de refracción del agua resulta: 


Fotometría 

Nada más fácil que improvisar un fotómetro de Rum- 
ford (sombra de una varilla) o de Bunsen (mancha de 
grasa o aceite), por lo cual no daremos de este tópico nin- 
guna indicación. 



220 


LA FÍSICA EN CASA 


Prisma 

Un regular prisma de vidrio puede conseguirse por 
poco precio, pero aun sin él pueden efectuarse interesan- 
tes observaciones si se utilizan como prisma el biselado 
de vidrios o espejos y ciertos caireles, y finalmente, basta 
inclinar un vaso con un poco de agua (fig. 130) para 
tener así un prisma con el cual puede observarse perfec- 
tamente el espectro solar. 

La misma instalación pre- 
cedente puede utilizarse para 
observar el espectro de cual- 
quier fuente de luz, para lo 
cual conviene colocar dicha 
fuente de modo que los rayos 
sigan un camino inverso al 
que se indica en la figura. 
Colocando nafta en el vaso, 
en lugar de agua, se observa 
que el espectro tiene una ex- 
tensión mucho mayor. 

Con un espejo biselado, si 
es de buena calidad, puede ob- 
servarse también el espectro, 
y si es de forma circular, la 
observación resulta suma- 
dirigir los rayos del sol, refle- 
jados por el espejo, sobre el techo o sobre una pared, 
se perciben perfectamente dos aros luminosos, con los co- 
lores del espectro (fig. 131). El aro interior es más bri- 
llante pero más angosto que el exterior, y en ambos el 
color rojo aparece hacia el interior. Pasando un dedo 
sobre el biselado, se observa que los aros son producidos 
por éste, correspondiendo a cada punto de los aros lumi- 
nosos un punto del biselado diametralmente opuesto. El 
aro interior está formado, en realidad, por dos arcos dis- 
tintos. Los puntos de contacto de estos arcos determinan 
un diámetro perpendicular con el plano de incidencia (el 
formado por los rayos incidentes, y reflejados en el cen- 



mente interesante, pues al 


espejo 


PRISMA 


22 L 



Fig. 131. — Observando el espectro solar con un espejo biselado. 


tro del espejo). En la figura 132 se ha seguido la marcha 

de los rayos en el caso en que 
aquéllos inciden normalmente 
con la superficie reflectora, 
que es la cara azogada, pos- 
terior al espejo. El arco exte- 
rior proviene de dos reflexio- 
nes internas. Si la pantalla se 
coloca en las proximidades de 
la región donde se cortan los 
haces de rayos provenientes 
de partes del biselado diame- 
tralmente opuestos, se obser- 
van curvas luminosas muy in- 
teresantes. 




222 


LA FÍSICA EN CASA 


Prisma de ángulo refringente pequeño 

Si disponemos de un cristal biselado, podemos comen- 
zar por medir el ángulo refringente del prisma que cons- 
tituye, aplicando al mismo una escuadra (fig. 133) y co- 
locando entre el vidrio 
y el canto de aquélla un 
cuerpo de espesor cono- 
cido, h. El seno del án- 
gulo A del prisma es 

igual al cociente -y ■ 

Desde luego, puede con- 

Fijc. 13a* — Para medir el ángulo de un bine!. sidemFSe el ángulo, me- 
dido en radiantes, igual 
a aquel cociente. Si se observa ahora un objeto cualquie- 
ra, colocando los ojos cerca de la arista del biselado, se le 
verá doble (fig. 134), correspondiendo la imagen que se 
ve en A' a los rayos que han atravesado el prisma, en 
tanto que a través de la parte de vidrio de caras parale- 



Vhi. 1.34. -- Observación a través de un vidrio biselado. 


las se ve el objeto en A. Si se observa con ambos ojos a 
través de la parte no biselada, con una regla graduada 
puede medirse el desplazamiento AA' de la imagen. El 

ángulo de desviación 8 está dado por el cociente yy . Como 

para los prismas de ángulo refringente pequeño vale que 

S = (n — 1 ) A, 




LENTES 


223 


de esta - manera se puede determinar el índice de refrac- 
ción n del vidrio biselado. 


Ejemplo: Siendo D — 3 m, se observa a = 15 cm, sien- 
do entonces 


8 


15 

300 


0,05. 


Para el ángulo A resultó, para l = 10 cm, h = 1 cm, por 
lo que 

A = — 7 - — 0,1 (radianes). 


Se obtiene, de aquí: 


n = 


J, , M5 

A + 0,1 


+ 1 = 1.50. 


La medida del ángulo de desviación 8 puede efectuarse 
con mucha precisión si 
se observa a través del 
biselado una tarjeta 
AB, de ancho a. La tar- 
jeta se verá doble, y va- 
riando la distancia D, 

para determinado valor Fip. 135 . — Medida dei Anuido de desviación. 

de ésta, la imagen del 

borde A (fig. 135) A' coincidirá con el borde B. El ángulo 
de desviación vale, en consecuencia, — • 






Lentes 

Es muy difícil que no tenga usted en su casa algún 
lente convergente. Con él puede verificar la fórmula de 
los lentes, y determinar la distancia focal del que usted 
utiliza, para lo cual le bastará proyectar sobre una pan- 
1 alia la imagen del filamento de una lámpara eléctrica, o 
la marca de la misma grabada sobre el vidrio. 



224 


LA FÍSICA EN CASA 


Puede utilizar, también, como lente un vaso con agua. 
En este caso, el objeto que se va a proyectar tiene que ser 
un hilo o una ranura, que debe disponerse paralelamente 
a la generatriz del vaso, tal como ya se indicó en la fi- 
gura 100, de la pág. 192. Se puede, de esta manera, veri- 
ficar que la distancia focal / está dada por la expresión 

n R 

' 2 (n — 1) ’ 


que se deduce de la fórmula general que da la distancia 
focal de un lente grueso, de espesor e, y cuyas caras tienen 
los radios de curvatura R x y R«: 


1 

f 



e ( n — 1) \ 
nRy R 2 I 


De esta fórmula se pasa a la escrita más arriba, ha- 
ciendo 


Ri = R 2 = R y e = 2 R. 


Para un vaso de radio 
( n = 1,33), se obtiene / = 



Fig. 136. — Un lente de agua. 


igual a 3 cm y lleno de agua 
i cm. Como esta distancia debe 
contarse a partir del eje del 
vaso, concluimos, de aquí, 
que la línea focal dista en es- 
te caso 3 cm de la pared. En 
la figura 136 se ve la mane- 
ra de improvisar un lente 
colocando agua en una copa 
e inclinando ésta convenien- 
temente. 

Pueden también cons- 
truirse lentes, no ya cilindri- 
cos, sino esféricos, bastante 
buenos, llenando con agua 
lamparillas incandescentes. 
Diafragmando adecuadamen- 
te estas lámparas, se obtie- 
nen con ellas imágenes suma- 



- 


DIFRACCIÓN 


225 


menté nítidas, aunque lo mejor sería comprar un juego 
adecuado de lentes, para divertirse con ellos construyendo 
microscopios y telescopios refractores. 


Difracción 

Los fenómenos de difracción de la luz, aparte de ser 
sumamente interesantes, pueden observarse sin dificultad 
alguna. 

Con un broche de 
ropa, sujetemos dos ho- 
jas de afeitar (fig. 137), 
de modo que los filos de 
las mismas constituyan 
una ranura sumamente 
estrecha. Apliquemos la 
misma delante de un ojo, y observemos a través de ella 
el filamento de una lámpara incandescente. Observaremos 

imágenes múltiples del 
filamento, situadas si- 
métricamente de uno y 
otro lado, perpendicu- 
larmente a la ranura. 
Las dos primeras imá- 
genes aparecen separa- 
das por espacios oscu- 
ros, bien visibles. Luego 
esta separación se esfu- 
ma, y a partir de la 
ó 5^ imagen, se nota 
una banda luminosa, de 
brillo decreciente. Las 
sucesivas imágenes del 
filamento aparecen co- 
loreadas, siendo el color 
rojo el que más se separa de la posición central. 

El hermoso fenómeno que usted acaba de observar le 
permitirá medir la longitud de onda de la luz. Para ello, 




Fig. 137. — Una ranura para observar 
fenómenos de difracción. 



22G 


LA FÍSICA EN CASA 



Fig. 13Í). — Difracción. 


tome una tarjeta y practique en la misma una ranura 
estrecha (de \ mm de ancho). 

Si ha de utilizar la luz del sol, fije la tarjeta en el 
marco de una ventana o puerta, y observe la ranura ilu- 
minada por los rayos solares aplicando junto al ojo otra 
ranura, formada por los filos de dos hojas de afeitar 

(fig. 138). Las dos ranuras deben 
disponerse paralelamente. La figu- 
ra 139 reproduce, aproximadamen- 
te, lo que se observa procediendo 
de esta manera. Pero las franjas 
laterales que en esta figura se han 
dibujado en blanco, se ven colorea- 
das. El espectro más próximo a la 
ranura, situado a uno y otro lado 
de la misma, recibe el nombre de 
espectro de primer orden, y los 
que le siguen son los espectros de segundo y tercer orden, 
etc. En todos ellos, el color rojo se aleja más de la parte 
central que el violeta. Si nos alejamos de la ranura R 
hecha en la tarjeta (fig. 140), observándola siempre a 
través de la otra ranura R\ que tenemos delante del ojo, 
O, los diferentes es- 
pectros parecen más 
y más separados, pu- 
diendo lograr así que 
la parte media del es- 
pectro de 2 Q ó de 3 er 
orden la veamos coin- 
cidir con el borde B 
de la tarjeta. El án- 
gulo a, en que se ha desviado la luz al atravesar la ranura 
R\ tiene entonces por medida: 

RB 

a ~ RR'" 



Si en el borde B de la ranura vemos proyectado el es- 
pectro de 2^ orden, la longitud de onda A será: 



DIFRACCIÓN 


227 


2 RB 


donde a es igual al ancho dt la ranura R'. 

Ejemplo: Observando la ranura R a través de otra 
R', cuyo ancho a es de 0,1 mm, siendo RB (distancia en- 
tre la ranura R y el borde de la tarjeta) igual a 3 cm, 
observamos que el espectro de 2? orden coincide con el 
borde B, si la distancia R R' es igual a 2 m. Resulta en- 
tonces, aplicando la fórmula que hemos dado: 



A 


2_ 

5 


3 cm 
200 cm 


• 0,01 cm — 



6000 

10 8 ~ 


cm = 6000 A 


O 

siendo A el símbolo de la unidad Ansgstróm, igual a 10 8 
cm. 

Demostración : Si sobre la ranura A B incide luz de 
longitud de onda A, perpendicularmente al plano donde 
está practicada dicha ranura (fig. 141), todos los puntos 
de ésta comprendidos entre AyBse convierten, en virtud 
del principio de Huygens, en centros de emisión de ondas. 
En la dirección A A 0 B B„, que coincide con la de la luz 
incidente, la luz debe reforzarse, pues no existe diferencia 
de marcha alguna entre los distintos rayos que se propa- 
gan en esa dirección. En cambio, en una dirección tal co- 
mo A A' B B', los rayos que parten del borde B están 
adelantados, con respecto a los que parten del otro borde 



228 


LA FÍSICA EN CASA 


A, en un camino igual a A C. Si la retina del ojo del ob- 
servador es r, en la región P a de la misma se cortarán los 
rayos que siguen la dirección A A 0 B B 0 , y aparecerá allí 
un máximo de intensidad luminosa. En cambio, los rayos 
que siguen la dirección A A' B B' se cortarán en una re- 
gión P' de la retina, y el efecto luminoso allí producido 
provendrá de la superposición de todas las ondas que par- 
ten de todos los puntos de la ranura comprendidos entre 
los bordes A y B. Si la diferencia de marcha A C = A es 
igual a una longitud de onda A, el efecto luminoso en»»P 
será nulo: tendremos allí una franja oscura. Para com- 
prender esto, basta con considerar a la ranura A B divi- 
dida en dos partes iguales, por una línea L, equidistante 
de los bordes A y B de la misma. Si A C es igual a A, 


L L’ será igual a y entonces, a todo rayo que parte de 


la región B L de la ranura puede hacérsele corresponder 
otro de la región AL que difiera con él en De este 

¿i 


modo, los rayos se anulan dos a dos, siendo en consecuen- 
cia nulo el efecto resultante. También es nulo dicho efecto 
cuando la inclinación de los rayos es tal que la diferencia 
de marcha A C sea igual a 2 A ó 3 A, y, en general, a un 
número entero de longitudes de onda, lo que se demuestra 
sin dificultad alguna razonando en la forma que precede. 
Así, por ejemplo, para A C = 3 A descompondríamos a la 
ranura en seis partes iguales, y aparearíamos los rayos 
que parten de sus distintos puntos de tal modo, que la 
diferencia de marcha para cada par de rayos fuera igual a 
_A_ 

2 


En resumen: 


Si A = O, 
Si A = A, 

Si A = 2 A, 
Si A = 3 A, 


tenemos el máximo de orden cero, 
tenemos el primer mínimo (raya oscura), 
tenemos el segundo mínimo (raya oscura) 
tenemos el tercer mínimo (raya oscura). 


Entre dos mínimos consecutivos, tenemos los diferen- 



DIFRACCIÓN 


229 


tes máximos luminosos, que aproximadamente, se producen 
para los valores siguientes de A : 

Si A = 3 tenemos primer máximo (espectro de pri- 
mer orden). 

Si A = 5 tenemos segundo máximo (espectro de se- 

¿A 

gundo orden). 

Si A = 7 ~, tenemos tercer máximo (espectro de ter- 

¿i 

cer orden) . 

En la figura 143 se ve que 

AC = A = AB sen <* = a sen « 

y como, de acuerdo con la figura 142 (dada la pequeñez, 
da a) , 

RB 

sen « = -^ 7 > 


cuando el espectro de segundo orden coincide con el bor- 
de B de la tarjeta, se tendrá: 

_ A RB 
5 2 _ a RR' ’ 


de la cual se obtiene la fórmula ue utilizamos en el cálculo 
de A. 

Se ve, por la fórmula, que a mayor A corresponde un 
mayor valor para RB : como el color rojo es el que más se 
separa de la región central, debe atribuirse a la luz roja 
mayor longitud de onda que a la luz violeta. 

Utilizando luz blanca, el valor que se obtiene para la 
longitud de onda da sólo el orden de magnitud, pues para 
la luz roja, A vale unos 7500 Angstróm, y para la luz vio- 
leta, unos 3800. 



230 


LA FÍSICA EN CASA 


Observación con luz monocromática 

Coloque sal de cocina (cloruro de sodio) en un cola- 
dorcito y ponga el mismo en la llama del gas o de un ca- 
lentador a querosene. Observará que la llama toma un 
pronunciado color amarillo. Observando ahora la ranura 
practicada en una tarjeta que se ilumina con esa llama, a 
través de otra ranura, se podrá medir así, procediendo 
como antes, la longitud de onda de la luz amarilla del so- 
dio. Ya veremos, más adelante, el modo de medir con ma- 
yor precisión la longitud de onda, utilizando redes de di- 
fracción, pero de todos modos es interesante la observa- 
ción del fenómeno con una única ranura. Los colores 
desaparecen, pero la nitidez es mucho mayor, y se observa 
que las rayas luminosas sucesivas tienen una intensidad 
decreciente a partir de la franja central. 


Difracción por un orificio 


Tome dos tarjetas y practique en cada una de ellas un 

pequeño orificio con un alfiler. Colocado cerca de una 

fuente de luz, observe 
uno de los orificios a 
través del otro, que ten- 
drá junto al ojo (fig. 
142). Si en la tarjeta 

que tiene cerca del ojo 

practicó varios orificios 
de diferente diámetro, 
observará que mirando 
a través de los orificios 
más pequeños, el otro 
aparece más grande y 
rodeado de anillos lumi- 
nosos, separados por 
otros oscuros. El fenómeno es análogo al que ya hemos 
visto al utilizar dos ranuras: en este caso se obtiene, co- 
mo es natural, menos luminosidad. 





pr~r"^ 



^=TrE 


- 


— 

SÜ- 



üP¡ 



Fijr. 142. 


Difracción por un orificio. 


REDES DE DIFRACCION 


2o l 

Redes de difracción 

Una red de difracción consiste en una sucesión de ra- 
nuras paralelas y equidistantes, practicadas en una pan- 
talla. Un peine de dientes muy finos constituye ya una 
red de esta clase. Observe a través de los dientes del peine 
el filamento incandescente de una lámpara, y verá múlti- 
ples imágenes coloreadas del mismo, situadas simétrica- 
mente a uno y otro lado del lugar donde aparece el fila- 
mento mismo. Estas imágenes, que son los espectros de 
difracción de diferente orden, se encuentran tanto más 
separadas cuanto más estrecha es la 
llamada constante de la red, que en 
el caso considerado está dada por la 
suma del ancho de un diente más el 
ancho del espacio comprendido entre 
dos dientes consecutivos. Con el mis- 
mo peine puede lograrse que la cons- 
tante disminuya, si se lo coloca incli- 
nado delante del ojo. El inconvenien- 
te, en este caso, consiste en que si se 
inclina demasiado el peine, la luz ya 
no puede pasar por los intersticios. f». uz . - Red de 
Una red de trazos más finos puede lo- <Jtíraccion ' 

grarse practicando en una tarjeta una 
pequeña ventana (fig. 143), y envolviendo la misma con un 
fino hilo de seda o un cabello. Una vez envuelta la tarjeta 
con el hilo, bastan dos gotas de lacre para que el mismo 
quede fijo en el cartón, y se puede entonces proceder a 
cortar los hilos del otro lado. Más sencillo es todavía des- 
hilacliar un tejido de seda, dejando que queden los hilos 
de la trama dispuestos en un solo sentido; pero lo mejor 
de todo es buscar entre los negativos fotográficos que us- 
ted tiene en su casa, alguno en el cual aparezca alguien 
con un traje a rayas blanco y negro, o con una corbata a 
bastones. Si utiliza el cuadrito de una película de cine, en 
el que alguno de los personajes aparece con un traje a 
rayas, tendrá así una excelente red de difracción. Apli- 
cando junto al ojo esta red, y mirando a través de ella un 




232 


LA FÍSICA EN CASA 


filamento incandescente, o una ranura iluminada, obser- 
vará con toda comodidad los hermosos espectros de di- 
fracción, y sin dificultad alguna podrá medir la longitud 
de onda de la luz correspondiente a cada color del espec- 
tro. Si tiene tan mala suerte de no encontrar en su casa 
ningún negativo fotográfico apropiado, dibuje sobre un 
papel, con tinta, líneas paralelas y equidistantes, y tome 
luego del mismo una fotografía de reducido tamaño. Pue- 
de lograr de este modo, fácilmente, una red de 5 mm de 

* 



Fig. 144. — Midiendo la longitud de onda con una red de difracción. 


ancho, en total, con 100 líneas, lo que equivale a 200 líneas 
por centímetro. La constante de la red sería, en este caso, 

de cm = 0,005 cm. Provisto ya de la red, nada más 

fácil que medir la longitud de onda correspondiente a cada 
color. Para ello, mire la ranura R (fig. 144), iluminada 
por la lámpara L, a través de la red, y acérquese o aléjese 
de R hasta que le parezca que determinado color del es- 
pectro de primero, segundo o tercer orden se proyecta 
junto al borde B de la tarjeta donde está practicada la 
ranura R. He aquí el resultado de unas medidas efectua- 
das con una red de 100 líneas por centímetro. La ranura 



REDES DE DIFRACCIÓN 


233 


K se practicó a 3 cm de distancia del borde B de la tar- 
jeta, por lo cual, siendo RB = h (en nuestro caso, 3 cm), 
cuando se ve un color proyectado junto al borde de la 
tarjeta, el ángulo a correspondiente será tal que podremos 
tomar 

h 

sen a — — > 

si llamamos D a la distancia entre la red y la ranura R. 
El cuadrito siguiente da los valores de D en diferentes 
casos : 



1 er orden 

29 orden 

3 er orden 

Rojo 

4 m 

2 ni 

1,30 m 

Amarillo . . t . . 

5 m 

2,50 m 

1,70 m 

Azul 

6 m • 

3 m 

2,0 m 


La longitud de onda A se calcula teniendo en cuenta 
que debe ser: 

n A = a sen «, 

siendo a la constante de la red, y n, el número de orden 
del espectro. Por lo tanto, 

a h 

X - «U * 

Con los valores del cuadro precedente se obtiene: 

A (rojo) = 7500 A 
A (amarillo) = 6000 A 
A (azul) = 5000 A 

cualquiera sea el espectro utilizado. 


2 





234 


LA FÍSICA EN CASA 


La misma, medida con un disco de fonógrafo 

Comience por observar la luz de un filamento incan- 
descente, reflejada por la parte rayada de un disco. Pro- 
cure que la luz incida en forma casi rasante sobre la su- 
perficie del disco, y podrá observar así preciosos espec- 
tros de difracción. 



Fig. 145, — Observando los espectros de difracción con un disco 
fonográfico. 


En la figura 145 se indica la manera de observar el 
fenómeno. Supongamos que en la observación de la luz 
reflejada, el observador esté utilizando su ojo derecho, 
para lo cual la luz de la lámpara L incide sobre la cara 
posterior del disco representado en la figura. La imagen 
central y blanca del filamento se ve como si proviniera de 
una región L' de la pared, cuyo lugar se ubica si se observa 
al mismo tiempo con el ojo izquierdo. En 1, 2, 3, 4. . . apa- 
recen los espectros de diversos órdenes. Disponiendo junto 
a la pared una regla, es fácil medir la distancia LU entre 


REDES DE DIFRACCIÓN 


235 


la lámpara y su imagen, y también las distancias entre L' 
y cada uno de los colores de los espectros de órdenes su- 
cesivos. 

En el disco que hemos utilizado, el rayado abarca 67 
mm, y existen en él 260 surcos, y como 


6,7 cm 
200 


0,026 cm, 


este valor es el de la constante de nuestra red de difrac- 
ción *. 

Observemos, de paso, que las mejores redes de difrac- 
ción que se emplean 
en la actualidad son 
por reflexión, como 
nuestro disco, y no 
por transparencia, y 
las hay hasta de 
12000 rayas por cen- 
tímetro, abarcando el 
rayado total hasta 15 
cm, como la gran red fí k . M6. 

del Instituto de Físi- 
ca de la Universidad Nacional de La Plata. 

Si la luz incide sobre - la red, formando con el plano de 
la misma un ángulo <o (fig. 146), todo ocurre como si la 
constante de la red a' fuera 

a ' = a sen o>. 



Los máximos de intensidad se obtienen en aquellas di- 
recciones que forman, con la dirección de la luz simple- 
mente reflejada, un ángulo a tal que: 

n A = a' sen a, 


* El valor de la constante corresponde a 100 líneas por pul- 
sóida, y siendo una pulgada igual a 2,54 cm, dicha constante será 
igual a 0,0254 cm. 



236 


LA FÍSICA EN CASA 


de donde: 


a sen <o sen « 
n 


Se ve, en la figura, que, aproximadamente, siendo D 
grande en comparación con LL' = 1, puede tomarse 


sen o) = 


l 


2 D ’ 


sen « = — 7 


donde 8 es la separación entre la imagen V y el color del 
espectro considerado. Se obtiene, así: 

a l 8 

A = 2 n D- ‘ 


Se obtuvo, procediendo de este modo, para una distan- 
cia D = 2 m, y una separación l = 40 cm, los siguientes 
valores para 8 : 


Espectro 

Color 

5 

r 

Azul 

3,5 cm 

1" orden i 

Amarillo 

4,5 „ 

1 

Rojo 

5,5 ,, 

r 

i 

Azul 

7 cm 

2o orden J 

Amarillo 

9 ,, 

1 

Rojo 

11 

r 

Azul 

11 cm 

S 1 " 1 * orden J 

Amarillo 

14 „ 

i 

Rojo 

17 „ 


Utilizando los valores correspondientes al tercer or- 
den, resulta para A: 






INTERFERENCIA 


237 


Color 

X 


o 

Azul 

4800 A 


o 

Amarillo 

0100 A 


o 

Rojo 

7300 A 


Interferencia 


Es sumamente fácil producir fenómenos en los cuales 
puedan observarse franjas de interferencia. Los hermosos 
colores que se perciben 
en las pompas de jabón, 
en las alas de ciertas 
mariposas, en láminas 
de mica, en las capas de 
petróleo que se derrama 
sobre el agua, etc., se 
deben a fenómenos de 
interferencia. 

Para obtener los ani- 
llos de Newton, es ne- 
cesario disponer de un 
lente de gran radio de 
curvatura y un vidrio 
perfectamente plano, lo 
que no es muy fácil con- 
seguir. Pero con un vi- 
drio cualquiera pueden 
obtenerse hermosos di- 
bujos, formados por 
franjas de interferen- 
cia, si se le aplica al 
mismo otro vidrio, pre- 
ferentemente negro, co- 
mo el utilizado en las 
tapas de ciertos tinte- 



Fig. 147. — Observando las franjas de interfe- 
rencia que aparecen al aplicar un vidrio contra 
otro. 


238 


LA FÍSICA EN CASA 


ros. Se observan así figuras parecidas a la reproducida en 
la figura 147. La posición de las franjas varía si se varía 
la posición de un vidrio contra el otro, que deben presen- 
tarse al tacto como adheridos. Observando con luz blanca, 
las franjas aparecen coloreadas, y con luz amarilla de so- 
dio, los colores desaparecen, pero se observa un número 
de franjas mucho mayor, apareciendo nítidamente sepa- 
radas unas de las otras. 


Experimento de Young* 

Este experimento consiste en observar sobre una pan- 
talla las franjas de interferencia producidas por la luz 
proveniente de dos orificios muy pequeños y muy próxi- 
mos, iluminados por la luz que pasa primeramente por un 
tercer orificio. La cantidad de luz aprovechable en este 
experimento es sumamente pequeña, y el mismo puede 
variarse adaptándolo para una observación subjetiva. Pa- 
ra esto basta practicar en una tarjeta, utilizando la punta 
de un alfiler, dos orificios muy pequeños y muy próximos 
entre sí. Se coloca luego la tarjeta junto al ojo, y se ob- 
serva, a través de ambos agujeros, un tercer orificio, ilu- 
minado por la luz solar o la del filamento de una lámpara, 
y colocado próximo a la misma. 

Más sencillo es todavía observar directamente, a tra- 
vés de los orificios, el filamento de la lámpara, colocando 
la tarjeta junto al ojo, de manera que la recta determina- 
da por los centros de los dos orificios sea perpendicular a 
la dirección del filamento o de la ranura que se observa. 
Se per-cibirán así franjas brillantes, separadas por otras 
oscuras, situadas simétricamente hacia uno y otro lado 
de la franja central, que se ve proyectada sobre el fila- 
mento mismo. Para conseguir la posición más convenien- 
te de observación, se va haciendo girar la tarjeta delante 
del ojo, hasta que las franjas aparezcan paralelas a la 
propia dirección del filamento. 



MEDIDA DE LA LONGITUD DE ONDA POR INTERFERENCIAS 


239 


Medida de la longitud de onda por interferencias 

Ya sabemos que con las redes de difracción es como se 
puede medir la longitud de onda con gran precisión. Pero 
es también interesante efectuar la misma medida midien- 
do la separación de las franjas de interferencia, lo que se 
logra sin dificultad alguna. Dispongamos para ello, fren- 
te al filamento F de la lámpara, una ventana de unos 2 cm 
de ancho a (fig. 148). Alejémonos del filamento hasta que 
el ancho total de las franjas observadas aparezca como 
cubriendo la ventana. 

Supongamos que se 
observan nítidamen- 
te nueve franjas bri- | — 

liantes: cuatro a ca- a * 
da lado de la franja 
central. Para una se- 
paración 5, entre los 

orificios de 0,5 mm, Fig. 148 . _ Para medir la i ong it u d de onda por 

se observa que es ne- interferencia. 

cesar io alejarse de la 

lámpara unos dos metros para que el ancho total del sis- 
tema de franjas aparezca cubriendo la ventana. Es fácil 
calcular que debe tenerse 

a 

n A = 8 . sen ? = 8 > 

LJ 

de donde: 

_ S a 
X ~ ~2nD ' 

En nuestro caso, resulta: 



0.05 cm X 2 cm 
2 X 4 X 200 cm 


6250 A. 



240 


LA FÍSICA EN CASA 


Experimento de Fresnel 

Entre los experimentos clásicos efectuados por Fres- 
nel, el_ de los espejos, simplificado por Lloyd, es el que 
con mayor facilidad puede ser reproducido. Basta para 
ello disponer de un vidrio plano y negro, tal como los que 
se suelen emplear en artículos de escritorio: tinteros, por- 
tasecantes, etc. En todo caso, en cualquier fábrica de es- 
pejos puede conseguirse un vidrio de esta clase por un 
precio no superior a 20 centavos. 



Fig. 149. — Para observar franjas de interferencia utilizando como espejo 
la tapa de un tintero. 


La instalación no puede ser más simple: en F, la lám- 
para (fig. 149) ; en R, la ranura formada por los filos 
de dos hojas de afeitar, y en E, el espejo. Las franjas 
se observarán mediante una lupa, pero antes de disponer- 
se a observar las mismas, se mirará a simple vista la ra- 
nura y su imagen dada por el espejo. Ranura e imagen 
deben ser paralelas, y deben estar separadas por una 
distancia muy pequeña : de 1 mm o menos, lo que se lo- 
grará “calzando” el espejo con hojas de papel, hasta que 
se encuentre a una altura conveniente. Para “pescar” las 
franjas de interferencia, conviene, al comienzo, tapar la 
lámpara F, de modo que su luz no moleste, limitando la 


POLARIZACIÓN DE LA LUZ 


241 


que va a ser aprovechada. Cuando se adquiera práctica, 
esto ya no será necesario. ¡ Cuidado no confundir las 
líneas de difracción, que se producen en los bordes del 
espejo, con las verdaderas franjas de interferencia! 

Observación: Al hacer la teoría elemental de los fe- 
nómenos de interferencia, se supone a los dos focos de 
luz coherente reducidos a puntos sin dimensiones. Si la 
ranura del experimento que precede fuera infinitamente 
delgada, las franjas de interferencia, si se observara con 
luz monocomática, serían absolutamente "limpias”, es- 
tando dos franjas luminosas consecutivas separadas por 
otra perfectamente oscura. Lo mismo ocurriría en el ex- 
perimento de Young, si los dos agujeros fueran infini- 
tamente pequeños. Pero ranuras infinitamente delgadas 
y agujeros infintamente pequeños no existen: de aquí 
que las franjas, aun observando con luz monocromática, 
no sean del todo limpias, pues la intensidad no se anula 
del todo entre dos franjas brillantes consecutivas. Ésta 
es la razón de que el número de franjas de interferencia 
que se pueden observar sea reducido, y mucho más cuan- 
do se observa con luz blanca. 


Polarización de la luz 

Observe la luz de una lámpara reflejada en el vidrio 
de una puerta cualquiera, y varíe la posición del foco lu- 
minoso o haga girar la puerta hasta que el ángulo de in- 
cidencia de la luz sobre el vidrio sea de unos 55°. Procure 
que, en esta primera reflexión de la luz, tanto los rayos 
incidentes como los reflejados se encuentren en un plano 
horizontal, para lo cual deberá observar la imagen de la 
lámpara producida por el vidrio de la puerta, colocando 
los ojos a la misma altura del foco luminoso. Haga ahora 
que esta luz se refleje, por segunda vez, sobre un vidrio 
cualquiera, que puede ser el de alguno de los cuadritos de 
su casa, que ni siquiera tiene por qué sacar de su marco. 
Observe la imagen del filamento de la lámpara después 
de haber experimentado dos reflexiones: la primera, en 



242 


LA FÍSICA EN CASA 


el vidrio de la puerta, en que el plano de incidencia es 
horizontal, y la segunda en el vidrio que tiene en las 
manos, y en la que el plano de incidencia es vertical. Va- 
ríe el ángulo de incidencia en la segunda reflexión, ha- 
ciendo girar el vidrio que tiene en la mano, y observará 
que la intensidad de la luz reflejada disminuye, apare- 
ciendo la imagen del filamento como sumamente débil. 
En la figura 150 se indica una instalación para observar 
el fenómeno: La luz de la lámpara L incide sobre el vi- 
drio E x de un cuadrito que llamaremos espejo polarizador 
(¡los espejos azogados no sirven para este experimento!), 
y que lo disponemos en posición vertical, sujetándolo con 



Fig. 150. — Polarización de la luz. 


libros de uno y otro lado. Queremos que el ángulo de 
incidencia en E x sea igual a 56°. La suma del ángulo de 
incidencia, más el ángulo de reflexión, debe valer enton- 
ces 112°, o sea 90° + 22°. Es sumamente fácil inclinar 
el espejo, hasta lograr que la luz se refleje en la dirección 
deseada. Para ello se puede proceder a ojo, utilizando un 
transportador, o midiendo “algo”, sabiendo que la tan- 
gente de 22° vale 0,4. En este último caso, si E x A (fig. 
150) fuera igual a 60 cm, tomaríamos A E 2 = 60 cm X 
X 0,4 = 24 cm, y giraríamos el espejo E x hasta que pu- 
diera verse la imagen de la lámpara desde E 2 . Colocamos 
en E 2 el segundo cuadrito, que llamaremos espejo anali- 
zador. En este segundo espejo, la luz debe reflejarse de 
tal modo, que el rayo incidente, que va de E x a E 2 , forme 
con el rayo reflejado, que parte de E 2 , un plano vertical. 


POLARIZACIÓN CROMÁTICA 


243 


La inclinación de este espejo puede variarse, y como de- 
berá girar alrededor de un eje horizontal, lo más prác- 
tico es colocar el borde inferior del cuadrito contra un 
libro (no representado en la figura), cuyo canto servirá 
de eje y evitará, al mismo tiempo, que el espejo se des- 
lice. Otros libros pueden servir de apoyo para conservar 
al espejo analizador inclinado en la posición deseada. 
Cuando el ángulo de incidencia sea también en el segundo 
espejo de unos 56°, la luz se extingue casi por completo. 
La observación de la variación del brillo de la imagen de 
la lámpara, al variar el ángulo de incidencia, constituye 
un fenómeno realmente llamativo. 

Si usted estudia en un texto cualquiera este fenóme- 
no, tal vez se pregunte por qué no puede extinguir del 
todo la luz reflejada. La ley de Brewster expresa que la 
luz se polariza totalmente cuando la tangente del ángulo 
de incidencia es igual al índice de refracción de la sus- 
tancia reflectora. Para el vidrio, el índice de refracción 
es igual a 1,5, y el ángulo cuya tangente tiene ese valor 
es igual, aproximadamente, a 56°. Pero, en realidad, a 
cada color corresponde un índice de refracción diferente, 
y, en consecuencia, el ángulo de polarización total es algo 
mayor para la luz azul que para la luz roja. La luz blanca 
no puede, por lo tanto, ser extinguida totalmente, aun 
cuando en ambos espejos la luz incida bajo un ángulo de 
56° y sean los planos de incidencia, en las dos reflexiones 
sucesivas, normales entre sí. 

Si, conservando el ángulo de incidencia en el segundo 
espejo, próximo al ángulo de polarización total, procede 
a hacer girar el mismo alrededor del rayo incidente, ob- 
servará que el mínimo de intensidad corresponde al caso 
en que los planos de incidencia, en las dos reflexiones su- 
cesivas, sean normales entre sí. 


Polarización cromática 


Dispuestos los espejos en la posición de mínima in- 
tensidad, coloque entre ambos una lámina de mica o una 
escuadra de celuloide: observará hermosos colores, y tor- 



244 


LA FÍSICA EN CASA 


ciendo la escuadra, verá cómo su coloración varía. Al ser 
deformada, la sustancia que constituye la escuadra se 
vuelve birrefringente ; este fenómeno permite a los in- 
genieros estudiar complicados procesos de elasticidad, así 
como a los mineralogistas reconocer la naturaleza de un 
cristal, interponiendo una lámina del mismo en el trayecto 
de los rayos. 

Los fenómenos de interferencia y difracción prueban, 
en forma concluyente, que la luz consiste en un proceso 
ondulatorio, y la polarización sólo puede ser explicada 
admitiendo la transversabilidad de las ondas. 

Cuando este fenómeno fué descubierto, a principios 
del siglo pasado, se le asignó desde el comienzo una enor- 
me importancia desde el punto de vista teórico; pero si se. 

le hubiera preguntado a un 
físico de aquel entonces qué 
aplicaciones prácticas podría 
tener ese descubrimiento, lo 
más probable es que, enco- 
giéndose de hombros, respon- 
diera: ninguna. Sin embar- 
go, hoy día existe un po- 
larímetro en cualquier laboratorio de Química, y en los 
ingenios azucareros se lo emplea constantemente para 
averiguar la riqueza en sacarosa del azúcar bruto. No sin 
razón preguntará usted qué tiene que ver el azúcar con 
la polarización de la luz, pero si toma un frasco chato, de 
caras aproximadamente paralelas, como los utilizados pa- 
ra envase de algunos perfumes, y lo llena con una solu- 
ción de agua azucarada, interponiendo dicho frasco en el 
trayecto de la luz, entre el polarizador y el analizador, 
observará que el brillo de la imagen aumenta inmediata- 
mente. 

Se trata del fenómeno de la rotación del plano de 
polarización, que para observarlo con nitidez debe uti- 
lizar luz monocromática. La figura 161 representa un 
aparato para el estudio de la polarización, que podrá 
construir usted mismo sin dificultad alguna. 



Fig. 151. — Aparato 
polarizador. 



ELECTROESTÁTICA 


245 


MAGNETISMO Y ELECTRICIDAD 


Consiga un imán: los hallará muy buenos y a bajo 
precio en los “cementerios de automóviles”. 

Con él podrá imanar agujas de tejer, y fabricar con 
ellas brújulas, pudiendo así repetir la mayor parte de los 
experimentos que se 
indican en los textos 
corrientes. Si desea 
comprobar la ley de 
Coulomb, fabríquese 
una balanza en la for- 
ma que ya hemos in- 
dicado (pág. 193), 
utilizando para la 
cruz una aguja de 
acero previamente 
imanada. La fuerza 
entre los polos P y P' 

de los dos imanes (fig. 152), puede medirse, de este mo- 
do, con suma facilidad. 



Fig. 152. 


1 P 


Para comprobar la ley de Coulomb 
del magnetismo. 


Electroestática 

En un día seco, puede realizar llamativos experimen- 
tos de electricidad estática utilizando un peine, que fro- 
tará con sus propios cabellos, es decir, peinándose. Veri- 
ficará la atracción eléctrica sobre cabellos, trozos de pa- 
pel, barbas de pluma, papel metálico, etc. Si el día es 
húmedo, seque previamente los cuerpos que va a utilizar, 
para lo cual bastará colocarlos en el cajón de la mesa de 
luz, introduciendo en el mismo una lámpara eléctrica en- 
cendida. 

Suspendiendo mediante hilos de seda dos hojas me- 
tálicas (fig. 153), y cargándolas, utilizando un peine fro- 
tado, puede medirse la fuerza con que las hojas se repe- 
len y verificar la ley de Coulomb. La resultante entre la 



246 


LA FÍSICA EN CASA 


fuerza de repulsión F y el peso P de la lámina L (fig. 
154), debe tener la dirección del hilo, por lo cual se tiene: 

F _ O’ L 

P ~ 0 0'' 

Dada la pequenez del ángulo O’ O L, podemos tomar 
0 0', igual a la longitud OL (longitud 1 del hilo), y 


O 



Fig. 153, — Electroscopio. Fig. 154. 


llamando a a la distancia O' L, igual a la mitad de la 
distancia d entre las cargas, tendremos: 

F - P ÉL*. = Pd 

l 21 

Siendo, por la ley de Coulomb, 



tenemos : 


de donde: 


e e' 

d- 


Pd 
2 l 



ELECTR0ESTÁT1CA 


247 


d* 2e e' . . 

— - — — — - constante. 

Si una vez cargados los dos péndulos eléctricos pro- 
cederemos a alargar los hilos que los sostienen, midiendo 
en cada uno la longitud l y la distancia d, se observa que 
si los pendulitos son esféricos, se cumple muy bien la re- 
lación anterior; pero tratándose de dos hojas planas, co- 
mo dos hojas de afeitar, esa relación no se cumple. Así, 
por ejemplo, procediendo con péndulos esféricos se obtu- 
vieron en una serie de medidas los valores siguientes: 


d 

l 

d * 

T 

3 cm 

15 cm 

1,80 cm 2 

• 4 „ 

35 „ 

1,83 „ 

5 „ 

70 „ 

1,78 „ 


En cambio, procediendo del mismo modo con hojas de 
afeitar, no se observa que permanezca constante esa re- 
lación. 

¿Cuál es la razón de que ocurra esto? ¿No vale acaso 
la ley de Coulomb? La ley de Coulomb se refiere a la ac- 
ción que ejercen entre sí dos cargas eléctricas de “dimen- 
.siones puntuales”. Si se trata de dos esferas pequeñas, 
dichas cargas pueden suponerse concentradas en el cen- 
tro de cada una de ellas, pero tratándose de cargas eléc- 
tricas distribuidas en dos planos, el efecto observado pro- 
viene de la resultante de todas las fuerzas que sobre cada 
punto de uno de ellos ejercen las cargas situadas en el 
otro. Calcular matemáticamente la fuerza con que se 
rechazan dos hojas de afeitar cargadas, teniendo en cuen- 
ta su forma irregular, separadas entre sí por cierta dis- 
lancia, y aplicando la ley de Coulomb a punto por punto 
do la superficie de cada una de ellas, es un problema de 
una dificultad demoníaca. Si la distancia que separa las 
hojas es grande con respecto al tamaño de las mismas, 
vale la ley de Coulomb para el conjunto, y también es 



248 


LA FÍSICA EN CASA 


fácil demostrar que si las hojas se disponen a distancia 
sumamente pequeña una de la otra, la fuerza, en esas 
condiciones, no depende de dicha distancia. Pero para 
distancias medias, del orden de magnitud del tamaño de 
las hojas, sólo puede calcularse la fuerza en casos simples 
y muy particulares.- 

Sirva este ejemplo para compenetrarnos de que la ley 
de Coulomb se refiere a cargas eléctricas concentradas 
en puntos matemáticos, y que su verificación experimen- 
tal se reduce fundamentalmente a la comprobación de sus 
consecuencias. 


Balanza de torsión 

Suspenda de un hilo de seda (fig. 155) un peine por 
su parte media, y podrá apreciar las atracciones y re- 
pulsiones eléctricas con suma facilidad y en forma real- 
mente espectacular. En 
los extremos del peine 
suspendido podrá colo- 
car usted papel de esta- 
ño, y acercarle al mis- 
mo tiempo otro peine 
frotado, o una barra de 
lacre, azufre, vidrio, etc. 

Si desea comprobar 
la ley de Coulomb de es- 
ta manera, fije en los 
extremos del peine sus- 
pendido esterillas metá- 
licas, y utilice también 
f¡b. íes. — "Balanza de toiaíón". otra esterilla metálica 

para atraer o repeler a 
aquéllas. Esta segunda esterilla debe estar fijada en un 
mango aislador, y, como tal, nada mejor que un peine. 
Si el peine que constituye la balanza de torsión está sus- 
pendido por un solo hilo, dicha balanza resulta demasiado 
sensible, por lo cual conviene utilizar una suspensión bi- 
filar, o sea suspender el peine por dos hilos de seda, que 





ELECTRIZACIÓN POR INFLUENCIA 


249 


se hacen pasar por dos dientes próximos. La fuerza está 
medida por el ángulo de torsión, ya que aquélla es pro- 
porcional a éste. 


Electrización por influencia 

Recubriendo el peine de su balanza de torsión con 
papel metálico, podrá cargarlo ya sea por contacto o por 
influencia. Para esto último, acerque al peine suspendi- 
do un cuerpo electrizado, y comunique con tierra (tocán- 
dolo) al que está suspendido, mientras el cuerpo inductor 
se encuentra en sus proximidades. 


Electróforo de Volta 

Es tan simple esta máquina eléctrica, que lo único 
que puedo sugerirle aquí es que utilice, en lugar del “dis- 
co de latón con un mango aislador”, la tapa de lata de 
un tarro cualquiera, y que sustituya dicho mango aisla- 
dor por tres hilos de seda. El disco de ebonita necesario 
para tener completa la “máquina”, lo podrá adquirir en 
cualquier comercio de radiotelefonía, o podrá sustituirlo 
con un disco de fonógrafo. 


Otros experimentos 

Si quiere probar que la electricidad reside en la su- 
perficie exterior de los conductores, le bastará electrizar 
una jarra metálica cualquiera, y explorarla mediante un 
“plano de prueba”. El plano de prueba puede consistir 
en un peine, con una pequeña hoja de papel metálico atada 
en uno de sus extremos. Pero, ¿dónde ubica la jarra? 
Un procedimiento consiste en suspenderla con hilos de 
soda, lo que es, por cierto, bastante incómodo. Consiga 
cubos de parafina, y de esa manera tendrá un soporte 
aislador muy bueno. 



260 


LA FÍSICA EN CASA 


Utilizando como electroscopio su balanza de torsión, 
no sólo podrá verificar que la electricidad reside en la 
superficie exterior de los conductores, sino que también 
apreciará sin dificultad las variaciones de la densidad 
eléctrica. Espero que con lo que precede podrá usted 
realizar, si así lo desea, cualquier experimento de elec- 
troestática, pues, si se empeña, hasta podrá construir un 
electrómetro absoluto, como el de lord Kelvin, ya que pa- 
ra ello sólo necesita dos discos de lata y su balanza hecha 
con un broche de ropa. 


Corriente eléctrica 

Para experimentar en electrodinámica necesita usted 
proveerse de material adecuado: pilas, acumuladores, ca- 
bles, resistencis, interruptores, etc. Los instrumentos pue- 
den ser fabricados por usted mismo, pues basta tener un 
imán para construir con él galvanómetros, voltímetros y 
amperímetros. Nada más fácil, por ejemplo, que cons- 
truir una brújula de tangentes, con la cual podrá veri- 
ficar las leyes fundamentales del electromagnetismo. Esta 
brújula podrá servirle también en sus experimentos de 
inducción, para la realización de los cuales sólo necesita 
construir algunas bobinas. 

Dado que en lo que a este capítulo se refiere existe 
mucho material bibliográfico destinado a los aficionados 
a la radiotelefonía, prescindiré de entrar en mayores de- 
talles. 


REVELACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ROTACIÓN 
DE LA TIERRA 

Daré término a este capítulo indicándole a usted la 
manera de construir algo así como un “microscopio de 
rotaciones”, con cuyo dispositivo podrá comprobar, en só- 
lo unos instantes, el movimiento de rotación de nuestro 
planeta. 



REVELACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA 251 


La nueva prueba, que realicé por primera vez a me- 
diados del año 1946, cuando ya había comenzado a escri- 
bir este libro, se basa en el principio de la conservación 
del impulso rotatorio. Comenzaremos, pues, indicando un 
experimento fácil de realizar, y que sirve para ilustrar el 
contenido de aquel principio. 

Tome para ello dos tiras iguales de cartón, tales co- 
mo los rebordes largos de la tapa de una caja de zapatos, 
y después de unirlas por uno de sus extremos con un hilo 
de coser, suspéndalas en la forma que indica la figura 
156, mediante un hilo, del dintel de una 
puerta. 

Separe ahora los cartones, apoyan- 
do entre ambos un palillo de dientes, y 
el dispositivo tomará el aspecto de una 
A suspendida, por lo cual llamamos a 
este experimento “experimento de la A”. 

Si imprime luego a esta A un lento mo- 
vimiento de rotación, en cualquier sen- 
tido, y aplica un fósforo encendido al 
palillo que separa los cartones, observa- 
rá que al juntarse aquéllos, después de 
quemarse el sostén que los mantenía se- 
parados, el movimiento de rotación se 
hace mucho más rápido, conservando, 
naturalmente, el sentido de la rotación 
inicial. 

Los patinadores sobre hielo realizan, al efectuar sus 
piruetas, experimentos análogos al precedente: si giran 
sobre uno de sus patines con los brazos extendidos, les 
basta pegarlos al cuerpo para que aumente su propia ve- 
locidad de rotación, la cual disminuye si los extienden 
nuevamente. 

En los dos ejemplos que hemos citado, la velocidad 
angular varía a consecuencia de la variación del momen- 
to de inercia del sistema respecto al eje de giro. Cuando 
('1 momento de inercia disminuye, la velocidad angular 
aumenta, y viceversa. 

Recordaremos aquí que el momento de inercia de un 



Fíí. 156. 



252 


LA FÍSICA EN CASA 


cuerpo con respecto a un eje es igual a la suma de los pro- 
ductos de las masas de las partículas que lo constituyen por 
los cuadrados de sus respectivas distancias al eje consi- 
derado. 

Siendo así, al acercarse ciertas porciones del cuerpo 
al eje de giro, su momento de inercia deberá disminuir 
y, en consecuencia, aumentará su velocidad de rotación. 
Si imaginamos algo así como un paraguas abierto giran- 
do alrededor de su propio eje, y suponemos que por la 
acción de un resorte aquél se cierra, su velocidad angu- 
lar de giro deberá aumentar. 

En la teoría de la nebulosa, de Laplace, se supone que 
ésta se encontraba inicialmente dotada de un lento movi- 
miento de rotación, que iba en aumento a medida que 
aquélla se contraía. 

Se llama impulso rotatorio al producto del momento 
de inercia, 7, por la velocidad angular, «. 

En un sistema aislado, sobre el que no actúen fuerzas 
exteriores, el impulso rotatorio se mantiene constante. 
Por lo tanto, si un cuerpo o un sistema de cuerpos cuyo 
momento de inercia es 7 gira alrededor de un eje con la 
velocidad angular <#, su impulso rotatorio, 7<o, no podrá 
variar, y si el cuerpo o el sistema adquiere otro momento 
de inecia I', la velocidad angular correspondiente será 
tal que 

7<u = /' </, 

o sea: 



De acuerdo con esto, si el momento de inercia se hace 
1000 veces menor, la velocidad angular se hará, en con- 
secuencia, 1000 veces mayor. Podremos, pues, llamar al 


cociente — factor de amplificación. 


En vía de suposiciones, consideremos ahora que ins- 
talamos en uno de los polos terrestres algo así como un 
paraguas provisto de un resorte apropiado, mediante el 



REVELACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA 253 


cual se cierra en un momento dado (fig. 157). Suponga- 
mos que el paraguas se encuentre inicialmente sin girar, 
o sea eri reposo con respecto a la Tierra. ¿Qué ocurrirá 
al cerrarse? Éste se en- 
contraba en reposo con 
respecto a la Tierra, pe- 
ro participaba de la ro- 
tación de ésta y, por lo 
tanto, giraba con rela- 
ción a las estrellas fijas. 

El paraguas, aparente- 
mente en reposo, giraba 
entonces, antes de ce- 
rrarse, con la velocidad 
angular correspondien- 
te a una vuelta comple- 
ta en 24 horas siderales. 

Si, al cerrarse, el mo- 
mento de inercia se hi- 
ciera, por ejemplo, 10000 veces menor, lo veríamos girar 
con una velocidad angular 10000 veces mayor, lo que con- 
duce, en este caso, a una vuelta 
ü) completa en poco más de 8 se- 

gundos. 

Lástima grande, pensará el 
lector, que para efectuar una ve- 
rificación de esta clase debamos 
trasladarnos nada menos que a 
uno de los polos terrestres. Sin 
embargo, no tenemos por qué 
desalentarnos antes de tiempo. 
¿Qué sucedería si lleváramos a 
cabo este supuesto experimento 
F¡g. íes. en una latitud intermedia? La 

velocidad angular es una magni- 
tud vectorial, de tal modo que la velocidad de rotación de 
la Tierra puede representarse por un vector situado so- 
bre el mismo eje terrestre. En un lugar L de latitud A 
(fig. 158), la componente de la velocidad angular, cuya 





254 


LA FÍSICA EN CASA 


dirección coincide con la vertical del lugar, será el vector 
O L, cuyo valor es <*> sen A. 

Por lo tanto, si se realiza el “experimento del para- 
guas” en un lugar de latitud A, la velocidad angular <*>', 
con que girará el mismo una vez cerrado, será 

o/ = —j~ o> sen A, [1] 

siendo <d la velocidad angular de la Tierra, y / e V los mo- 
mentos de inercia del paraguas abierto y cerrado, respec- 
tivamente. 

Veamos ahora cómo podrá 
usted ampliar, y revelar así, el 
movimiento de rotación de nues- 
tro planeta. Fije a una pared, a 
tres o cuatro metros del suelo, 
una madera, y en ella un torni- 
llo provisto de una arandela 
(fig. 159). 

Por ésta hará pasar luego 
un hilo, en cuyos extremos fija- 
rá dos bolas de masilla, de igual 
masa. No importa que las bolas 
no sean rigurosamente esféri- 
cas, basta con redondearlas a 
mano. Para fijar la masilla a los extremos del hilo, se 
atarán éstos a dos alambrecitos, a. los que se les dará la 
forma de un pequeño tirabuzón, de 4 ó 5 espiras, que 
se introducirán en cada una de las esferas. Se procede 
entonces a correr el hilo, hasta que ambos péndulos ten- 
gan exactamente la misma longitud. Una vez hecho esto, 
para evitar el deslizamiento del hilo se colocará un corcho 
en la arandela por la cual pasa aquél. 

Conviene ahora que deje “descansar” un rato a los 
péndulos por separado pana lograr que los hilos se des- 
enrollen por completo, lo que logrará apartando algo a 
cada uno de ellos, sucesivamente, de su posición de equi- 
librio, utilizando al efecto un soporte cualquiera o clavos 
apropiadamente dispuestos en la pared. Fije ahora a ésta 




REVELACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA 2B6 

otras dos maderas, como la que sirve de soporte, con sus 
tornillos respectivos, procurando que éstos se encuentren 
simétricamente dispuestos respecto de la vertical que pasa 
por el punto de suspensión, siendo además conveniente 
que las tres arandelas estén igualmente distantes del plano 
de la pared. Mediante un hilo, proceda ahora a separar 
por igual ambos péndulos de su posición de equilibrio, y 
una vez hecho esto espere con paciencia un buen rato, 
hasta estar absolutamente seguro que los péndulos no tie- 
nen el más mínimo movimiento de oscilación, para lo cual 
debe cerciorarse que no hay corrientes de aire ni trepida- 
ciones perturbadoras. Siendo así, el único movimiento de 
los péndulos será el propio movimiento de la Tierra, y en 
este momento se acerca usted con sumo cuidado y quema 
el hilo que los mantenía separados. Ambos chocarán y 
quedarán unidos después del choque : si sus masas y apar- 
tamientos fueron iguales, no oscilarán en lo más mínimo 
después de juntarse, pero adquirirán un movimiento de 
rotación en el mismo sentido del movimiento de rotación 
de la Tierra. Si el experimento lo efectuamos en el hemis- 
ferio sur, veremos que los péndulos, después de chocar, 
giran — mirados desde arriba — en el sentido del movi- 
miento de las agujas del reloj; en el hemisferio norte, los 
veremos girar en el sentido opuesto. 

Naturalmente que, debido a la torsión que experimen- 
tan los hilos al girar las masas pendulares, sólo se obser- 
vará que éstas, inmediatamente después del choque, sólo 
se desplazan cierto ángulo en el sentido de la rotación 
de la Tierra, pana retroceder de inmediato, efectuando os- 
cilaciones angulares sucesivas. 

Cálculo del ángulo de giro. — Una vez unidas las 
masas pendulares, éstas constituyen lo que se llama un 
péndulo de torsión, con una suspensión que es, en este ca- 
so, bifilar. Llamando T' al período de oscilación del sis- 
tema, y « a la amplitud angular del mismo, el ángulo 0, 
(pie mide la separación de la posición de equilibrio, estará 
dado, en función del tiempo, por la ecuación 

6 = a sen 2 ir ' 


[2] 



256 


LA FÍSICA EN CASA 


La velocidad angular, en un instante cualquiera, será: 


d 8 
d t 


2 ir a t 

jv COS 2 ir — > 


[3] 


por lo cual la velocidad angular máxima, que llamaremos 
o)', y que adquiere el sistema al pasar por la posición de 
equilibrio, tendrá el valor 


2 ir a 

~T~' 


[4] 


Esta velocidad «/ debe ser igual a la dada por la ex- 
presión [1], de donde: 


2 7r a 

V 


I 

j f o sen A, 


[5] 


en que o> es la velocidad de rotación de la Tierra, igual 

2 7 T 

a -y— , siendo T el tiempo de notación de la misma. Re- 
sulta así, para el ángulo de desplazamiento «, que cabe 
esperar después del choque, la expresión : 

I T 

« = ~y ~fr sen A. [6] 


Ejemplo: Supongamos que en un experimento el factor 
de amplificación sea igual a 10000. (Esta amplificación se 
obtendría para un apartamiento de los péndulos igual a 
un metro, si el “radio de giro” correspondiente al momento 
de inercia 7' fuera de un centímetro). Si T', tiempo de 
oscilación del péndulo de torsión, fuera de 20 seg, a la 
latitud de 35°, el ángulo a resulta ser igual a: 

a = 0,57 radianes = 33°. 


Transcribo a continuación los resultados de una serie 
de medidas que llevé a cabo en 1946, utilizando como 
masas pendulares dos barras metálicas, que recubría con 
una delgada capa de masilla, para que se adhirieran des- 



REVELACIÓN EXPERIMENTAL DE LA ROTACIÓN DE LA TIERRA 257 


pués del choque. Una de las masas llevaba un pequeño 
espejo, y por el desplazamiento de un rayo de luz sobre 
una escala, era fácil conocer el ángulo en que se despla- 
zaban las mismas. 

El momento de inercia V del sistema, determinado di- 
námicamente, resultó ser equivalente a un radio de giro 
igual a 0,897 cm, por lo cual bastaba apartar los péndulos 
!)0 cm de la vertical que pasaba por la suspensión para 
tener una amplificación igual a 10000. Los péndulos los 
soltaba simultáneamente, haciendo pasar una corriente 
eléctrica por dos electroimanes convenientemente dis- 
puestos. 

En la tabla que sigue se consigna, en la primera co- 
lumna, la distancia d de ambos péndulos a la vertical; en 
la siguiente, los valores del ángulo <*, calculados por la [6], 
I eniendo en cuenta que T' era igual a 8,2 seg, y A = 34°54', 
y finalmente, los valores observados del ángulo a en ex- 
perimentos sucesivos. 


d 

ol cale. 

o: observado 

87 cm 

29°18' 

32°30' — 26°20' — 

31°45' 

56 „ 

12°8' 

10°50' — 10°50' — 

13°15' 

45 „ 

7°50' 

9°10' — 8°40' — 

8°50' 

32 „ 

3°58' 

4°15' — 4°5' — 

3°40' 


Aun con péndulos de masilla, disponiéndolos en la for- 
ma que he explicado más arriba, se obtienen resultados 
muy buenos si se toman las precauciones debidas. 

Centraje. — Físicamente es imposible hacer que am- 
óos péndulos estén suspendidos exactamente del mismo 
punto, pues los hilos tienen, necesariamente, cierto espe- 
sor. Si los dos puntos, A y B, de suspensión de cada uno 
«lo los péndulos están separados por cierta distancia 8, 
ludirá que apartar a éstos de manera que se encuentren 
m ¡mímente en el plano vertical que pasa por aquellos 
puntos. Si el plano de oscilación de los péndulos formara 



258 


LA FÍSICA EN CASA 


con este plano un ángulo p (fig. 160) , el choque, prescin- 
diendo del efecto de la rotación terrestre, dejaría de ser 
central, y se originaría una torsión suplementaria, en uno 
u otro sentido, de cierta amplitud Es fácil calcular el 
valor de este ángulo. Si llamamos m a la masa de cada 
uno de los péndulos, y v a la velocidad que tienen al cho- 
car, por ser 8 sen p la distancia con que se cruzarían los 
centros de gravedad, el impulso rotatorio correspondiente 
I f a)" sería: 

P o >" = m v 8 sen p. 

Si llamamos r al tiempo de oscila- 
ción de los péndulos planos, la veloci- 
dad v de cada uno de ellos, al pasar 
por la posición de equilibrio, estará 
dada por la expresión 

2 7 t d 

v = > 

T 

siendo d la amplitud, prácticamente 
igual a la separación inicial de cada 
péndulo de la vertical que pasa por la 
suspensión. Introduciendo el radio de giro r correspon- 
diente al momento de inercia V de las dos masas pendu- 
lares, tenemos: 

2 7T d 

2 m r- o/' = m 8 sen p. 



Resulta así, para la velocidad angular a>", originada por 
este choque no central, la expresión :. 


S d 


sen p. 


Teniendo en cuenta la [4], que para este caso escri- 
biremos : 



BALANZA DE ROTACIÓN 


259 


oí 


// 


2 tt a' 

V 


resulta, finalmente: 


T 


8 d 
2 r- 


sen (i. 


m 


Deberá procurarse que este ángulo a' sea, en todos los 
casos, mucho menor que el ángulo a, pues de lo contrario 
este segundo efecto taparía, por decirlo así, al primero. 

Si = 4, y — 1, para S = I o se obtiene a = 2 o . En 
r r 2 

nuestros experimentos, 8 era del orden del décimo de mi- 
límetro, y el centraje lo lográbamos utilizando un anteojo 
cuyo retículo hacíamos coincidir con la dirección de los hi- 
los, estando los péndulos juntos y en la posición de equi- 
librio. Al apartarlos de ella dejábamos fijo el anteojo, y 
hacíamos que ambos hilos, ahora inclinados, siguieran en 
coincidencia con el retículo vertical. 


Balanza de rotación 

Como experimento de clase, el que acabamos de des- 
cribir ofrece bastantes dificultades, por lo cual es conve- 
niente disponer de un aparato ya preparado, cuya insta- 
lación pueda efectuarse en pocos minutos. 

En la figura 161 se ve en (a) al aparato abierto, man- 
tenido así por el hilo fe, y en ( b ) cerrado, después de que- 
mar el hilo. En el eje E va fijo el espejo, que reflejará la 
luz de una linterna sobre una escala. El conjunto consti- 
tuye, simplemente, una balanza de torsión, cuyo momento 
de inercia es variable. En la figura se pueden apreciar 
algunos detalles que no entraremos a describir. 

Como se comprenderá, habrá que quemar el hilo h 
cuando el aparato se encuentre en reposo en su posición 
do equilibrio. Interesa, sobre todo, que no oscile angular- 
mente, o sea, que no se produzca ninguna torsión del hilo 



260 


LA FÍSICA EN CASA 


de suspensión, para lo cual lo más simple es hacer que una 
de las varillas de los péndulos en cruz se encuentre inicial- 
mente apoyada en un tope fijo a un soporte apropiado. 

Si llamamos T" al tiempo de oscilación de la balanza, 
cuando la cruz está abierta, y V al mismo tiempo de osci- 




Fig. 161 . 


lación, estando aquélla cerrada, el factor de amplificación 
— estará dado por la relación 

r 


i 

T 



[ 8 ] 


por lo cual la [6]» en este caso, se convierte en 


'prn 


a 


TV 


sen X. 


[9] 



BALANZA DE ROTACIÓN 


261 


Si la escala sobre la que se proyecta el haz luminoso 
que refleja el espejo está separada de éste por una dis- 
tancia d, para ángulos no muy grandes, la separación 8 
a observarse será: 


S = 2 d ~f7 sen X. [10] 

Si suponemos T' ■■= 20 seg, T" — 600 seg, y A = 35°, 
para una distancia d = 1 m, cabe esperar un aparta- 
miento 8 — 24 cm. En este ejemplo, el factor de amplifi- 
cación sería igual a 900, encontrándose los radios de giro 
de los momentos de inercia en la relación de 30 a 1. 

Observaciones : a) La fórmula [1] da la velocidad an- 
gular </ medida con respecto al sistema de las estrellas 
fijas. 

La velocidad angular observable desde la Tierra será 
la diferencia entre aquel valor y la rotación terrestre al- 
rededor de la vertical en el punto de observación. Tenien- 
do en cuenta esto, la [1] deberá sustituirse por la ex- 
presión 

<■/• = -p <d sen A — o) sen A, 

o sea : 

/_ /' 

</ = — p — w sen A. [1'] 

En consecuencia, la [9] se convierte en 

'7V/J nnri 

n = — — — — sen A. [9'] 

Naturalmente que sólo en medidas de gran precisión ha- 
brá que aplicar estas fórmulas en lugar de las anteriores. 

b) ¿Influyen en los experimentos que se efectúen con 
la balanza de rotación que hemos descripto los defectos 
de asimetría que por construcción pudiera tener la mis- 
ma? Supongamos, para fijar ideas, que las varillas que 



262 


LA FÍSICA EN CASA 


se encuentran en la parte superior del aparato se han 
torcido y chocan asimétricamente. Podemos suponer tam- 
bién que una de las pesas lleva una masa adicional, que 
aumenta la 'asimetría en el momento del choque. ¿Produ- 
cirá esto alguna rotación suplementaria? A primera vista 
parece que sí, y asusta pensar en la extremada precisión 
con que habría que construir nuestra balanza. Pero feliz- 
mente no es así. Puede ella ser todo lo asimétrica que se 
quiera, sin que ello influya para nada en el resultado fi- 
nal. Cuando la balanza está abierta y en equilibrio, las 
únicas fuerzas exteriores que actúan sobre ella son las 
provenientes del peso 'de cada una de sus partículas, y la 
tensión del hilo de suspensión igual y de sentido opuesto 
al peso total del sistema. El momento de estas fuerzas, 
con respecto a la vertical que pasa por la suspensión, es 
nulo, y seguirá siendo nulo después de cortar el hilo que 
mantiene abierto al aparato, pues con ello sólo se han 
suprimido dos fuerzas iguales y opuestas. El caso sería 
diferente si mantuviésemos el aparato abierto mediante 
fuerzas exteriores, que podrían equilibrar cierta cupla de 
torsión del hilo. 

A pesar de lo que precede, conviene que la balanza 
de rotación sea simétrica, para evitar posibles desplaza- 
mientos, debidos a la masa de aire que se pone en movi- 
miento al moverse las pesas, y para evitar también, en lo 
posible, movimientos pendulares después del choque, que 
se superpondrían con la rotación a medir. 

c) Hemos dicho que el hilo h debe quemarse cuando 
el aparato se encuentre en reposo, en su posición de equi- 
librio. Si el aparato está oscilando cuando se quema el 
hilo, se pueden originar por ello rotaciones suplementa- 
rias, que se superpondrán a la rotación que se trata de 
revelar. Supongamos que la balanza esté oscilando con la 
amplitud como el período es, inicialmente, T", el án- 
gulo # de torsión, en función del tiempo, podrá expre- 
sarse así: 


sen 2 tt 


t_ 

T*rr 



BALANZA DE ROTACIÓN 


263 


La velocidad angular originada por esta oscilación es: 


d 

d t 


2 7T 


eos 2 Tt 



El valor máximo de esta velocidad angular es, en va- 
lor absoluto: 


2 7 r 

T 


que al cerrarse el sistema puede producir una rotación 
angular /?, dada por la expresión: 

„ I V „ T" 0 

P j/ rprr y/ 


Es, pues, indispensable que el sistema, al ser lanzado, no 
oscile. Si para evitar esa oscilación se aparta el sistema 
de su posición de equilibrio, en un ángulo <*„, mantenién- 
dolo en ella por medio de un tope fijo, ¿cuál será el án- 
gulo de rotación que se originaría finalmente por esta 
desviación inicial? Si el período del péndulo compuesto 
t>lano que constituye la balanza es r, y este período es pe- 
queño en comparación con los tiempos de oscilación T' y 

T", el aparato se cerrará en un tiempo > v durante 

4 

este tiempo el ángulo de torsión del hilo no variará sen- 
siblemente, y será El impulso rotatorio debido a la 
torsión del hilo será, en consecuencia: 

D a„ t 


siendo D la cupla directriz vinculada al tiempo de osci- 
lación T', por la expresión: 



l’or lo tanto, el impulso rotatorio del sistema, cuando se 



264 


LA FÍSICA EN CASA 


aparte en un ángulo a 0 de la posición de equilibrio, ten- 
drá que ser igual a 


7 r“ V a 0 


T 


Deseamos calcular la amplitud y„ con que deberá os- 
cilar el sistema, para que su impulso rotatorio sea el con- 
signado más arriba. El ángulo y en función del tiempo, 
lo expresaremos: 


de donde: 


9 = v sen 2 » -~ 


d <f 2 ir <p 0 t 

d t V 2 * T' 


o sea: 



Ésta es la expresión de la velocidad angular, por lo cual, 
si la multiplicamos por el momento de inercia I', para 
¥> = a ot el valor obtenido deberá ser igual al impulso ro- 
tatorio, debido a la torsión inicial que hemos calculado 
más arriba. Tenemos, así: 


j , 2 T T 

T 


de donde: 



7 r" I' «„ t 


T'- 


= 





1 "I' 


7 r~ r~ 

i r- 


lo que significa que prácticamente es y 0 = a 0 , o sea que 
el ángulo de desviación inicial no experimenta, al cerrar- 
se el sistema, amplificación alguna. 



importancia didáctica de esta clase dh experimentos 266 


Importancia didáctica de esta clase de experimentos 

Sería absurdo creer que la importancia de los experi- 
mentos que manifiestan, por medios mecánicos, el movi- 
miento de rotación de la Tierra radica en que ellos brin- 
dan una “prueba” de aquel movimiento. Cuando Foucault 
efectuó, a mediados del siglo pasado, su célebre experi- 
mento, nadie dudaba del movimiento de rotación de la 
Tierra. 

Si imaginamos que Galileo hubiera llevado a cabo un 
experimento, semejante, podemos afirmar que con ello no 
hubiera convencido a sus empecinados contemporáneos. 
Éstos hubieran podido argüir que el movimiento de las 
estrellas arrastraba consigo al plano de oscilación del 
péndulo, y en el caso de nuestro experimento, al ver que 
al juntarse los péndulos se ponían en rotación en sentido 
opuesto al movimiento de la bóveda estrellada, hubieran 
dicho . . . ¡ váyase a saber lo que hubieran dicho ! Pero es 
seguro que tampoco se habrían convencido. Frente a la 
evidencia astronómica, las pruebas experimentales son, 
en verdad, bien poca cosa. A fines del siglo pasado, Mi- 
chelson ideó un ingenioso experimento para revelar ópti- 
camente el movimiento de traslación de la Tierra. El ex- 
perimento dió — como todos saben — un resultado nega- 
tivo. ¿Pensó alguien, por ventura, que ello se debía a que 
nuestra Tierra no se trasladaba? ¡No! Se prefirió antes 
modificar toda la Física. 

El experimento de Foucault es importante, no porque 
constituya una prueba de la rotación de la Tierra, sino 
porque con él se prueba, una vez más, la validez de la 
mecánica de Newton. Con él se prueba que la ecuación 
F - m a (fuerza igual masa por aceleración) tiene vali- 
dez en un sistema ligado al de las estrellas fijas, y que 
no vale, con rigurosa exactitud, si nos referimos a un sis- 
tema de coordenadas fijo a nuestra Tierra. A la mecánica 
do Newton le hace falta el espacio absoluto, y el experi- 
mento de Foucault prueba la tendencia del plano de osci- 
laciones del péndulo a permanecer fijo en ese espacio. 



2C6 


LA FÍSICA EN CASA 


Con él se manifiesta bien, la diferencia entre un sistema 
inercial y otro que no lo es. Lo mismo ocurre con nuestro 
experimento: Los péndulos abiertos tienen un impulso 
rotatorio nulo con referencia a un sistema de coordena- 
das fijo a la Tierra, y al cerrarse aparece, respecto a este 
sistema, un impulso diferente de cero. La ley de conser- 
vación del impulso rotatorio vale para un sistema que no 
es uno ligado a nuestra Tierra, sino otro relacionado con 
las “estrellas fijas”. 

Es justamente la difícil cuestión de los sistemas de 
referencia la que se pone en claro en los experimentos de 
esta clase, y justamente en ello es en lo que estriba la 
importancia didáctica de los mismos. 

Del experimento de Foucault se han derivado nues- 
tras actuales brújulas giroscópicas, y no es ilusorio pen- 
sar que con una balanza de rotación pueda determinarse 
en el futuro, con suma precisión, la latitud de un lugar; 
pero sea de ello lo que fuere, consideramos que la impor- 
tancia de estos experimentos radica, sobre todo y ante 
todo, en su valor didáctico. 



VIII 


CONCEPTO DE MASA 


Masa y peso. — Bala?izas de pesas . — “ Gramos locales — Ba- 
lanzas de resorte . — Ejercitación. — Principio de D*Alembert. — 
Sistemas con dos grados de libertad. — Aplicación a las rotacio- 
nes. — Rozamiento. — Recapitulando. 


Examinaremos en este capítulo y en el siguiente las 
dificultades que se presentan en la enseñanza al pretender 
que nuestros alumnos capten, como corresponde, los con- 
ceptos básicos de masa y temperatura. Trataremos tam- 
bién de indicar el camino apropiado, para allanar, en lo 
posible, aquellas dificultades. 


Masa y peso 

La confusión que reina, en lo que a estos conceptos se 
refiere, se comprueba fácilmente. Preguntemos a un abo- 
gado, a un médico, y aun a un ingeniero, qué debe enten- 
derse por masa, y qué por peso de un cuerpo, y, salvo 
excepciones, las tribulaciones comenzarán en seguida. Mu- 
chos sabrán decirnos que la masa de un cuerpo es el co- 
ciente entre la fuerza que sobre él actúa y la aceleración 
que dicha fuerza le comunica; pero si a continuación le 
preguntamos qué masa tiene un cuerpo que adquiere una 

aceleración de 980 bajo la acción de una fuerza de 


seg 2 



268 


CONCEPTO DE MASA 


1 kilogramo-fuerza, difícilmente sepa respondernos que la 
masa es de 1 kilogramo-masa. 

Si tomo de una caja de pesas una pesa de 100 gra- 
mos, su masa es de 100 gramos-masa, y su peso es tam- 
bién • — prescindiendo de diferencias insignificantes — de 
100 gramos-peso. De la misma pesa, del mismo cuerpo, 
decimos entonces en una ocasión que tiene una masa de 
100 gramos, y en otra, que su peso es de 100 gramos. No 
se requiere ya más para que, siguiendo el proceso de los 
reflejos condicionados — cuyo mecanismo puso de mani- 
fiesto en forma admirable el fisiólogo ruso Pavlov — se 
establezca la identificación mental de lo que llamamos 
peso con lo que llamamos masa. 

La confusión se produce por el uso simultáneo de dos 
sistemas de unidades diferentes. No habría posibilidad 
de confusión si se empleara siempre un único sistema de 
unidades, ya que la diferencia entre ambos conceptos 
puede ser captada fácilmente por cualquier persona. 
Newton llamaba a la masa cantidad de materia , y si bien 
es cierto que con esto no se hace más que dar una nueva 
denominación al concepto de masa, es suficiente para 
aclarar, por lo menos, que masa y peso son dos cosas en- 
teramente diferentes. Cualquier persona puede compren- 
der que el peso de un cuerpo, que es una fuerza , depende 
no sólo del cuerpo, sino de la Tierra toda, que lo atrae, 
y por poca imaginación que tenga, no es difícil hacer que 
se represente a un mismo cuerpo llevado sucesivamente a 
la superficie de diferentes planetas o a la de la Luna, y 
que comprenda así que su peso — la fuerza con que será 
atraído por cada planeta, o por la Luna — variará, en 
tanto que su masa, “la cantidad de materia ” con que está 
hecho, permanecerá constante. No repugna al espíritu 
admitir que un cuerpo pesa en la superficie de la Luna 
sólo la sexta parte de lo que pesa en la superficie de la 
Tierra, y que, en consecuencia, producirá allá, al ser sus- 
pendido de un resorte, un estiramiento mucho menor que 
aquí. 

Pero se comprende también que si nos preparamos pa- * 
ra realizar un “pic-nic” en la superficie de la Luna — co- 



MASA Y PESO 


2tí<J 


mo quizá pueda hacerse dentro de poco — , y llevamos en 
nuestro canasto de provisiones 6 kilogramos de carne, no 
por el hecho de que allí su peso se reduzca a sólo 1 kilo- 
gramo, dejará de producirnos el mismo provecho que en la 
Tierra. La “cantidad de materia ”, la masa, ha permane- 
cido constante. 

Si un automóvil pesa 1200 kg en la superficie de la 
Tierra, en la de la Luna pesará sólo 200 kg, pero los efec- 
tos de un choque con ese automóvil, en iguales condicio- 
nes de velocidad, serían idénticos en una carretera lunar 
que en otra terrestre. La resistencia que ofrece el auto- 
móvil al cambio de velocidad es la misma en tedas partes, 
y también debemos suponer que su “cantidad de materia” 
no varía. Aquí se encuentra la justificación de la denomi- 
nación newtoniana de llamar a la masa cantidad de ma- 
teria. El cociente entre la fuerza y la aceleración mide 
la inercia del cuerpo, lo que se llama masa del mismo, y 
como dicho cociente se postula como constante, indepen- 
diente del lugar y dependiente sólo del cuerpo mismo, es 
natural identificar a dicha constante como a su cantidad 
de materia. 

Todo esto es perfectamente comprensible, y en esta 
etapa nos preguntamos cómo puede ser posible la confu- 
sión entre dos conceptos tan diferentes. 

El peso de un cuerpo es una magnitud vectorial; es 
una fuerza variable de lugar a lugar, y mayor en los polos 
que en el ecuador terrestre, en tanto que la masa es una 
magnitud escalar y constante para un mismo cuerpo. 

¿De dónde puede provenir, entonces, la confusión? El 
origen de ésta se encuentra, sin lugar a dudas, en el hecho 
de que existe proporcionalidad, en un mismo lugar, entre 
las masas y los pesos de los cuerpos que se encuentran en 
ose lugar. 

En la mecánica newtoniana, la proporcionalidad entre 
el peso y la masa de los cuerpos aparece, no como una con- 
secuencia lógica de los principios de la dinámica sino 
como una verdad experimental, independiente de aque- 
llos principios. Si asimilamos la atracción gravitato- 



270 


CONCEPTO DE MASA 


ria a una especie particular de fuerzas de tipo magnéti- 
co, nos damos cuenta en seguida de lo asombroso de aque- 
lla proporcionalidad entre la “masa inerte” (masa) y la 
“masa pesante” (peso). Colocando frente a un imán dos 
trozos de igual masa inerte, el uno de níquel y el otro de 
hierro, la fuerza que se ejerce sobre este último es mucho 
mayor que la fuerza que se ejerce sobre el primero. La 
aceleración con que en consecuencia "cae” hacia el imán 
el trozo de hierro es mayor que la aceleración con que 
“cae”, dirigiéndose hacia el mismo imán, el trozo de níquel. 

Si la atracción gravitatoria tuviera a este respecto al- 
guna semejanza con la atracción magnética, cabría espe- 
rar que algunas substancias cayeran en la superficie de 
la Tierra con mayor aceleración que otras. La primera ley 
de la caída de los cuerpos, de Galileo, que establece la igual- 
dad de la aceleración de la gravedad para todos los cuerpos 
y todas las substancias, conduce a la necesidad de admitir 
aquella extraña proporcionlidad. No existe una acelera- 
ción de caída para el oro que sea diferente de la acelera- 
ción con que cae el mercurio, la plata o una piedra cual- 
quiera, y esto no es una consecuencia de los principios de 
la dinámica. 

Podrían ser ciertos estos principios, y no existir aque- 
lla proporcionalidad. Nada más fácil que imaginar un 
mundo en el cual fueran valederos los principios de la 
dinámica, y en el cual la aceleración de caída tuviera un 
valor particular para cada substancia. En ese mundo y 
en un mismo lugar, dos trozos de igual masa, el uno de 
oro y el otro de hierro, tendrían diferente peso, y de dos 
péndulos de igual longitud, construidos con ambas subs- 
tancias, oscilaría con mayor rapidez aquel que, a igualdad 
de masa, tuviera mayor peso. El mismo Newton, asom- 
brado de la extraña proporcionalidad entre el peso y la 
masa, trató de verificar esa ley experimentalmente. Como 
es sabido, utilizó para ello un péndulo hueco, que llenaba 
sucesivamente con las substancias más diversas*, obser- 
vando, en todos los casos, que el tiempo de oscilación se 
mantenía constante. La aceleración de la gravedad, la 
aceleración de caída en el vacío, es, pues, una constante 



MASA Y PESO 


271 


que depende sólo del lugar y no de los cuerpos que caen. 
Este resultado experimental se introduce en el marco de 
ideas de la mecánica newtoniana, al postularse, en la ley 
de gravitación, la proporcionalidad entre la fuerza atrac- 
tiva y la masa de inercia. En la fórmula 

F = K^, 

está contenida la proporcionalidad entre el peso y la masa, 
de tal modo que en un mundo en el cual no fuera válida 
dicha proporcionalidad, podría ser cierta la parte de la ley 
que afirma que la fuerza es inversamente proporcional al 
cuadrado de la distancia, no cumpliéndose, en cambio, la 
parte de la misma que afirma la proporcionalidad entre la 
fuerza atractiva y la masa inerte. Newton interpretó esta 
proporcionalidad entre inercia y peso como una asombro- 
sa casualidad. Esta “asombrosa casualidad” desaparece, 
para convertirse en una consecuencia lógica, dentro del 
marco de la teoría de la gravitación de Einstein; pero lo 
que aquí interesa fundamentalmente son las dificultades 
didácticas que trae aparejada aquella extraña proporcio- 
nalidad entre el peso y la masa. 

En las líneas que preceden me he excedido, posiblemen- 
te, en la utilización de los adjetivos “extraño” y “asombro- 
so”. Es que masa y peso son dos conceptos extraños entre 
sí, ajenos por completo uno al otro. Dos cuerpos de igual 
masa ofrecen la misma resistencia para ser movidos, o 
para ser frenados si es que están en movimiento. Que 
tengan igual masa, significa que tienen igual inercia. En 
cambio, dos cuerpos de igual peso son atraídos por la Tie- 
rra con igual fuerza. 

¿Qué tiene que ver, en principio, la resistencia que 
ofrece un cuerpo, para hacer que cambie su velocidad, con 
la propiedad de ser atraído por la Tierra? Y sin embargo, 
dos cuerpos de igual masa tienen también, en un mismo 
lugar, exactamente el mismo peso. A causa de esta pro- 
porcionalidad, extrema y asombrosa, las masas de los cuer- 



272 


CONCEPTO DE MASA 


pos se determinan con las balanzas de pesas, y aquí e3 
donde empieza la confusión. 


Balanzas de pesas 

Si tenemos los cuerpos de masas m 2 , m 3 y 

los llevamos a un lugar donde sus pesos respectivos sean 

Pi, P 2 , Pa las aceleraciones con que deben caer en ese 

lugar son, de acuerdo al principio de masa, 

Zl ; ü- ]JL ; 

m-i ’ m 2 ’ m- A 

Pero de acuerdo con la ley experimental de la caída, 
todos los cuerpos caen en determinado lugar con igual ace- 
leración, por lo cual : 



m i m 2 m 3 


siendo g la aceleración de la caída libre en ese lugar. De 
aquí que si en el platillo de una balanza, cuyo brazo es a, 
colocamos un cuerpo de masa m, dado que el peso del cuer- 
po es mg, el momento será mg a, y podremos equilibrar 
ese cuerpo colocando en el otro platillo, cuyo brazo es b, 
pesas de masas M tal que : 

mg a = M gb . 

De aquí, y por ser la misma g la que figura en ambos 
miembros, resulta: 

b 

m = ■ — M. 

a 

En el caso particular de una balanza exacta., de brazos 
iguales, aquélla se encuentra en equilibrio si las masas 
colocadas en ambos platillos son también iguales. La eli- 
minación de g pone de manifiesto que lo que se determina 



BALANZAS DE PESAS 


273 


con una balanza, en que el equilibrio se logra mediante 
pesas, es la masa de los cuerpos y no el peso de los mismos. 
Sin embargo, utilizamos balanzas de esta clase, y constan- 
temente decimos que con ellas hallamos el peso de los cuer- 
pos, empleando para ello el verbo “pesar”. 

Por más que nos resulte chocante, por falta de hábito, 
se debería emplear en esos casos el verbo “masar”, asig- 
nándole esta acepción. 

Si “maso” un cuerpo y encuentro que su masa es igual 
a 100 gramos, sé que dicho cuerpo equilibrará a una pesa 
de 100 gramos (utilizando una balanza de brazos iguales) 
en cualquier lugar de la Tierra o en cualquier planeta. Es 
cierto que también sé, por lo tanto, que dicho cuerpo, lle- 
vado a determinado lugar, tiene en ese lugar el mismo peso 
que tendría allí Ja pesa de 100 gramos. Pero lo que no 
conozco es el valor del peso, de esa pesa de 100 gramos. 
Por definición, sólo sé que la pesa de 100 gramos tiene un 
peso igual a 100 gramos-peso, o 100 gramos-fuerza, a los 
45° de latitud y al nivel del mar, donde la aceleración de 

cm 

la gravedad vale 980,665 • 

seg 2 

Por lo tanto, del cuerpo que he “masado” sólo sé que 
pesaría 100 gramos-peso si lo llevara a ese lugar. Para 
saber lo que ese cuerpo pesa en gramos-peso en determi- 
nado lugar, debe hallarse lo que vale la aceleración de la 
gravedad en dicho lugar. Para lograr esta determinación 
os necesario medir (cualquiera sea el procedimiento em- 
pleado) cierta longitud y cierto tiempo, puesto que la ace- 
leración tiene por dimensiones una longitud sobre un tiem- 
po al cuadrado. Sólo después de haber hallado el valor de 
<t puede conocerse el peso del cuerpo. 

En el sistema C. G. S. de unidades, la aplicación de la 
fórmula 
P = mg 

nos da el peso expresado en dinas, si la masa se expresa 
<>n gramos y la aceleración en cm X seg- 2 . 

Si la única unidad de fuerza que empleáramos fuera 



274 


CONCEPTO DE MASA 


la dina, no se originarían tantas confusiones. Un alumno 
de un colegio de Quito, donde s = 978 cm X seg~ 2 , sabría 
que allí un gramo-masa pesa 978 dinas, y que ese mismo 
gramo-masa pesa en Buenos Aires algo menos de 980 
dinas. 

Pero tanto al alumno de Quito como al de Buenos Ai- 
res se le dice que la pesa de un gramo-masa pesa un gra- 
mo-peso. 


“Gramos locales” 

En los experimentos de estática, el equilibrio se logra 
mediante pesas, y si tomamos dos de éstas, una de 100 
gramos y otra de 200 gramos, decimos que aquélla ejerce 
una fuerza de 100 gramos, y esta otra, de 200 gramos. Sa- 
bemos que ello es cierto sólo si operáramos a los 45° de 
latitud, pero lo callamos, para no enfrentarnos de golpe 
con todas las dificultades. Logramos así, utilizando la pro- 
porcionalidad entre la masa y el peso, superar con éxito 
las dificultades que en ese momento queremos vencer, pe- 
ro sembramos al mismo tiempo la semilla de la confusión, 
que nos costará mucho desarraigar más tarde. 

Para evitar esto, en mis clases he ensayado con éxito 
la introducción de lo que en ellas llamo “gramos locales”. 
En particular, me refiero, al hablar de fuerzas producidas 
por pesos de pesas marcadas en gramos-masa, a “gramos 
platenses”, ya que mis lecciones las he dictado siempre en 
la ciudad de La Plata. Si se trata de una palanca de la 
que se suspenden dos pesas, de 100 y 200 gramos, y pre- 
gunto qué fuerza ejercen ellas sobre la misma, mis alum- 
nos responden que esas fuerzas son de 100 y 200 “gramos 
platenses”, respectivamente. La diferencia entre el “gra- 
mo-platense” y el gramo-peso es insignificante, ya que en 
cm 

La Plata q = 979,7 por lo cual, 

seg 2 

979/7 

1 gramo-platense = 1 gramo-peso X ^ ' 

98(),o 



BALANZAS DE RESORTE 


275 


pero no es la precisión lo que se busca al introducir esta 
denominación, al parecer exótica. Lo que se persigue es 
evitar una confusión, y dar ya, al hablar así, el primer 
toque de atención. 


Balanzas de resorte 

Con estos aparatos se determina directamente el peso 
de los cuerpos, y sólo en estos casos sería apropiada la 
aplicación del verbo “pesar”. En cambio, la masa de un 
cuerpo sólo puede ser determinada si se conoce el valor de 
la aceleración de la gravedad del lugar donde el cuerpo ha 
sido pesado. 

Si nuestra balanza de resorte, o dinamómetro, estuvie- 
ra graduada en dinas, el cociente entre el peso P, expre- 
sado en dichas unidades, por el valor de la aceleración g, 

cm 

de la gravedad, expresada en — — - , nos dará la masa del 

seg 2 

cuerpo expresada en gramos-masa. En el sistema técnico 
de unidades, la fuerza, o el peso, se expresa en kilogramos- 
peso, y como la unidad de longitud es el metro, la acelera- 
ción de la gravedad debe expresarse en - m . La masa de 

seg 2 

un cuerpo, expresada en unidades de masa del sistema téc- 
nico, se halla entonces dividiendo el peso del cuerpo, ex- 
presado en kilogramos-fuerza, sobre el valor de la acelera- 
ción de la gravedad donde se pesó aquél (con un dinamó- 
metro), expresada en • 
seg- 

Un cuerpo de 1 kilogramo-masa pesa, a los 45° de la- 
titud, 1 kilogramo-peso (por definición), y por lo tanto, 

mi ese lugar, donde g = 9,806 m — ■■ un cuerpo de 9,806 ki- 

seg- 

logramos-masa pesa 9,806 kilogramos-peso. La masa de 
este cuerpo, expresada en unidades del sistema técnico, 
sería : 



276 


CONCEPTO DE MASA 


9,806 kg — peso _ ^ r kg — peso i 
9,806 m X seg- 2 L m X seg- J 


Didácticamente ofrece graves dificultades el hecho de 
que la unidad de masa no tenga un nombre especial en el 
sistema técnico. El alumno aprende que para hallar la 
masa en unidades de este sistema debe dividir los kilogra- 
mos-peso por 9,8 m X seg- 2 , y el hecho de que le falte la 
palabra para expresar el resultado de su cálculo, lo deja 
como en el aire. Si ha hallado que un cuerpo que pesa 98 
kilogramos-peso tiene una masa igual a no lo deja 

conforme expresar el resultado así: 


M = 10 


kg — peso 


m 


■ seg- ■ 


Las palabras constituyen el sostén del pensamiento. 
Todos los profesores con cierta experiencia habrán adver- 
tido que los alumnos calculan más fácilmente con el. siste- 
ma C. G. S. que con el técnico, y si inquirimos la razón de 
ello, veremos que reside en el hecho simple de que en el 
sistema C. G. S. la unidad de masa y la unidad de fuerza 
tienen nombres especiales (gramo-masa y dina, respecti- 
vamente), en tanto que en el sistema técnico sólo tiene 
nombre especial la unidad de fuerza (kilogramo-peso, o 
kilogramo-fuerza). El alumno aprende en seguida de este 
modo, que 1 gramo-peso es igual a 980,6 dinas, relacio- 
nando así las unidades de fuerza de ambos sistemas de 
unidades ; pero no aprende a relacionar con la misma faci- 
lidad las unidades de masa de ambos sistemas. Bastaría 
designar a la unidad de masa del sistema técnico con un 
nombre especial, por ejemplo, “kilomaso” , para que nues- 
tros alumnos aprendieran, igualmente, que “un “kilomaso” 
es igual a 9,806 kilogramos-masa” , siendo, en consecuen- 
cia, “un maso” igual a 9,806 gramos-masa,” . 

Naturalmente que esto no es necesario, pues basta con 
que aprendan a calcular utilizando un único sistema de 
unidades, y dado que las balanzas de resorte casi no son 
utilizadas, es preferible el sistema C. G. S. 



EJERCIT ACIÓN 


277 


Ejercitación 


La única manera de que los alumnos aprendan a cal- 
cular y a manejar las unidades es haciendo que se ejerciten 
en la solución de sencillos ejercicios numéricos. Así, por 
ejemplo, en lo que al peso y la masa se refiere, pueden 
escalonarse una serie de ejercicios del tipo siguiente: 

1) Hallar el peso en dinas de una pesa de 100 gramos 
(de “ esta pesa” de 100 gramos), en los lugares don- 
de la aceleración g vale : 


g ecuador = 978 


cm 

seg 2 


g 45° = 980 


g polo = 983 
g Sol = 26460 


cm 

seg 2 

cm 

seg 2 


; g Luna = 163 


cm 

seg 2 

cm . 
seg 2 ’ 


2) Expresar los resultados hallados en el ejercicio an- 
terior en gramos-peso. 

3) Hallar el peso de un cuerpo cuya masa es igual a 
3,5 kilogramos-masa en un lugar donde g es igual 

a 9,78 — 
seg- 

4) Sobre un cuerpo cuya masa es de 100 gramos-masa, 
actúa una fuerza de 5000 dinas. Hallar la acelera- 
ción. 

5) Sobre un cuerpo cuya masa es de 100 gramos-masa 
actúa una fuerza de 100 gramos-peso. Hallar la 
aceleración. 

6) Siendo la masa igual a 2 kg-masa, y la fuerza igual 
a 2 kg-peso, ¿cuánto vale la aceleración? 

7) Un cuerpo de 1 kg-masa se mueve con la acelera- 



278 


CONCEPTO DE MASA 


. ción de 9,80-^--. ¿Qué fuerza actúa sobre éi? 
seg 2 

8) Hallar la masa de un cuerpo que adquiere la acele- 
ración de 1 — rr Vbajo la acción de una fuerza de 

seg 2 

1 kg-peso. 

9) Siendo la densidad del mercurio, a 18° C, igual a 

gramos -masa , „ 

13,551 , hallar su peso especifico a 

cm 3 

, . , gramos - peso 

esa temperatura, expresado en — — > en 

cm 3 

los lugares donde g tiene los valores expresados en 
el ejemplo 1. 

10) Con un dinamómetro absolutamente preciso, se pesa 
el kilogramo patrón, y se obtiene como peso del mis- 
mo, en diferentes lugares de la Tierra, los valores 
siguientes : 

P, = 1000,00 gr-peso; P> = 1000,50 gramos-peso; 

P a = 999,00 gr-peso; P 4 = 998,50 gramos-peso. 


Hallar el valor de la aceleración de la gravedad en esos 
lugares, considerando que a los 45° de latitud y al nivel 
cm 

del mar, q = 980,6 — — 
seg- 

En el ejemplo 1 se dan los datos expresados en unidades 
del sistema C. G. S., y como se pide el resultado en uni- 
dades del mismo sistema, la aplicación directa de la fór- 
mula P — m g, da la solución. 

El 2 tiene por objeto hacer que aprendan que 1 gramo- 
peso es igual a 980,6 dinas, que puede tomarse igual a 980 
dinas. Se puede aprovechar este ejercicio para habituar a 
los alumnos a dividir rápidamente por un número que di- 
fiere poco de una potencia de 10. En este caso, bastará 
con que dividan por 1000 y agreguen al resultado un 2 %. 



PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 


279 


En el ejercicio 3 deberán expresar, previamente, la 

cm 

masa en gramos y la aceleración en , para hallar, por 

seg 2 

aplicación de la fórmula, el peso en dinas, que luego ex- 
presarán en gramos o kilogramos-peso. 

El objeto del ejemplo 4 es que aprendan que el resul- 

F 

lado de la aplicación de la fórmula a = — se debe ex- 

m 


cm 

presar en , y en el 5 deben reducir previamente la 

seg 2 

fuerza a dinas. 

El 5 y el 6, que dan como resultado el valor de la ace- 
leración de la gravedad a los 45° de latitud, conviene que, 
después de resolverlos analíticamente, los vean en forma 
directa e intuitiva, pensando en- lo que pasa al dejar caer 
en aquella latitud una masa determinada. Allí, sobre una 
pesa de 1 kg-masa actúa una fuerza de 1 kg-peso, y la 

cm 

aceleración es igual a 980,6 . Si han captado la in- 

seg 2 

terpretación directa e intuitiva de estos ejercicios, podrán 
resolver también en seguida el 7, pues la fuerza no puede 
ser otra que la que produce la caída, igual a 1 kg-peso. 

El 8 tiene por objeto que encuentren, utilizando siem- 
pre unidades del sistema C. G. S., la relación entre la uni- 
dad técnica de masa y el gramo-masa. El ejercicio 9 tiende 
u procurar que distingan la diferencia entre densidad o 
masa específica y peso específico, y en el 10 se procura 
que asimilen la proporcionalidad entre el peso de un mis- 
mo cuerpo y la aceleración de la gravedad del lugar donde 
aquél se encuentra. 


Principio de D’Alembert 

El gran matemático francés Juan D’Alembert estable- 
i'ió, en 1743 (al aparecer la primera edición de su célebre 
Tratado de Dinámica), el principio que hoy lleva su nom- 



280 


CONCEPTO DE MASA 


bre, y al cual ya se había referido en una memoria que 
presentara a la Academia de Ciencias de París, a fines de 
1742. El título de la parte del Tratado que dedica a la 
exposición de su principio, reza así: 

Principio general para encontrar el movimiento de va- 
rios cuerpos que actúan los unos sobre los otros de una 
manera cualquiera , con varias aplicaciones de este prin- 
cipio 

En la actualidad, todos los tratados de mecánica (y en 
particular los que se denominan de “mecánica racionar’) 
tratan de este principio con la debida extensión, no ocu- 
rriendo lo propio con los libros de Física. No conozco nin- 
gún tratado de Física, ni grande ni chico, que se ocupe del 
principio de D’Alembert, si se exceptúa un pequeño texto 
mío, de Física elemental, en un solo tomo, aparecido en 
1941, en el que tuve la osadía — según decir de algunos 
colegas — de tratar un ‘'principio de mecánica superior”. 

Deseo exponer aquí las razones que en aquella oportu- 
nidad tuve para incorporar, en un libro de texto dedicado 
a la enseñanza media, el principio del célebre enciclope- 
dista francés, rompiendo así con una tradición de casi 
doscientos años, en que se mantenía a aquél como enclaus- 
trado en los textos de mecánica superior. 

Es sabido que es imposible comprobar en forma directa 
el principio de masa. Para mostrar a nuestros alumnos su 
significado, dibujamos en el encerado un cuerpo, le apli- 
camos al mismo una fuerza, que representamos por un 
vector, y con la misma dirección y sentido representamos 
también el vector aceleración. Si sobre el mismo cuerpo 
actúa una fuerza de doble o triple intensidad (y hacemos 
un segundo o tercer dibujo), la aceleración será también 
doble o triple. Si en cambio aplicamos la misma fuerza a 
cuerpos de diferente masa (y para explicar esto hacemos 
diversos dibujos), diremos que al de mayor masa corres- 
ponde menor aceleración, etc. Pero éstos han sido todos 
experimentos de tiza. El alumno debe preguntarse por qué 
no le mostramos un experimento en el cual aplicamos, su- 
cesivamente, a cuerpos diversos la “misma fuerza”. Y no 



PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 


281 


hacemos estos experimentos, por la sencilla razón de que 
no pueden hacerse, porque la fuerza, como muy bien lo 
hace notár H. Poincaré, no es un corcho, que se puede sa- 
car de aquí y poner allá. Si se trata de un resorte o de 
una goma estirada, sobre el cuerpo se ejercerá una fuerza 
variable, durante un tiempo muy breve,, por lo cual, para 
lograr que, en un experimento real actúe una fuerza cons- 
tante, es necesario utilizar el peso de un cuerpo. En un 
plano inclinado, la fuerza que produce la caída a lo largo 
del plano es la componente, en esa dirección, del propio 
fieso del cuerpo, y debido, justamente, a la proporciona- 
lidad entre el peso y la masa, no hay manera de verificar, 



con un plano inclinado, la dependencia entre la masa y 
la aceleración. 

Por eso el concepto de masa escapó a la sagacidad de 
Galileo, a pesar de haber experimentado tanto con planos 
inclinados. 

La instalación más simple que puede imaginarse para 
estudiar la dependencia entre la fuerza, la masa y la ace- 
leración debe ser, por eso, del tipo de la indicada en la 
figura 162. El carro de masa m 2 puede deslizarse sobre 
ima mesa horizontal, solicitado por el peso de la masa m 1( 
vinculada a m-, por un hilo que pasa por la garganta de 
una polea. 

Suponiendo nulo el roce, inextensible el hilo, y despre- 
ciable la masa de la polea, se calcula habitualmente la ace- 
leración a con que se mueve “el sistema”, una vez que se 
corta el hilo A B, razonando del modo siguiente: La fuerza 



282 


CONCEPTO DE MASA 


que hace mover al sistema es el peso g de la masa m u 
ya que el peso de la masa vu se anula por la reacción de 
la mesa. La masa puesta en movimiento por la acción de 
esta fuerza es la masa total del sistema m x + m 2t por lo 
cual, siendo la aceleración igual a la fuerza sobre la masa, 
resulta : 


a 


m x 0 
mi + m 2 


[ 1 ] 


La fórmula que así se obtiene es la exacta, pero el razo- 
namiento deja mucho que desear. Veamos por qué. Si nos 
preguntamos qué fuerza ejerce la masa sobre el carro 
de masa m 2 cuando el sistema está en equilibrio, o sea an- 
tes de cortar el hilo A B f dicha fuerza es evidentemente, 
el peso m, g de la masa m x . Un dinamómetro interpuesto 
entre ambas masas indicaría, justamente, el valor de esta 
fuerza m r g, que es igual a la fuerza de tensión que so- 
porta el hilo cuando el sistema está en reposo. Al cortar 
el hilo A B , ¿qué pasa? ¿Sigue actuando sobre el carro de 
masa m 2 la misma fuerza m 1 g del peso de la masa m 2 ? 
¿Sigue el hilo soportando la misma tensión de antes? Si 
el alumno fija su atención en el movimiento del carro de 
masa m 2 , dirá que se debe mover con una aceleración igual 
al cociente entre la fuerza que sobre dicho carro actuaba, 
que era m r g, sobre la masa de dicho carro, o sea, calculará 
con la fórmula falsa: 


a' 


m i g ? 
m 2 


[ 2 ] 


Y entretanto, ¿qué pasa con la masa mi? ¿Cuál es la fuer- 
za que la hace mover? Si el alumno piensa que dicha fuer- 
za es el propio peso de la masa mi, igual a m x g, obtiene 
para el movimiento de ésta el valor 


a 


rr 


■ffli 9 
m i 


= Q. 


[3] 


Naturalmente que comprende que algo anda mal en este 
razonamiento, porque no puede moverse la masa m.\ con 



PRINCIPIO DE D’aLEMBERT 


283 


una aceleración diferente de la m 2 , desde que ambas se 
hallan unidas por un hilo inextensible. Le enseñamos en- 
tonces a calcular la “aceleración del sistema”, hablando 
de la fuerza que lo pone en movimiento y de la masa total 
del mismo. Aparece así la fuerza como repartiéndose entre 
ambas masas, y produciendo una aceleración vertical en 
una de ellas y horizontal en la otra. Aplicamos el principio 
de masa como si él fuera aplicable directamente a un sis- 
tema complejo, olvidándonos que en el enunciado de aquel 
principio hablábamos de la aceleración que adquiere un 
cuerpo bajo la acción de una fuerza, y no de la aceleración 
de un sistema donde aparecen dos cuerpos vinculados por 
un hilo y una polea. Por otra parte, ¿cuál es la fuerza de 
tensión del hilo cuando el sistema está en movimiento ? En 
otras palabras: si se intercalara un pequeño dinamómetro 
entre dos puntos del hilo que vincula a ambas masas, 
¿cuánto marcaría al ponerse el sistema en movimiento? 
Estando el sistema en reposo, dicha fuerza de tensión es 
m i g, pero el hecho de que la fórmula [2] sea falsa, prueba 
en forma concluyente que sobre el carro de masa m-, no 
actúa, cuando el sistema comienza a moverse, la misma 
fuerza de antes. Aparece aquí algo misterioso: antes de 
cortar el hilo A B, sobre el carro de masa m ... actúa la fuer- 
za m t g ; cortamos el hilo A B, y ya la fuerza es otra. 

Todo esto hace que ningún alumno inteligente pueda 
entender de verdad la fórmula [1] cuando se “la deduce” 
en la forma corriente, que emplean todos los textos para 
establecerla. Desde luego que lo mismo ocurre en el cálculo 
de la aceleración de la máquina de Atwood. 

Al advertir estas dificultades, ensayé en mis clases de- 
ducir la aceleración de sistemas simples aplicando el prin- 
cipio de D'Alambert, y obtuve un excelente resultado. No 
podía ser de otro modo, puesto que, mediante dicho prin- 
cipio, los difíciles problemas de dinámica se reducen a 
simplísimos problemas de estática. Nada más fácil para 
los alumnos que entender que si se tiene cierto número de 
cuerpos, ABC.... (o de puntos materiales), de masas 
»ij, m 2 , m 3 , . . . . vinculados entre sí por medio de hilos, vi- 
gas, o resortes, y obligados a moverse el uno por un tubo, 



284 


CONCEPTO DE MASA 


el otro sobre una superficie, etc., en un momento dado 

cada cuerpo adquirirá cierta aceleración: a u a ly « 3 , 

Sobre estos cuerpos actúan ciertas fuerzas, que son las 
que producen el movimiento, agregándose a ellas las fuer- 
zas de reacción provenientes de los vínculos (los hilos, las 
vigas, los tubos, las superficies, etc.). Por complicado que 
sea el mecanismo que se suponga, se comprende que si se 
hiciera actuar sobre cada cuerpo del sistema (sobre cada 
punto material) una fuerza igual al producto de la masa 
del cuerpo por su respectiva aceleración , pero de sentido 
opuesto al de ésta , el sistema estaría en equilibrio . Si bau- 
tizamos a estas fuerzas con el nombre de fuerzas ficticias , 

el principio de D'Alembert 
puede enunciarse así: Las 
fuerzas reales (se inclu- 
yen aquí las fuerzas de 
reacción) y las ficticias se 
encuentran en equilibrio , 
constantemente y en un sis- 
tema cualquiera . 

Aplicaciones. — El 
sentido del principio se 
capta aplicándolo a la re- 
solución de problemas con- 
cretos, y sabiendo elegir éstos de modo que las dificultades 
vayan apareciendo en forma gradual, los alumnos llegan, 
sin mayor esfuerzo, a resolver cualquier problema de di- 
námica de uno y hasta de dos grados de libertad, siempre, 
naturalmente, que los mismos conduzcan a valores cons- 
tantes de la aceleración. Como en los tratados de mecá- 
nica sólo se aplica, por lo general, el principio de D'Alem- 
bert para resolver casos complicados, indicaremos aquí, a 
continuación, una serie de sencillos problemas. 

1) Plano inclinado. — Se trata de calcular la acele- 
ración que el carro de masa m adquiere, por acción de su 
propio peso, m g, al estar obligado a deslizarse, sin roce, 
por un plano inclinado que forma con otro horizontal el 
ángulo « (fig. 163). Dada la naturaleza del vínculo (la 



Fig. 163. 


PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 


285 

superficie rígida del plano inclinado), el cuerpo de masa, 
m, sólo puede moverse sobre esta superficie, y para sim- 
plificar supondremos que sobre el plano existe un riel que 
sigue la dirección B C. Por esto hubiera sido mejor llamar 
n este problema “riel inclinado”, en lugar de “plano incli- 
nado”. El “riel inclinado” es un problema de un solo grado 
de libertad, en tanto que el del “plano inclinado” lo es de 
dos grados de libertad. 

La aceleración, por el momento desconocida, con que 
se deslizará el carro de masa m a lo largo del riel, la re- 
presentamos por un vector, del cual sólo sabemos, por 
ahora, que tiene una dirección paralela al riel. En este 
caso simplísimo, sabemos también que el sentido del vector 
aceleración a será de B a C, y la fuerza ficticia que de- 
beríamos agregar, para que el carro estuviera en equili- 
brio, será m a, y dirigida de C a B. Dado que conviene, 
didácticamente, distinguir en las representaciones gráfi- 
cas las fuerzas ficticias de las reales, es aconsejable re- 
presentar a aquéllas en colores. En las figuras que siguen, 
estas fuerzas las hemos representado por vectores de trazo 
doble. 

Para que la fuerza ficticia m a equilibre al peso m g, 
es necesario que la resultante de ambas sea normal al pla- 
no, de donde surge que debe ser: 


m a = m g sen «; a = g sen a. [4] 

Claro está que al mismo resultado se llega por des- 
composición de la fuerza del peso en otras dos : una para- 
lela a la longitud del plano y otra normal al mismo. 

Este primer ejemplo tiene la desventaja de ser dema- 
siado simple; ante él, el alumno no puede menos que sen- 
tirse algo decepcionado, pues piensa que no le hace falta 
echar mano del principio de D’Alembert para encontrar 
el valor de la aceleración. Tiene, en cambio, la ventaja de 
mostrar cómo, conociendo una ley simplísima de estática, 
obtiene inmediatamente el resultado de un problema de 
dinámica, pues la fuerza ficticia m a es ahora la potencia, 



286 


CONCEPTO DE MASA 


siendo la resistencia m g , por lo cual, si h es la altura, y l 
la longitud del plano, puede escribir en seguida: 


m a 
m g 


h h 

T ; a = 9 T’ 


[5] 


que, en otra forma, es idéntica a la fórmula escrita más 
arriba. 


2) Plano horizontal y un peso. — Resolvamos aho- 
ra, aplicando el principio de D’Alembert, el problema al 

cual se refiere la figura 164. 

Si llamamos a a la acele- 
ración con que se mueve la 
masa m u a será también la 
aceleración con que se mueve 
la masa m 2 , dado que ambas 
están vinculadas por un hilo 
inextensible. 

. El sistema se encontraría 
en equilibrio si actuara so- 
bre la masa m l la fuerza fic- 
ticia Wj a (fig. 164), dirigida 
hacia arriba, y sobre m 2 la fuerza, también ficticia, m 2 «. 
Para que una polea fija se encuentre en equilibrio, las 
fuerzas que actúan sobre el hilo, hacia ambos lados, deben 
ser iguales, por lo cual se tendrá: 



de donde 


m i g — M] ci = a, 


a 


m g . 

m i + m> 


[ 6 ] 

[7] 


La fuerza de tensión que soporta el hilo que vincula a 
ambas masas está dada por cualquiera de ambos miembros 
de la igualdad [6], por lo cual, teniendo en cuenta la [7], 
resulta para dicha fuerza: 

_ mi m > 

F - — — — g. 

m 1 -f- m .. 


[8] 




PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 


287 


3) Máquina de Atwood. — En el caso de la figura 
165, las fuerzas reales que actúan de uno y otro lado son 
respectivamente (M + m) g y M g, siendo las ficticias 
(M-j-m) a y M a, dirigidas en sentido opuesto al de la 
aceleración a, con que se mueve cada masa, por lo cual : 

(M + m) g — - (M + m) a = M g + M a [9] 


de donde: 


m g _ 
2 M + m 


[ 10 ] 


A 1 


(M+mJc 
1 M 


y la fuerza F, de tensión del hilo, está dada por cualquiera 
de ambos miembros de la [9]. 

Si se plantea el mismo proble- f ^ 

ma sin indicar de antemano cuál 
de las dos masas, Mi y M 2 , es ma- 
yor, figura 166, al alumno le pare- 
ce que si no se le da ese dato no 
puede resolver el problema. Debe 
hacérsele notar que puede elegir a M 
voluntad el sentido del movimien- Ma 
Lo, y si, después de elegido ese sen- 
tido, el valor que obtiene para la Mg 
aceleración es positivo, ello signi- i 

Cica que el sistema se moverá real- T^M+mjg 

inente en el sentido elegido. Si, en Fig . 165 . 

cambio, el resultado es negativo, el 

sentido del movimiento será opuesto al sentido elegido. 

Si en el caso de la figura 166 suponemos que la polea 
se mueve en sentido opuesto al de las agujas del reloj, 
siendo la aceleración a, la fuerza ficticia actuante en Mi 
estará dirigida hacia arriba, y la actuante en M 2 , hacia 
iilmjo, por lo que: 


Mi g — Mi a = M -2 g M -2 a, 


de donde: 


Mi — M, 

Mi -|- M, 0 


a 


tu] 



288 


CONCEPTO DE MASA 



Qm, 

M,Q 

Fifí. 166 . 


Si Mi es mayor que M 2 , a es posi- 
tivo, y la polea se moverá realmente 
en el sentido opuesto al de las agujas 
del reloj ; en caso contrario, siendo 
M-t < M- 2 , a sería negativo, y ello sig- 
nificaría que el movimiento se produ- 
ce en el otro sentido. La fuerza de 
tensión que soporta el hilo está dada 
por la expresión 


F 


M -2 g M -2 a = 


2 Mi M s 
Mi + M; g ‘ 
[ 12 ] 


4) Doble plano inclinado. — En un sistema como 
el representado en la figura 167, comenzamos por elegir a 
voluntad el sentido del movimiento. Supongamos, por ejem- 
plo, que el carro mi baje y el m 2 suba. El sistema de las 
fuerzas í»i g, m x a, m 2 g y m- 2 a debe estar en equilibrio 
(agregando a ellas, desde luego, las reacciones de los víncu- 
los). Tratamos el problema estáticamente, y siendo las 
componentes de las fuerzas w, g y m 2 g paralelas a los res- 
pectivos planos inclinados, iguales, respectivamente, a 


mi g sen a y m-, g sen ¡3, 


la condición de equilibrio será, por tratarse de una polea 
fija, que la fuerza actuante de ambos lados sea igual, por 
lo que: 

W] g sen « — i»iíi = m- 2 g sen ¡3 + m ■> a, [13] 


de donde: 


m , sen a — m-, sen S 

a = = g. 

mi + m-, 


[14] 


La fuerza de tensión que soporta el hilo es, de acuerdo 
a [13]: 


F — m-, g sen ¡3 -j- m-< a, 


que teniendo en cuenta a [14], se convierte en: 



PRINCIPIO DE D'ALEMBERT 


289 


_ . mi á , _ 

F = ¡ (sen « + sen /8) g. [15] 

TOi + m» L 

Cualquiera de los problemas del tipo de los que hemos 
resuelto hasta ahora aplicando el principio de D’Alembert, 
hubiera podido resolverse también dividiendo la “fuerza 
total” aplicada al sistema por la “masa total puesta en 
movimiento” . El dividendo 
de la [14] es, afectivamen- 
te, la fuerza total actuan- 
te sobre el sistema, dada 
por la diferencia entre las 
componentes paralelas a 
las longitudes de los pla- 
nos inclinados de los pesos 
de los carros situados en 
ambos. Dicha fuerza f es: 

/ = m 1 g sen a — m-> g sen /?, 

y la masa total puesta en movimiento es m x + m->. 

Observemos también que de la [14] se obtienen como 
casos particulares la [4], la [7] y la [11]. 

Para obtener la [4] basta suponer m 2 = O; la [7] co- 
rresponde al caso a = 0° y p = 90°, y la [11] a a = /? = 90°. 

5) Polea móvil. — Sea un sistema como el de la fi- 
gura 168. En este caso, ya no es posible calcular la ace- 
leración dividiendo “la fuerza actuante sobre todo el sis- 
tema” por “la masa total puesta en movimiento”. El sis- 
tema se encuentra en equilibrio cuando la masa M x es 
igual a la mitad de la masa M 2 , por lo cual la “fuerza ac- 
tuante”, /, sería el exceso del peso de la masa Mi con res- 
pecto a la mitad del peso de la masa M<>, o sea: 

/ = Mi g — * M 2 g = (Mi — \ M,) g. [16] 



290 


CONCEPTO BE MASA 


La masa total puesta en movimiento es -Mi + Af 2 , pero 
aquí la masa M x se mueve con cierta aceleración, y la M*, 
con otra. Como en el mismo tiempo en que M 1 desciende 

cierto espacio e, la masa M 2 asciende en un trayecto — 

Lt 

(siendo los cordones que abrazan la polea móvil paralelos), 
la aceleración de M 2 será, en valor absoluto, igual a la 



Fie. 168 . Fír. 16 ». 


mitad de la aceleración de Mj. Llamando ai a la acelera- 
ción de la masa M u y a> a la de la masa M 2 , se tendrá: 

a 2 = i a,. [17] 

Suponiendo que la masa M x descienda con la acelera- 
ción a 1( la fuerza ficticia que se supondrá actuando sobre 
ella, igual a Mi a u estará dirigida hacia arriba, en tanto 
que la fuerza ficticia M-> a->, que se supondrá actuando so- 
bre M 2 , se ejercerá hacia abajo. De acuerdo con la ley de 
equilibrio de la polea móvil, deberá cumplirse que: 

M l g — M l a, = (M 2 g + M 2 a 2 ) . [18] 


De ésta y de la [17] resulta: 




PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 


291 


— 0 

at = i ’ [19] 

Mi + 4- M; 

4 


«2 = í [20] 

2M,+— M, 


Se ve, examinando estas fórmulas, que ni la acelera- 
ción «i ni la a 2 están dadas por el cociente entre “la fuer- 
za actuante” y la “masa total puesta en movimiento”. 

En cuanto a la fuerza de tensión del hilo, está dada por 
cualquiera de ambos miembros de la igualdad [18], re- 
sultando así para ella, la expresión , 


F = 


3 MíM -2 
4 M x + M ¿ 


[ 21 ] 


6) TORNO. — Admitiendo que la masa M u figura 169, 
baje con la aceleración a u y la M-> suba con la aceleración 
a - 2 , deberá cumplirse que 


«i __ r, ; 

a -2 r-. 


[ 22 ] 


y además, que el momento respecto al eje de giro de las 
fuerzas reales más las ficticias se igualen, por lo que 

(M x g — Mi ai) r, = (M-, g + M ■, a-,) r> . [23] 

De estas expresiones se obtiene: 


a { 


Mi Ti — M-> r-2 
Mi r,- + r ' {h 


[24] 


Mi Vi — M -2 r-. 
Mi r¡- + M -2 r- 2 - 


r -2 g ■ 


[25] 



292 


CONCEPTO DE MASA 


Cabe observar que si r x — r 2 , se obtiene, de cualquiera 
de estas expresiones, la aceleración de la máquina de At- 
wood. 



7) Torno y plano inclinado. — En un sistema como 
el de la figura 170, vale, además de la [22], la expresión 

(Mig sen a — M, aO n = ( M ■> g sen ¡3 + M« a- 2 ) r >, 

[26] 


de donde: 

«i 

a-. 


M\ rj sen a — M 2 r- 2 sen ¡3 
M r re + M-> r- 2 - 

M i r, sen a — M-> r 2 sen ¡ 3 
M-, r{- + M - 2 rJ 


n g, 


r-i g . 


[27] 

[28] 




Es aconsejable proponer a los alumnos, para su reso- 
lución, antes del problema a que se refiere la figura 170, 
los que se indican en las figuras 171 y 172, que, desde 
luego, se pueden obtener como casos particulares de aquél. 



SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD 


293 


Sistemas con dos grados de libertad 


A los alumnos más adelantados, o más entusiastas, 
pueden proponérseles problemas del tipo siguiente: 

8) Hallar las aceleraciones a u a 2 y a 3 de las masas 
M i, M 2 y M 3 , vinculadas en la forma que muestra la fi- 
gura 173. En los problemas anteriores, a un desplaza- 
miento cualquiera de una de las masas correspondía un 
desplazamiento bien determinado de la otra, y como ade- 
más dichos desplazamientos eran lineales, el número de 
grados de libertad era sólo uno. 

En el presente caso, si lla- 
mamos Xi a un desplazamiento 
virtual, imaginado, de la masa 
Mi y x-¿ a otro desplazamiento, 
también virtual, de la masa M», 
el desplazamiento de la masa 
M;t queda perfectamente deter- 
minado. Si consideramos a Xx y 
x-, positivos, cuando las masas 
M t y M 2 descienden, y contamos 
en cambio positivamente el des- 
plazamiento x-¿, hacia arriba, de la masa M¡,, se tendrá, 
por la naturaleza del mecanismo, que 



3 » 


x x + X-2 

2 


[29] 


Relacionados los tres desplazamientos virtuales, x u 
Xa y x s , por una sola ecuación (la [29]), dos de ellos pue- 
den considerarse independientes, y de ahí que el sistema 
tenga dos grados de libertad. De la [29] resulta, para 
ln aceleración a 3 , de la masa M 3 , la expresión 


ct,x + a« 


«3 


2 


[30] 



294 


CONCEPTO DE MASA 


siendo Ci y a-, las aceleraciones con que se mueven las ma- 
sas Mi y M 2 . 

De acuerdo con el principio de D’Alembert, podremos 
escribir las relaciones siguientes: 

-y (Af a g + M, o») = Mj g — Af, a, [31] 

Y (Af* .9 + Af, «a) = M-,g ■ — Af,. o, . [32] 



F¡r. 174. F¡k. 175. Fifs. 176. 


Resolviendo el sistema de estas tres ecuaciones, se 
obtiene : 


4 Mi M, + MiM-¿ — 3 Af 2 Af s 
4M,M, + M, Afa + M. ¿ Afa ' ' 


[33] 


4 Af t Af a + Af 2 Afa — 3 Af , Af , 
4 Afi Af 2 “H Afi Afa “f- Afa Afa 


[34] 


4 Aíj Af 2 — Af ! Af 3 — Af 2 Af 3 
4 Af j Af 2 + Aíj Afa + Aí 2 Af 3 


[35] 


Como caso particular, puede lograrse que cualquiera 
de las tres masas permanezca en reposo mientras las 


APLICACIÓN A LAS ROTACIONES 


295 


otras dos se mueven, lo que se presta para ser verificado 
experimentalmente de modo sencillo. Así, por ejemplo, 
para que la masa M z permanezca en reposo, basta con ha- 
cer que se cumpla 

4 Mi M, = M x M 3 + M-2 M n . 

Siendo : 

M x = 6 ; M -2 = 3 ; yM, = 8 

se obtiene : 



Fík. 177. Fisr. 178. 


En forma análoga se podrían calcular las aceleraciones 
de cada una de las masas de sistemas análogos a los re- 
presentados en las figuras 174 a 178. 


Aplicación a las rotaciones 

La forma más natural y más sencilla de introducir la 
noción de momento de inercia se logra por aplicación di- 
recta del principio de D’Alembert. 

Si suponemos un cuerpo rígido, que pueda girar alre- 
dedor de un eje O (fig. 179), considerando un cilindro 
coaxial con dicho eje, unido al cuerpo, bastará ejercer 
una fuerza F sobre una cuerda arrollada al cilindro para 



206 


CONCEPTO DE MASA 


producir en el cuerpo un aumento constante de su velo- 
cidad angular. 

Siendo y la aceleración angular de giro, la aceleración 
tangencial a! de un punto de masa ra,, situado a la dis- 
tancia r, del eje, será: 


a i = y ri, [36] 

y análogamente para los distintos puntos en que puede 

considerarse descompues- 
to el cuerpo. Si considera- 
mos aplicadas a cada punto 
las fuerzas ficticias m x a u 
m 2 cu, etc., de acuerdo 
con el principio de D’Alem- 
bert, el sistema constitui- 
do por la fuerza real F y 
las ficticias deberá estar 
en equilibrio, por lo que el 
momento de F, respecto al 
eje, deberá ser igual a la 
suma de los momentos de las fuerzas m x m., a>, etc., 
o sea: 

F fí = ???| o, r, + m- 2 cu r., -f . . . 
que por [36] se convierte en: 

F R = y (m x r\ + m 2 r- 2 . . . ) = / y 



siendo : 


I = 2 m¡ ri- 


el momento de inercia del cuerpo respecto al eje. Como 
F R es el momento M de la fuerza aplicada, se obtiene, 
así: 


y 



[37] 


En esta demostración, parecería se ha omitido agregar 



APLICACIÓN A LAS ROTACIONES 


297 


las fuerzas ficticias correspondientes a la aceleración cen- 
trípeta de cada punto. 

Estas fuerzas ficticias, que no son otras que las fuer- 
zas centrífugas, pasan todas por el eje de giro y, en con- 
secuencia, se anulan por la reacción del mismo, ya que 
se trata de la rotación de un cuerpo rígido. 

Observación: En el cálculo de la aceleración de las 
masas en movimiento de los sistemas que hemos conside- 
rado más arriba, se ha supuesto 
despreciable la masa de las po- 
leas giratorias* Son muchos los 
alumnos que experimentan una 
desagradable sensación cuando 
se hace tal suposición, y quisie- 
ran saber no sólo cómo influye 
la masa de las mismas, sino la 
manera de hacerlas aparecer 
en el cálculo. El principio de 
D'Alembert señala, también 
aquí, el camino directo para lo- 
grar tal objetivo. 

Calculemos, a título de ejem- 
plo, siguiendo este camino, la 
aceleración de la máquina de Atwood, teniendo en cuenta 
la polea de radio R (fig. 180). 

La aceleración angular y que adquiere la polea, será 

a = y R f 

y un punto de la misma, de masa m lf situado a la distan- 
cia Ti del eje de giro, adquirirá una aceleración tangencial 
<i\ tal, que: 

a 

ci i = y n = — n . 

Además de las fuerzas reales M x g y M 2 g, y las ficti- 
cias Mi a y M 2 a y cuyo brazo de palanca es R , debemos con- 
siderar las fuerzas ficticias wii a,, m 2 a> ..., cuyos bra- 




298 


CONCEPTO DE MASA 


zos respectivos son r u r 2 , ... La condición de equilibrio 
da: 

{M x g — M Y a) R = ( M 2 g + M>a) R + m, a, r, + 

-|- a 2 r > -[- ... 

o sea: 

(M, g — Mi a) R = (M 2 # + M 2 a) R + 
y(Wi rr- -h m 2 r.r + . . .) ; 

y llamando / al momento de inercia de la polea respecto 
al eje, se obtiene: 

a (M l R + M,R + -£-) = (Ai, — M 2 ) flr 
de donde: 

M,— M-» 

a = — y - flf . 

+ M 2 + — 

Naturalmente que en la enseñanza media no podrá 
darse todo lo que aquí hemos consignado respecto al prin- 
cipio de D’Alembert. Bastará con elegir dos o tres ejem- 
plos sencillos, pero puedo asegurar, de acuerdo con mi ex- 
periencia personal, que el profesor será el primer asom- 
brado al ver la facilidad con que los alumnos captan y 
aplican dicho principio, cuyo contenido es posible que a 
él mismo, en su hora, le haya costado no poco esfuerzo 
descifrar. 


Rozamiento 

En todos los cálculos que preceden se ha supuesto 
nulo el rozamiento, por lo cual, si se desea hacer un expe- 
rimento cuantitativo, para verificar experimentalmente 
alguna de las fórmulas halladas, se encuentra que los re- 
sultados observados pueden diferir bastante de los pre- 
vistos. Se subsana este inconveniente agregando una pe- 



RECAPITULANDO 


299 


queña pesa adicional, que compense el efecto del rozamien- 
to. Así, por ejemplo, si se trata de la máquina de Atwood, 
a una de las pesas se agrega una pequeña sobrecarga, que 
puede estar constituida por un trozo de lata, que se va 
recortando poco a poco, hasta lograr que su peso apenas 
alcance, por sí solo, a producir el movimiento del sistema. 
Esta pesa adicional, puesta sobre la pesa que descenderá 
durante el experimento, no significa ninguna “trampa" 
que deba ocultarse a los alumnos, sino que, por el contra- 
rio, conviene que ellos se enteren de su existencia y ob- 
jeto. 

Si se trata de un carrito que se hace deslizar por un 
plano inclinado, de la inclinación del plano deberá descon- 
tarse la inclinación correspondiente al ángulo de roce, y 
si se quiere obtener el valor de la aceleración de la gra- 
vedad, observando la aceleración de caída a lo largo 
del plano, no habrá que olvidar el efecto producido por 
el rodar del cuerpo, efecto del que ya nos hemos ocu- 
pado (Véase p.ág. 152). Las fórmulas que allí hemos ob- 
tenido se deducen también muy fácilmente aplicando el 
principio de D’Alembert. 


Recapitulando 

En lo que precede hemos abogado por que se intro- 
duzca en la enseñanza media el principio de D’Alembert, 
no tanto por su extraordinaria fecundidad, como por la 
claridad que lleva aparejada su introducción. Como lo 
hace notar Planck, en su Tratado de mecánica, el princi- 
pio de D’Alembert no contiene en sí mismo nada que no 
esté contenido ya en los principios de la dinámica de New- 
l.on, y sin embargo, merece bien el nombre especial que 
se le asigna. Matemáticamente, consiste en una triviali- 
dad, pues de la ecuación de Newton, fuerza igual a ma- 
sa X aceleración, 


F = ma, 



300 


CONCEPTO DE MASA 


se obtiene : F — m a = 0, 

lo que significa que si a la fuerza F, actuante, se le resta 
una fuerza m a, igual al producto de la masa del cuerpo 
por la aceleración que adquiere, esta diferencia es igual 
a cero, o sea, el sistema de esas dos fuerzas (F — ma) 
estaría en equilibrio. La simple trasposición de un tér- 
mino permite efectuar el salto de la dinámica a la está- 
tica. 



IX 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


Introducción. — Cociente y suma de temperaturas . — Diversas 
substancias termométricas. — Los gases como substancias termo- 
métricas. — Temperatura legal. — Restricciones en la elección de 
la substancia termométrica. — Dimensiones de la temperatura. — 
El gas ideal. — Escala logarítmica. — Temperatura termodinámi- 
ca. — La y las temperaturas. — Invariancia y ordenamiento. — 
¿Qué es una magnitud ? — ¿Qué significa sumar magnitudes? — 
Temperatura calorimétrica. — Arbitrariedad de la escala. — La 
clave de la confusión. — Temperatura y tiempo. — Conclusión. 


Introducción 

En lo que al concepto básico de temperatura se re- 
fiere, no son precisamente los alumnos los que se ven en- 
vueltos en las mayores confusiones, sino que, por el con- 
trario, aparecen ligados a la trama falaz de las mismas 
enjundiosos profesores y eximios tratadistas. 

Existen autores que afirman que la temperatura no 
es una magnitud física. Entre nosotros, el representante 
más conspicuo de esa escuela que niega a la temperatura 
el carácter de magnitud física, es el doctor Teófilo /snar- 
(IL A su nombre pueden agregarse los de los doctores 
José Collo y Julio Rey Pastor . Entre los clásicos tratados 
de Física que sostienen lo mismo, citaré solamente el de 
If. Olivier. 

* En cambio, afirman explícitamente que la temperatu- 
ra es una magintud física, entre otros muchos, los siguien- 



302 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


tes autores: Max Planclc, G. H. Bryan, A. Haas, R. Gans, 
etc. Algunos de ellos consideran a la temperatura como 
el prototipo de las magnitudes escalares. 

De esta insólita situación no se han librado, tampoco, 
los textos elementales dedicados a la enseñanza media, 
lo que ha ocasionado un estado de desconcierto improduc- 
tivo entre el cuerpo de profesores. Algunos, en efecto, en- 
señan, y los alumnos repiten: 

“Para el estado térmico de los cuerpos, no es posible 
definir la suma; el estado térmico no es, en consecuen- 
cia, susceptible de medida. La temperatura no es, por 
tanto, una magnitud física, como lo son, por ejemplo, la 
longitud, el tiempo, la masa, el volumen, etc.”. 

Otros, en cambio, enseñan: 

“Se llama temperatura de un cuerpo a lo que indica 
un termómetro (construido de tal y tal manera, y gra- 
duado convencionalmente de tal y tal otra) , cuando dicho 
termómetro se pone en contacto con el cuerpo. Si el ter- 
mómetro en contacto con A indica 15 9 C, y en contacto 
con los cuerpos X e Y indica, por ejemplo, 10° C y 5 o C, 
digo que la temperatura de A, en esa escala, es la suma 
de las temperaturas de A y de Y”. 

Frente a semejante estado de cosas, lo primero que 
cabe pensar es que se trata aquí, una vez más, de una cues- 
tión de palabras, de terminología, y no de una cuestión 
de fondo. Anotemos, al margen, que las meras cuestiones 
de palabras son las que suscitan siempre las controversias 
más enconadas, debido, simplemente, a que los que dis- 
cuten no se entienden : hablan idiomas diferentes. 

Sin embargo, en la ciencia, y en particular en la Fí- 
sica, las cuestiones de palabras deben ser superadas me- 
diante convenciones y definiciones adecuadas. Gran par- 
te del trabajo científico no es otra cosa que la creación 
de un lenguaje científico. 

Analizaremos en lo que sigue, los argumentos esgri- 
midos por los que afirman que la temperatura no es una 
magnitud física, y veremos, sin lugar a duda alguna, que 
dichos argumentos carecen por completo de consistencia. 



COCIENTE Y SUMA DE TEMPERATURAS 


303 


Cociente y suma de temperaturas 

Comenzaremos por transcribir aquí lo que se dice al 
respecto en el Tratado de Física de Isnardi-Collo (tomo de 
Calor), 1925. En la página 9, después de haber dicho en 
la 7 que no es posible establecer un sistema de medidas 
para los estados térmicos, por no ser posible la definición 
de suma de dos de dichos estados, se lee: 

“Conviene insistir en que los números (temperaturas) 
que corresponden en una cierta escala a los diversos esta- 
dos térmicos, no expresan medidas de los mismos. Para 
convencernos, basta calcular la relación de las temperatu- 
ras correspondientes a dos determinados estados térmi- 
cos, Ai y A‘,, en diversas escalas (centígrada, t y Fah- 
renheit, t') : 

U = 20° C; h' = 68° F; 

U = 40° C; £•/ = 104° F. 

“La segunda temperatura centígrada (U) es doble de 
la primera (t,) ; pero sus correspondientes en la escala 
de Fahrenheit no están en la misma relación, porque ni 
unas ni otras expresan medidas de los estados térmicos 
correspondientes. La relación de dos magnitudes es, por 
el contrario, independiente del sistema de medidas en que 
se expresan”. 

Se advierte en seguida que si el cociente íi/t 2 es dife- 
rente del cociente ti'/t/, ello se debe, simplemente, a que 
los ceros de ambas escalas no coinciden. Si al “estado al- 
timétrico" de un punto (cumbre de una montaña) corres- 
ponde una altura de 6000 m, respecto al nivel del mar, y 
siendo la altura de otro punto respecto al mismo nivel 
igual a 3000 m, el cociente de ambas alturas es igual a 2. 
Si el nivel de origen es ahora la superficie de un lago si- 
lbado a 2000 m de altura con respecto al nivel del mar, 
las alturas respecto al nivel del lago serán, respectiva- 
mente, iguales a 4000 m y 1000 m. En las temperaturas 



304 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


centígradas, el cero corresponde, por convención , al hielo 
en fusión. En cambio, a este estado térmico le corres- 
ponde en la escala Fahrenheit el grado 32 : 32° F. Si re- 
ferimos al mismo origen las indicaciones de ambas esca- 
las, la relación se conserva. Restando 32° F a las tempe- 
raturas t' } y t'< 2 del ejemplo, se tiene: 

104° F — 32° F _ 40° C 0 
68° F — 32° F 20° C ~ ' 

Llama enormemente la atención que esta circunstancia 
trivial quiera hacerse valer como argumento para negar 
a la temperatura el carácter de magnitud. Tanto más, 
cuanto en la fórmula establecida y utilizada para calcular 
los datos del ejemplo: 

C _ F — 32° F 
100° C ” (212"— 32)° F ’ 

se utiliza precisamente la igualdad del cociente de dos tem- 
peraturas, expresadas en ambas escalas, pero referidas al 
mismo origen. Parece, pues, que la elección arbitraria y 
puramente convencional del origen fuera una razón para 
negar a la temperatura el carácter de magnitud. 

Cuando Celsius resolvió indicar con 0 o la temperatura 
del hielo en fusión, procedió con la misma libertad con 
que procedemos nosotros todos los días, al tomar un pun- 
to arbitrario sobre el trazo representativo de una recta, 
haciéndole corresponder al mismo el número cero. Si se 
diera el caso de que, al hacer esa operación, un alumno 
nos preguntara cómo sabemos que el cero corresponde a 
ese punto y no a otro situado más a la izquierda o más a 
la derecha, lo mejor que podríamos hacer sería relatarle 
la divertida anécdota que refiere el físico Jordán 1 al tra- 
tar sobre la libertad que tiene la ciencia para designar y 
definir los conceptos que utiliza. La anécdota es la si- 
guiente: Durante una erudita conferencia de Astronomía, 


1 P. Jordán, Über den positivischen Bcgrif drr WirkUchkeit, 
en N a tu r%o isf¡ enschaften, 1934, pág\ 485. 



COCIENTE Y SUMA DE TEMPERATURAS 


305 


uno de los oyentes se levanta y pregunta: “Señor profe- 
sor: he comprendido cómo se hace para determinar la 
masa, la distancia, el volumen, etc., de la estrella de que 
usted nos ha hablado; pero, ¿podría decirnos cómo han 
hecho los astrónomos para averiguar que la tal estrella se 
llama Sirio ?”. 

Después de haber hecho corresponder el número cero 
a un punto arbitrario de la recta de que hablábamos, nos 
falta todavía una unidad de longitud si deseamos expresar 
la distancia a que se encuentra del origen un punto cual- 
quiera de la recta. Es necesario una nueva convención. 
Podemos tomar sobre la recta otro punto arbitrario, y 
hacerle corresponder un número también arbitrario, o to- 
mar como unidad la distancia que separa dos trazos mar- 
cados sobre una regla, etc. Pero no bastan todavía estas 
convenciones. Si deseamos efectuar medidas reales, de- 
bemos postular la existencia del cuerpo rígido, y decir: 
“Esto es, por convención, un cuerpo rígido 

Bien; sean sobre esa recta dos puntos P, y P L >, cuyas 
distancias al origen O son: 

d x = 5 cm; d 2 = 10 cm. 

Si un punto O' dista de O 4 cm, las distancias de P 1 
y P 2 a O' son : 


di = 1 cm; d 2 = 6 cm. 

Se tiene, entonces: 
do 

-~r~ = 2; di + d¿ =-- 15 cm; 

di 

~r~r = 6 ; di + d> — 7 cm. 
di 


Ante todo, pedimos disculpas por la elementalidad de 
estos ejemplos. Nos obliga a ello otro argumento que se 
pretende hacer valer para negar a la temperatura el ca- 

i 



306 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


rácter de magnitud. Este nuevo argumento no difiere 
esencialmente del anterior. Transcribimos a continuación 
lo que al respecto dice el doctor Rey Pastor en su Análisis 
algebraico (1922, página 196) : 

“Sin embargo, no puede decirse que una temperatura 
sea suma de otras dos, ni un nivel suma de otros. A pri- 
mera vista ocurre afirmar que tal sucede cuando el nú- 
mero que marca el termómetro (o la cota, en el ejemplo 
del nivel) es suma de los otros números, pero esta defini- 
ción no es independiente de la escala adoptada, y contiene 
por tanto, un elemento arbitrario, extraño al concepto fí- 
sico. (Subrayado por nosotros). Si, por ejemplo, un cuer- 
po marca en la escala centígrada 15°, y otros dos cuerpos 
marcan 5 o y 10°, parece que la temperatura de aquél es 
suma de las de éstos, pero si ahora tomamos un termóme- 
tro con escala Fahrenheit, cuyo cero es distinto del cen- 
tígrado, los números que señala son respectivamente 59, 
41, 50, y el primero ya no es suma de estos dos. Habría, 
pues, que apelar a una escala absoluta, y lo mismo en el 
caso de los niveles. En cambio, si el peso o el volumen de 
un cuerpo es suma de los pesos o volúmenes de otros, este 
concepto es independiente de la unidad que se adopte para 
medirlos”. 

Observemos, antes de seguir adelante, que si restamos 
32° F a las temperaturas del ejemplo, se tiene : 

(59° F — 32° F) = (41° F — 32° F) + (50° F — 32° F) 

Es lamentable la confusión en que se ha incurrido, al 
no distinguir entre unidad de medida y origen de la es- 
cala adoptada. El grado Fahrenheit (unidad en la escala 
F) es igual a 5/9 del grado centígrado. Además, ambas 
escalas difieren en el origen. De modo que si una tem- 
peratura es suma de otras dos, aquélla sigue siendo igual 
a las sumas de éstas, cualquiera sea la unidad adoptada; 
pero, claro está que si se cambia el origen, de lo que se 
habla es ahora de otra cosa. 

Cuando decimos que tal cuerpo tiene una temperatura 
de 15° C, eso significa que la diferencia entre la tempe- 



COCIENTE Y SUMA DE TEMPERATURAS 


307 


ratura de ese cuerpo y la del hielo en fusión es igual a 
15/100 de la diferencia de temperatura entre el agua en 
ebullición y el hielo fundente. Si para el mismo cuerpo, 
un termómetro con escala Fahrenheit indica 59° F, ello 
significa que la diferencia de temperatura entre ese cuer- 
po y cierta mezcla frigorífica es igual a 59/212 de la di- 
ferencia de temperatura entre dicha mezcla y el agua en 
ebullición. Como el termómetro Fahrenheit marca en el 
hielo fundente 82° F, también en la escala Fahrenheit se 
cumple que la diferencia entre la temperatura del cuerpo 
y la del hielo en fusión es igual a 15/100 de la diferencia 
de temperatura entre el agua en ebullición y el hielo fun- 
dente : 

59 — 32 _ 15 
212 — 32 - 100 ' 

El “elemento arbitrario, extraño al concepto físico”, 
de que habla Rey Pastor es, nuevamente aquí, la elección 
del origen. El elemento es arbitrario (convencional), pe- 
ro no extraño al concepto físico. Para hablar con sentido 
de la altura de un punto, debo elegir arbitrariamente, con- 
vencionalmente, el nivel cero. Para relacionar diversos 
instantes de tiempo, se elige convencionalmente un cero 
arbitrario, que en nuestra cronología coincide con el l 9 de 
enero del año del nacimiento de Cristo. Los instantes de 
tiempo de determinado día: 

6 h p. m. y 3 h p. m., 

corresponden, con otro origen corrido en doce horas, a los 
instantes 

18 h y 15 h. 

Nadie ha de decir por eso que el tiempo no es una 
magnitud física, ya que figura como magnitud fundamen- 
tal en todos los sistemas de medidas. 

Agreguemos todavía otro ejemplo: El ‘‘estado de mo- 
vimiento ” de un punto en determinado instante, se mide 
por la velocidad del punto referida a determinado siste- 



308 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


ma de coordenadas. No tiene sentido hablar de “la” ve- 
locidad de un punto si no se la refiere a determinado sis- 
tema. Sean, por ejemplo, los punto P 1 y P 2 , que se mue- 
ven sobre la misma recta, en el mismo sentido, y cuyas 
velocidades, con respecto a un sistema S, son: 

Vi = 20 m/seg; v 2 = 10 m/seg. 

Respecto a otro sistema S', que se desplaza con res- 
pecto a S, sobre la misma recta, en el mismo sentido, con 
la velocidad de 5 m/seg, las velocidades de los mismos 
puntos serían (según la mecánica clásica) : 

Vi = 15 m/seg; vS = 5 m/seg. 

En el sistema S, la velocidad de Pi es doble de la de 
P) t cualquiera sea la unidad en que se mida la velocidad. 
Pero la relación entre ambas velocidades, claro está que 
varía al variar el sistema al cual aquéllas se refieren. 

Cuando se elige una determinada escala termométri- 
ca, para expresar con ella una temperatura, se ha elegido 
simultáneamente la unidad de medida y “el sistema” de 
referencia, que en este caso es la elección del punto cero. 
Obsérvese que los ejemplos transcriptos de Isnardi-Collo 
y Rey Pastor no podrían haberse formulado comparando 
los datos de la escala centígrada con la Réamur, que di- 
fieren solamente en la unidad de medida y no en el origen. 

Se sobrentiende, en todo lo que precede, que se trata 
de diferentes escalas, pero de una misma substancia ter- 
mométrica. 

Los argumentos que hemos transcripto hasta ahora 
prueban solamente que el cero de la escala termométrica 
es puramente convencional, como lo es el nivel del mar, 
o cualquier otro, para definir una altura; como es con- 
vencional la elección del meridiano de Greenwich para 
expresar las longitudes geográficas, o el potencial eléctrico 
cero de la Tierra, etc., etc. 

Agreguemos aquí, antes de seguir ocupándonos de la 
temperatura, que la distinción que hace Rey Pastor, se- 



COCIENTE Y SUMA DE TEMPERATURAS 


309 


gún la cual el volumen o la masa serían propiamente mag- 
nitudes, porque no requieren de la elección convencional 
de un cero, en tanto que temperatura y nivel no lo son 
(ni el tiempo, ni la distancia, ni el potencial, etc., agre- 
gamos nosotros), es más aparente que real, y conduce a 
resultados tan absurdos como el siguiente: No tendría 
sentido decir, si se acepta ese punto de vista, que la masa 
de un cuerpo es la suma de las masas de sus partes, ni 
que el volumen es suma de partes de volumen. Para que 
se vea que es así, y fijar ideas, imaginemos que el cuerpo 
en cuestión es una columna cilindrica, dispuesta vertical- 
mente. Consideremos planos horizontales, que seccionen 
la columna en puntos cualesquiera de la misma. Elijamos 
como plano cero a uno cualquiera de ellos, y numeremos 
los demás de modo que dichos números expresen, en de- 
terminada unidad, la masa de columna comprendida en- 
tre el plano considerado y el plano de referencia. Ten- 
dremos, por ejemplo: 

0 kg, 5 kg, 10 kg, 15 kg, ... 

A estos mismos planos, y en la misma unidad, corres- 
ponderían. eligiendo como plano cero otro situado más 
abajo : 

20 kg, 25 kg, 30 kg, 35 kg, ... 

Pues bien, si se acepta el criterio del doctor Rey Pas- 
tor, ni una ni otra escala expresarían medidas de las ma- 
sas de las porciones que limitan. Se ha introducido un 
“elemento arbitrario, extraño al concepto físico”, cual es 
la consideración del origen. 

“Si a primera vista ocurre afirmar 

15 kg = 5 kg + 10 kg, 

como en la otra escala, se tienen los “números” 35, 30 y 
25, no siendo 35 suma de los otros dos, etc., etc.”. 

Habría que apelar, dice el doctor Rey Pastor, a una 
escala absoluta. Ésta correspondería, en el ejemplo de la 



310 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


columna, al caso en que el plano cero pasara por la parte 
inferior de la misma. Se sigue de aquí que la masa de la 
columna sería suma de las masas de sus partes sólo cuan- 
do la división y la numeración se efectúa de cierta mane- 
ra. En los demás casos, como no tendría sentido sumar, 
no podría decirse lo mismo. El ejemplo de la columna es- 
tá realizado, en la prátcica, en la escala graduada mar- 
cada en los barcos, que indica el desplazamiento de los 
mismos. El cero de la escala corresponde, por lo general, 
a la línea de flotación del barco descargado. Si se blinda 
el barco, y se pinta junto a la vieja escala otra, con el 
cero más arriba, sería absurdo que se dijera, por esto, 
que ni una ni otra escala expresan medidas de la carga. 


Diversas substancias termométricas 

La pregunta acerca de si las indicaciones de un ter- 
mómetro expresan o no medidas de los estados térmicos, 
o de las verdaderas temperaturas de los cuerpos, es de 
larga data. No son los argumentos que he transcripto los 
que se hicieron valer para formular tal pregunta, sino 
otros. 

Hasta mediados del siglo pasado se aceptaba la teoría 
del fluido calórico. La temperatura de un cuerpo era algo 
así como la presión alcanzada por el flúido calórico con- 
tenido en el mismo. El verdadero termómetro, aquél que 
indicara “la” temperatura del cuerpo, tendría que haber 
sido algo así como un manómetro del flúido calórico. Pa- 
ra estos físicos, los termómetros comunes, de alcohol, mer- 
curio, aire, etc., no medían “la” verdadera temperatura 
de los cuerpos. Si se comparan entre sí las indicaciones 
de dos termómetros, graduados según la misma escala, 
pero de substancias diferentes, alcohol y mercurio, por 
ejemplo, se comprueba que sólo coinciden en los puntos 
fijos de la escala adoptada. Sea la escala adoptada la 
centígrada, y las substancias termométricas, S y S'. 

Exageraremos las diferencias que se observan con las 



DIVERSAS SUBSTANCIAS TERMOMÉTRICAS 


311 


substancias termométricas comúnmente empleadas, y su- 
pondremos que para los cuerpos A y B se obtienen los 
siguientes valores, expresados en escala centígrada: 


(A: 60° C 
8 ! B: 30° C 


6 (S') 


f A: 50° C 
l B : 35° C 


Según la substancia S, la temperatura de A es doble 
de la de B; según la substancia S', la relación es otra. Lo 
mismo ocurre con las sumas. 

Los físicos de antaño se preguntaban, entonces, cuál 
de los dos termómetros se aproximaría más en sus indi- 
caciones a la “verdadera temperatura” del cuerpo. Si 
identificamos esta “verdadera temperatura” de que se 
habla, con la presión P del flúido calórico, o suponemos 
que esa “temperatura verdadera” t sea una función lineal 
de P, en la escala centígrada la “temperatura verdadera” 
r estaría definida por la expresión: 


T = 



[ 1 ] 


siendo P 10 o la tensión del flúido calórico de los cuerpos que 
están en contacto con los vapores de agua en ebullición, a 
la presión normal, y P 0 la tensión del mismo flúido cuan- 
do los cuerpos se encuentran en contacto con hielo en fu- 
sión, también a la presión normal. Pero para que la de- 
finición [1] tenga sentido físico, sería necesario indicar 
un procedimiento para medir la tensión del flúido caló- 
rico. No seamos, por el momento, muy exigentes. Colo- 
quémonos mentalmente en el siglo pasado, dentro del mar- 
co de aquella teoría. 

Tenemos, además de la definición [1], termómetros de 
mercurio, de alcohol, de aire, etc. Las indicaciones 6 de 
un termómetro determinado, en escala centígrada, corres- 
ponden a la expresión: 


0 ---- 100 


V — Fo 
— V„ 


[ 2 ] 



312 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


Si el termómetro es de mercurio contenido en vidrio, 
Fico y V 0 expresan los volúmenes relativos del mercurio 
en ese vidrio, cuando el instrumento se encuentra en con- 
tacto con los vapores de agua en ebullición y hielo funden- 
te, respectivamente, y V expresa el volumen relativo del 
mercurio cuando dicho instrumento se coloca en contacto 
con determinado cuerpo. Dentro de este marco de ideas, 
claro está que 0 no expresa la “verdadera temperatura” r, 
definida por [1]* 

Aquella temperatura r no es medible , porque no se dis- 
pone de un instrumento para medir la tensión del flúido 
calórico. Ésta es la raíz histórica, que hace que se afirme, 
aun hoy, que “la” temperatura no es una magnitud medi- 
ble. En lo que respecta al ejemplo, lo que corresponde 
decir, como veremos con más detalle más adelante, es: 
Con respecto a la substancia S, como substancia termo- 
métrica, la temperatura de A es doble de la de B en escala 
centígrada; con respecto a la substancia S', la relación 
es otra. En el sistema escala-substancia S, la suma de las 
temperaturas de A y B es de 90° C, y respecto al siste- 
ma £', la suma es 85° C. 


Los gases como substancias termométricas 


En el año 1815, los físicos Dulong y Petit efectúan 
una serie de determinaciones, en las cuales comparan la 
marcha de un termómetro de mercurio con otro de gas. 
A unos 300° C, la diferencia entre ambos llega a ser de 
unos 10° C. Se preguntan, entonces, cuál de los dos indi- 
cará la “verdadera temperatura”. Se deciden por el ter- 
mómetro de gas, pensando que en los gases, por ser nula 
la fuerza de cohesión, la tensión del flúido calórico debe 
aumentar paralelamente con la tensión propia del gas. A 
partir de entonces, se prefiere como substancias termo- 
métricas a los gases. Las indicaciones de un termómetro 
de gas, en escala centígrada, tendrían la expresión : 



LOS GASES COMO SUBSTANCIAS TERMOMÉTR1CAS 


313 


t = 100 -- , [3] 

V loo — ■ V o 


donde p es la presión del gas cuando está en contacto con 
determinado cuerpo, teniendo los subíndices la misma 
significación que en [1] y [2] . Decir que t indica la tem- 
peratura verdadera, equivale, pues, a suponer que la pre- 
sión p del gas es proporcional a la tensión P del fluido 
calórico : 

P = KP, [4] 


siendo K una constante. 

Tal era lo que pensaban, aproximadamente, Dulong y 
Petit al decir que los termómetros de gas indicaban la tem- 
peratura verdadera. 

Otra circunstancia hacía, también, que se prefiriera a 
los gases como substancias termométricas : Todos los ga- 
ses llamados permanentes se dilataban en igual forma, o 
sea: las indicaciones de un termómetro de aire coincidían 
con las de otro de hidrógeno u oxígeno, etc. 

Los físicos de la primera mitad del siglo pasado po- 
dían considerar entonces que el termómetro de gas era, 
verdaderamente, la realización del “manómetro del flúido 
calórico”. Ellos indicaban la “verdadera temperatura” de 
los cuerpos, definida por [1]. 

Pero bien pronto se esfumaron estas ilusiones. A me- 
diados del siglo xix, merced a los trabajos de Mayer y 
Joule, la teoría del flúido calórico se hizo insostenible. 
Además, al aumentar la precisión de las medidas, se ob- 
servó que los diversos termómetros de gas coincidían en 
sus indicaciones sólo en los puntos fijos de la escala ele- 
gida. Es más, aún: si se tienen dos termómetros de un 
mismo gas, las indicaciones de ambos difieren entre sí si 
son diferentes las presiones del gas a 0 o C en ambos ter- 
mómetros. Aunque las divergencias entre los diversos ter- 
mómetros de gas son menores que en el caso de los líqui- 
dos, quedaba nuevamente indeterminada la noción de 
temperatura. Además, la definición [1] se mostraba aho- 



314 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


ra, al tenerse que abandonar la teoría del flúido calórico, 
como totalmente desprovista de sentido físico. 

Esto se expresa perfectamente bien en la página 64 
de la obra de Isnardi-Collo, en la forma siguiente: 

“La noción de temperatura tenía, por tanto, en la teo- 
ría del flúido calorífico, un significado anterior e inde- 
pendiente de toda determinación termométrica ; pero ac- 
tualmente, aquella cuestión carecería de sentido (§ 3?)”. 
Lo lamentable, según nuestro criterio, es que se nos remita 
al § 3?, en el cual se afirma, en la forma que ya hemos 
visto, que los estados térmicos no son susceptibles de me- 
dida. Pero subrayemos esto: La noción de temperatura 
adquiere sentido sólo después de las determináosles ter - 
mométricas. 


Temperatura legal 

A cada substancia termométrica elegida corresponde 
una temperatura diferente. Sólo coinciden las indicacio- 
nes de los distintos termómetros para 0 o C y 100° C. No 
basta, para definir la temperatura, la elección de los pun- 
tos fijos y de la escala. Es necesario, además, convenir 
en cuál ha de ser la substancia termométrica. La fórmu- 
la [2] debe considerarse, si V es el volumen relativo del 
mercurio, en cierta clase de vidrio, como la definición de 
la temperatura centígrada mercurio-vidrio . (Poincaré, 
Planck, etc.). 

Si en la [3] suponemos que se trata de hidrógeno, 
mantenido a volumen constante, siendo P 0 = 1 m de mer- 
curio, t es la llamada temperatura de hidrógeno, o tem- 
peratura legal, expresada en escala centígrada. 

Consideremos que nos encontramos en una época an- 
terior a la introducción hecha por lord Kelvin de la escala 
termodinámica de temperatura, definida en forma com- 
pletamente independiente del comportamiento particular 
de cualquier substancia. En este caso, no tendría absolu- 
tamente ningún sentido hablar de “la” temperatura de un 
cuerpo si no se la refiere a determinada substancia ter- 



RESTRICCIONES EN LA ELECCIÓN DE LA SUBSTANCIA TERM OM ÉTRIC A 315 

mométrica. ¿Diríamos, por ello, que “la” temperatura es 
un ente no susceptible de medida? En realidad, la pre- 
gunta carece de sentido, pues, para formularla, habría 
que definir previamente a esa “la” temperatura. 

Algo análogo ocurrió en otro capítulo de la Física. Los 
físicos buscaban poder hablar de “la” velocidad de un 
cuerpo “en el espacio”, de' la velocidad absoluta, sin tener 
que referirla a un sistema particular de coordenadas. La 
teoría de la relatividad mostró que carece de sentido la 
noción de velocidad absoluta. Pero no por eso la veloci- 
dad deja de ser una magnitud física. La velocidad de un 
punto, respecto a un sistema S, es V; respecto a otro sis- 
tema S' es V'. Lo que debemos tener presente es que la 
velocidad debe referirse siempre a determinado sistema de 
coordenadas. 

En lo que a la búsqueda de un absoluto físico se re- 
fiere, se ha tenido más suerte con “la” temperatura que 
con “la” velocidad. Pero aun suponiendo que no fuera 
posible definir una temperatura termodinámica, lo que 
habría que hacer sería tener en cuenta en cada caso cuál 
es la substancia termométrica elegida, y tratar de esta- 
blecer fórmulas o tablas que permitieran pasar de una 
temperatura a la otra. 


Restricciones en la elección de la substancia 
termométrica 

Hemos considerado en los párrafos anteriores, que las 
temperaturas se definen por las variaciones de volumen o 
de presión de ciertas substancias. En realidad, podría 
elegirse cualquier otro parámetro: resistencia eléctrica, 
índice de refracción, etc. Si el parámetro es g y la subs- 
tancia S, la temperatura en escala centígrada, para S 
según g, estaría definida por la expresión: 

t = 100 -1=11 


0100 — 9 o 


[ 5 ] 



316 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


En esta expresión, g es el valor que adquiere el pará- 
metro de la substancia S elegida, en “contacto térmico” 
y en “equilibrio térmico” con el cuerpo cuya temperatura 
se desea medir ; g 0 y g 10 o los valores del mismo parámetro 
cuando S se encuentra en equilibrio térmico, con hielo en 
fusión y agua en ebullición, respectivamente. Las condi- 
ciones que debe cumplir la substancia S y el parámetro g 
pueden enunciarse así: 

1°) Si dos cuerpos, A y B, están en equilibrio térmico 
entre sí, es necesario que al establecer el contacto y equi- 
librio término entre A y S, y B y S, el parámetro g ad- 
quiera el mismo valor, independientemente del sentido en 
que se efectúe la operación. 

De acuerdo con esto, no podríamos elegir como subs- 
tancia termométrica al hierro, y como parámetro a la per- 
meabilidad magnética del mismo, pues si A es un trozo 
de cobre, y B un imán, obtendríamos para la permeabili- 
dad valores diferentes en sucesivas mediciones, que de- 
penderían del orden en que se llevaran a cabo, y hasta de 
la posición de S. 

2 9 ) A dos valores iguales del parámetro g: 
ffi = 

cuando S se encuentra en equilibrio térmico con A y con 
B, debe corresponder un estado de equilibrio térmico en- 
tre Ay B. 

Esta condición, recíproca de la anterior, excluye, por 
ejemplo, la utilización del agua como substancia termo- 
métrica, si se elige como parámetro el volumen o la den- 
sidad de la misma. 

Por último, una vez elegida la substancia termomé- 
trica S y el parámetro g, es necesaria una convención pa- 
ra fijar los signos que figuran en la definición [5] . Si es : 

9ioo > 9 o, 

los signos serán los que figuran en [5] ; si, por el contra- 



DIMENSIONES DE LA TEMPERATURA 


317 


rio, fuera: o < (Jo 

se tomaría: 

¿ = 100 —“*? [ 5 '] 

í7o — 9 loo 


Esta convención corresponde a decir: la temperatura 
del agua en ebullición es mayor que la del hielo en fusión. 
Podría, desde luego, convenirse lo contrario: ello signifi- 
caría permutar el sentido corriente de las palabras “ca- 
liente” y “frío”. 

Además, una vez elegida la substancia S y el paráme- 
tro g de la misma, es necesario imponer ciertas condicio- 
nes a los demás parámetros 0i ; g 2 1 gs ; • • • que caracte- 
rizan la substancia S. No basta, por ejemplo, elegir el 
hidrógeno como substancia termométrica, y a la presión 
como parámetro g. Se debe, además, imponer cierta con- 
dición al volumen; por ejemplo, que permanezca constan- 
te, etc. En los termómetros de líquido, el parámetro g es 
el volumen (relativo), y la presión es variable: la tensión 
de los vapores del propio líquido. 


Dimensiones de la temperatura 

¿Qué dimensiones debemos atribuir a la t definida 
por [5] ? Las dimensiones de t coinciden con las dimen- 
siones que libremente podemos atribuir a la constante 
100, que figura en la misma. Algunos autores prefieren 
considerar a la temperatura como un número. Cuando 
proceden así, es que atribuyen a la constante 100 la di- 
mensión cero. Pero esto acarrea todas las dificultades in- 
herentes a los sistemas de unidades fundamentales insu- 
ficientes. Si en lugar del valor 100 para dicha constante, 
elegimos el valor 80, habremos definido, en lugar de los 
grados centígrados, los grados Réaumur. Si tomamos pa- 
ra la constante el valor 180, y sigue siendo g 0 el valor 
del parámetro g, estando S en contacto con hielo en fu- 



318 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


sión, habremos definido el grado Fahrenheit, pero no la 
escala Fahrenheit. 

Es necesario, pues, dimensionar a la constante que fi- 
gura en [5]. Si el valor numérico de la constante es 100, 
la dimensión de ella será: grado centígrado [°C]. Se tie- 
ne, por lo tanto: 

100 [°C] = 80 [°R] = 180 [°F]. [6] 

Debemos hacer aquí una advertencia importante, que 
si no se la tiene en cuenta puede conducir a los graves 
errores que señalamos al comienzo. La [6] vincula entre 
sí las diversas unidades, de las tres clásicas escalas, pero 
no a las escalas mismas, lo que deberá tenerse en cuenta 
si se pasa de una escala a otra. Sea, por ejemplo, el co- 
eficiente a de dilatación del hidrógeno, expresado en es- 
cala centígrada, mercurio-vidrio, cuyo valor aproxima- 
do es: 



Para expresar este mismo valor en las unidades gra- 
do R y grado F, de acuerdo a [6], se tiene: 

4 q 

1 °c = 4- °R - -- °F, 

5 5 

resultando : 


1 1 _1 _ _1 1 1 


* 273 °C - 273 4 

°R “ 273 

9 °F 

[8] 

5" 


'5 


obteniéndose así: 




1 

5 r 1 1 



“ 273 X 

t hr] 


[9] 

“ “ 273 X 

- f- 1 -! 

9 L °F J 


[10] 



EL GAS IDEAL 


319 


La [9] expresa el valor de a en grados Réaumur y en 
escala Réaumur, en tanto que la [10] expresa el valor 
de a en la unidad grados Fahrenheit, pero no en la escala 
Fahrenheit. El valor dado por [10] corresponde, por 
ejemplo, al siguiente: 


V 212 V 32 

180 V a2 


Pero el valor de a en escala Fahrenheit, a, está defi- 
nido por la expresión : 


^212 ~ Vo 
212 V 0 


Efectuando el cálculo resulta: 


a 


i 

273 X ~ — 32 

D 



[ii] 


Como se ve, el valor de [10] no coincide con [11] ; 
ambos valores están expresados en la misma unidad pero 
en diferentes escalas, lo que naturalmente debe tenerse 
en cuenta. 


El gas ideal 

Podemos definir a un “gas ideal’’ como a una substan- 
cia que cumple con las condiciones siguientes: 

l 9 ) Vale para ella exactamente la ley de Boy le y Ma- 
riotte. 

2 <? ) El coeficiente de dilatación media, a presión cons- 
tante, entre 0 o C y 100° C, es igual al límite común hacia 
••I cual tienden los coeficientes de dilatación media entre 
() ’ C y 100° C de los gases reales, cuando la presión de 
los mismos, a 0 o C, tiende a cero. 



320 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


3 9 ) El coeficiente de dilatación media del gas ideal 
es constante: independiente de los dos estados térmicos 
que se considere. 

La tercera condición no es más que una definición de 
una nueva temperatura. La substancia termométrica es 
ahora el gas ideal. 

El coeficiente de dilatación media de un gas real, en- 
tre 0 o C y 100 ° C, puede hallarse experimentalmente sin 
termómetro alguno, pues en la escala centígrada, aque- 
llas temperaturas son, por definición, las que correspon- 
den al hielo en fusión y a los vapores de agua en ebulli- 
ción. Los dos coeficientes de dilatación media, « y /?, en- 
tre esas temperaturas, están definidos por las relaciones: 


V 100 y 0 . Q _ P 100 Po 

100 Vn ’ 1 ~ 100 Po 


[ 12 ] 


Para los gases reales, los únicos con los cuales se pue- 
de experimentar, se observa que a es diferente de fí, y 
que ambos dependen de la presión p 0 que tiene el gas es- 
tando en hielo en fusión. Experimentalmente, se ha en- 
contrado que en el límite, para p 0 — 0 , se tiene, para todos 
los gases reales, aproximadamente: 



Se comprende, sin embargo, que no se puede operar 
en la práctica con presiones p 0 del gas muy pequeñas, 
pues los errores relativos que se cometerían serían muy 
grandes. Las determinaciones se efectúan siempre con 
gases reales. 

La temperatura centígrada estaría definida, para un 
gas ideal, por la expresión: 


ti = 100 


y, oo— v a 


[ 14 ] 


y la absoluta, en grados centígrados, por: 



ESCALA LOGARÍTMICA 


321 


T t = 100 T . - V - , [15] 

y ioo — y o 

suponiendo que el gas se mantiene a presión constante. 
Los subíndices tienen el mismo significado de antes. 

Según Rey Pastor ( Curso cíclico, 1924, pág. 4), la 
temperatura absoluta (definida por [15]) sería propia- 
mente una magnitud; la definida por [14], no lo sería. 
Se tiene, además, como se establece de inmediato, tenien- 
do en cuenta [12] y [13] : 

Ti = ti + 273° C [16] 

Según esto, existiría una temperatura absoluta, 273°C, 
la temperatura del hielo en fusión, que se puede sumar a 
algo que no es magnitud, la temperatura ti, dando por 
resultado una magnitud Ti; resultado a todas luces ab- 
surdo. Digamos, de paso, que la temperatura absoluta Fi, 
expresada en grados Fahrenheit, se obtiene de la tempe- 
ratura fi en escala Fahrenheit, de acuerdo a [11], por la 
expresión : 

Fi = f i + 459,4° F [17] 


Escala logarítmica 


El coeficiente de dilatación a de un gas, a presión 
constante, se define por la expresión: 


a 


J_ dV_ 
V 0 dt 


[18] 


y al postular la constancia de a para un gas ideal, se está 
definiendo la temperatura. En la expresión [18], Vo es 
el volumen del gas a cero grado. 

El aumento de volumen que experimenta 1 era 3 de gas 
entre 0°C y 1°C es igual a: 



322 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


entre 273°C y 274°C, el aumento de volumen experimen- 
tado por 1 cm ;1 de gas es la mitad del anterior: 


1 

2 


X 2 t 3 cm'. 


Ahora bien, 1 cm 3 de gas a 273°C, se reduce a 0,5 cm’ 
si la temperatura desciende hasta 0°C, por lo cual el 
volumen F 0 que figura en la [18], es 0,5 cm 3 . Se ha ob- 
jetado a la definición [18], que para definir el coeficiente 
de dilatación medio entre las temperaturas t y t' se haga 
intervenir al volumen que ocuparía el gas si su tempe- 
ratura fuera igual a 0°C, pues se tendría: 

1 F — V' 

“ v 0 t — V 


No creo que ésta sea una objeción consistente, pues 
definir es algo análogo a poner nombre a las cosas, para 
lo cual se tiene plena libertad. Lo único que debemos exi- 
gir es consecuencia con las definiciones. 

De todos modos, se ha propuesto sustituir en la [18] 
F 0 , volumen a 0°C, por el volumen F que ocupa el gas a 
la temperatura t. Se tiene así esta definición: 


1 dV 
7 F dt 


[19] 


Si no exigimos mucha precisión al lenguaje hablado, 
podríamos traducir la [19] diciendo: "coeficiente de di- 
latación de un gas, a presión constante, es el aumento de 
volumen que experimenta la unidad de volumen del gas 
(dF/F) cuando la temperatura aumenta en una unidad 
(un grado, 1 /dt)”. 

Definamos ahora al gas ideal como aquel en el cual, 
además de cumplirse la ley de Boyle y Mariotte, el coefi- 
ciente y se mantiene constante. Con esto hemos definido 
a la temperatura logarítmica. Para evitar confusiones 
designaremos a esta temperatura logarítmica con la le- 



ESCALA LOGARÍTMICA 


323 


tra t , que, desde luego, no tiene nada que ver con la r que 
figura en [1]. De la [19] obtenemos: 

V = F 0 e yr • [20] 

Esta fórmula define la temperatura logarítmica r; 
falta todavía definir la escala. Para ello tenemos plena 
libertad. Dalton propuso tomar para y el valor: 

, - 0.01 [t] 


pues el producto yr debe ser un número sin dimensiones. 

Nosotros construiremos la escala de modo que corres- 
ponda al hielo en fusión la temperatura de 0 o , y al agua 
en ebullición, a la presión normal, la temperatura loga- 
rítmica de 100°. Se trata, pues, de una escala “centígra- 
do-logarítmica”. El coeficeinte de dilatación y de un gas 
ideal, expresado en esta escala, es: 


v 


1 

100 


ln 


Pipo 

V„ 


1 , 373 

100 ln 273 


[ 21 ] 


El valor de y resulta: 

v - 0.00312 - [-L] [ 22 ] 


en la cual °L indica grados centígrados logarítmicos. Pa- 
ra pasar de la temperatura absoluta T a la temperatura 
logarítmica t establecemos: 

V = V 0 eyr = V 0 a T, 

de la cual, pasando de logaritmos naturales a vulgares, y 
efectuando los cálculos, resulta: 

r = 740 log a T [°L], [13] 

Al cero absoluto de la temperatura T corresponde en 
ln escala logarítmica la temperatura — oo. En la tabla 



324 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


adjunta se han indicado algunos valores de la temperatu- 
ra absoluta T, en grados centígrados (grados Kelvin), y 
los correspondientes en escala logarítmica y centígrada. 
Se ve, por la tabla, que si nos hubiéramos acostumbrado 
a la escala logarítmica, no nos parecería quizá tan cerca- 
na al “cero absoluto” la temperatura de un décimo de 
grado Kelvin, ni tan alta la temperatura de las estrellas. 


T 

r 

t 

0 

00 

— 273 

0,1 

— 2543 

— 272,9 

1 

— 1803 

— 272 

10 

— 1063 

— 263 

100 

— 322 

— 173 

200 

— 100,3 

— 73 

273 

0 

0 

293 

+ 22,4 

+ 20 

313 

43,7 

40 

333 

63,6 

60 

353 

82,4 

80 

373 

100 

100 

2730 

740 

2457 

2*7300 

1480 

27027 


La escala corriente de temperatura (centígrada o Fah- 
renheit) apareció por una circunstancia de orden prácti- 
co: la facilidad con que se puede dividir la columna ter- 
mométrica en partes iguales. Vemos, pues, que el cero ab- 
soluto, y por lo tanto la temperatura absoluta, aparece 
por una convención : el modo como se define el coeficiente 
de dilatación de un gas ideal. 


Temperatura termodinámica 


Sean dos fuentes térmicas: S y ¿> 0 . Las temperaturas 
de las fuentes, medidas con determinado termómetro (de- 
terminada escala, determinada substancia termométrica y 



TEMPERATURA TERMODINÁMICA 


325 


determinado parámetro), sean, respectivamente, 8 y 6 0 < 
Para fijar ideas, supondremos 0 > 0 O . Entre dichas fuen- 
tes puede funcionar una máquina térmica. Ésta, en cada 
ciclo, sacará calor de la fuente caliente, transformará algo 
en trabajo mecánico y entregará el resto a la fuente fría. 
Si Q' es la cantidad de calor extraída de la fuente ca- 
liente, y Q' 0 la entregada a la fuente fría, en cada ciclo, 
el cociente: 

Q' 

Q'o ’ 

depende, en general, de “la máquina” y de la substancia 
que recorre el ciclo. Si dicho cociente es uno, “la má- 
quina” se reduce a transportar calor de una fuente a otra, 
y su rendimiento será cero. Si la máquina que funciona 
entre las fuentes fuera reversible, se demuestra, postu- 
lando la imposibilidad de un móvil perpetuo de segunda 
especie (2 9 principio), que aquel cociente no depende de 
la naturaleza de la máquina ni de la substancia que re- 
corre el ciclo. Siendo, pues, Q y Q 0 las cantidades de calor 
que en cada ciclo extrae y entrega la máquina reversible 
de las fuentes, el cociente: 


Q_ 
Q o 


depende sólo de las temperaturas 8 y 0 O de las dos fuen- 
tes entre las cuales funciona la máquina. Lord Kelvin pro- 
puso, en 1848, definir las temperaturas T y T 0 de las 
fuentes de modo que se cumpla: 


Q _ T_ 
Qo T o 


[24] 


Lo que se define, pues, es el cociente entre las tempe- 
raturas de dos fuentes térmicas. En palabras, esta defi- 
nición podrá traducirse así: El cociente entre las tempe- 
raturas de dos fuentes térmicas es igual al cociente entre 
las cantidades de calor que una máquina reversible Ínter - 



326 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


cambia con las fuentes en cada ciclo , al funcionar entre 
las mismas . 

De la [24] se obtiene: 

T = T 0 • [25] 

Según esta definición, tenemos plena libertad para 
elegir el valor de T 0 . Podemos considerar que T 0 es la 
temperatura del hielo en fusión, y atribuir a T 0 cualquier 
valor diferente de cero. Al fijar el valor T 0 fijamos la 
unidad de medida de la temperatura. Supongamos que 
elegimos para T 0 el valor 1. A la temperatura T de una 
fuente le corresponderá el valor 2, si una máquina re- 
versible, que funcionara entre dicha fuente y el hielo, 
entregara a esta última 1 caloría por cada 2 calorías ex- 
traídas de la fuente caliente. Para que esto sucediera, 
puede calcularse que la fuente caliente tendría que tener 
una temperatura igual, aproximadamente, a 273°C de la 
escala del hidrógeno. 

Si se desea conservar en esta escala de temperatura 
termodinámica la unidad grado centígrado, será necesa- 
rio hacer que entre la temperatura termodinámica T lM 
del agua en ebullición y la temperatura termodinámica del 
hielo en fusión T 0 , a la presión normal, exista una dife- 
rencia igual a 100, esto es, igual a 100 grados Kelvin 
(100°K) : 

Tioo — T 0 = 100° K. [26] 

Según esto, y de acuerdo a [24], se obtiene: 

Pipo _ ^?ioo . T ío o — Pq Qioo — Qo 

T o Qo T 0 Qu 

o sea, de acuerdo a [26] : 

t o = loo £ 27 J 

Si bien la “máquina reversible” es irrealizable, puede 
calcularse este valor suponiendo que una substancia cual- 



TEMPERATURA TERMODINÁMICA 


327 


quiera recorre un ciclo de Carnot entre el agua en ebu- 
llición y el hielo fundente. Lo único que debe conocerse 
es el comportamiento de la substancia que recorre el ci- 
clo con respecto a una temperatura 0 definida por la pro- 
pia substancia que recorre el ciclo, o por otra substancia 
cualquiera. Se obtiene así, para cualquier substancia, el 
valor : 

T 0 = 273,15° K, 

para la temperatura termodinámica del hielo en fusión. 
La temperatura T de otra fuente cualquiera será, de 
acuerdo a [25] : 


T = 273,15 [° K] [28] 

Qo 

en donde Q y Q 0 son las cantidades de calor que una má- 
quina reversible intercambia en cada ciclo, al funcionar 
entre la fuente considerada y el hielo en fusión. 

Se demuestra fácilmente que esta temperatura termo- 
dinámica T coincide con la temperatura T it definida con 
un gas ideal, siempre que se entienda que la energía in- 
terna de un gas ideal depende sólo de la temperatura (Ley 
de Joule). Puede, pues, establecerse: 

T = Ti. [29] 

La importancia de la temperatura termodinámica, de- 
finida por [25], radica por un lado en que en dicha defi- 
nición no interviene substancia particular alguna, por lo 
c ual bien merece el calificativo de absoluta, y por otro en 
que, mediante ella, es posible establecer la fórmula que 
permite pasar de una temperatura 0, definida por cual- 
quier substancia, a la temperatura T, es decir: 

T = F (0). 

En la función F (0) aparecen ciertos parámetros de 
la substancia que .dependen de 0, parámetros que son ac- 



328 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


cesibles a la medida. Desde luego, también puede expre- 
sarse 9 en función de T: 

9 = f (T). [30] 


La y las temperaturas 

Hemos seguido a grandes pasos la noción de tempe- 
ratura, tal como aparece dicha noción en los tratados : 

Primero, una temperatura mercurio-vidrio y varias 
escalas convencionales, otra alcohol-vidrio, etc. ; luego la 
temperatura hidrógeno, oxígeno, helio, etc., y después, la 
temperatura gas ideal, que coincide, por fin, con la tem- 
peratura termodinámica. Podríamos todavía haber men- 
cionado las temperaturas definidas por las fuerzas elec- 
tromotrices de determinados pares termoeléctricos, o por 
la resistencia eléctrica de ciertos conductores, tal como se 
utilizan para la determinación de bajas temperaturas. 

El orden de exposición que se sigue en el desarrollo 
de la termodinámica corresponde, aproximadamente, al 
orden histórico. 

Frente a esta situación, no es extraño, pues, que algu- 
nos autores hayan afirmado que “la” temperatura no es 
una magnitud física. Ahora estamos en condiciones de 
preguntar: ¿De qué temperatura hablan? 

Lo que corresponde, colocándonos dentro del marco 
del desarrollo clásico de la termodinámica, es reconocer 
explícitamente, desde el comienzo, que la noción de tem- 
peratura sólo adquiere sentido después de fijar la manera 
de efectuar determinaciones termométricas. Según esto, 
existe una temperatura relativa al mercurio, otra relati- 
va al alcohol, otra relativa a los gases, etc. El coeficiente 
de dilatación aparente del mercurio, en determinado vi- 
drio, es constante con respecto a la temperatura definida 
con respecto al mercurio y a ese vidrio, pero dicho coefi- 
ciente deja de ser constante con respecto a la temperatura 
definida por otra substancia. Cabe, pues, decir que re- 
sulta cómodo introducir al comienzo temperaturas relati- 



INVARIANCIA Y ORDENAMIENTO 


329 


vas, pero de ningún modo afirmar que esas temperaturas 
relativas no expresan medidas de los estados térmicos de 
los cuerpos. Efectuando medidas con un termómetro de 
mercurio, podemos medir cantidades de calor y establecer 
el principio de equivalencia entre calor y trabajo, tal co- 
mo lo hizo Joule por primera vez. 

Invariancia y ordenamiento 

Sean los cuerpos A u A-,, A :í . . . a los cuales corres- 
ponden las temperaturas : 

0 \, 0 ' 2 , # 3 ) • • • 

relativas a una substancia termométrica S. Para los mis- 
mos cuerpos y con respecto a otra substancia termomé- 
trica S', supongamos se tenga: 

Si', 02 0 3 ', • • • 

Si se cumple que: 

01 > 02 > 03 > ... 

debe cumplirse también que: 

Oí' > 0-/ > 0s > ... 

El ordenamiento de los estados térmicos es, pues, en 
cierto modo, un invariante con respecto a las tempera- 
turas relativas. Otro invariante es la igualdad de dos es- 
tados térmicos, pues si: 

«i = 02 , 

deberá ser: 

01 = 02- 

En cambio, si es: 

0i — 02 + 0 3 , 


16 



330 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


se tendrá, en general, aunque se trate de la misma escala : 
0 L ' #= 0 2 ' -|- 0 a '. 

Esto quiere decir que la suma de dos temperaturas 
no es un invariante, como tampoco lo es el cociente, ya 
que en general se tendrá: 



¿Quiere decir esto, acaso, que no puede definirse la 
suma de dos temperaturas? ¿No podemos decir si la tem- 
peratura de un cuerpo A es suma de las temperaturas de 
los cuerpos B y C? Lo que no tiene sentido, por el mo- 
mento, es hablar de “la” temperatura. Pero tiene pleno 
sentido decir que la temperatura relativa a la substancia 
S que la define, del cuerpo A, es suma de las temperatu- 
ras relativas a S de los cuerpos B y C. Si así no fuera, 
¿qué sentido tendrían todas las operaciones algebraicas 
que se efectúan con la “letra” t f símbolo de la tempera- 
tura relativa al mercurio, o a los gases, etc.? 


¿Qué es una magnitud? 

En la Lógica matemática , de Burali-Forti, se define 
nominalmente a las magnitudes absolutas por medio de 
nueve proposiciones. Lo de nominalmente quiere decir 
que conviene en dar el nombre de magnitud absoluta a 
las “clases homogéneas de elementos” que cumplen con 
aquellas condiciones. 

Entre las magnitudes absolutas que satisfacen dichas 
proposiciones pueden indicarse la longitud, el volumen, los 
números reales positivos, la edad de las personas, etc. 

La temperatura absoluta, definida por un gas ideal, o 
la temperatura termodinámica, que coincide con aquélla, 
cumple con todas esas proposiciones. Justamente, el nom- 
bre de temperatura absoluta proviene de esa circunstan- 



¿QUÉ ES UNA MAGNITUD? 


331 


cia. Recordemos que la [15] definía la temperatura ab- 
soluta T. Todas las condiciones que cumple V son cumpli- 
das también por T, como es fácil ver. Por ejemplo: 


Si: 

O 

11 

es 

T = 0. 

Si a 


corresponde 

Tu 

y ,, 


t 2 , 

y* 

Fi + Fo 

Ti + T 2 


Si V 1 > V 2 es T¡ > T¿. 


La tercera proposición de Burali-Forti, referente a las 
magnitudes absolutas, puede expresarse así: 

Si: 

x 4= 0 x + y ={= 0, 

lo que excluye el caso de las magnitudes con signo o re- 
lativas, las que estudia después de definir la resta, como 
operación inversa de la suma. 

Entre las magnitudes relativas o con signos podemos 
citar : Los números reales ; la altura de un punto con res- 
pecto a un plano horizontal (definida como la longitud 
del segmento de perpendicular bajada al plano desde el 
punto, considerada positiva o negativa según que el seg- 
mento se encuentre a uno u otro lado del plano) ; cada una 
de las tres coordenadas cartesianas de un punto con res- 
pecto a una terna de ejes convencional; el tiempo, para 
el cual es necesario fijar, lo mismo que para las coorde- 
nadas, un origen convencional, etc. 

El doctor Rey Pastor dice ( Curso cíclico, pág. 4) que 
si bien el nivel de un punto o altura no es una magnitud, 
la diferencia de altura entre dos puntos, “que es lo que 
se mide”, sería en cambio una magnitud. Tendríamos así 
que: 

H = hi — h 2 , 

diferencia de alturas de dos puntos, Pi y P 2 , sería una 
magnitud, pero no lo serían ni hi ni h>. 



332 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


Preguntamos nosotros: Si h } y h., no son magnitudes, 
porque no tiene sentido la suma, ¿qué sentido puede tener 
la diferencia? ¿Puede definirse la resta entre dos entes 
que no son magnitudes, y para los cuales no puede defi- 
nirse la suma? Hallar la diferencia: 

h, — h- 2 

¿no es encontrar un H que, sumado a h 2 dé h, ? 

Lo que corresponde decir es, en cambio: La altura 
con respecto a cierto nivel es una magnitud relativa (con 
signo) ; para estas alturas puede definirse una operación 
que cumple con las leyes formales de la suma (y la resta). 
La diferencia entre dos alturas, referidas a cierto nivel, 
es un invariante con respecto al nivel de origen, o sea, 
dicha diferencia no depende de dicho nivel. En cambio, 
no encontramos nada lógico que se nos hable de diferen- 
cia entre dos entes para los cuales se dice que es imposi- 
ble definir la suma. 


¿Qué significa sumar magnitudes? 

La igualdad y la suma de dos segmentos puede defi- 
nirse sin tener el concepto de número ; lo mismo cabe de- 
cir para la igualdad y la suma de la superficie de dos po- 
lígonos, etc. La operación suma de dos segmentos se tra- 
duce geométricamente por un transporte de ambos sobre 
una recta, efectuado de cierta manera. En forma análoga 
puede operarse con otros entes. 

Pero si pasamos de las magnitudes geométricas a las 
magnitudes físicas, ya no es tan fácil definir la igualdad 
ni la suma. Pensemos en el tiempo. Para definir la igual- 
dad de dos intervalos de tiempo se requiere definir la si- 
multaneidad, para lo cual es necesario hacer intervenir 
rayos de luz, espejos y un sistema particular de referen- 
cia. La suma tampoco se logra, en la generalidad de los 
casos, por acoplamiento. No se debe, pues, confundir su- 
mar con juntar. La masa de una persona es suma de las 



¿QUÉ SIGNIFICA SUMAR MAGNITUDES? 


333 


masas de otras dos, si aquélla equilibra a éstas, colocadas 
juntas en uno de los platillos de una balanza. Pero para 
saber si la edad de una persona es suma de las edades de 
otras dos, no ganaremos nada con juntar a estas últimas. 

La definición de edades iguales no ofrece tanta difi- 
cultad, pues admitiendo que sabemos definir la simulta- 
neidad, diríamos que dos personas tienen igual edad, si 
es que sus nacimientos fueron simultáneos. 

El problema, ahora, es el siguiente: ¿Puede definirse 
la edad suma de otras dos, antes de haber dado una ma- 
nera para medir el tiempo? Creemos que esta definición 
es imposible. Pero si ahora indicamos la manera de me- 
dir el tiempo con un reloj, y ese reloj puede ser la Tierra, 
la edad E de una persona la definiríamos por el tiempo 
transcurrido, indicado por el reloj, desde el momento de 
su nacimiento hasta el instante considerado. No ofrece 
ahora ninguna dificultad decir cuándo E es suma de E t 

y e 2 . 

Exactamente lo mismo ocurre con la temperatura. No 
se puede definir la suma de dos estados térmicos antes de 
haber indicado un procedimiento para medir lo que por 
definición llamaremos temperatura. Antes de Fahrenheit, 
el creador de la primera escala termométrica, la tempe- 
ratura, que ni siquiera estaba definida, por esto mismo, 
por no estar definida, no podía ser, claro está, magnitud 
alguna. 

En Burali-Forti, página 414, se define el producto de 
un determinado valor x de una magnitud con signo, por 
un número real q, y se demuestra que cualquier valor y 
de la misma magnitud, puede expresarse así: 


y = Q X x, [31] 

siendo x un valor fijo diferente del valor nulo. Con esto, 
la suma de magnitudes se reduce a suma de números rea- 
les, pues: 

2 y = xl.q. [32] 


Claro está que con esto no basta todavía para operar 



334 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


algebraicamente con magnitudes no homogéneas. Es ne- 
cesario, además, dar sentido al producto o al cociente de 
dos magnitudes no homogéneas, lo que se hace por medio 
de convenciones más o menos explícitas. Pero no es éste, 
ahora, nuestro problema. 


Temperatura calorimétrica 

Hasta ahora hemos discutido la noción de temperatura 
siguiendo en sus lineamientos generales la forma que es 
habitual en la introducción de dicho concepto. La sola 
enumeración de todas las temperaturas que se considera 
necesario mencionar para llegar a la temperatura termo- 
dinámica, es suficiente para que se comprenda que el 
camino que se ha seguido hasta ahora no se caracteriza, 
precisamente, por su elegancia ni por su rigor. En un 
trabajo que publicamos en colaboración con el doctor 
Sábato 1 hacíamos resaltar esta circunstancia y otros ar- 
gumentos de mucho más peso todavía. No encontramos 
extraño, por ello, dado el “camino espiralado” que se si- 
gue en el desarrollo expositivo de la termodinámica, que 
esté todavía en discusión si el concepto básico de la mis- 
ma es o no lina magnitud física. 

En dicho trabajo hemos fundamentado la termodiná- 
mica, siguiendo un camino enteramente nuevo. Definimos 
allí la cantidad de calor , prescindiendo de toda noción de 
temperatura, por la masa de hielo fundido en un calorí- 
metro de hielo, y propusimos como nueva unidad de can- 
tidad de calor la hielo-caloría , igual a la cantidad de calor 
que hace fundir a un gramo de hielo, o 1/80 gramo de 
hielo si se quiere que la nueva unidad no difiera mayor- 
metne de la “caloría de 15”. Definida la cantidad de ca- 
lor que “gana” o “cede” el calorímetro, es fácil establecer 
el principio de equivalencia no sólo teórica, sino también 


1 E. Loedel P'ALUMBO y E. R. Sábato, Contribución a la funda- 
mentación de la termodinámica , en Anales de la Sociedad Científica 
Argentina , t. CXXXIII, p. 222, 1942. 



TEMPERATURA CALORIMÉTRICA 


335 


experimentalmente. Téngase presente que operando con 
el calorímetro de hielo, no es necesario tener en cuenta 
para nada la capacidad calorífica del vaso. 

La temperatura calorimétrica, con respecto a un cuer- 
po C, puede definirse del siguiente modo: Se pone el 
cuerpo C en contacto térmico con vapores de agua en 
ebullición a la presión normal, y se lleva luego al calorí- 
metro de hielo. Sea m 100 la masa de hielo fundido. Si 
ahora llevamos el mismo cuerpo a otra fuente térmica F, 
y de allí al calorímetro de hielo, se fundirá cierta masa m 
de hielo. La temperatura centígrada calorimétrica, con 
respecto al cuerpo C, está definida por la expresión : 

9 = 100 [°Cc] . [33] 

TOlOO 

Naturalmente que el cuerpo C debe mantenerse, en 
estas operaciones, a presión constante, y el tiempo de con- 
tacto del cuerpo C con los vapores de agua en ebullición 
o con la fuente debe ser suficientemente grande, hasta 
lograr que las masas de hielo fundido no dependan de 
dicho tiempo. Se tiene, pues, un modo de medir una tem- 
peratura con una balanza. 

Si imaginamos que el cuerpo C es una esfera de hierro 
de unos 725 g, m 100 resulta ser igual a 100 g, y tendría- 
mos así que un gramo de hielo fundido equivaldría a 1 
grado centígrado calorimétrico de C. Sí en lugar de fun- 
dirse hielo se solidifica una masa ra de agua, habría que 
lomar a esa masa con signo negativo. 

Aparentemente, la "temperatura calorimétrica" es só- 
lo una temperatura más. Podría pensarse que no puede 
reportar ventaja alguna, ya que en esta definición se con- 
sidera implícitamente la constancia del calor específico 
de la substancia del cuerpo C, por ejemplo hierro, así 
romo en la temperatura volumétrica del mercurio, lo que 
n parece constante, por definición, es el coeficiente de di- 
luí ación. 

Sin embargo, no es así. En lugar de definir la tempe- 
ratura por un parámetro particular de determinada subs- 



336 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


tancia, se utiliza en esta definición cantidades de calor. 
Y esto es de gran importancia teórica. Veamos por qué. 

Con el cuerpo C , que hemos llamado cuerpo de prueba, 
es fácil definir, aun antes de la introducción de la escala 
[33], qué es lo que se entiende por fuentes homotérmicas 
y homogéneas, con respecto al cuerpo C. Una fuente es 
térmicamente homogénea respecto a C f si dicho cuerpo 
hace fundir siempre la misma masa m de hielo, cuando 
se le lleva en contacto con diferentes partes de la fuente. 
Si se tienen dos fuentes homogéneas respecto a C } para 
las cuales se obtienen con. C las masas de hielo fundido 
Wi y ra 2 , se dirá que son homotérmicas (igual tempera- 
tura) respecto a C si: 


m, = vi>2, 


y heterotérmicas si : 


mi m 2# 

Con esto solamente, ya es posible enunciar el segundo 
principio de la termodinámica: “Es condición necesaria 
y suficiente , para el funcionamiento de una máquina tér- 
mica , disponer de dos fuentes que sean heterotérmicas 
con respecto a algún cuerpo de prueba C”. 

Y ahora, puede demostrarse que si dos fuentes son 
homotérmicas con respecto a algún cuerpo C, deberán ser 
homotérmicas con respecto a cualquier otro cuerpo. Se 
tiene entonces una definición de temperaturas iguales, 
independiente de cualquier substancia termométrica. En 
cambio, cuando se elige para definir la temperatura un 
parámetro particular, por ejemplo el volumen, tal demos- 
tración es imposible. Piénsese en un “termómetro de 
agua”. Dos fuentes que están a igual temperatura volu- 
métrica con respecto al agua, no están a igual tempera- 
tura volumétrica con respecto al mercurio. Un termóme- 
tro de mercurio indica 2°C y 6°C, y un termómetro de 
agua indicaría igual temperatura para ambas fuentes. 

Además, si dadas dos fuentes térmicas, F i y F>, y un 



TEMPERATURA CALORI M ÉTRICA 


337 


cuerpo de prueba, C, en sucesivos contactos con ellas pro- 
duce la fusión de las masas de hielo m x y m 2 , tal que : 

m i.> m 2 , 

puede demostrarse también que para otro cuerpo cual- 
quiera C' se obtendrán las masas m/ y m tales que : 

Mi > Uloy 


de lo cual resulta que el ordenamiento de las temperatu- 
ras calorimétricas obtenido con un cuerpo cualquiera C, 
es independiente de la naturaleza del cuerpo. En otros 
términos, como consecuencia del segundo principio, y ex- 
presándonos en la forma habitual, diríamos: no existen 
cuerpos con calor específico negativo. En cambio, existen 
substancias con coeficientes térmicos que cambian de 
signo para ciertos parámetros. La introducción de la 
temperatura calorimétrica hace posible razonar, apoyán- 
dose en el segundo principio, con cantidades de calor, can- 
tidades de calor que deben ser definidas, para no caer en 
un círculo, en forma independiente de la noción de tempe- 
ratura. 

Claro está que la temperatura calorimétrica definida 
con el hierro, no coincide más que en los puntos fijos con 
la temperatura calorimétrica definida, por ejemplo, con 
el plomo. 

Pero si para el hierro es: 

Oí > 0 2 , 

tendrá que ser para el plomo y para cualquier otra subs- 
tancia : 

0i' > 0 2 '. 

Aparte de estas ventajas de orden teórico, pensamos que 
so puede lograr una gran precisión en la determinación 
de temperaturas bajas utilizando al efecto un calorímetro 
de hielo apropiado. 

Naturalmente que, en la práctica, siempre seguirán 



338 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


empleándose los termómetros de mercurio o los que uti- 
licen las variaciones de cualquier otro parámetro. Si se 
utilizan las variaciones de volumen de una substancia, en 
lugar de las condiciones que hemos mencionado en el 
apartado de la página 316, bastará con decir: Una subs- 
tancia termométrica debe ser tal, que el coeficiente tér- 
mico de cierto parámetro, con respecto a la temperatura 
calorimétrica, definida por un cuerpo cualquiera, no cam- 
bie de signo en el intervalo en que dicha substancia se ha 
de emplear para definir con ella la temperatura. 

En cuanto a saber si la temperatura calorimétrica, 
con respecto a un cuerpo C, definida por [33], es o no 
una magnitud física, basta con observar dicha fórmula. 

Es más, aún: puede definirse la igualdad y la suma 
de dos estados térmicos, con respecto a un cuerpo C, antes 
de definir la escala termométrica. En efecto: si para 
dos fuentes, F l y F 2 , el cuerpo C hace fundir las masas 
de hielo y m 2 ( C debe estar en contacto con las fuen- 
tes un tiempo igual o mayor al “tiempo de saturación”), 
si: 

m y = m 2 , 

diremos que las temperaturas de las fuentes son iguales. 
Esta definición de igualdad es, como vimos, independien- 
te del cuerpo C. Si para tres fuentes, F u F 2 y F 3 , se 
tiene : 

«i + m 2 = ra 3 , 


diremos que la temperatura de la fuente F 3 es suma de 
las temperaturas de F i y F>. Claro está que esta defini- 
ción de suma depende de la naturaleza del cuerpo de 
prueba utilizado. 

Si queremos obtener una definición de “la” tempera- 
tura, independiente del comportamiento particular de 
cuerpo alguno, debemos sustituir el cuerpo de prueba por 
una máquina reversible, que podemos suponer funciona 
entre la fuente y el calorímetro de hielo. 

Si la máquina reversible produce en el calorímetro, en 



ARBITRARIEDAD DE LA ESCALA 


339 


cada ciclo, la fusión de una masa m 0 de hielo y un tra- 
bajo A, siendo este trabajo A, por el principio de equiva- 
lencia, equivalente a cierta cantidad de calor, o, lo que 
es lo mismo, equivalente a cierta masa m de hielo fun- 
dido, llamando T a la temperatura termodinámica de la 
fuente, y T 0 a la del hielo en fusión, se tendrá: 

T _ m 0 + m r34 , 

T 0 «o L J 


Arbitrariedad de la escala 


No nos referiremos, en este apartado, a las tres clá- 
sicas escalas que se usan en termometría. Deseamos se- 
ñalar aquí un carácter convencional, común a todas las 
escalas termométricas en uso. Este carácter convencional 
consiste en la división en partes iguales de la “columna 
termométrica”. Se advierte bien el carácter convencional, 
de definición, consistente en asignar, por ejemplo, la tem- 
peratura de 0 o al hielo en fusión, y la de 100° a la de los 
vapores de agua en ebullición, y se advierte esto bien, 
precisamente porque existen otras escalas en uso, en don- 
de se conviene otra cosa. La elección de la substancia 
termométrica, para definir una temperatura, se ve tam- 
bién que es asunto de mera convención. En cambio, de 
lo que generalmente no se tiene plena conciencia es del 
hecho de que podría definirse una temperatura, efectuan- 
do las divisiones de la columna termométrica en forma 
casi enteramente arbitraria, imponiéndole a ese modo de 
dividir un mínimo de condiciones. Para hacer resaltar 
esto, que juzgamos de suma importancia, construiremos 
una escala “algo" más arbitraria que las escalas comu- 
nes, y definiremos con ella una temperatura y probare- 
mos que, a pesar de su arbitrariedad, satisface todas las 
condiciones que debe reunir una magnitud física. Para 
construir esta escala, numeremos en orden las letras del 
Quijote, comenzando por cero, y numeremos, también en 



340 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


orden, las letras e que se van sucediendo. A cada letra e 
corresponden dos números: 

n = 0 10 20 30 36 47 . . . 900 903 905 .. . 

e e e e e e . . . e e e . . . 

C = 0 1 2 3 4 5 ... 98 99 100 . . . 

Si imaginamos que escribimos a máquina el texto del 
Quijote sobre una tirilla de papel (sin signos de puntua- 
ción y sin espacios entre palabras), y reducimos el ta- 
maño de la tirilla de modo que al aplicarla extendida so- 
bre la columna termométrica la E cero coincide con el 
cero común, y la e para la cual C = 100 con el punto 
cien, los números C indicarán, por definición, la tempe- 
ratura expresada en esta escala que podría llamarse, para 
evitar confusiones, temperatura cervantina en e. Quizás 
alguien piense que los grados de temperatura definidos 
por esta escala no son todos iguales entre sí. Estando el 
termómetro bien calibrado, la separación entre las divi- 
siones 98 y 99, por ejemplo, es menor que la separación 
entre las divisiones 4 y 5. Razonar así significaría estar 
pensando en la escala corriente. Los grados de esta es- 
cala “cervantina” son, claro está, por definición, iguales 
entre sí. 

Si a una C corresponde un número n, la temperatura 
6 en escala corriente centígrada se obtendría así : 


6 = 100 


n 

905" ' 


[36] 


Si una temperatura C está comprendida entre K y K + 1, 
siendo K entero, o sea, si: 

C = K + h, 


siendo : 0 < h < 1, el número q correspondiente a C se 
obtiene por la expresión: 

q = n + ( n ' — n) h [37] 

siendo n el número correspondiente a K y n' el número 



LA CLAVE DE LA CONFUSIÓN 


341 


correspondiente a K + 1. Así, por ejemplo, a la tempera- 
tura C = 3,50 corresponde la temperatura centígrada 
3,65. Con extender la escala simétricamente con respecto 
al cero, se tendrían las temperaturas negativas. 

Con esta definición de temperatura, los coeficientes 
de dilatación, los calores específicos, etc., variarían en 
forma brusca, con discontinuidades en sus derivadas pri- 
meras, pero no por ello dejaría de ser esa temperatura, 
así definida, una magnitud física. Y es una magnitud, 
por la sencilla razón de que, a pesar de la arbitrariedad 
de las convenciones hechas, se ha logrado establecer una 
correspondencia unívoca y continua entre los estados tér- 
micos y los números reales . 


La clave de la confusión 

Dijimos, al comienzo, que en el “problema” que se 
plantea, acerca de si la temperatura es o no una magni- 
tud física, se trata más bien de una cuestión de palabras 
que de una cuestión de fondo. Pero hay algo de lo uno y 
de lo otro. El doctor T. Isnardi \ en un trabajo sobre la 
“temperatura empírica”, se expresa en los siguientes tér- 
minos : 

“Cada uno de los infinitos parámetros así definidos, 
9, <p, . . ., se denomina una temperatura empírica. La po- 
sibilidad de substituir uno por otro se expresa habitual- 
mente diciendo que las propiedades del equilibrio térmico 
no determinan la escala termométrica . Una temperatura 
empírica sólo debe satisfacer a una condición: tener un 
mismo valor en todos los sistemas en equilibrio térmico 
recíproco; y recíprocamente. Es decir, debe haber una 
correspondencia biunívoca entre los estados térmicos y 
las respectivas temperaturas empíricas; y esta sola con- 
dición, evidentemente, no determina a la temperatura 


T. Isnardi, La noción de temperatura empírica , en Ciencia y 
técnica (Revista del Centro de Estudiantes de Ingeniería de Buenos 
Aires), junio de 1942, pág. 408. 



342 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


empírica: siempre es posible, a partir de una de ellas, 
efectuar una substitución biunívoca y continua para ob- 
tener otra temperatura empírica”. 

Estamos .en un todo de acuerdo con lo que precede, 
menos en el artículo LA, subrayado por nosotros. Más ade- 
lante se transcribe esta cita de Mach: “En la Naturaleza 
existen estados térmicos; pero la noción de temperatura 
existe solamente por nuestra arbitraria definición, que 
hubiera podido ser cualquiera otra. Hasta muy reciente- 
mente, sin embargo, los investigadores de este capítulo 
parecen haber buscado, consciente o inconscientemente, 
una medida natural de la temperatura, una verdadera 
temperatura, o una especie de idea platónica de la tem- 
peratura' 

Los que pensaban que por detrás de las medidas ter- 
mométricas debía buscarse a la verdadera temperatura , 
es lógico que creyeran que aquellas medidas no eran ta- 
les, o sea, que las indicaciones de un termómetro no da- 
ban una medida del estado térmico de los cuerpos. Con 
respecto al tiempo , hay quien cree lo mismo. Pero para 
la Física, el tiempo es lo que se determina con un “reloj”. 
Este reloj puede ser un péndulo, la ley de gravitación de 
Newton, un reloj de cuarzo, o un rayo de luz. Al respec- 
to, dice Poincaré (La valeur de la Science , página 44) : 

“De tal modo que la definición implícita adoptada por 
los astrónomos puede resumirse así: El tiempo debe ser 
definido de tal modo, que las ecuaciones de la mecánica 
sean tan simples como sea posible. En otros términos: 
no hay una manera de medir el tiempo que sea más ver- 
dadera que otra ; la que es generalmente adoptada, es sólo 
más cómoda. De dos relojes, no tenemos derecho alguno 
de decir que el uno marcha bien y el otro mal; podemos 
solamente decir que se tiene cierta ventaja al referirse 
a las indicaciones del primero”. 

Anteriormente, en la página 38 de la misma obra, se 
puede leer: “Cuando digo que entre las 12 y las 13 horas 
transcurre el mismo tiempo que entre las 14 y las 15 
horas, ¿qué sentido tiene esta afirmación? La menor re- 



LA CLAVE DE LA CONFUSIÓN 


343 


flexión muestra que ella no tiene ningún sentido por sí 
misma. No tendrá más que el que yo quiera darle, por 
una definición que importará, desde luego, cierto grado 
de arbitrariedad”. 

Por lo tanto, lo que ocurre con la medida del estado 
térmico de los cuerpos ocurre con todas las medidas de las 
diferentes magnitudes físicas. La ciencia está hecha a 
base de convenciones. Estas convenciones determinan el 
lenguaje científico. Cuando una convención es aceptada 
unánimemente, nos olvidamos con facilidad del carácter 
convencional de la misma. En cambio, cuando existen 
sobre un mismo asunto convenciones diferentes, se mani- 
fiesta bien el carácter, en cierto grado arbitrario, de las 
mismas. 

Esto es lo que ocurre con la medida de los estados 
térmicos. Se habla de “la” temperatura en lugar de ha- 
blar de esta o de aquella temperatura, definida por tal 
o cual convención. Se dice “la” temperatura empírica, 
en lugar de decir las temperaturas empíricas. Como en- 
tre las infinitas temperaturas empíricas que pueden de- 
finirse no hay motivo alguno para preferir una a la otra, 
a no ser la simplicidad de las ecuaciones de la termodi- 
námica, se saca de ello una de estas dos consecuencias, 
ambas erróneas : 

l 9 ) La temperatura (algo así como la idea platónica 
de que habla Mach), la verdadera medida de los estados 
térmicos de los cuerpos, no se logra con las escalas y 
termómetros comunes. 

2 9 ) La posibilidad de cambiar la escala termométrica 
de infinitos modos hace aparecer a una temperatura 
cualquiera como una variable termodinámica, que carece, 
en general, de significado físico inmediato y “excluye 
toda posible interpretación de la misma como medida de 
alguna magnitud física”. (T. Isnardi). 

Dijimos que consideramos erróneas las dos conclusio- 
nes, pero, en verdad, ambas difieren más en la expresión 
verbal que en su contenido. 

Cabe, además, la siguiente conclusión: No tiene sen- 



344 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


tido hablar de la temperatura de un cuerpo si no se in- 
dica el modo como aquella temperatura ha sido definida. 
La noción de “temperatura en sí” tiene tanto sentido co- 
mo la noción de “velocidad en sí” o de “tiempo en sí”, 
etcétera. 

En cambio, tiene sentido preguntar acerca de cuál de 
las infinitas temperaturas que pueden definirse hace que 
las ecuaciones de la termodinámica sean lo más simples 
posible. Esa temperatura es, posiblemente, la que recibe 
el nombre de temperatura absoluta, y la que goza de todos 
los caracteres que debe reunir una magnitud física , ca- 
racteres que también son comunes f como lo hemos proba- 
do , a cualquier temperatura empírica . 

Reproduciremos, antes de terminar, otro párrafo de 
E. Mach, que también inserta el doctor Isnardi en su 
trabajo últimamente citado. 

“La temperatura es, según lo dicho hasta aquí, y como 
se lo reconoce fácilmente, nada más que una caracteriza- 
ción o una designación de los estados térmicos mediante 
un número. Este número térmico sólo tiene las propie- 
dades de un número de inventario , mediante el cual un 
mismo estado térmico puede ser nuevamente reconocido 
y, si fuera necesario, nuevamente buscado o realizado”. 

Así es, efectivamente. Piénsese en nuestro ejemplo de 
página 340, donde introducimos la “temperatura cervan- 
tina en e ”. 

Como se ve, Mach combate la posición de aquellos 
autores que consideraban a la temperatura como un ente 
metafísico. Muestra el carácter relativo de la misma ha- 
ciendo notar que la temperatura no es más que un “nú- 
mero de inventario”; inventario que, como otro cualquie- 
ra, no puede hacerse sino a base de convenciones. Sinte- 
tizando, puede entonces decirse: Llamo temperatura a lo 
que indica tal termómetro. Esta tal temperatura es eso, 
y solamente eso. Que en otro catálogo (otro termómetro), 
al mismo estado térmico corresponda otro número, es na- 
tural, desde el momento que las convenciones son otras. 
Lo que se debe concluir de aquí es que el concepto de 



LA CLAVE DE LA CONFUSIÓN 


345 


temperatura no es ni puede ser anterior a las medidas 
termométricas, pero de ningún modo que la temperatura 
no es una magnitud física. ¿Puede acaso medirse una lon- 
gitud sin formular explícita o implícitamente convencio- 
nes especiales? 

¿Tiene acaso sentido decir que un segmento tiene una 
longitud doble de la de otro segmento, independiente del 
sistema de referencia y del sistema que ha servido de 
base para las medidas? Sin citar el ejemplo de la teoría 
de la relatividad, ¿no se puede acaso cambiar el sistema 
de axiomas de congruencia, y tener una representación 
de una geometría no euclidiana en una porción de plano 
euclidiano? 

De esto concluimos que no tiene sentido hablar de una 
longitud en sí; que lo que llamamos longitud de un seg- 
mento es también un número de inventario , inventario 
que hemos establecido sobre las bases de ciertas conven- 
ciones (geometría euclidiana, cuerpo rígido), pero care- 
cería enteramente de sentido concluir, de aquí, que “la” 
longitud no es una magnitud física. 

Se comprende ahora cuál ha sido el proceso psicoló- 
gico que ha conducido a ciertos autores a la afirmación 
de que la temperatura no es una magnitud física : Cuando 
se puso de manifiesto que carecía de sentido buscar “la” 
temperatura en calidad de ente absoluto, por detrás de 
las medidas termométricas, dijeron: “la” temperatura no 
existe; las medidas termométricas no son entonces medi- 
das de “la” temperatura, y si las medidas termométricas 
no miden “algo”, ellas no son, por lo tanto, medidas de 
nada. Queda entonces “excluida toda posible interpreta- 
ción de las mismas como medida de alguna magnitud fí- 
sica”. 

De aquí que en algunos tratados encontremos expre- 
' siones como ésta : “Lo que indica un termómetro no es una 
medida de la temperatura, porque la temperatura no se 
puede medir”. En lugar de decir: “llamaré temperatura 
a lo que indica tal termómetro, del mismo modo que a tal 
estrella convengo en ponerle el nombre de Sirio”. 



346 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


Temperatura y tiempo 

Para finalizar, destacaremos a continuación, que pue- 
de establecerse entre los conceptos de tiempo y tempera- 
tura un paralelismo formal, del cual surge, sin lugar a 
dudas, la tesis : Cualquier argumento que se -pretenda ha- 
cer valer para negar a la temperatura el carácter de mag- 
nitud, es aplicable también al tiempo. 

En términos jurídicos, diríamos: Temperatura y tiem- 
po tienen exactamente el mismo derecho a ser considera- 
dos como magnitudes físicas. 

Tenemos un tiempo definido por el ángulo horario del 
Sol; otros, por los ángulos horarios de la Luna o de tal 
o cual planeta o estrella, y otro definido implícitamente 
por las ecuaciones de la mecánica. Análogamente, se tie- 
ne una temperatura definida por la dilatación del mercu- 
rio ; otras, por la de tales o cuales substancias, y otra por 
las ecuaciones de la termodinámica. 

En el cuadro de la página siguiente se aprecia esta 
correlación formal. 

Si definimos el tiempo por un reloj de sol, aparecerá 
muy sencilla la ley del movimiento diurno de ese astro, pe- 
ro más complicadas otras leyes de la Física (las de la elec- 
trólisis, por ejemplo), y figuraría por todas partes la 
ecuación del tiempo de los astrónomos, lo que sería, sin 
duda alguna, muy apreciado por los adoradores del Sol, 
que tendrían así un motivo más para suponerlo causa, 
dueño y señor de todo el Universo, ya que, entre otras co- 
sas, la posición del Sol sería la causa de la irregularidad 
en el movimiento de los péndulos \ 


1 Lo escrito hasta aquí, del presente capítulo, es casi una tran- 
cripción textual de los siguientes trabajos del autor: “La tempera- 
tura y las magnitudes físicas ”, en Anales de la Sociedad Científica 
Argentina , tomo cxxxv, 1943, y “La temperatura , el Tiempo y las 
magnitudes físicas ”, en Revista de la Unión Matemática Argentina, 
vol. X, 1945. 



TEMPERATURA Y TIEMPO 


347 


Tiempo, definido por 


Relojes de 
Sol 
Luna 

} Sirio 

estelares ■< Antares 

] Punto vernal 

o por las 
ecuaciones de la 
mecánica. 

Las indicaciones de un 
reloj de sol difieren bas- 
tante de las de otro de luna, 
siendo en cambio casi coin- 
cidentes las de los distintos 
relojes estelares. 


El tiempo definido por 
un reloj estelar cualquiera 
difiere muy poco del tiem- 
po definido por las ecua- 
ciones de la mecánica que 
corresponde a las indica- 
ciones de un reloj ideal. 


Los tiempos ti; t 2 ; t A ; ... 
definidos por los relojes 
Ri; R 2 ; R 3 ) ... están vin- 
culados al tiempo t, defini- 
do por las ecuaciones de la 
mecánica, por funciones 
más o menos complicadas: 

t = fi (ti) 

(Ecuación del tiempo en 
el caso del Sol). 


Temperatura, definida por 


Termómetros de 

Mercurio 

Alcohol 

f hidrógeno 
gases reales < oxígeno 
I. helio 

o por las 
ecuaciones de la 
termodinámica. 

Las indicaciones de un 
termómetro de mercurio di- 
fieren bastante con las de 
otro de alcohol, siendo en 
cambio casi coincidentes las 
de los termómetros de ga- 
ses. 

La temperatura definida 
por un termómetro de gas 
cualquiera difiere muy po- 
co de la temperatura defini- 
da por las ecuaciones de la 
termodinámica, que corres- 
ponde a las indicaciones de 
un termómetro de gas ideal. 

•Las temperaturas í 5 ; í 2 ; 
t 3 ; ... definidas por los 
termómetros T, ; T 2 ; T s ; ... 
están vinculadas a la tem- 
peratura t, definida por las 
ecuaciones de la termodiná- 
mica, por funciones más o 
menos complicadas: 

t = Fi (U) 

(Fórmula de lord Kelvin). 




348 


CONCEPTO DE TEMPERATURA 


Conclusión 

En lo que a la enseñanza se refiere, los alumnos no en- 
cuentran, en general, dificultad alguna en asimilar co- 
rrectamente el concepto de temperatura. Naturalmente 
que si se comienza por decirles que la “temperatura no se 
puede medir”, que “no es una magnitud”, etc., tienen que 
formarse, a partir de ese momento, una extraña opinión, 
no sólo acerca de aquel concepto, sino de toda la Física, y 
hasta de las Matemáticas. Felizmente, el que esto escribe 
jamás enseñó que la temperatura no se puede medir por 
no ser ella una magnitud, por lo cual ignora cómo reaccio- 
nan ante esa explicación aquellos alumnos que cultivan su 
propia personalidad, y que son capaces de pensar por sí 
mismos. ¿No habrá preguntado nunca algún alumno, a su 
profesor, cómo es que opera algebraicamente con la le- 
tra t, símbolo de la temperatura, siendo que ésta no es 
una magnitud, porque para ella “no puede definirse la 
suma”? ¿No se habrá quedado perplejo el mismo alumno, 
cuando el mismo profesor que le enseñó que la tempera- 
tura no se puede medir, le hace medir con un termómetro 
y un calorímetro una cantidad de calor, y le dice que ésta 
sí, es una magnitud? Y cuando el profesor lo aplaza si 
no sabe escribir la fórmula 

Q = me (t — i'), 

referente a la cantidad de calor que gana o pierde un 
cuerpo, y en la que aparece la diferencia entre dos tempe- 
raturas, ¿no se habrá sublevado interiormente pensando 
que no puede tener sentido la resta, si es que no lo tiene 
la suma? 

Es indudable que muchas de estas cuestiones deben 
haberse formulado en más de una clase y ante más de un 
profesor. 

En cambio, nada más sencillo que, siguiendo el camino 
indicado en su Termodinámica por el genial físico y ma- 
temático Henri Poincaré, se comience por enseñar cómo es- 



CONCLUSIÓN 


349 


tá hecho un termómetro, cómo se gradúa, y decir que se lla- 
ma temperatura de un cuerpo a lo que indica aquel ins- 
trumento cuando se lo pone en “contacto térmico” con el 
mismo. A su debido tiempo se introducirá, luego, la tem- 
peratura absoluta y la significación de la misma, dentro 
del marco de la teoría cinética. 




X 


LA FISICA DE NUESTROS DÍAS EN LA 
ENSEÑANZA 


La evolución de la Física y su repercusión en la enseñanza . — La 
constante de Planck. — Teoría de Bohr. — Algunas preguntas in- 
teresantes. — Relatividad. — Física nuclear. 


La evolución de la Física y su repercusión 
en la enseñanza 

Si examinamos los programas o los textos corrientes 
en uso en la actualidad, y comparamos su contenido con lo 
que es la Física de nuestros días, encontramos a aquéllos 
en evidente retraso. Se requiere cierto tiempo para que 
los descubrimientos y su interpretación sean asimilados y 
elaborados en forma adecuada por los encargados de di- 
fundirlos. 

Es, pues, natural y explicable ese retraso en la mayo- 
ría de los casos, aunque resulta sin embargo completa- 
mente inexplicable en algunos. Hace, por ejemplo, casi 
medio siglo que Planck introdujo en la Física su teoría de 
los cuantos y la constante h, que hoy lleva su nombre, y 
no obstante permanece ella ignorada hasta hoy por la ma- 
yoría de los programas y los textos dedicados a la ense- 
ñanza media. 

Otro tanto ocurre con la teoría de la relatividad, es- 
tablecida por Einstein en 1905, y que, a pesar de la ava- 



352 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


lancha bibliográfica que originó en su hora, sigue hasta 
hoy sin encontrar su lugar en los planes de enseñanza. 

Igualmente, es muy poco lo que se enseña hoy día 
acerca de la estructura del átomo y de los fenómenos que 
tienen su asiento en el núcleo del mismo. Entre la masa 
de los profesores existe la idea de que se trata de asuntos 
que se encuentran fuera del alcance de los alumnos. El 
origen de esta creencia proviene del hecho psicológico de 
confundir lo nuevo con lo difícil . Examinando textos 
viejos dedicados a la enseñanza, inferimos, a través de 
ellos, que lo mismo que ocurre hoy ha ocurrido antes. 

Así, por ejemplo, en la edición de 1860 del clásico tra- 
tado de Física de Ganot no se mencionan para nada, en 
la parte de mecánica, las palabras energía y trabajo , y 
sólo en una nota, en letra pequeña, se alude, en la parte 
de calor, a una nueva teoría , en la que “trabajan desde 
hace algunos años geómetras y físicos, y que designan 
con el nombre de teoría dinámica del calor Aunque se 
citan en esa nota los nombres de Joule y Mayer, no se 
describe ninguno de los célebres experimentos realizados 
por el primero, casi veinte años antes (en 1842), para 
determinar el equivalente mecánico del calor. JDs casi 
seguro que la enorme mayaría de los profesores de Física 
de enseñanza media de fines del siglo pasado considera- 
rían también que estaban “más allá del alcance de sus 
alumnos” el concepto de energía y el principio de conser- 
vación de la misma. 

Si hoy se pusiera a votación, entre el profesorado de- 
dicado a la enseñanza media, si se debe o no incorporar a 
los planes de estudio la teoría de la relatividad y la de los 
cuantos, los que creemos que así debe hacerse experimen- 
taríamos una aplastante derrota, como la que hubieran 
experimentado hace cincuenta años los que propugnaban 
entonces que se enseñara de una vez lo relativo a la ener- 
gía y al equivalente mecánico del calor. 



LA CONSTANTE DE PLANCK 


353 


La constante de Planck 

Si alguien piensa que no debe hablarse aún en la en- 
señanza de la teoría de los cuantos de Planck, por ser ella 
sólo una especulación teórica, sin aplicación alguna, re- 
cordaré que la constante que lleva el nombre del ilustre 
físico debe ser conocida por el médico radiólogo para uti- 
lizar adecuadamente su tubo de rayos X, pues mediante 
ella se vincula la diferencia de potencial empleado en la 
ampolla con el poder de penetración de los rayos. La clave 
del efecto fotoeléctrico, base de la construcción de las cé- 
lulas fotoeléctricas, que entre otras mil aplicaciones hace 
que se pongan en marcha en forma casi mágica las esca- 
leras del subterráneo, y que permiten convertir en sonido 
las manchas impresas en los bordes de las películas sono- 
ras, es también la constante de Planck. Sin ella no se 
puede interpretar siquiera la radiación térmica de una 
plancha caliente, y mucho menos la irradiación del Sol y 
de las estrellas. Con su auxilio se miden, en cambio, las 
temperaturas estelares, con la misma seguridad de una 
determinación directa practicada con un horno cualquie- 
ra, que se tenga al alcance de la mano. En fin, todos los 
fenómenos en que se establece un intercambio de energía 
entre radiación y materia aparecen regulados por esa 
constante universal, tan importante como la constante de 
gravitación o el equivalente mecánico del calor. ¿Se con- 
cibe que en la actualidad no se diga una palabra siquiera 
a los alumnos de enseñanza media de la teoría de los cuan- 
tos, y que continúen ignorando el nombre de Planck? 

Las ideas fundamentales de esta teoría no ofrecen di- 
ficultad alguna. Todo consiste en que los átomos o las 
moléculas de los cuerpos absorben o emiten energía en 
forma discontinua, por sorbos, por átomos de energía. 

Si la energía irradiada o absorbida por un átomo tiene 
la frecuencia v, el cuanto mínimo de la energía de esa cla- 
se, de esa frecuencia, que el átomo es capaz de emitir o 
absorber, tiene el valor f tal, que: 



354 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


e = h v. 

Para que los alumnos asimilen el contenido de esta 
fórmula sencillísima, es necesario hacer que se ejerciten 
en algunos problemas numéricos del tipo siguiente: Cal- 
cular el valor del cuanto de energía correspondiente a luz 
de tal longitud de onda. Desde luego, habrá que habituar- 
los a operar utilizando las potencias de 10. Si se trata de 
una longitud de onda A = 6000 Angstrom (luz amarilla), 
comenzarán por calcular la frecuencia v aplicando la fór- 
mula : 


v A 6000 X 10-» cm 5 X 1Í)U [ seg ] ’ 

donde c es la velocidad de la luz, y un Angtróm, igual a 
10* 8 cm. Tomando para la constante de Planck el valor 

h = 6,6 X 10-" erg X seg, 


resulta : 

e — 6,6 X 10-*' [erg X seg] X 5 X 10“ [— 1 - 

l seg J 

= 33 X 10- 13 erg. 

El “átomo de energía” o cuanto de luz de esa longitud 
de onda, o la energía del fotón correspondiente, tiene en- 
tonces ese valor, y el átomo de materia capaz de emitir 
o absorber luz de esa frecuencia lo hará solamente por 
números enteros de esos fotones. 

Con varios ejercicios de esta clase, los alumnos en- 
cuentran que la energía de cada fotón es tanto mayor 
cuanto menor es la longitud de onda, y entenderán de 
inmediato la ley fundamental de Einstein, del efecto fo- 
toeléctrico. 



TEORÍA DE BOHR 


365 


Teoría de Bohr 

Naturalmente que el alumno quiere saber por qué 
los átomos absorben o emiten energía de determinada 
longitud de onda en forma de cuantos, y nada más fácil 
que satisfacer esa curiosidad excursionando con ellos 
por el apasionante capítulo de la estructura atómica. 

No es necesario, para dar las ideas esenciales de la 
teoría del genial físico danés, tratar de la “cuantifica- 
ción del rotador”, y hacer el cálculo de la energía de las 
órbitas, supuestas circulares para el caso del átomo de 
hidrógeno. Basta con comparar los diferentes niveles de 
energía del átomo con una escalera de escalones des- 
iguales, e imaginar que el único electrón que rodea al 
núcleo puede saltar de modos diversos de un escalón a 
otro. 

Para dar cuenta del comportamiento del átomo de 
hidrógeno en forma completa, y en líneas generales de 
cualquier otro, es necesario suponer que la energía co- 
rrespondiente a cada piso o escalón está dada por la 
fórmula : 

E. = E. (l - -? T ) [1] 

Para el átomo de hidrógeno: 

E 0 = 218 X l<H a erg, [2] 

y convendrá que los alumnos, antes de seguir adelante, 
calculen la energía correspondiente para diversos valo- 
res del número entero n, y que hagan una gráfica que 
•represente dichos niveles o escalones a escala. Obten- 
drán, así, una tabla como la que sigue: 



356 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


n 

E 

i 

0 

2 

163,5 X 10~ 13 erg 

3 

193,7 X „ 

4 

204,4 X „ 

5 

209,3 X „ 

6 

211,9 X „ 

00 

218 X „ 


Se les dirá, ahora, que ya están ellos mismos en con- 
diciones de calcular, utilizando la tabla precedente, o lo 
que es lo mismo la fórmula [1], la longitud de onda de 
cualquiera de las líneas espectrales emitidas por los áto- 
mos de hidrógeno. Supongamos que se les proponga ha- 
llar la longitud de onda correspondiente a la luz que emite 
el átomo, cuando su único electrón planetario salta del 
piso 3 al 2. De acuerdo con la tabla que ya han calculado, 
el átomo irradiará en ese salto la energía : 

E 3 — E 2 = (193,7 — 163,5) 10- 13 erg = 30,2 X 10- 13 erg. 


Esta energía, que se irradia en forma de luz, consti- 
tutuye un "cuanto de energía” o, lo que es lo mismo, un 
cuanto de luz, o fotón. Como la energía de éste se obtiene 
multiplicando la constante de Planck h por la frecuen- 
cia v, deberá ser: 

ll V = E ; t E-2 


o sea: 


E 3 E 2 

~ h 


[3] 


con lo cual están ya aplicando la llamada "condición de 
frecuencia” de Bohr. Numéricamente obtendrán: 


30,2 X 10 13 erg 
6,6 X 10~ 27 erg X seg 


= 4,58 X 10 1 ' 



V = 



TEORÍA DE BOHR 


357 


Como entre la frecuencia, la velocidad c de la luz y 
la longitud de onda A existe la relación : 

c 


se obtiene : 

3 X 10 10 — 
seg 

A ~ \J fVJtJU X\ JL\J VUi 

4,58 X 10 14 — 
seg 

o lo que es lo mismo : 

A = 6550 X 10- 8 cm = 6550 A. 

Conviene que los alumnos se acostumbren a hacer 
intervenir en estas cuestiones lo que se llama número de 
ondas por centímetro N, igual al número de ondas que 
caben en la longitud de un centímetro, y que no es más 
que el valor recíproco de la longitud de onda. En este 
caso se obtiene: 



N = — = 16900 [—1 . 

A L cm J 

lo que quiere decir que la longitud de onda de esta luz, 
que corresponde a la línea Ha del hidrógeno, es tal que 
caben en un centímetro 16900 longitudes de onda. 

Quizá se piense que es inútil hacer un cálculo de esta 
clase cuando es tan fácil obtener de la fórmula [1] la ley 
general que da la longitud de onda de todas y cada una 
de las líneas del espectro del hidrógeno; pero la única 
manera de que los alumnos se familiaricen con esta clase 
de cálculos, en que interviene la constante de Planck, la 
velocidad de la luz, la frecuencia, etc., es hacer que ellos 
mismos los realicen. 

Si escribimos ahora el valor de la energía correspon- 
diente a dos niveles cualesquiera, n y k, de acuerdo a [1] : 



358 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


e imaginamos que el átomo pase, por un salto de su elec- 
trón luminoso (pues también así se le llama), del nivel n 
al k, la diferencia de energía está dada por: 

y la frecuencia de la luz emitida será, de acuerdo a [3] : 

= E n — E k _ ¡hll L\ . 

‘ h h \ k- n- ) 


El número de ondas N que caben en un centímetro es : 



por lo que: 


(— — ) . 

he \ k- n- ) 


[4] 


De acuerdo con los valores de E, h y c que se han da- 
do, resulta para el factor que aparece en el segundo miem- 
bro el valor : 


R = 


h c 


= 110 000 



Como en las medidas de la longitud de onda se alcanza 
una precisión muy grande, el valor que hay que tomar 
para la constante R, llamada constante de Rydberg, es: 

R = 109678 [—1 • 

L cm J 

Se trata, ahora, de hacer que los alumnos interpreten 
la fórmula [4], siendo para ello lo más adecuado hacer 
que calculen los números de ondas por centímetro corres- 



TEORÍA DE BOHR 


369 


pondientes a diferentes valores de k y de n. Para pro- 
ceder sistemáticamente, se les hará llenar un cuadro co- 
mo el que sigue: 


V n 
k\ 

i 

2 

' 

3 

4 

5 

1 

82259 

97492 

102823 

105291 

2 


15233 

20564 

23032 

3 



5331 

7799 

4 




2468 

\n 

k\ 

6 

7 

.... 

OO 

1 

106631 

107440 


109678 

2 

24372 

25181 

.... 

27419 

3 

9139 

9948 


12186 

4 

3808 

4617 

.... 

6855 


Los números de la primera fila se han obtenido ha- 
ciendo en la fórmula [4] k = 1, y dándole a n los valores 
2, 3, 4, ... Estos números corresponden a los números 
de onda de las líneas de la serie de Lyman, que yace en 
la región ultravioleta del espectro. Los de la segunda fila 
corresponden a la serie de Balmer, que se encuentra en la 
región visible del espectro, y cuyas cuatro primeras lí- 
neas se denominan Ha, H¡3, Hy y HS, y cuyos colores son, 
respectivamente, rojo, verde, azul y violeta. La tercera 
y cuarta fila dan, por último, los números de onda de las 
llamadas series de Paschen y Brackett, situadas en el in- 
frarrojo. 

Desde luego, los alumnos advertirán que una vez cal- 
culados los números de ondas de las líneas de la primera 
serie, los de la segunda se obtienen con sólo restar del 
primero los sucesivos valores obtenidos. Así, en la inter- 
sección de la tercera columna con la segunda fila se ob- 
tiene el número 15233, igual a 97492 - 82259. Análoga- 



360 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


mente pueden obtenerse los valores correspondientes a 
las filas restantes. 

Puedo asegurar que ni aun los alumnos más indife- 
rentes dejan de sentirse impresionados al captar, que con 
la simple fórmula 



puede calcularse con asombrosa precisión la longitud de 
onda de todas las líneas espectrales del hidrógeno. Al 
observar, entonces, el espectro de este elemento con un 
espectroscopio, o simplemente aplicando junto al ojo un 
prisma o una red de difracción, y mirando a través de 
uno u otra, un tubo de Geissler con hidrógeno enrarecido, 
excitado por una descarga eléctrica, no pueden dejar de 
formular mil y una preguntas. 

Se les ha dicho que la raya de luz roja que están ob- 
servando proviene de saltos del electrón, que van desde el 
tercero al segundo piso del átomo, en tanto que la siguien- 
te se origina por saltos que se cumplen entre el cuarto 
piso y el segundo. Como ambas rayas son observadas 
simultánueamente, es natural que pregunten por qué en 
unos átomos el electrón saltarín alcanzó el tercer piso, en 
otros el cuarto, en otros el quinto, etc. Debe, pues, expli- 
cárseles el proceso de excitación. Cuando por el tubo no 
pasa corriente alguna, es necesario admitir que los áto- 
mos se encuentran todos con su electrón luminoso situado 
en el piso bajo del mismo, en el llamado nivel fundamen- 
tal. El paso de la corriente eléctrica consiste en electro- 
nes que se mueven de uno a otro electrodo, y que encuen- 
tran en su trayecto a los átomos, contra los cuales cho- 
can. En estos choques, los átomos absorben energía: 
unos más, otros menos, y esta absorción se traduce por 
un salto del electrón que va desde la planta baja a un pi- 
so superior. Algunas veces el choque es tan intenso, que 
el salto efectuado por el electrón resulta demasiado gran- 
de, y se separa por completo del núcleo atómico: en esto 
consiste el proceso de ionización. Pero entre los miles de 



THORÍA DE 10HR 


361 


millones de átomos contenidos en el tubo, en todo momen- 
to habrá muchos millones que tienen su electrón luminoso 
en el segundo piso, y otros muchos también que han al- 
canzado el tercero, el cuarto, el quinto, el sexto, etc. ¿Por 
qué no se quedan tranquilos en las alturas? Acaso sien- 
tan un vértigo especial, y se lanzan escaleras abajo. Los 
más impacientes optan por tirarse directamente, cual- 
quiera sea la altura a que se encuentran, hasta la planta 
baja, y en estos prodigiosos saltos emiten luz ultravio- 
leta, que el espectrógrafo resuelve en las líneas de la 
serie de Lyman. 

Algo más prudentes son los electrones que, al caer, 
eligen como punto final de su acrobático salto el segundo 
piso, originando así las líneas visibles de la serie de Bal- 
mer. Pero en el segundo piso no pueden permanecer 
mucho tiempo, y se lanzarán desde allí al piso fundamen- 
tal, emitiendo luz correspondiente a la primera línea de 
la serie de Lyman. Claro está que si en el brevísimo tiem- 
po en que el electrón permanece en el segundo piso, el 
átomo absorbe algo de energía, proveniente del choque 
de un electrón ,o de algún otro átomo, en lugar de realizar 
su salto final hasta el piso bajo podrá elevarse hasta un 
piso superior. 

Los electrones más temerosos descenderán, después de 
haber ascendido, escalón por escalón, y emitirán así, al ir 
cayendo, luz correspondiente a la primera línea de cada 
una de las series. 

El proceso de emisión y de absorción de luz se cum- 
ple exactamente, en todos los átomos, de la misma ma- 
nera como se realiza en el átomo de hidrógeno. La única 
diferencia consiste en la diversa disposición de los di- 
ferentes niveles de energía entre los átomos de unos y 
otros elementos. Tratándose de las moléculas, los niveles 
le energía se encuentran en ellas sumamente juntos, ori- 
ginando esto los llamados espectros de bandas. Obser- 
vando con un espectroscopio el espectro del hidrógeno, 
se percibe claramente que las líneas de la serie de Balmer, 
por ejemplo, se encuentran sobre un fondo luminoso, for- 



362 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


mado por infinidad de líneas de débil intensidad, situa- 
das muy juntas unas a las otras. Por esta razón, aunque 
no lo queramos, tenemos que decir a nuestros alumnos 
algunas palabras referentes a los espectros de bandas, 
pues es imposible que dejen de preguntar qué son esas 
líneas que tienen ante sus ojos. En el tubo de Geissler 
se tienen moléculas formadas por dos átomos de hidró- 
geno. Al efectuar la descarga eléctrica se produce, por 
el choque de los electrones contra las mismas, la disocia- 
ción de las moléculas en átomos. Pero no todas las mo- 
léculas se disocian; cierto porcentaje de ellas quedan sin 
disociarse, y la luz emitida por el tubo es una mezcla 
de luz irradiada por los átomos y por las moléculas. Como 
los dos átomos de éstas vibran alrededor de una posición 
media, y también rotan alrededor del centro de masa mo- 
lecular, las variaciones de estas energías de vibración y 
rotación dan cuenta, conjuntamente con los saltos de uno 
de los electrones, de los diferentes niveles de energía que 
originan los espectros de bandas, que, aunque mucho más 
complicados que los de líneas, también responden en su 
configuración al cálculo que de ellos puede hacerse apli- 
cando la teoría de los cuantos. 


Algunas preguntas interesantes 


Cuando el profesor se lo propone, los alumnos pre- 
guntan aquello que él quiere que pregunten. Natural- 
mente que algunas veces el procedimiento falla, y el alum- 
no pregunta lo que menos deseamos. Cuando hablamos 
de los espectros de líneas provenientes de los átomos, no 
deseamos hacer ninguna incursión por los espectros de 
bandas originados por las moléculas, pero nuestros alum- 
nos, que acaban de observar esos espectros, nos exigen 
les demos algunas noticias de ellos. Ésa fué, la razón de 
las pocas líneas dedicadas a ese asunto en el párrafo pre- 
cedente. Aquí deseamos ocuparnos de otras cuestiones. 



ALGUNAS PREGUNTAS INTERESANTES 


363 


Consideremos dos átomos de hidrógeno, ambos excitados 
y con su electrón luminoso en el tercer piso. 

En uno de ellos, el electrón salta de ese tercer piso 
al primero, originando luz correspondiente a la segunda 
línea de la serie de Lyman, en tanto que en el otro átomo, 
idéntico al primero, el electrón salta del tercer piso al 
segundo, y luego de éste al primero, dando origen, en 
estos dos saltos, a dos fotones,* cuyas longitudes de onda 
corresponden, respectivamente, a la primera línea de la 
serie de Balmer, y también a la primera línea de la serie 
de Lyman. Si ninguno de nuestros alumnos nos pregun- 
ta por qué siendo los dos átomos idénticos se efectúa en 
uno de ellos el salto dé una manera y en el otro de otra, 
somos nosotros los que, en desquite, les formularemos esa 
pregunta. Y viviendo por unos momentos el inquietante 
problema que tanto ha preocupado a los físicos, cada uno 
de ellos formulará la hipótesis que le parezca más plau- 
sible, hasta que, finalmente, tendremos que decirles que 
cada átomo se comporta como una diminuta ruleta, y que 
a cada salto corresponde cierta probabilidad. 

Estás probabilidades, distintas para cada pasaje, se 
conocen por las intensidades de las líneas espectrales: las 
más intensas corresponden a saltos más probables. 

Pero más extraordinario que esto es todavía lo si- 
guiente: Si el electrón salta de la órbita 3 a la 1, ya al 
iniciarse el salto el átomo debe comenzar a emitir ondas, y 
el tren de ondas correspondiente al fotón emitido debe 
tener una longitud igual al camino que recorre la luz en 
el tiempo que tarda el electrón en saltar de uno a otro 
nivel. Para fijar ideas: si suponemos que el electrón tar- 
da en efectuar su salto un centimillonésimo de segundo, 
en ese tiempo la luz recorre tres metros, y tres metros 
deberá ser, en consecuencia, la distancia entre la “cabeza” 
y la “cola” del tren de ondas emitido. Pero en todo este 
tren de ondas, la longitud de onda tiene un valor cons- 
tante, valor que está determinado no sólo por la posición 
inicial del electrón, sino también por su posición final. 
Cuando el electrón salta del nivel 3 al 1, la longitud de 



364 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


onda es, de acuerdo al cuadro de la página 359, igual a: 


ás, l 


97492 


cm 


1026 A, 


en tanto que cuando salta del mismo nivel 3 al 2, la lon- 
gitud de onda es: 


•^ 3>2 


1 

15233 


cm = 6565 A. 


Ocurre como si el electrón, al iniciar su salto desde el 
tercer piso, ya “supiera” hasta dónde habrá de llegar. 
La condición de frecuencia de Bohr, dada por la, en apa- 
riencia, inofensiva e inocente fórmula: 

_ E n E>; 

v ~ h 

hace depender la frecuencia, y por lo tanto la longitud 
de onda de la luz emitida, de la posición inicial y final 
del electrón. En la Física clásica existen muchas fór- 
mulas de este tipo, pero que no encierran las dificultades 
de la que precede. Así, por ejemplo, si un cuerpo parte 
del reposo y pasa sobre la superficie de la Tierra, desde 
un nivel h a otro inferior h', por convertirse en el pasaje 
la energía potencial en cinética, la velocidad adquirida 
por el cuerpo será tal que 

2 v 2 = 9 (h — E) . 


También aquí la velocidad adquirida depende de la 
posición inicial y final, pero dicha velocidad ha ido au- 
mentando en forma continua, y en cada lugar el valor de 
la misma era el correspondiente a la altura del punto por 
donde el cuerpo pasaba. 

En cambio, en la fórmula que da la frecuencia, ya 
desde el principio dicha frecuencia está determinada por 
la posición a que llegará el electrón en su posición final. 
El presente aparece así determinado no sólo por el pa- 



ALGUNAS PREGUNTAS INTERESANTES 


365 


sado, sino también por el futuro. El presente está cons- 
tituido, aquí, por las primeras ondas del tren de ondas 
emitido por el átomo; el pasado, por el nivel inicial de 
energía desde donde partió el electrón, y el futuro, por el 
nivel adonde llegará. 

¿Que los alumnos no podrán comprender esto? Si no 
lo comprenden, darán con ello una prueba de su inteligen- 
cia. Los físicos tampoco lo comprenden, y la genialidad 
de Bohr consistió, justamente, en esa audacia sin límites 
de fundamentar toda su teoría en una fórmula que parece 
ser absolutamente incomprensible. ¿Por qué esa fórmula 
es incomprensible? ¿Se trata acaso de una limitación de 
nuestra razón? De lo que aquí se trata es, sencillamente, 
que en el dominio del átomo no es ya válido el principio 
de causalidad de la física clásica. A pesar de la aparente 
sencillez del enunciado “a iguales causas iguales efectos 9 * , 
y a pesar, también, de que parece ser indispensable la 
adopción de ese principio para hacer factible una des- 
cripción científica de los hechos de la Naturaleza, los fí- 
sicos han tenido que arrojarlo por la borda para poder in- 
terpretar lo que ocurre en el dominio del átomo. En el 
capítulo siguiente trataremos esta cuestión con mayor de- 
tenimiento. 

Debemos hacer notar aquí, que no es fundamental que 
una teoría aparezca como incomprensible. La teoría de 
la gravitación, de Newton, y la fórmula según la cual un 
cuerpo actúa misteriosamente a la distancia sobre otro, 
es también incomprensible, por lo cual los cartesianos ja- 
más se resignaron a aceptarla. Es muy posible que com- 
prender no consista más que en habituarse. 

El esbozo que hemos hecho, en las líneas que preceden 
de la teoría de Bohr, es ya suficiente para poder inter- 
pretar todo lo referente a los espectros ópticos y a los 
de los rayos Roentgen. Desde luego que podrá prescindir- 
se, si se quiere, de todo desarrollo matemático, pero cree- 
mos firmemente que no debe omitirse el dar las ideas 
fundamentales de la teoría. 



366 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


Relatividad 

Ciertamente, es intrínsecamente más difícil dar las 
ideas fundamentales de la teoría de la relatividad que de 
la teoría de los cuantos. 

Tenemos tan arraigado en nuestro espíritu el concep- 
to de un espacio y un tiempo absolutos, que sin ellos pa- 
rece que desapareciera todo sostén posible para nuestro 
pensamiento. Ante todo, comencemos por aclarar qué es 
lo que entendemos por espacio y tiempo absolutos. Si de- 
cimos que un cuerpo se mueve con una velocidad constan- 
te de 100 Km/hora, y no indicamos ningún cuerpo mate- 
rial que sirva de referencia a ese movimiento, y le atri- 
buimos, a pesar de ello, un sentido a aquella proposición, 
es que estamos pensando en el espacio absoluto. Diría- 
mos, entonces, que el cuerpo se mueve en el espacio con 
tal o cual velocidad. Cuando viajamos en un automóvil 
descubierto, advertimos bien el efecto de nuestro movi- 
miento con respecto al aire, y tiene perfecto sentido decir 
que un cuerpo se mueve en esa masa de aire, como tam- 
bién lo tiene el hablar del movimiento de un pez en él 
océano. Debido a que los movimientos que observamos 
se efectúan siempre en un medio material, y dada la im- 
posibilidad psíquica de concebir un espacio vacío, atri- 
buimos sentido a la frase: “Tal cuerpo se mueve en el 
espacio”. Somos profundamente imaginativos : para unos, 
“el espacio” es gris, para otros, rosado, y el que más o 
el que menos se lo representa como una masa de algo. La 
física clásica llenó el espacio geométrico, primero con su 
éter mecánico, y luego con el éter electromagnético. Cua- 
lesquiera fueran las propiedades de esos medios, tenía 
pleno sentido hablar de la velocidad de un cuerpo en el 
espacio, pues el espacio estaba lleno de éter. Los físicos 
se propusieron, entonces, medir la velocidad de la Tierra 
en el espacio, es decir, con respecto al éter, que debía lle- 
narlo por completo, pero fracasaron totalmente en su 
intento. Quiso explicarse el fracaso mediante extrañas 



RELATIVIDAD 


367 


hipótesis, hasta que al fin Einstein, en 1905, dijo a los 
físicos: “Señores, sus experimentos han fracasado por 
la sencilla razón de que el espacio está vacío. No puede 
entonces determinarse la velocidad de un cuerpo en el 
espacio, por lo cual no tiene sentido hablar de un movi- 
miento sin referirlo a algo material”. Así, pues, el éter, 
para la teoría de la relatividad, no existe. 

La teoría de la relatividad aparecida en 1905, es la 
llamada teoría restringida de la relatividad. Se refiere 
solamente a movimientos relativos, rectilíneos y unifor- 
mes. Diez años más tarde, el mismo Einstein pudo gene- 
ralizar su teoría para cualesquiera movimientos. Se trata 
de la teoría generalizada de la relatividad, que se la co- 
noce también con el nombre de teoría de la gravitación, 
ya que con ella se explican, sin suponer fuerza alguna de 
tipo newtoniano, los fenómenos que en la mecánica clá- 
sica eran atribuidos a la acción gravitatoria. Refirámo- 
nos ahora a la teoría restringida, y supongamos en un 
lugar cualquiera dos vagones de tren que se muevan, el 
uno con respecto al otro, con movimiento rectilíneo y 
uniforme, y con determinada velocidad. Llamemos A a 
uno de los vagones, y B al otro. Para fijar ideas, supon- 
dremos que B tiene, con respecto a A, una velocidad de 
100 km/hora. Si se piensa en un espacio absoluto, cabría 
preguntar: ¿es realmente B el que se mueve y A está en 
reposo, o viceversa? Se debe empezar por comprender 
que esta pregunta no tiene sentido. B se mueve con res- 
pecto a A, y A se mueve (en sentido opuesto y con igual 
velocidad) con respecto a B. Si imaginamos que cada uno 
de los vagones está lleno de pasajeros, los de A describi- 
rán el movimiento de B refiriéndolo a un sistema de co- 
ordenadas fijo en A, y los de B adoptarán igualmente, 
para referir el movimiento de A, otro sistema de coorde- 
nadas fijo a su vagón. Claro está que los dos sistemas 
son, entre sí, completamente equivalentes. No lo serían, 
en cambio, en un espacio absoluto, porque en él A y B se 
moverían con diferente velocidad, pudiendo ocurrir que 
uno de ellos estuviera “ realmente ” en reposo y el otro no. 



368 


LA FÍSICA DB NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


Se tiene así el siguiente enunciado para el llamado 
principio de relatividad: 

Todos los sistemas que se trasladen , unos respecto a 
los otros , con movimiento rectilíneo y uniforme, son equi- 
valentes entre sí. ¿Qué quiere decir que son equivalentes? 
Quiere decir que si en el sistema vinculado a A se verifica 
determinada ley física, la misma ley se verificará, igual- 
mente, para el sistema vinculado a B. 

Si los pasajeros de A comprueban que en su vagón, 
por el pasaje de una corriente eléctrica, la aguja magné- 
tica se desvía de tal o cual modo, los pasajeros de B, si 
efectúan el mismo experimento, comprobarán exactamen- 
te lo mismo. En un espacio absoluto no ocurriría esto : la 
velocidad del sistema con respecto al éter, influiría en el 
fenómeno. 

En realidad, la equivalencia se refiere a sistemas iner- 
ciales, en los cuales vale el principio de inercia. Si un 
sistema es inercial, cualquier otro que se traslade con 
respecto a él con movimiento rectilíneo y uniforme será 
también inercial. 

El segundo postulado que sirve de base a la teoría de 
la relatividad, es el siguiente: 

La luz se propaga con velocidad constante en cualquier 
dirección , y su valor no depende ni del movimiento de la 
fuente ni del del sistema de referencia. 

De acuerdo con este postulado, los pasajeros de A 
comprobarían, al encender dentro de su vagón una bu- 
jía, que al cabo de cierto tiempo la superficie de onda de 
la luz emitida es una superficie esférica, con centro en la 
bujía. Los de B, desde luego, comprobarían igual cosa. 
La segunda parte del postulado de la constancia de la 
velocidad de la luz da, como hemos dicho ya en otra parte, 
una definición del tiempo. El reloj patrón está constitui- 
do aquí por un rayo de luz. 

Verdaderamente, no pueden ser más simples los dos 
principios que sirven de base a la teoría de la relatividad. 
Las consecuencias que se extraen de ellos son, no obstante 
inusitadas. 



FÍSICA NUCLEAR 


369 


¿Será posible dar algo más de lo que precede, de la 
teoría de la relatividad, en la enseñanza media? Creo que 
sí. El camino a seguirse podría ser, quizás, el bosquejado 
al final de esta obra. 

En lo que a la teoría generalizada se refiere, es nece- 
sario mencionar, al tratar de ella, para que se compren- 
dan las ideas fundamentales de la misma, las geometrías 
no euclidianas, que algún día tendrán que ser incorpora- 
das también a los cursos de Matemáticas elementales. 


Física nuclear 

Es de imperiosa necesidad, en la época actual, por 
razones obvias, mencionar los hechos más salientes de la 
física del núcleo, que, por otra, parte, no ofrece dificultad 
alguna. Tal vez el párrafo que precede asombre a más 
de un lector que, enterado por las revistas científicas, o 
por las obras especializadas, de los trabajos efectuados 
al respecto en estos últimos tiempos, piense que no es po- 
sible poner al alcance de los alumnos de enseñanza media 
esos hechos que aparentan ser tan complicados. Lo que 
ocurre es que en las revistas y obras especializadas se 
analizan circunstanciadamente los hechos observados, dan- 
do a conocer todas las razones que se tienen para inter- 
pretarlos de tal o cual manera. En resumen, se sigue en 
ellas el laborioso camino inductivo, que trata de formar 
manojos con los hechos dispersos, y es necesario men- 
cionar las razones que se han tenido para dar una u otra 
interpretación. Pero es mucho más fácil recorrer ese 
mismo camino escaleras abajo, partiendo de los manojos, 
hasta llegar a los hechos. Así, por ejemplo, es difícil y 
laborioso llegar al modelo atómico de Rutherford par- 
tiendo de sus experimentos de dispersión de las partícu- 
las «, pero es muy fácil, en cambio, interpretar aquellos 
experimentos, así como los rastros fotografiados en la 
. cámara de Wilson, partiendo del modelo ya hecho. El 
método inductivo es apropiado para ser seguido en la la- 



370 


LA FÍSICA DE NUESTROS DÍAS EN LA ENSEÑANZA 


bor de los seminarios, pero, salvo excepciones, ofrece di- 
ficultades muy grandes en la enseñanza. Piénsese, por 
ejemplo, que el descubridor del efecto magnético de la co- 
rriente eléctrica, Oersted, no consiguió resumir sus ob- 
servaciones en una regla, que fué formulada algo más 
tarde por Ampére. ¿A quién se le podría ocurrir seguir 
el método inductivo, para explicar la regla del nadador, 
de Ampére? Para seguirlo habría que considerar decenas 
de casos particulares, cuya misma descripción sería su- 
mamente difícil: el conductor sobre la aguja, el conduc- 
tor debajo de la aguja, el conductor vertical u horizontal, 
y la corriente con tal o cual sentido, etc. Todos estos 
hechos están reunidos en un manojo, y ese manojo es, en 
este caso, la regla del nadador. Análogamente, un incon- 
table número de hechos de física atómica se han reunido 
en un “manojo”, que es, en este caso, un modelo atómico. 

Admitiendo que el núcleo está formado por la unión 
de protones y neutrones, es fácil dar cuenta de lo que son 
elementos isótopos, no ofreciendo ninguna dificultad la 
explicación del funcionamiento de un espectrógrafo de 
masas. 

El hecho de que en el núcleo no existan electrones, a 
pesar de lo cual se desprenden del mismo, en los fenóme- 
nos de radiactividad natural o artificial, partículas beta, 
puede explicarse por la conversión de un neutrón en un 
protón, COMO SI el neutrón estuviera constituido por la 
fusión íntima de un protón y un electrón. 

La interpretación de las ecuaciones de la química nu- 
clear ofrecen menos dificultad todavía que las de la quí- 
mica corriente, siendo quizá más difícil explicar el por- 
qué y el cómo de la energía irradiada por un fósforo al 
encenderse, que dar la razón de la liberada en la partición 
de los núcleos atómicos, y que servirá para poner a prue- 
ba el equilibrio de los hombres. 



XI 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


Introducción. — Consideraciones generales. — Repercusión en 
el campo filosófico. — Enunciado de Laplace. — Un fusil de elec- 
trones. — Interacción entre el observador y el sistema observado. — 
Formulación del principio de Heisenberg. — Justificación del prin- 
cipio. — Significación del principio. 


Introducción 

Ciertos asuntos alcanzan en un momento dado tal re- 
sonancia, que es imposible dejar de ocuparse de ellos. Hace 
unos veinte años, el que esto escribe hubo de dar a sus 
alumnos del Colegio Nacional de La Plata muchas clases 
extraordinarias, a instancia de ellos mismos, sobre la teo- 
ría de la relatividad y las geometrías no euclidianas. En 
todas partes se hablaba entonces de la relatividad del es- 
pacio y del tiempo, y casi no pasaba día sin que en los 
periódicos más difundidos se diera alguna noticia sobre 
las comprobaciones astronómicas de la teoría, o las dis- 
cusiones que la misma suscitaba entre físicos y filósofos. 

Los profesores de Filosofía se creían también obliga- 
dos a mencionar en sus clases, junto al nombre de Kant, 
el de Einstein, y, como es natural, si los alumnos enten- 
dían poco de lo que había dicho el uno, no entendían nada 
de lo que había dicho el otro. Recurrían entonces a su 
profesor de Física, y entendían todavía menos. La expe- 
riencia recogida entonces ha servido para que las gene- 



372 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


raciones siguientes se llamaran a silencio y no pregun- 
taran más. De veinte años a esta parte, el interés filo- 
sófico que suscitó en su hora la teoría de la relatividad 
se ha dirigido hacia la teoría de los cuantos. En 1927 
cayó en el campo de la Física y de la Filosofía una tre- 
menda bomba, como un anticipo de la atómica, que hizo 
impacto sobre el propio principio de causalidad, y desde 
entonces son muchos los que quieren saber qué es lo que 
ha pasado en la Física. 

Estimo que a más de uno de mis colegas, alguno de 
sus alumnos le habrá preguntado si es cierto que “los 
electrones tienen voluntad”, o si es verdad que ellos son 
“libres”, y como el deber fundamental del profesor es 
satisfacer y fomentar la curiosidad de sus alumnos, tra- 
taré de exponer en el presente capítulo lo que al respecto 
podría intentar enseñarse de ese apasionante asunto, si 
es que las circunstanicas se presentan propicias para ello. 


Consideraciones generales 

Hasta 1927 se ocupaban del problema de la causalidad 
casi exclusivamente los filósofos. Que la ley causal se 
cumplía con todo rigor en el mundo físico, era algo que 
nadie o casi nadie osaba discutir. Lo que se discutía era 
si dicha ley tenía validez en el dominio del espíritu. 

Pero el problema de la causalidad y el de la libertad 
de nuestras acciones no interesa solamente al reducido 
círculo de físicos y filósofos. El hombre del pueblo siente 
también la angustia del mismo problema, y cree encon- 
trar una solución cuando, resignado, masculla entre dien- 
tes: ¡"Estaba escrito”! 

Dije ya que se admitía como algo incuestionable, has- 
ta hace poco tiempo, la validez estricta de la ley causal en 
el mundo físico. Pero, cosa curiosa: si hojeamos cualquier 
tratado clásico de física, no encontraremos en él una pa- 
labra siquiera que se refiera a la ley causal. Mejor dicho: 
encontramos en casi todas las páginas las palabras causa 



CONSIDERACIONES GENERALES 


373 


y efecto; se nos dice, a propósito de determinado fenó- 
meno, que tales y cuales han sido las causas que lo han 
producido; pero lo que falta es la formulación explícita 
del principio de causalidad. 

En 1927, el joven físico alemán Werner Heisenberg 
establece, para la física del átomo, un principio llamado 
de incerteza o de indeterminación. Antes de ocuparnos 
de la formulación y del alcance del nuevo principio, tra- 
taremos de esbozar las reacciones que el mismo suscitó 
en diferentes círculos de físicos y filósofos. 

Unos recibieron regocijados la buena nueva, que ve- 
nía del campo de la Física: He aquí, decían, descubierta 
la clave de la Física cuántica. La ley causal, expresaban, 
no es válida en el dominio del átomo; los electrones se 
comportan como si fueran libres; la cadena causal se ha 
roto; desde el mismo campo de la Física, y por obra de 
físicos, han sido conmovidos en sus cimientos los estre- 
chos y rígidos muros de una física causalista, dentro de 
la cual no había espacio ni aire suficiente para albergar 
al espíritu humano. 

La brecha abierta en la causalidad, agregaban, per- 
mite comprender cómo el espíritu puede actuar sobre la 
materia sin estar esclavizado por ella; los propios físicos 
han arrojado por la borda la ley causal, y han dado de 
este modo razón a los que desde hace mucho sacaron de 
su propia conciencia la certeza de la libre determinación 
del espíritu humano. 

En otro sector no fué recibido con tanta algarabía 
ol principio de indeterminación. Desde él se oían voces 
que se expresaban más o menos en los sigiuentes térmi- 
nos: El llamado principio de indeterminación de Heisen- 
berg muestra solamente que en el dominio del átomo de- 
ben aplicarse leyes de carácter estadístico. Ya la Física 
lia aplicado estas leyes en muchos de sus capítulos, y lo 
lia hecho, no porque no valga en los procesos individuales 
la ley causal, sino por la imposibilidad humana de consi- 
. dorar aisladamente esos hechos. El principio de Heisen- 
berg puede muy bien ser, decían, una etapa provisoria del 



374 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


desarrollo de la Física, que es de desear llegue a ser supe- 
rada, para volver al marco de una Física causalista. 

Hemos esquematizado, en lo que precede, las reaccio- 
nes que suscitó la aparición del principio de indetermi- 
nación de Heisenberg en el mundo de los físicos. En los 
trabajos inmediatamente posteriores a los de Heisenberg 
se nota una verdadera desorientación en todo lo que se 
refiere a fijar el alcance y contenido del nuevo principio. 
El mismo Heisenberg, en su primera memoria, parece 
asignarle al principio de incerteza un lugar opuesto al 
de la ley causal; se expresa de tal modo, que podría tra- 
ducirse su pensamiento en la siguiente forma: “Tales y 
tales hechos prueban que la ley causal no puede aceptarse 
como válida en el dominio del átomo”. Sin embargo, en 
una segunda memoria rectifica este punto de vista, en la 
forma que mencionaremos más adelante. 


Repercusión en el campo filosófico 

Pero el revuelo que produjo entre los físicos la apari- 
ción del principio de indeterminación, nada fué, en com- 
paración, con el estupor que provocó entre los filósofos. 
¡Y no era para menos! Supongamos que a alguien que 
haya leído, aunque sea someramente, a Hume y a Kant 
se le dice que un físico ha probado experimentalmente 
— pues el principio de indeterminación se basa en la ex- 
periencia — que la ley causal es falsa. 

Esto es tanto como si alguien nos dijera que ha lo- 
grado probar, mediante experimentos, que siete más cin- 
co no son 12 . . . 

Hume, en efecto, demostró que la ley causal no puede 
ser probada ni desmentida por la experiencia. Si al hacer 
un experimento observamos un resultado opuesto al es- 
perado, estamos obligados a pensar que ha intervenido en 
este caso una causa fortuita; la validez del principio de 
causalidad no puede, pues, estar en juego en experimento 
alguno; dicha validez es, por el contrario, un presupuesto 



REPERCUSIÓN EN EL CAMPO FILOSÓFICO 


375 


de toda posible experiencia. En otras palabras: el prin- 
cipio de causalidad es una forma de nuestro pensamiento. 
En el lenguaje kantiano, esto se expresa diciendo que se 
trata de un juicio sintético a priori. Aclaremos, con al- 
gunos ejemplos sencillos, lo que esto significa. Si se dice: 

Los hombres ciegos no ven, equivale a decir los ciegos 
son ciegos, y el atributo está contenido en el sujeto. Un 
análisis del sujeto permite obtener el atributo. Un juicio 
de esta clase se llama, por esta razón, analítico. En cam- 
bio, si decimos : “Los ciegos son desconfiados” , el atributo 
no está contenido en el sujeto. Dicho juicio podrá ser 
falso o verdadero, y para formularlo hemos debido efec- 
tuar una síntesis de diversas observaciones o experiencias. 
Se trata, pues, de un juicio sintético. 

Los juicios analíticos son juicios a priori; para su 
formulación no se necesita efectuar experimento alguno, 
pero lo que expresan son verdaderas trivialidades. Nadie 
que no sea un sofista emplea en el lenguaje corriente jui- 
cios analíticos. 

Los juicios sintéticos, en cambio, expresan siempre algo 
nuevo, y se efectúan después, o sea a posteriori, de ciertas 
observaciones o experiencias; y si bien son más ricos en 
contenido que los pobres juicios analíticos, no tienen nun- 
ca el grado de certeza de aquéllos. Este grado de certeza 
de los juicios analíticos no aumenta con el número de ob- 
servaciones o de experimentos que efectuamos para veri- 
ficarlos. 

Los juicios de la Matemática pura, ¿serán analíticos? 
¿serán sintéticos? Consideremos el ejemplo preferido por 
el mismo Kant. Cuando afirmamos que siete más cinco 
son doce, la idea del número doce no está contenida en 
los números siete y cinco ni en su reunión; el predicado 
no está implícito en el sujeto, por lo cual no puede obte- 
nerse por un simple análisis de éste. El juicio no es, por 
tanto analítico. Supongamos que dicho juicio lo hubiera 
formulado después de observar lo que pasa con dos con- 
juntos de cinco y siete manzanas. El juicio, efectuado a 
raíz de mis observaciones sobre esos dos conjuntos, sería, 



376 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


por esa razón, sintético, pero dicho juicio lo puedo exten- 
der en seguida a otros dos conjuntos de bolitas o de per- 
sonas. El grado de certeza de mi juicio no depende del 
número de veces que lo haya verificado ni de la variedad 
de los objetos utilizados. Este juicio sintético, siete más 
cinco igual a doce, tiene todo el grado de certeza de los 
juicios analíticos, y es, además, un juicio a priori ; ante- 
rior a toda experiencia. Por estas razones, Kant conside- 
ra, además de los juicios analíticos {a priori) y de los 
juicios sintéticos (a posteriori ), los juicios sintéticos a 
priori . 

Además de los juicios de la Matemática pura, sería 
también para Kant un juicio sintético a priori el que co- 
rrespondería a la noción de causalidad. 

Sean dos trozos de vidrio aproximadamente iguales. 
Dejemos caer uno de los trozos desde una altura de un 
metro sobre un piso de baldosas. El trozo se hace añicos. 
Si ahora me dispongo a dejar caer el segundo trozo en la 
misma forma, como lo hice con el anterior, estamos se- 
guros que también se quebrará en pedazos. Si ello no 
sucediera, no pensaríamos, de ningún modo, que ha fa- 
llado el principio de que “a iguales causas, iguales efec- 
tos” ; pensaríamos, más bien, que los trozos de vidrio no 
eran del todo iguales, o que no se los ha dejado caer del 
mismo modo. Pero admitamos que el segundo trozo tam- 
bién se rompa. Si en el primer experimento hemos con- 
tado el número de pedazos, y hemos anotado cuidadosa- 
mente la forma y el lugar de caída de cada uno de ellos, 
ahora, al efectuar el segundo experimento, estamos tam- 
bién seguros que por más precauciones que tomemos, ni 
el número ni la distribución ni la forma de los trozos 
será la misma. ¿Es que dudamos acerca de la validez del 
principio de causalidad? No, de ningún modo. De lo que 
dudamos es de que sea posible realizar dos experimentos 
en circunstancias exactamente idénticas. Si los sucesos 
son simultáneos, o sea, si dejamos caer simultáneamente 
los dos trozos de vidrio, se efectuarán en diferentes luga- 
res del espacio, y ya las circunstancias no serán idénti- 



ENUNCIADO DE LAPLACE 


377 


cas. Si en cambio los sucesos se efectúan uno después del 
otro, ha cambiado en el lapso transcurrido la posición de 
otros cuerpos del Universo, por ejemplo, la posición del 
Sol con respecto al lugar del experimento, y a priori no 
podemos afirmar que la posición del Sol no tenga influen- 
cia en la distribución de los trozos de vidrio de nuestro 
ejemplo. 

De lo que precede se desprende que el principio de 
causalidad que aplicamos en la vida diaria, y también en 
la ciencia, no es el principio de que “a iguales causas, 
iguales efectos”, sino el que se podría enunciar, en forma 
mucho más modesta, del siguiente modo, “a causas apro- 
ximadamente iguales, suceden efectos aproximadamente 
iguales”. 


Enunciado de Laplace 

Comprendiendo estas dificultades, Laplace dió un 
enunciado del principio de causalidad en el cual hacía 
intervenir al Universo entero. El enunciado de Laplace 
es el siguiente : 

“Una inteligencia que en un instante dado conociera 
todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza, y la posi- 
ción y velocidad, en ese instante, de todas las partículas 
del Universo, podría, si fuera suficientemente poderosa, 
someter al análisis todos esos datos, y obtendría así, por 
una y la misma fórmula, tanto el movimiento de los cuer- 
pos celestes como el del más liviano de los átomos; para 
esa inteligencia nada sería incierto, y ante sus ojos se 
haría presente tanto el pasado como el futuro”. 

Esta formulación del principio de causalidad le fué su- 
gerida a Laplace, sin duda alguna, por la perfección al- 
canzada por la mecánica celeste. El mismo Laplace 
agrega: 

“La trayectoria descripta por una simple molécula de 
aire o vapor está, con seguridad, tan determinada como 
las órbitas de los planetas; la diferencia proviene, única- 
mente, de nuestro desconocimiento”. 



378 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


Antes de seguir adelante observaremos que la formu- 
lación de Laplace del principio de causalidad, en la cual 
hace intervenir una inteligencia extrahumana, no difiere 
en esencia, de la formulación vulgar que mencionamos al 
comienzo, y que se sintetiza en la frase : “está escrito”. 

Veamos ahora qué es lo que tiene que decir de nuevo 
la física atómica de nuestros días acerca del principio de 
causalidad. El enunciado de Laplace, y refiriéndonos a 
una sola partícula y prescindiendo de toda inteligencia 
extrahumana, puede descomponerse en dos partes: 

Primera: Si se conoce en un instante dado la posición 
y la velocidad de una partícula, se puede ( segunda parte), 
conociendo además las fuerzas que actúan sobre la mis- 
ma, calcular su posición y su velocidad en un instante 
posterior cualquiera. Como para efectuar este cálculo es 
necesario el conocimiento de la ley, se presupone aquí la 
invariancia de la misma. 


Un fusil de electrones 

Recordemos el ejemplo de los dos trozos de vidrio, y 
reemplacémoslos por dos partículas elementales, las más 
elementales que conoce la Física: dos electrones. Hace- 
mos que uno de ellos pase a través de un orificio e incida 
luego sobre una placa fotográfica, donde quedará mar- 
cado el lugar del impacto. En una palabra: nuestro ex- 
perimento ideal consiste ahora en tirar al blanco con elec- 
trones. Dejaremos que pase el segundo electrón por el 
mismo orificio, en condiciones exactamente análogas a 
las de antes, y nos encontraremos con que en general in- 
cide en otro punto distinto de la placa. Pensamos que 
esta falta de coincidencia se deba quizás a alguna imper- 
fección de nuestro fusil de electrones. Perfeccionamos 
entonces el fusil, haciendo que los electrones pasen por 
un canal muy delgado, uno después del otro, y nos encon- 
tramos que, cuanto más delgado es el canal o caño de nues- 
tro fusil, tanto más impreciso es el tiro. Pasa con los 



INTERACCIÓN ENTRE EL OBSERVADOR Y EL SISTEMA OBSERVADO 379 


electrones como con la luz: Si queremos obtener un haz 
muy delgado de luz podría ocurrírsenos hacer que pasara 
a través de dos orificios muy pequeños practicados en 
dos pantallas. Pero al hacer este experimento, nos lleva- 
mos un gran chasco: cuanto más pequeño es el segundo 
orificio, tanto más abierto es el haz de luz que de él pro- 
cede. Este fenómeno, que no es otro que el de difrac- 
ción, se explica admitiendo que la luz consiste en un 
proceso ondulatorio. Con los electrones ocurriría exac- 
tamente lo mismo en la boca de nuestro supuesto fusil. 
Los electrones se difractan. El primero en reconocer la 
naturaleza ondulatoria de un haz de electrones fué el fí- 
sico francés Luis De Broglie, en el año 1924. 

La longitud de “onda de materia” X, que debe consi- 
derarse asociada a una partícula de masa m, que se mue- 
va con la velocidad v, está dada por la relación 

A - k 

m v 

en que h es la constante de Planck. 


Interacción entre el observador y el sistema observado 

Ante estos resultados, obtenidos con nuestro supuesto 
fusil de electrones, pensamos que las discrepancias en el 
lugar del impacto se han de deber a diferencias en la po- 
sición y velocidad inicial de cada uno de ellos. Para veri- 
ficar si es efectivamente así, procedemos a medir, con la 
mayor exactitud posible, la posición y la velocidad inicial 
del supuesto electrón. El experimento que estamos supo- 
niendo es de naturaleza ideal : nos colocamos mentalmente 
én este plano: tenemos electrones y aparatos perfectos, 
con los cuales se puede registrar el paso de los mismos 
por determinados puntos. Se trata de saber si, por medio 
de medidas, podríamos verificar que dos electrones dota- 
dos inicialmente de la misma velocidad, y partiendo del 



380 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


mismo lugar, llegan, en experimentos sucesivos, al cabo 
de idéntico tiempo, al mismo punto. 

Para observar el electrón debemos iluminarlo, y al 
chocar la luz contra el mismo, lo desvía. El electrón parte 
de aquí y llega a allá. Suponemos que ha recorrido cierta 
trayectoria, y que ha empleado cierto tiempo en ir de lo 
que llamamos aquí a lo que llamamos allá. Pero si que- 
remos verificar el paso del electrón por una posición in- 
termedia, lo iluminamos, con lo cual, por el impulso reci- 
bido por la luz, irá ahora a otra parte. El observador 
perturba al sistema observado. 

Lo mismo ocurre cuando queremos sorprender con una 
mirada introspectiva el proceso íntimo de nuestras voli- 
ciones: el proceso es perturbado por la fijeza de la aten- 
ción del observador. En el mundo físico se había supues- 
to, hasta hace muy poco, que por lo menos en principio 
era posible eliminar la influencia del observador sobre el 
hecho observado. Si iluminamos una piedra que cae, para 
obtener una película del proceso de la caída, ni se nos 
ocurre siquiera pensar que la presión de la luz pueda per- 
turbar el movimiento de la piedra. Pero si en lugar de la 
piedra es una partícula muy pequeña, un electrón o un 
átomo, al choque de cada fotón sobre la misma experi- 
mentará una desviación nada despreciable. Las colas de 
los cometas se dirigen alejándose del Sol, a causa, preci- 
samente, de la presión de la luz. 

' Por estas y otras circunstancias, si alguien nos dice: 
“Supongamos que conocemos con toda exactitud la posi- 
ción y la velocidad de un electrón en un instante dado” . . . 
Heisenberg nos enseña que debemos responder así: “No, 
no es posible suponer tal cosa. No es por falta de imagi- 
nación; si usted quiere, puedo suponer que viajamos y 
llegamos hasta la Luna, el Sol o cualquier estrella ; no hay 
nada que en principio se oponga a ello, pero no puedo 
suponer algo que sea en principio imposible”. En la mis- 
ma naturaleza de las cosas reside la imposibilidad de me- 
dir con absoluta precisión, simultáneamente, la posición 
y la velocidad del electrón. La constante de acción de 



FORMULACIÓN DEL PRINCIPIO DE HEISENBERG 


381 


Planck, cuya soberanía es incuestionable en el dominio 
del átomo, no es otra cosa que la medida cuantitativa de 
dicha imposibilidad. 

Suponer, pues, que se puede medir con toda exactitud, 
simultáneamente, la posición y velocidad de un electrón, 
equivale, por ejemplo, a suponer que una bala atraviesa 
un vidrio sin horadarlo. 


Formulación del principio de Heisenherg 

Tratemos ahora de formarnos una idea exacta acerca 
del contenido del principio que ha sustituido al de cau- 
salidad en el dominio del átomo. Supongamos que se mi- 
de en un momento dado, con la mayor precisión posible, 
la posición y velocidad de un electrón. La frase “con la 
mayor precisión posible” significa aquí, no una posibili- 
dad humana, limitada por la mayor o menor precisión de 
nuestros aparatos, sino la máxima precisión que es dable 
alcanzar idealmente. Hemos determinado así la posición, 
que representamos por un punto, pero como inevitable- 
mente habrá cierto grado de incerteza, para valorar a 
ésta trazamos una esfera con centro en el punto, y de 
cierto radio. El radio de esta esfera mide el error máxi- 
mo que puede haberse cometido en la medida de la posi- 
ción del electrón. En otras palabras : de acuerdo con nues- 
tra medida, el electrón podría encontrarse en cualquier 
punto del interior de esa esfera. Simultáneamente hemos 
determinado, también, la velocidad del electrón, que re- 
presentamos por medio de un vector de cierta longitud, 
con su origen en el centro de la esfera representada an- 
teriormente. Pero en esta medida habremos cometido 
también, inevitablemente, cierto error, y para tener una 
representación del mismo consideraremos otra esfera con 
centro en el extremo del vector. Según esto, la velocidad 
que podría haber tenido el electrón en el instante de la 
medida, puede ser representada por cualquier vector de 
origen en el centro de la primera esfera, y de extremo en 
un punto interior cualquiera de la segunda. 



382 


LA CAUSALIDAD EN I*A FÍSICA ACTUAL 


De acuerdo con esta representación, el radio de la pri- 
mera esfera mide el error que se cometió en la determi- 
nación de la posición del electrón, y el radio de la segunda 
esfera da una medida del error cometido en la determi- 
nación de la velocidad. Por esta razón, llamaré a la pri- 
mera esfera esfera de posición, y a la segunda, esfera de 
velocidad. 

Ahora bien, el principio de Heisenberg puede enun- 
ciarse diciendo que los radios de estas dos esferas están 
entre sí en razón inversa, o lo que es lo mismo, el pro- 
ducto de ambos radios es constante. Esto significa que, 
en principio, puede llevarse a cabo una medida, de tal 
modo que el radio de la esfera de posición sea extrema- 
damente pequeño, pero en ese caso, el radio de la esfera 
de velocidad será extremadamente grande. Inversamente : 
si determinamos con mucha precisión la velocidad, lo que 
en nuestra representación significa que el radio de la es- 
fera de velocidad es pequeño, quedará muy indeterminada 
la posición. Luego, pues, no existe límite alguno para 
determinar, con la presición que se quiera, separadamen- 
te, la posición o la velocidad de un electrón. La limitación 
está cuando se quiere determinar simultáneamente ambas 
magintudes. Si el radio de una de las esferas disminuye, 
el radio de la otra aumenta. Dije ya que el producto de 
estos dos radios es constante. ¿Cuánto vale esta constan- 
te? El valor de ella es igual a la constante de acción de 
Planck dividida por la masa de la partícula que se con- 
sidere. Llamando, pues, R x al radio de la primera esfera, 
y R -2 al radio de la segunda (radio cuyas dimensiones son 
las de una velocidad), el principio de Heisenberg se ex- 
presaría por la fórmula siguiente: 

72, X R> = — 
m 

en que h es la constante de Planck, y m, la masa de la 
partícula. 

Con esta fórmula ante los ojos, se comprende cómo la 
Física ha podido vivir bajo la ilusión determinista hasta 



JUSTIFICACIÓN DEL PRINCIPIO 


383 


hace tan poco tiempo. La constante de Planck, h, tiene un 
valor extremadamente pequeño, del orden de diez a la 
menos veintisiete si se la expresa en unidades del sistema 
C. G. S., por lo cual, para la masa de las partículas comu- 
nes que considera la Física macroscópica, el segundo 
miembro puede ser considerado igual a cero. Si este se- 
gundo miembro es cero, los radios de ambas esferas po- 
drían ser idealmente nulos. De ahí que en la mecánica 
clásica tenga pleno sentido decir: sea una partícula de 
masa M, que tiene tal posición y tal velocidad. Pero si la 
masa de la partícula es muy pequeña, como la de un elec- 
trón, cuya masa es del orden de diez a la menos veinti- 
ocho gramos, el valor de la constante del segundo miem- 
bro, h/m, está muy lejos de valer cero. Para un electrón, 
h/m vale 7 centímetros X centímetro sobre segundo. Esto 
significa que si el radio de la esfera de posición de un 
electrón vale 1 centímetro, el radio de la esfera de veloci- 
dad valdrá 7 cm/seg. 

De aquí que en lugar de decir : “sea una partícula que 
en tal instante tiene tal posición y tal velocidad”, deba 
decirse: “sea una partícula que, en tal instante, la proba- 
bilidad de encontrarse en tal parte es tanto, y la proba- 
bilidad de que tenga tal velocidad, tanto”. . . 


Justificación del principio 

Hemos dicho ya que esta limitación en la determina- 
ción simultánea de la posición y de la velocidad de una 
partícula reside no en una imperfección o limitación hu- 
mana, sino en la propia naturaleza de las cosas. Para 
comprender esto es necesario que imaginemos cómo debe- 
ríamos realizar las medidas si quisiéramos mucha preci- 
sión en la determinación de la posición o, por el contrario, 
en la de la velocidad. 

Consideremos que deseamos fijar con precisión la po- 
sición de la partícula. Utilizamos para ello un micros- 
copio. Para iluminar la partícula podemos utilizar luz 



384 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


roja, o azul, o luz ultravioleta, o rayos X, etc. Digamos, 
desde ya, que se trata de un microscopio perfecto, y que 
no es necesario que apliquemos el ojo al ocular del mismo. 
El ojo puede ser reemplazado por una película fotográ- 
fica sensible a la luz empleada. ¿Cuál de todas esas luces 
será más conveniente? Los biólogos, que se dedican a 
estudiar la sutil estructura de la célula, saben que llega 
un momento en que, por grande que sea el aumento utili- 
zado, no es posible distinguir con precisión ciertos deta- 
lles. El microscopio tiene determinado poder separador, 
y este poder separador depende de la longitud de onda 
de la luz empleada. 

Se obtiene mayor poder separador, es decir, se apre- 
cian mejor los detalles, con luz azul que con luz roja. Con 
luz ultravioleta, de longitud de onda más corta, el poder 
separador es mayor, y sería mayor todavía si utilizára- 
mos rayos X o rayos gamma. Si queremos ver separados 
dos pnutos que disten entre sí un millonésimo de centí- 
metro, es indispensable que utilicemos luz de longitud de 
onda inferior a aquella distancia. Iluminados los puntos 
con luz de longitud de onda algo mayor, las dos imágenes 
se superpondrán, y veremos, en lugar de dos, una única 
mancha. Del mismo modo, si deseamos que el radio de 
nuestra esfera de posición sea igual, a lo más, a un mi- 
llonésimo de centímetro, en la determinación deberemos 
utilizar luz de longitud de onda en algo inferior a aquella 
longitud. Pero, he aquí que la partícula que estamos 
examinando recibe un impulso al ser chocada con la luz. 
Este impulso perturbador, que hará variar la velocidad 
de la partícula, es tanto mayor cuanto menor sea la lon- 
gitud de onda de la luz empleada. Los fotones correspon- 
dientes a la luz roja son portadores de un impulso relati- 
vamente pequeño, y ya el impulso es mayor para la luz 
azul, y mayor todavía para los rayos X o los gamma. 

Como el impulso mecánico de los fotones es igual a la 
constante de Planck sobre la longitud de onda, resulta de 
aquí, casi inmediatamente, que la velocidad de la partícula 
examinada variará entre tales límites, que hace que el 



JUSTIFICACIÓN DBJ-i PRINCIPIO 


385 


producto de la incerteza de la posición por el producto de 
la incerteza de la velocidad, por la masa, sea igual a la 
constante de Planck. 

En efecto: si iluminamos la partícula de masa m con 
luz de longitud de onda igual a A la incerteza, en lo que 
se refiere a la posición de la misma, será igual, justamen- 
te, a A, o sea: 

72, = A . 


Esto, en un caso ideal, pues en general deberá ser 
Ri > A. Los fotones de luz de longitud de onda A tienen 
un impulso mecánico 7, igual a: 



Al chocar estos fotones con la partícula de masa m, 
producen en ella una variación A v de su velocidad, tal 
que: 

A k 

m . A V = ) 

A 


de donde: 


A v 


h 

m A 


En el mejor de los casos, el error cometido en la de- 
terminación de v será sólo A v, por lo cual, para el caso 
ideal, pondremos: 

A v = 72,, 


tle donde el producto 

72, . 72, 



que es la fórmula correspondiente al enunciado del prin- 
cipio de Heisenberg. 



386 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


Significación del principio 

¿ Se desprende de todo esto, acaso, que el principio de 
causalidad en el dominio del átomo es falso? 

No; no es falso ni verdadero: es una proposición ca- 
rente de sentido. Si enunciamos el principio diciendo, por 
ejemplo, que “todo lo que sucede es lo que debe suceder”, 
queda reducido así a lo que los lógicos llaman una tauto- 
logía , pues, ¿ qué es lo que debe suceder ? . . . Lo que su- 
cede. 

Si, en cambio, tratamos de enunciarlo como una pro- 
posición real, esto es, como una proposición que se refiera 
al comportamiento del mundo físico, debemos darle tal 
forma que sea dicho principio controlable experimental- 
mente. Y esto es lo imposible. 

Para valorar el alcance del vuelco que ha experimen- 
tado la Física de nuestros días, volvamos a Kant. Con- 
sideremos, para ejemplificar, un triángulo cuyos vértices 
se encuentran en los centros de tres estrellas determina- 
das. Si de ese triángulo afirmo que es isósceles, se trata 
aquí de un juicio sintético, que podrá ser falso o verda- 
dero, lo que se decidirá por medio de mediciones. En 
cambio, si de ese triángulo afirmo que la suma de sus tres 
ángulos es igual a dos ángulos rectos, este juicio sería pa- 
ra Kant un juicio sintético a prior i Para el solitario fi- 
lósofo de Koenigsberg, la geometría euclidiana era un 
presupuesto anterior y necesario a toda experiencia. Era 
una forma de nuestro pensar. Para la Física actual, en 
cambio, el juicio que expresa que la suma de los tres án- 
gulos de aquel triángulo es igual a dos rectos, es simple- 
mente un juicio sintético y, por añadidura, presumible- 
mente falso. 

Esta posibilidad del hombre, de cambiar lo que se 
creía que era una forma invariable de su pensamiento: 
el espacio, el tiempo, la causalidad . . . para ordenar den- 
tro de nuevos marcos la multitud de hechos de la expe- 



SIGNIFICACIÓN DEL PRINCIPIO 


387 


rienda, es lo que Reichenbach llama la revoiudón coper- 
nicana de nuestros tiempos. 

Se pensará, quizá, que aun queda la Aritmética, en su 
simplicidad y pureza, para mostrarnos que, pese a todas 
las crisis y a todas las tormentas, permanecerá por siem- 
pre incólume e invariable. ¿Podemos, acaso, pensar en 
un mundo en que cinco más siete no sean doce? Creo que 
sí, pues el pensamiento humano no tiene más limitaciones 
que algunos pocos principios lógicos, y quizá la Física nu- 
clear del futuro se llegue a asentar sobre una nueva arit- 
mética, en la cual cinco neutrones más siete neutrones 
podrían no ser doce neutrones. 

Si pensamos que las fuerzas no se suman aritmética- 
mente, sino vectorialmente, esto es, que una fuerza de 
cinco kilogramos más otra de siete kilogramos dan en ge- 
neral, una suma diferente de 12 kilogramos, y esto en 
nuestro mundo familiar de dimensiones medias, ¿por qué 
habrán de sumarse los neutrones en la misma forma en 
que se suman las manzanas? 

¿Por qué la suma no ha de depender de su distribución 
y de su distancia? 

Una cosa son las proposiciones puramente lógicas, y 
otra las proposiciones de la Física. Un litro de agua y un 
litro de alcohol ocupan separadamente un volumen total 
de dos litros, pero mezclados, el volumen total es menor. 

Vemos así, una vez más, que la misión de la ciencia 
consiste en ordenar los hechos, los datos de la experiencia. 
Para este ordenamiento debemos ajustarnos a ciertas nor- 
mas, como hace un bibliotecario con los libros de su bi- 
blioteca. 

Si el número o la variedad de libros a ordenar se hi- 
ciera muy grande, puede llegar un momento en que el 
bibliotecario se vea obligado a ajustarse a un nuevo cri- 
terio de ordenamiento. El espacio y el tiempo absoluto de 
la Física newtoniana, y su estricta causalidad, fueron nor- 
mas aptas para el ordenamiento hasta fines del siglo pa- 
sado. Pero se descubren nuevos hechos, para los cuales 
no había dentro de esas normas casilleros adecuados. Y 



388 


LA CAUSALIDAD EN LA FÍSICA ACTUAL 


el hombre de ciencia cambia entonces sus normas, inventa 
un nuevo modo de clasificación, y a eso se le llama una 
teoría física. 

No porque la Física actual haya sustituido el rígido 
concepto de causalidad por el más elástico de probabilidad 
ha aumetnado la conciencia de nuestra libertad; no. Sen- 
timos que la conciencia de nuestra libertad y del poder 
de creación del espíritu humano ha aumentado, porque 
hemos sido capaces de sustituir por nuevas normas lo que 
se creía que eran formas invariables de nuestro pensar. 



XII 


LA HISTORIA DE LA FISICA EN LA 
ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 


El fermento histórico. — Perspectiva histórica. — Dos puntos 
de vista. — Los hechos culminantes de la historia de la Física. 


El fermento histórico 

Lo primero que debe procurar un maestro de verdad, 
es que se despierte el interés de sus alumnos por el asunto 
que deberá explicarles. Los resortes espirituales que ac- 
túan en este despertar son de naturaleza tan variada y 
compleja, que no es posible dar reglas infalibles, en todos 
los casos, para ponerlos en juego cuando se desea. A al- 
gunos les entusiasman los experimentos ; a otros, las apli- 
caciones ; a éstos, las consecuencias de orden teórico o es- 
peculativo, en tanto que los de más allá permanecen ab- 
solutamente impasibles ante todo, con el espíritu como 
encogido de hombros. 

Es fácil mantenerse en esta impasibilidad frente a un 
aparato o ante una fórmula, pero ya no es tan fácil per- 
manecer indiferente ante las luchas y los afanes de los 
hombres. Cada uno de nosotros podría hacer suya la 
clásica sentencia latina de Terencio : “ Hombre soy, y nada 
.de lo humano me es extraño.” Por eso, cuando detrás de 
las frias fórmulas que escribimos en el encerado, o en el 



390 LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 

telón de fondo de las teorías y maravillas de la técnica, 
de que informamos a nuestros alumnos, hacemos que 
aparezcan los perfiles humanos que les dieron vida, hasta 
los más reacios comienzan a sentir que nada de todo 
aquello puede serles absolutamente ajeno. Si se establece 
un engranaje espiritual entre nuestros alumnos y la épo- 
ca o el momento en que surge determinada idea, si aqué- 
llos sienten las inquietudes y las dudas que aguijonearon 
entonces a los sabios, se encontrarán en condiciones de 
adueñarse del nuevo conocimiento y sentirlo como algo 
propio. Se me dirá que no es posible el establecimiento 
de aquel engranaje, pues se oponen a él mil factores ad- 
versos, de distinta índole. Efectivamente, sólo podremos 
tomar algo así como un girón de una época, que en su to- 
talidad, por razones obvias, no podemos aprehender. Ade- 
más, la mentalidad ya madura del sabio parece diferir 
demasiado de las mentalidades juveniles en formación, 
para que puedan establecerse entre ambas los contactos 
que habrían de superar tiempo y distancia. 

Desde luego que para identificarnos mentalmente con 
Newton, en el momento en que apareció en él la idea de 
la gravitación, tendríamos que ser tan geniales como él, 
y estar en posesión, por lo menos, de todos los conocimien- 
tos que aquél tenía entonces. Argumentos de esta natu- 
raleza tienen sólo validez efectista, pues si bien es impo- 
sible la “identificación” mental absoluta con nada ni con 
nadie, no es imposible alcanzar cierto grado de compren- 
sión y, hasta diría, de compenetración. Naturalmente 
que no todos los asuntos se presentan con la misma fa- 
cilidad para ser captados dentro de su génesis histórica, 
que es la manera, sin duda alguna, de captarlos vivos. 

Consideremos, a título de ejemplo, que se trate de una 
clase acerca de la máquina neumática. Si nos limitamos 
a decir que ésta fué inventada en 1650 por Otto de Gue- 
ricke, burgomaestre de la ciudad de Magdeburgo, no ha- 
bremos hecho más que atiborrar la mente de nuestros 
alumnos con un nombre y una fecha más. 

Los caminos que pueden seguirse para intentar el 



EL FERMENTO HISTÓRICO 


391 


engranaje mental con una época y con un asunto de tanta 
trascendencia para la Física son, desde luego, muy varia- 
dos. El profesor deberá elegir aquel que más se amolde 
con su propio temperamento, para que su exposición ten- 
ga el calor y la vehemencia propia de lo que dice, después 
de haberlo sentido de verdad. No debe aparecer ante sus 
alumnos como un mero repetidor de lo que dicen tales o 
cuales textos, sino más bien como si hubiera sido él un 
testigo presencial de la época y de los hechos que refiere. 
Es en las consideraciones históricas donde mejor se ma- 
nifiestan los conocimientos de “primera’' o de “segunda 
mano’’. Circunscribiéndonos al ejemplo que estábamos 
considerando, uno de los caminos a seguir podría ser el 
comenzar por hacer alguna referencia biográfica sobre 
Otto de Guericke y de la agitada época en que le tocó vi- 
vir, ya que la guerra de los treinta años (1618-1648) 
coincidió con el período de mayor actividad de su vida, 
durante la cual actuó con entusiasmo y dignidad en la 
vida política de su país. Pues bien, el párrafo que el 
lector acaba de leer, no es ya de “segunda”, sino de “ter- 
cera” o “cuarta” mano. El que esto escribe sabe muy 
poco de la guerra de los treinta años, e ignora casi en 
absoluto las actividades políticas que desplegó durante 
su vida el inventor de la máquina neumática. Por eso, si 
para ubicar en el tiempo a Otto de Guericke se hace re- 
ferencia a la guerra de los treinta años, y se menciona, 
por ejemplo, que el célebre experimento de los hemisfe- 
rios de Magdeburgo fué realizado por él, por primera vez, 
en la ciudad de Ratisbona, en 1654, en presencia del em- 
perador Fernando III, ello podrá ser dicho con propiedad 
por alguien que sepa algo más de lo que sabe el autor de 
este libro acerca de quién era aquel emperador. Prefe- 
rimos, por eso, ubicar al que fué burgomaestre de Mag- 
déburgo ya en 1646, pensando que tenía 40 años de edad 
cuando murió Galileo, en 1642, y que logró pleno éxito 
con su máquina de hacer el vacío en el mismo año 1650 
en que moría Descartes, el filósofo que “había demostra- 
do, con muy buenas razones”, que tal cosa era imposible. 



392 LA HISTORIA DB LA FÍSICA 1N LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 

Pero lo que a mí personalmente más me llama la atención, 
en este episodio de la historia de la Física, es que, real- 
mente, Otto de Guericke no inventó absolutamente nada, 
no obstante lo cual debe ser considerado, y con justicia, 
el inventor de la máquina neumática. Esto, que parece 
una contradicción, no lo es. Veamos por qué. Guericke, 
en efecto, se limitó a dar otro uso a las bombas que se 
construían y utilizaban en su época, extrayendo con ellas 
aire en lugar de agua. ¡Y hubo que esperar dos mil años 
para encontrar que las bombas que se tenían a mano 
desde la época de Aristóteles podían ser utilizadas con 
ese objeto! Quizá sea precisamente esta circunstancia la 
que deba hacerse valer para aumentar la gloria del físico 
alemán. No podemos dejar de recordar aquí, a propósito 
de lo que precede, lo dicho por Rutherford en cierta opor- 
tunidad: “Los hombres, incluso los sabios, no ven más 
allá de su nariz ; cuando alguien ve sólo una pulgada más, 
ése es un genio”. 

Otto de Guericke es de los pocos sabios que ha dejado 
un minucioso relato de sus experimentos, de sus ensayos 
y hasta de sus fracasos. Por eso podemos seguirlo paso a 
paso en su “invención”. Lejos estuvo de que se le ocu- 
rriera de golpe el extraer el aire, directamente, con una 
bomba aspirante. Por el contrario, comenzó por extraer 
el agua de un tonel, totalmente lleno, para que aquél que- 
dara luego vacío; pero ocurrió que el aire iba entrando 
por las rendijas y los poros de la madera, lo que reconoció 
por el ruido que se producía al burbujear aquél en el 
agua. ¿Será realmente — se habrá dicho nuestro investi- 
gador — que la Naturaleza siente horror al vacio? Allí, 
cerca de él, estaba la obra recientemente aparecida del 
gran matemático y filósofo francés, Renato Descartes, 
que había leído con tanta avidez. 

Seguramente, después de este fracaso, en su mente 
repercutiría el párrafo en que el gran filósofo decía:. 

“A la pregunta de qué sucedería en el caso de que 
Dios mismo retirase la totalidad de la materia contenida 
en un recipiente, sin dejar que otra materia fuese a ocu- 



EL FERMENTO HISTÓRICO 


393 


par el espacio dejado libre por la primera, puede con- 
testarse: las paredes del recipiente se juntarían. Es de- 
cir, que si entre dos cuerpos no se encuentra nada, éstos 
deben tocarse, pues toda distancia significa extensión, y 
una extensión sin substancia es imposible”. 

Se había propuesto hacer el vacío en un recipiente, y 
pesaban en su contra dos mil años de tradición, la opinión 
de todos los filósofos, y ahora, además, éste, su primer 
fracaso. Lo alentaba, en cambio, la idea, como lo expresa 
en su obra, de que “en las cuestiones de las ciencias na- 
turales no tienen valor alguno los bellos discursos y las 
disputas”..., “siendo preferible dejar hablar a los he- 
chos”, haciendo caso omiso de las opiniones de los que no 
los tienen en cuenta, y que, “como los topos, excavan en 
la obscuridad”. Prosiguió así con sus ensayos, y en un 
segundo experimento introdujo su tonel dentro de otro, 
también lleno de agua ; pero ocurrió que ahora era el agua 
del tonel exterior la que entraba a través de los poros y 
las rendijas del que pretendía vaciar. Es imposible dejar 
de pensar en que muy bien pudo haberse desalentado ante 
estos dos fracasos, que un espíritu menos sagaz hubiera 
considerado como irrefutables pruebas de la teoría del 
“horror al vacío”. Su bomba funcionaba bien, pero había 
que cuidar que no entrara materia alguna en sustitución 
de la que se extraía. 

Para lograr esto, hace construir una esfera de cobre, 
la llena de agua y le aplica la bomba en la parte inferior. 
Al principio, todo marcha bien, pero al poco tiempo la 
bomba se atasca: sus fuerzas no son suficientes para ac- 
cionar el émbolo. Necesita el auxilio de tres hombres, 
que tiran del mismo con todas sus fuerzas ; pero de pron- 
to . . . ¿ otra vez el horror al vacío ? . . . la esfera se aplasta 
como si hubiera sido de papel. ¿No es justamente esto lo 
que afirmaba Descartes? ¿Vale acaso la pena insistir, 
después de tres fracasos tan rotundos? El investigador 
de Magdeburgo no se desanima, y encarga ahora que le 
construyan otra esfera de metal más resistente que la 
anterior, y logra al fin el objeto con tanto empeño bus- 



394 LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 

cado. Tiene que pasar todavía algún tiempo hasta que se 
le ocurra aplicar la bomba directamente al recipiente con 
aire, sin llenarlo previamente de agua, y más tiempo to- 
davía para reconocer que la bomba funciona igualmente 
aunque el cilindro de la misma se coloque en la parte 
superior, pues no es por el peso del aire — como creía 
Guericke al comienzo — que éste pasa al cuerpo de la 
bomba, sino por su expansibilidad, que descubrió justa- 
mente a raíz de sus experimentos. Pero lo más notable 
es que desde mucho tiempo antes se hacían vacíos de igual 
grado y en idéntica forma a la empleada por Guericke 
con su máquina, sin que nadie, ni el mismo Galileo, lo 
advirtiera. Esto sucedia cuando se accionaba una bomba 
aspirante para extraer agua de un pozo y el tubo de aspi- 
ración tenía una longitud mayor de diez metros. De mo- 
do, pues, que ya se tenía la máquina neumática, ya se 
había hecho el vacío con ella, y nadie lo había visto : Otto 
de Guericke no la inventó, la descubrió. Pero, ¿cómo es 
posible tanta miopía? ¿Cómo se explica que durante dos 
mil años los hombres no hayan visto nada, y de golpe, en 
la misma época, siguiendo caminos diferentes, a Torri- 
celli se le ocurre cambiar por mercurio el agua de las 
bombas, pues ésta se resistía a subir más allá de cierta 
altura, y a Guericke utilizar las mismas bombas, mos- 
trando así los dos, de diferente manera, que el tan men- 
tado “horror al vacío” no era más que un cuento para 
niños ? 

Bertrand Russell diría que esto prueba, una vez más, 
lo que él llama la nefasta influencia de Aristóteles, origi- 
nada por el respeto casi sagrado que se tenía por todo 
lo que aquél había afirmado. Bastó que Galileo pusiera 
en ridículo a los peripatéticos, que persistían en sostener 
la infalibilidad del filósofo griego, para que los hombres, 
liberados de sus prejuicios y a la luz del método experi- 
mental, pudieran ver un poquito más allá de su nariz. 

Ejemplos de esta naturaleza se encuentran en todos 
los capítulos de la ciencia. Los sabios que la impulsan re- 
sultan, cuando se sigue el rastro de sus investigaciones, 



PERSPECTIVA HISTÓRICA 


395 


dignos de admiración, por su perseverancia y por la vo- 
luntad que despliegan para alcanzar el objeto deseado, 
pero, salvo unas pocas cabezas geniales, el resto, como 
muy bien lo hace notar Ramón y Cajal, posee las facul- 
tades que son comunes a todos los mortales, amén de la 
miopía de que nos habla Rutherford. Si se contempla a 
la distancia el resultado de la labor de los hombres de 
ciencia, es difícil que podamos interesarnos de verdad por 
un producto que juzgamos exótico y extraño. 

Pero si advertimos que los autores de esos productos 
son hombres iguales a nosotros; si nos hacemos la pre- 
suntuosa pero saludable ilusión de que, en su lugar, hu- 
biéramos podido también llegar a los resultados a que ellos 
llegaron, no sólo nos interesaremos por lo que hicieron, 
sino: que también sabremos emularlos. 

Dentro de diez o veinte años, los sabios de hoy entre- 
garán a algunos de los que en la actualidad son nuestros 
alumnos, la antorcha encendida que ilumina el campo del 
conocimiento, para que custodien su fuego y aumenten su 
brillo. Decenas de miles de muchachos esperan ansiosos 
la palabra de aliento que los impulse a alistarse en el 
ejército de la ciencia, cuya historia actúa como fermento 
psíquico, que funde el hielo de la indiferencia y estimula 
la voluntad. 


Perspectiva histórica 

Además del valor fermentario de las referencias his- 
tóricas, que hemos destacado en el párrafo precedente, en 
ciertos asuntos tienen ellas una importancia particular, 
proveniente del hecho de que aquéllos no podrían ser 
entendidos por completo, y mucho menos valorados en su 
alcance, si se prescindiera del estudio de su génesis. Ocu- 
rre esto, especialmente cuando se estudia cierta teoría o 
cierta concepción que en su hora fué considerada como 
revolucionaria. Así, por ejemplo, el principio de la con- 
servación de la energía sólo puede ser captado en toda 



396 LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA DB LA FÍSICA 


su significación después de analizar las ideas que acerca 
del calor y del flúido calórico tenían los físicos hasta me- 
diados del siglo pasado. Es fácil hacer que nuestros alum- 
nos repitan que el calor no es más que una manifestación 
del movimiento de las moléculas de los cuerpos, pero es 
difícil hacer que entiendan de verdad todo lo que eso sig- 
nifica. “Entender de verdad ” es tener de algo un conoci- 
miento vivo, que en este caso se manifestaría en mil for- 
mas diversas, ante los hechos en apariencia más triviales 
de la vida diaria. El alumno que entendió de verdad, en 
la clase de hoy, el contenido de las ideas de Mayer y de 
los experimentos de Joule, no podrá dejar de pensar, cuan- 
do se encuentre en su casa, a la hora del almuerzo, si la 
sopa está algo fría, que sus moléculas no se mueven con 
suficiente rapidez, y tal vez piense, al mandarla calentar, 
que esa orden podría traducirse por la expresión : “Deseo 
que las moléculas del caldo se muevan con mayor veloci- 
dad”. 

Para lograr esto, sabe que aquél debe ser colocado so- 
bre el fuego, y la pregunta inevitable que se formulará 
a sí mismo, o que planteará ante su profesor, es : ¿ Qué es 
el fuego? Se encuentra allí un trozo de carbón incandes- 
cente ; el profesor de Química le enseñó ya que la combus- 
tión no es más que una oxidación, y que esa reacción se 
efectúa con “desprendimiento de calor”. Tal vez sepa, 
también, que 1 kilogramo de carbón produce, al quemar- 
se, 8000 calorías. Pero, ¿en que consiste y cómo interpre- 
tar ese “desprendimiento de calor”? Y aquí tendrá que 
pensar que los átomos de oxígeno, al unirse con los de 
carbono — tal vez para festejar esa unión — , danzan ver- 
tiginosamente y chocan, al igual que en las reducidas 
salas de baile, con las otras parejas, es decir, con las otras 
moléculas y con los otros átomos. El entusiasmo crece, 
el baile se generaliza, y el piso y las paredes tiemblan. 
Las moléculas del fondo de la cacerola no pueden dejar 
de participar en este torbellino de movimiento; algunas 
de ellas son directamente alcanzadas por los choques de 
alguna pareja desorbitada, en tanto que la mayoría se ve 



PERSPECTIVA HISTÓRICA 


397 


obligada a moverse con más vivacidad, debido al temblor 
que se propaga en todas direcciones, a causa de aquel tu- 
multo. Y así les llega el turno a las moléculas del líquido 
próximas al fondo; grupos de ellas que, por los choques 
recibidos, comienzan a agitarse más velozmente, se diri- 
gen hacia arriba, en tanto que su lugar es ocupado por 
otras que descienden, al parecer curiosas por ver lo que 
pasa. 

Después de unas cuantas vueltas completas por toda 
la sala de baile, habrán adquirido, en término medio, la 
velocidad adecuada, la que gusta a nuestro paladar. 

¡Pero si esto es introducir el caos en la Física! Así, 
de esta manera, se habrán expresado los físicos contem- 
poráneos de Mayer, y no es de extrañar que no hayan 
tomado en serio sus concepciones, que inevitablemente 
conducen a la imagen que hemos bosquejado líneas más 
arriba. Es natural que Poggendorff rehusara publicar, 
en los Anales de Física y Química, el trabajo que Mayer 
le remitiera en junio de 1841. ¿Sobre qué base, en efecto, 
se apoyaba el desconocido médico de Heilbronn, para pre- 
tender revolucionar hasta en sus cimientos toda la Físi- 
ca? ¿Acaso era suficiente, para aceptar tales ideas, el 
hecho, conocido desde tiempo atrás, de que el calor espe- 
cífico de los gases a presión constante es mayor que a vo- 
lumen constante? 

En cambio, frente a esa imagen caótica a que conduce 
la supuesta equivalencia entre calor y trabajo, se alzaba 
la concepción clásica, en la que el calor era realmente 
calor; en que un cuerpo caliente posee más cantidad de 
calor que ese mismo cuerpo cuando está frío, cantidad de 
calor que se podía medir perfectamente con un caloríme- 
tro. Y lo que medimos y denominamos cantidad de calor, 
tenía que ser cantidad de algo, de algo que pasa de los 
cuerpos calientes a los fríos, y nada más simple, ni nada 
más lógico, que asimilar ese algo a un flúido imponderable. 
Al calentar un cuerpo, su flúido calórico aumenta, y 
aumenta, en consecuencia, la presión del mismo. El pa- 
saje de calor de unos cuerpos a otros, hasta alcanzar el 



398 LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 


equilibrio térmico, se explicaba así, de esta manera, con 
la misma facilidad con que se explica el pasaje de un gas 
entre dos recipientes, y si se le hubiera preguntado a Ma- 
yer qué es lo que era en su extraña teoría la temperatura, 
es necesario confesar que no lo hubiera sabido explicar 
muy bien. Su concepción fué un destello genial, que ape- 
nas iluminó el comienzo del largo camino que sería reco- 
rrido más tarde por los Helmholz, los Boltzmann, los 
Clausius y los Maxwell. Él tuvo la audacia de dar el pri- 
mer paso, y pudo hacerlo porque no llevaba consigo el 
pesado lastre de conocimientos que tenían los físicos de 
su época. Aunque suene como una paradoja, esto es así. 
Mayer revolucionó la Física porque sabía poca Física, por- 
que no era un físico profesional, como tampoco lo era su 
contemporáneo, el fabricante de cerveza James Prescott 
Joule. En ciertas etapas del desenvolvimiento científico, 
parece ser indispensable la contribución de un extraño, 
que contemple de lejos el panorama, sin perderse en de- 
talles, auxiliado y sostenido por cierto grado de ignoran- 
cia. Esta condición, que suele ser necesaria, no es, por 
desgracia, suficiente. 


Dos puntos de vista 

Los dos ejemplos históricos considerados en los párra- 
fos precedentes han sido presentados desde puntos de vis- 
ta diametralmente opuestos. Al examinar los trabajos de 
Guericke lo hicimos de tal modo, que su invención que- 
daba reducida poco menos que a la nada, en tanto que la 
obra de Mayer parecía surgir casi por milagro. Si se 
quiere hacer historia, no debe adoptarse ni uno ni otro 
punto de vista. Ambos conducen a una valoración falsa. 
Por eso debe contemplarse el hecho histórico desde todos 
los ángulos posibles. Pero aquí no nos estamos ocupando 
de la historia de la Física, sino de la enseñanza de la 
Física. 

Las referencias históricas constituyen, para nuestro 



DOS PUNTOS DE VISTA 


399 


objeto, sólo un auxiliar más. Desde luego que no debemos 
alterar el hecho histórico, pero sí podemos presentar la 
faceta del mismo que nos parezca más adecuada. 

Nos hubiera sido igualmente fácil presentar la obra 
de Mayer en la misma forma en que lo hicimos al hablar 
de Guericke. Para ello, hubiéramos mencionado los tra- 
bajos del conde de Rumford, que observó y hasta midió el 
calor desprendido al taladrar un cañón, y el experimento 
de Davy, que logró fundir en el vacío, por frotamiento, 
dos trozos de hielo. Hubiéramos hecho notar que estos 
experimentos se llevaron a cabo cuarenta años antes de 
los trabajos de Mayer y de las medidas de Joule, y hu- 
biéramos dicho también que se sabían medir cantidades 
de calor, que desde la más remota antigüedad se sabía 
que por el frotamiento los cuerpos se calientan, y, entre 
signos de admiración, habríamos destacado que a nadie 
se le había ocurrido efectuar siquiera una sola medida 
cuidadosa de ese fenómeno que se observaba diariamente. 
Del mismo modo, la obra de Guericke hubiera podido ser 
examinada desde el polo opuesto al que hemos adoptado 
líneas más arriba. Fué él, en efecto, el primero en reve- 
lar, mediante experimentos directos, el enorme valor de 
la fuerza originada por la presión atmosférica; el prime- 
ro también — puesto que no conocía los experimentos de 
Torricelli — en arremeter contra una tradición de más de 
dos mil años; el que pudo explicar lo que para el mismo 
Galileo constituyó un enigma, etc., etc. 

Se comprende, así, lo que hemos dicho ya: que son 
muchos y diversos los caminos que se pueden seguir para 
presentar ante nuestros alumnos un mismo hecho histó- 
rico. Los dos que hemos examinado podrían sintetizarse 
así : en uno de ellos, el asombro lo suscita el hecho de que 
tal descubrimiento no se haya efectuado antes, en tanto 
que én el otro nos preguntamos acerca de cómo pudo rea- 
lizarse. El interés se despierta más fácilmente por el pri- 
mer método; la valoración, por el segundo, que si se exa- 
gera demasiado, conduce a una admiración improductiva. 



4 (JO LA HISTORIA DE LA FÍSICA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA 


Los hechos culminantes de la historia de la Física 

Hasta ahora hemos considerado las referencias histó- 
ricas como un auxiliar más de nuestra labor. Pero ciertos 
hechos tienen un valor intrínseco, educativo, que es ne- 
cesario no olvidar. Pueden enseñarse muy bien las leyes 
de la caída de los cuerpos sin mencionar a Galileo, o li- 
mitándose a decir que fueron descubiertas por el sabio 
italiano en tal fecha. Pero un profesor de Física tiene, 
en mi concepto, la obligación inexcusable de decir a sus 
alumnos lo que significó aquel descubrimiento, y hacer 
que comiencen a vislumbrar la trascendencia que ha te- 
nido su obra. Galileo no es grande por el número de des- 
cubrimientos que efectuó, sino por haber señalado el ca- 
mino que debe seguirse para encontrar la verdad. Su 
obra se prolonga hasta hoy; su método es el mismo de la 
ciencia de nuestros días, y por eso todos los sabios, in- 
cluso los actuales, deben ser considerados como sus dis- 
cípulos. Los primeros de ellos fundaron, al poco tiempo 
de la muerte del maestro, la primera academia científica, 
cuyo nombre es ya una enseñanza: Academia del cimento 
(Academia de la experimentación), y cuyo lema: “ Pro - 
vando e viprovando ” (Probando y volviendo a probar), 
pueden hacer suyo todos los investigadores del mundo. 

Igualmente, el momento en que se descubre la ley de 
gravitación, cuando se encuentra que la caída de los cuer- 
pos en la superficie de la Tierra está regida por la misma 
ley a que se ajustan los astros en sus trayectorias celes- 
tes, tiene una significación tan honda en la historia de 
la humanidad, que no puede dejar de ser considerado con 
la debida extensión y con la debida exaltación. Poincaré 
hace notar que si nuestro cielo estuviese siempre cubierto 
de nubes, como el de Júpiter, nuestra ciencia no hubiera 
podido desarrollarse. La noción de ley — de ley cientí- 
fica — aparece por la observación del movimiento de los 
astros, y es en el ilimitado laboratorio de los cielos donde 
el hombre pudo poner a prueba, por primera vez, la po- 



LOS HECHOS CULMINANTES DE LA HISTORIA DE LA FÍSICA 401 


tencia de su espíritu. Y esa misma mecánica extraída de 
los espacios siderales, es la que aplicamos hoy en la cons- 
trucción de nuestros aviones. 

Aparte de esos dos momentos singulares de la historia 
de la Física representados por los nombres de Galileo y 
Newton, existen en casi todos sus capítulos hechos signi- 
ficativos, que no pueden dejarse de lado. No daré de los 
mismos nómina alguna, por juzgarlo enteramente ocioso, 
pero sí advertiré que del examen de todos y cada uno de 
ellos se desprende que si la ciencia avanza, se debe no sólo 
al esfuerzo de unos pocos hombres excepcionales, sino, y 
principalmente, a la incansable labor de un verdadero 
ejército de investigadores anónimos. 


19 




XIII 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


La Física en los planes de estudio. — Síntesis y conocimientos 
latentes. — Las Matemáticas y la Física en los planes de estudio . — 
Distribución del programa en lecciones. 


La Física en los planes de estudio 

Amplitud. — Un hecho es incuestionablemente cier- 
to: la ciencia progresa al paracer sin límites, mientras 
que la duración de la vida del hombre sigue siendo harto 
limitada. En los programas de Física que sirvieron de 
guía a los estudios de nuestros padres no figuraba, ni po- 
día figurar, una sola palabra referente a la estructura 
del átomo, a los rayos X, radiotelefonía, radiactividad, 
etc. ¿Es posible, en la actualidad, dejar de tratar estos 
asuntos? Si así se hiciera, desconectaríamos a las gene- 
raciones venideras con el ambiente en que les tocará vi- 
vir ; se sentirían en un mundo extraño, y nuestra civiliza- 
ción correría serio peligro. 

Es, pues, inprescindible dar a nuestros alumnos, ade- 
más de la ley de la palanca y del principio de Arquimedes, 
como se ha hecho siempre, una información acerca de los 
rayos cósmicos y de la energía nuclear. 

Para esto es necesario : 

l 9 ) Ordenar los programas teniendo en cuenta, fun- 



404 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


damentalmente, la capacidad del alumno y su grado de 
desarrollo ; 

29) Seleccionar en aquéllos y en las lecciones lo fun- 
damental de lo accesorio, tendiendo, vectorialmente, hacia 
los asuntos más importantes; 

3 9 ) Aprovechar debidamente en la enseñanza las sín- 
tesis de la Física teórica, así como también los conoci- 
mientos latentes, originados en la experiencia diaria; 

4^) Ubicar adecuadamente el estudio de la Física en 
los planes de estudio; 

59) Coordinar preferentemente los estudios de Mate- 
máticas con los de Física. 

Ordenamiento. — Los criterios predominantes en la 
ordenación de un programa pueden ser clasificados, es- 
quemáticamente, del siguiente modo: histórico, lógico y 
pedagógico . El ordenamiento histórico da, para cada ca- 
pítulo, un orden genético, que puede diferir, y difiere, en 
la mayoría de los casos, de un ordenamiento lógico del 
mismo. Hasta podría decirse que, en general, dichos or- 
denamientos son opuestos, pues mientras el primero obe- 
dece a un proceso inductivo, el segundo, el lógico, debe 
ser deductivo. Históricamente, las leyes de Kepler pre- 
ceden a la de Newton, en tanto que aquéllas pueden ser 
deducidas de la última. Por otra parte, diferentes capí- 
tulos de la Física se han desarrollado en forma comple- 
tamente independiente, no teniendo sentido, entonces, ha- 
blar de un ordenamiento histórico en lo que a ellos se re- 
fiere. Los primeros conocimientos sobre óptica y electri- 
cidad aparecen ya en la más remota antigüedad, y se 
comprueba que el desenvolvimiento de ambas ramas de 
la Física se efectúa en forma paralela y sin ningún con- 
tacto entre sí, hasta que, en 1870, Maxwell encuentra la 
manera de reducir el estudio de la luz a un simple ca- 
pítulo del electromagnetismo. 

Cuando Coulomb encontró sus leyes, formalmente 
idénticas a la ley de Newton, muchos tratadistas se apre- 
suraron a incluir en el mismo capítulo a la gravitación, 



LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 


405 


la electricidad y el magnetismo; pero hasta hoy no se 
ha podido efectuar esa síntesis en forma completa. 

El estudio científico del calor se hace posible sólo des- 
pués de la invención de la primera escala termométrica, 
realizada por Fahrenheit en 1714, cuando ya la mecánica 
estaba totalmente desarrollada. Se explica así que su es- 
tudio y el de la termometría se pospongan al de la me- 
cánica de sólidos y flúidos, aun cuando para definir el 
metro, nuestra unidad de longitud, debamos apelar in- 
eludiblemente al termómetro, decir qué es y cómo está gra- 
duado. 

En el ordenamiento tradicional de los programas de 
Física ha influido, sin duda alguna, un criterio que ha 
querido ser lógico; lógico en sentido geométrico. Se ha 
pretendido que cada capítulo se apoyara en el precedente, 
aun cuando el supuesto apoyo estuviera condicionado a 
una hipótesis, la cual muchas veces, en la enseñanza me- 
dia, ni siquiera se menciona. 

Si investigamos por qué la óptica geométrica se estu- 
dia después de la mecánica, encontramos que eso se debe 
a las teorías que se han formulado sobre la naturaleza de 
la luz. En la teoría corpuscular de Newton, la propaga- 
ción rectilínea es una consecuencia del principio de iner- 
cia, y las ondas de Huygens son vibraciones que se pro- 
ducen en un medio elástico. Luego, tanto en una como en 
otra teoría, el estudio de la luz “debe” ser posterior al es- 
tudio de la dinámica. Históricamente, en cambio, la pro- 
pagación rectilínea de la luz se conoce desde tiempo in- 
memorial, pudiéndose decir que la geometría de Euclides 
se desarrolla basándose en ese hecho. La sombra proyec- 
tada, por una varilla vertical permite a los egipcios se- 
guir la marcha diaria y anual del Sol, determinar la 
oblicuidad de la eclíptica, fijar la duración del año y pre- 
ver el comienzo de las estaciones. 

En cambio, si nos atuviésemos a un “ordenamiento 
.lógico”, debería posponerse todo lo referente a la propa- 
gación rectilínea de la luz, hasta tanto pudiera darse la 



406 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


complicada demostración de ese hecho, basada en el prin- 
cipio de Huygens-Fresnel. 

Consideramos, pues, evidente que no puede hablarse 
siquiera de un ordenamiento rigurosamente lógico de los 
programas, así como tampoco de un ordenamiento estric- 
tamente histórico de los mismos. 

El criterio que debe guiarnos en ese ordenamiento de- 
be ser eminentemente didáctico. Esto significa que de- 
bemos considerar, sobre todo y ante todo, al alumno 
mismo, buscando el camino que él (y no nosotros) en- 
contrará más fácil, más directo o más atrayente. 

El ordenamiento dentro de un capítulo determinado 
no ofrece mayores dificultades: siempre se estudiarán 
los lentes después de haber explicado la refracción de la 
luz, y no será nunca posible tratar de los transformadores 
antes de haber dado algo de las corrientes inducidas. 

En cambio, entre dos capítulos diferentes, indepen- 
dientes entre sí, debe comenzarse, sin duda alguna, por 
aquel que ofrezca menores dificultades a los alumnos y 
que requiera un mínimo de conocimientos previos. Ade- 
más, las dificultades que se encuentran en el estudio de 
determinada cuestión aparecen, por lo general, en razón 
inversa del interés que despierta su estudio. 

Tradicionalmente, el estudio de la Física se comienza 
por la mecánica, y justamente es esa rama la que des- 
pierta menos interés en los alumnos. Es tan abundante la 
experiencia diaria, en lo que a la mecánica se refiere, 
que sólo después de haber alcanzado cierto grado de ma- 
durez inquirimos acerca del cómo y del porqué de los he- 
chos que aquélla estudia. Ningún muchacho pregunta por 
qué los cuerpos caen y por qué hay que hacer más fuerza 
para subir un automóvil por una pendiente que para ha- 
cerle andar por un camino llano; si una lámpara oscila, 
a nadie le inquieta ni el porqué ni el cómo de esa oscila- 
ción, y eso ocurre porque ya desde la cuna comenzamos 
a observar esos movimientos. Olvidándonos del largo pro- 
ceso histórico por el que hubo de pasar la humanidad an- 
tes de interesarse por esas cuestiones, pretendemos que 



LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 


407 


ele golpe nuestros alumnos se preocupen por las mismas. 
Por todo ello creo que debe posponerse, en lo posible, el 
estudio de la mecánica, y, sobre todo el de la dinámica. 

Frente a esta situación de indiferencia por los fenó- 
menos mecánicos, encontramos, en cambio, en la mayo- 
ría de los jóvenes, una viva apetencia por conocer lo re- 
lativo a magnetismo, electricidad, calor y óptica, que se 
manifiesta en sus incesantes “¿por qué?”. Pretender sa- 
tisfacer inmediatamente esta apetencia, sin orden alguno, 
sería absurdo y del todo imposible. Preguntan acerca de 
la televisión, sin saber una palabra de los rayos catódicos 
y del efecto fotoeléctrico, por lo cual la explicación debe 
ser necesariamente postergada. Pero es indudable que se 
sienten mejor predispuestos para ocuparse de los espec- 
tros magnéticos que del movimiento pendular, y que de- 
sean con más fervor saber por qué con una lupa se ven 
los objetos agrandados, que la condición de equilibrio del 
plano inclinado. 

En principio, nada se opone a que el estudio de la 
Física se comience por el magnetismo, la electricidad, el 
calor o la óptica antes de tratar de la mecánica. Se me 
dirá que, excepto en la óptica, la noción de fuerza inter- 
viene en el estudio de cualquiera de los otros capítulos, y 
que es necesario conocer la regla del paralelogramo para 
interpretar muchos experimentos de magnetismo y elec- 
tricidad. Pues bien, cuando sea necesaria la regla del pa- 
ralelogramo, se la explica, y cuando necesitemos mencio- 
nar la dina, saldremos del paso diciéndoles que, aproxi- 
madamente dicha fuerza es igual a la 980 ava parte del 
peso de un gramo. Más tarde se enterarán de la razón 
que se ha tenido para introducir aquella unidad. Esto 
mismo se hace, actualmente, cuando se define el culombio 
como igual a 3 X 10 9 unidades electroestáticas, omitién- 
dose decir que, en realidad, dicha unidad se ha definido 
como la décima parte de la unidad electromagnética de 
cantidad de electricidad, y que siendo esta última igual, 
en valor numérico, a 3 X 10 lrt unidades electroestáticas, 



408 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


resultó así aquel valor para la unidad práctica de carga 
eléctrica. 

Si los autores de los programas prescindieran, al ha- 
cerlos, de triviales pruritos de orden lógico; si se olvida- 
ran por un momento del ordenamiento clásico, por el cual 
ellos mismos aprendieron, y se preguntaran en cambio 
qué orden elegirían para enseñarles Física a sus propios 
hijos, el resultado final de su esfuerzo sería asombrosa- 
mente diferente del que nos ofrecen en la actualidad en 
todas partes. 

Un problema tan arduo como éste no puede resolver- 
se, desde luego, por vía puramente especulativa. Será ne- 
cesario ensayar uno y otro orden, y comparar luego los 
resultados obtenidos; pero no es posible persistir en re- 
correr el camino tradicional, que es evidentemente uno 
de los más inadecuados. 

Consideremos, a título de ejemplo, que se comenzara 
en la enseñanza media con un ordenamiento tal como el 
que sigue: 

1) óptica: Propagación rectilínea de la luz, re- 
flexión, refracción, prisma, espectros, lentes, visión, 
instrumentos de óptica, fotometría, velocidad de la 
luz en el aire y en diferentes medios. 

2) Calor (I) : Cambios de estado, dilatación de 
sólidos, líquidos y gases (cualitativamente), escalas 
termométricas. 

3) Fuerzas: Dinamómetro, peso y peso especí- 
fico, variación del peso con la latitud, poleas, regla 
del paralelogramo, fuerzas paralelas, centro de gra- 
vedad, palanca, balanza, masa y masa específica o 
densidad, plano inclinado y combinación de poleas, 
trabajo y principio de los trabajos virtuales, roza- 
miento, elasticidad. 

4) Hidrostática y neumática: Fuerza y pre- 
sión, vasos comunicantes, densidad relativa, ley de 
Boyle y Mariotte, bombas hidráulicas y neumáticas, 



LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 


409 


principio de Arquimedes, tensión superficial, visco- 
sidad. 

5) Calor (II) : Calorimetría, coeficientes de di- 
latación, dilatación de gases, temperatura absoluta, 
etc. 


6) Dinámica: Movimiento uniforme y principio 
de inercia, caída de los cuerpos y movimiento unifor- 
memente acelerado, etc., etc. 

Para el estudio de la óptica sólo se requieren los ru- 
dimentos de la Geometría, y el alumno comienza por 
aprender muchas cosas que realmente le interesan, fami- 
liarizándose con el sentido de lo que son y de lo que sig- 
nifican las leyes físicas. 

Sé que se me dirá que para el estudio de la refracción 
se necesita conocer algo de trigonometría, pues no es po- 
sible dar la ley de ese fenómeno sin definir previamente 
lo que es el seno de un ángulo. Si se adopta este punto de 
vista, para ser consecuente con él no habría que dar tam- 
poco la ley del péndulo hasta tanto se estudiaran las in- 
tegrales elípticas. En efecto : siempre se ha enseñado que, 
para amplitudes pequeñas, el tiempo de oscilación de un 
péndulo no depende de la amplitud. Sabemos bien que 
esa ley no es exacta, ya que el tiempo de oscilación de- 
pende de la amplitud en forma complicada, pero sabemos 
también que, didácticamente, la sencillez de la ley apro- 
ximada es preferible a la complicación de la ley exacta. 
Siguiendo el mismo sabio criterio, no hay inconveniente 
ninguno en enunciar la ley de refracción, diciendo que, 
para ángulos de incidencia no muy grandes, el cociente 
entre los ángulos de incidencia y refracción es constante. 
A continuación transcribimos una tabla con los valores 
de los ángulos de incidencia y refracción, de 5 en 5 gra- 
dos, hasta i = 45°, para el agua y el vidrio, y en la cual 

<1 

se aprecia que el cociente — se mantiene constante, con 

r 



410 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


menos del 1 ( }í de error, hasta para valores del ángulo 
de incidencia de unos 20°. 


i 

Agua 

1 

; Vidrio 

i 

r 

i 

r 

r f 

i 

r f 

5° 

3° 45' 

1,33 

3° 20' 

1,50 

10° 

7 o 30' 

1,33 

6 o 39' 

1,50 

15° 

11° 13' 

1,34 

! 9 o 56' 

1,51 

20° 

14° 54' 

1,34 

13° 11' 

1,51 

25° 

18° 32' 

1,35 

j 16° 22' 

1,53 

30° 

22° 5' 

1,36 

i 19° 28' 

1,54 

35° 

25° 33' 

1,37 

¡ 22° 29' 

1,56 

40° 

28° 54' 

1,38 

1 25° 22' 

1,58 

45° 

32° 7' 

1,40 

i 28° 8' 

1,60 


Si decimos a nuestros alumnos que, en el caso del vi- 
drio, a un ángulo de incidencia de 12° corresponde un 
ángulo de refracción de 8 o , y que por ser 


éste es el valor del índice de refracción del vidrio, sabrán 
mucho más de la ley de refracción que si repiten de me- 
moria que seno i sobre seno r es constante. En el caso 
del agua, a un ángulo de incidencia de 12° corresponde 
otro de refracción de 9 o , y de ahí, sin preocuparnos de- 
masiado por la precisión, obtenemos, dividiendo los án- 
gulos directamente, el índice de refracción del agua. Na- 
turalmente que también puede enseñárseles, en este caso, 
si se quiere, la ley exacta, pues para eso bastará con 
indicarles qué es lo que se entiende por seno de un án- 
gulo. En peores condiciones nos encontramos frente a la 
ley aproximada del isocronismo, en que no es posible dar 
la ley exacta,, por ser excesivamente complicada. No se 
crea que la ley aproximada del isocronismo que se enseña 
siempre se aproxima a la ley exacta, mucho más de lo que 



LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 


411 


aproxima — con respecto a Sen - . Si un péndulo oscila 
r sen r 

con una amplitud de 3 o , efectúa, en cierto tiempo, 1313 
oscilaciones, y si la amplitud es de 6 o , en el mismo tiempo 
sólo cumple 1312, que se reducen a 1291 para 30° de am- 
plitud. 

En óptica, los trazados geométricos y los triángulos 
que se deben considerar corresponden a trayectos reales 
y a triángulos reales, formados por rayos de luz, en tanto 
que las construcciones geométricas de la mecánica corres- 
ponden a procesos de abstracción mucho más elevados. 
Pensemos en que ya 600 años antes de nuestra era, Tales 
pudo medir la altura de la gran pirámide comparando 
su sombra con la de una varilla, y que de todas las leyes 
en que aparece un efecto, variando en razón inversa del 
cuadrado de la distancia, la más simple y la de más fácil 
comprobación es la ley de iluminación. Por otra parte, 
el instrumental requerido en óptica es el más simple de 
todos: basta practicar un orificio en una tarjeta para 
tener una cámara oscura y observar así la imagen del 
filamento de una lámpara, y los alumnos podrán realizar 
medidas fotométricas bastante buenas con sólo comparar 
las sombras que de su lápiz proyectan dos lámparas sobre 
sus propios cuadernos. Por si todo esto fuera poco, de 
la óptica podemos decir, y no ya en un sentido figurado, 
que entra por los ojos. 

Después del estudio de la óptica geométrica, podría 
comenzarse a desarrollar la estática de sólidos y fluidos. 
Aparecen aquí las nociones de densidad, y sobre todo en 
los gases, es necesario advertir, desde el comienzo, la 
influencia que sobre su volumen ejerce la variación de 
temperatura. Por todo ello, y sobre todo por su simplici- 
dad y el interés que despierta en los alumnos, creo con- 
veniente tratar antes de los cambios de estado de las 
substancias puras, la dilatación térmica y la termometría. 
Cuando los discípulos de Galileo, de la Academia del Ci- 
mento, observaron que no era posible calentar el hielo, 
pues se mantenía frío, aun introducido en un recipiente 



412 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


que se colocaba dentro de otro con agua en ebullición, 
consideraron ese fenómeno como un enigma indescifra- 
ble. Si hacemos que nuestros alumnos repitan ese expe- 
rimento; y que verifiquen también que la columna termo- 
métrica no sube más allá de los 100° C cuando se coloca 
el termómetro en el seno de los valores de agua en ebu- 
llición, o no sube más de los 80° C si se lo coloca en un 
tubo de ensayo con naftalina fundida, no sólo experimen- 
tarán con todo eso un vivo interés, sino que entrarán en 
posesión del instrumento que permitió estudiar científi- 
camente toda una rama de la Física. Claro está que, si 
se prefiere, estas breves nociones de termometría pueden 
darse antes de comenzar con el estudio de la óptica, o 
también dejarlas para más adelante. Habrá, sin duda, 
algún profesor que piense que no es posible dar nada de 
termometría antes de haber visto lo referente a la pre- 
sión atmosférica. Argumentará que para definir correc- 
tamente los puntos fijos de la escala, es necesario decir 
que el hielo en fusión ,o los vapores de agua en ebullición, 
deben estar sometidos a la presión de 760 mm de mer- 
curio. Esto es, sin duda, cierto, pero también es cierto 
que para determinar la presión atmosférica no basta leer 
la altura barométrica, sino que también es necesario co- 
nocer la temperatura en el momento de la lectura y, to- 
davía, el valor de la aceleración de la gravedad en el punto 
de observación. Un examen superficial del asunto haría 
que se extrajera, como consecuencia “lógica”, que no es 
posible construir termómetros ni barómetros exactos. Pa- 
ra graduar un termómetro, se diría, se necesita conocer 
con exactitud la presión atmosférica, y para conocer ésta 
exactamente, se requiere disponer ya de un termómetro. 
Argumentar así seria desconocer que, en la ciencia y en 
la técnica, se avanza por aproximaciones sucesivas, no 
pudiéndose eludir este mismo proceso en la adquisición 
de los conceptos, que en las diferentes etapas del apren- 
dizaje se van afinando progresivamente. 

Si el programa a que nos estamos refiriendo corres- 
ponde a un curso de Física que se desarrolla en más de 



LA FÍSICA EN LOS FLANES DE ESTUDIO 


413 


un año escolar, habrá que hacer lo posible para que la 
dinámica se estudie después del primer año. Durante la 
adolescencia, un año más de edad significa mucho, y 
siendo la dinámica intrínsecamente difícil, esa espera po- 
dría significar una considerable economía de tiempo y 
esfuerzo. 

Selección. — Una cuidadosa selección de los temas 
incluidos en determinado programa puede representar 
también una considerable economía de tiempo. No deben 
sacrificarse, naturalmente, los principios y las leyes bá- 
sicas de la Física, pero sí puede dejarse de lado el estudio 
de dispositivos y detalles. 

Estos dispositivos y detalles pueden resultar de sumo 
interés para el técnico o para el hombre de ciencia ya he- 
cho, pero carecen casi de significado para un alumno del 
ciclo medio. Así, por ejemplo, está fuera de discusión la 
enorme importancia que tiene el puente de Wheatstone 
para efectuar con él medidas precisas de la resistencia 
eléctrica, ya que sólo se requiere un “instrumento de cero” 
para realizarlas. Pero el estudio de ese método de medida 
lleva, por lo menos, una clase íntegra, y en una clase pue- 
den medirse, por el método directo, utilizando amperí- 
metros y voltímetros, resistencias de lámparas, de plan- 
chas, de estufas, etc., sin dificultad alguna y con mucho 
más provecho. Si se dispusiera de tiempo, nada se opon- 
dría a que, en una clase práctica, los alumnos se ocupa- 
ran de medir resistencias con el puente, pero jamás de- 
bería enseñarse ese método a base exclusiva de tiza y 
encerado. El profesor que siempre ha enseñado el puen- 
te de Wheatstone, cumpliendo con lo exigido explícitamen- 
te por los programas, quizá piense, arrastrado por la 
fuerza de la tradición, que se trata, independientemente 
del valor del método de medida, de una aplicación inte- 
resante, que facilita la comprensión de la ley de Ohm, 
Esto es evidentemente cierto, pero si se trata de que los 
alumnos comprendan bien el contenido de la ley de Ohm, 
nada más sencillo para ello que les proveamos de ampe- 



414 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


rímetros y voltímetros y les hagamos medir resistencias, 
directamente, con esos instrumentos. 

Lo que hemos dicho de la medición de resistencias, se 
hace extensible a muchos otros capítulos. ¿Es necesario, 
acaso, hacer ver que sería absurdo explicar, en el ciclo 
medio, el fotómetro de Lummer y Brodhun, el refractó- 
metro tal o cual, el calorímetro de Bunsen o diez tipos 
diferentes de máquinas neumáticas? Todo eso puede fi- 
gurar en los tratados, y aun en los textos que utilicen los 
propios alumnos, pero no puede ser motivo de considera- 
ción especial por parte de los programas ni del profesor. 


Síntesis y conocimieiitos latentes 

Mach hace notar que en la ciencia, la introducción de 
una palabra bien elegida puede significar una considera- 
ble economía de pensamiento. Piénsese, por ejemplo, en 
la palabra energía, y preguntémonos si en la enseñanza 
aprovechamos debidamente esa síntesis maravillosa. Ha- 
bitualmente, el concepto de energía se introduce al co- 
mienzo, al estudiar dinámica, dando las nociones de ener- 
gía cinética y potencial. Como no se ha visto aun nada 
de calor, no es posible dar entonces el principio de con- 
servación de la energía, que es el que en realidad define 
a aquel término. 

Al estudiar calor se vuelve sobre aquel concepto, pero 
nos encontramos con que nuestros alumnos ya han olvi- 
dado gran parte de lo que necesitamos utilizar. Este re- 
torno es indudablemente ventajoso, ya que el aprendizaje 
se realiza por un repetido y continuado rumiar, pero en 
este caso involucra cierta pérdida de tiempo, que, sin des- 
ventaja alguna, podría economizarse. Supongamos, al 
efecto, que el estudio de la dinámica se comenzara des- 
pués de haber familiarizado a nuestros alumnos con las 
mediciones básicas de termometría y calorimetría. En 
este caso, el camino obligado y natural sería dar el prin- 
cipio de equivalencia a renglón seguido de la definición 



SÍNTESIS Y CONOCIMIENTOS LATENTES 


415 


de los conceptos de energía mecánica, dando en seguida 
una noción acerca de la teoría cinética. 

Análogamente, al estudio simultáneo del péndulo y del 
movimiento vibratorio seguiría el de la propagación de 
las ondas, estudiándose entonces lo correspondiente a 
acústica y a los fenómenos de interferencia, difracción y 
polarización de la luz. Aquí se haría notar la identidad 
física de todas las radiaciones, desde las ondas radioeléc- 
tricas a los rayos gamma, pasando por los rayos infrarro- 
jos, visibles, ultravioletas y de Roentgen. 

El estudio del “calor radiante” constituye en la Física 
un capítulo aparte de la óptica, por la diferencia de los 
métodos empleados en la investigación, pero en la ense- 
ñanza cabría economizar tiempo y energía mental advir- 
tiendo desde el comienzo, al estudiar las leyes de la re- 
flexión y de la refracción de la luz, que dichas leyes son 
seguidas también por las radiaciones térmicas. ¿Qué mu- 
chacho, en efecto, no ha encendido un papel utilizando 
un espejo cóncavo o un lente convergente? 

Si utilizando una red de difracción se les hace medir 
la longitud de onda de determinada radiación de luz vi- 
sible, bastará con indicarles que con las redes naturales, 
formadas por los propios átomos, distribuidos regular- 
mente en los cristales, se determina igualmente, aplican- 
do el mismo procedimiento, la longitud de onda de los 
rayos X. 

La ciencia se amplía cada vez más y más, pero no 
existe felizmente proporcionalidad entre el número de 
hechos nuevos que es necesario conocer y el esfuerzo que 
se requiere para conocerlos. Merced a las síntesis teóri- 
cas se identifican los fenómenos más dispares, por lo 
cual quizá podría decirse que, mientras los conocimientos 
crecen en progresión geométrica, el esfuerzo requerido 
para aprehenderlos sólo aumenta en progresión aritmé- 
tica. 

Aparte de ello, las aplicaciones técnicas de la Física 
hacen que nuestros alumnos se encuentren familiarizados 
con una cantidad de términos y fenómenos que implican 



416 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


ya cierto grado de conocimiento. Desde que se divulgó la 
radiotelefonía, los alumnos captan mucho mejor el con- 
cepto de longitud de onda, y tienen de la corriente eléc- 
trica una cantidad de conocimientos latentes, que sólo 
esperan la sacudida apropiada, o el término adecuado, 
para poder expresarlos. 

A fines del siglo pasado, antes de popularizarse la uti- 
lización de la corriente eléctrica, habrá sido tarea real- 
mente difícil dar a los alumnos el sentido preciso de la 
ley de Ohm. Hoy, en cambio, puede asegurarse que todas 
las personas tienen, sin saberlo, una idea acerca de la 
misma. ¿Quién, en efecto, ignora que puede conectar, 
sucesivamente, a un mismo tomacorriente, una lámpara, 
una plancha o una estufa? ¿Quién desconoce que la es- 
tufa gasta más que la lámpara? ¿No sabe todo el mundo, 
también, que la diferencia de potencial es, en nuestras 
ciudades, entre los bornes de un tomacorriente, igual a 
220 voltios? Los conocimientos anteriores, ¿no implican 
entonces saber que la intensidad de la corriente depende 
del conductor, o sea de la resistencia eléctrica? ¿Quién 
no sabe cómo está hecho un fusible, y cómo se produce 
un cortocircuito? ¿Ignora alguien hoy que los automó- 
viles tienen una batería de acumuladores de 6 voltios, que 
se va cargando con una dinamo que acciona el propio mo- 
tor? Todo esto y muchas otras cosas pueden y deben ser 
aprovechadas en la enseñanza, y se encontrará así que el 
problema del indefinible crecimiento de los conocimientos 
que deben impartirse en un tiempo limitado, no resulta 
tan pavoroso como podría juzgarse basándose en un exa- 
men superficial. 

Todos sabemos que la división de la ciencia en dife- 
rentes ramas es puramente artificial, como artificial es 
también, en cierto sentido, la ciencia misma. En deter- 
minado plan de estudios, las diferentes ramas de la cien- 
cia se van ubicando de modo que, en lo posible aparezcan 
escalonadas. En lo que a la Física se refiere, deberá te- 
nerse en cuenta qué conocimientos previos necesita el 
alumno para poder seguir provechosamente su curso, y 



SÍNTESIS Y CONOCIMIENTOS LATENTES 


417 


de qué otras asignaturas deberán ser considerados como 
básicos los conocimientos de Física. Si los conocimientos 
se ordenaran linealmente, como en la clasificación de 
Augusto Comte, podría satisfacerse racionalmente la exi- 
gencia que precede, pero ellos, en la realidad, se entrecru- 
zan en forma complicada. En las clases de Física debe ha- 
cerse referencia, en forma constante, a cuestiones de Quí- 
mica y Astronomía, ocurriendo lo propio en la enseñanza 
de estas materias. También necesita apoyarse en ciertas no- 
ciones de Física el profesor de Biología, el de Geografía, 
y hasta el de Historia, que tiene que hablar, por ejemplo, 
de la época de los grandes descubrimientos. Pero sería 
totalmente absurdo suspender la explicación del descu- 
brimiento de América en espera de que los alumnos su- 
pieran algo de magnetismo. 

Si el profesor de Física necesita utilizar alguna no- 
ción que “pertenezca” a otra asignatura, lo que debe hacer 
es explicar esa noción, así como el profesor de Geografía 
tendrá que referirse al barómetro si trata de las isóbaras 
y se encuentra con que sus alumnos no saben todavía 
cómo se mide la presión atmosférica. 

El problema, pues, que planteado en términos rígidos 
y absolutos parece insoluble, no es en verdad tan grave. 

La distribución de las diferentes asignaturas en de- 
terminado plan dependerá también de la finalidad per- 
seguida. En el bachillerato se posterga el estudio de la 
Física hasta los últimos años del ciclo, a la espera de que 
aumente, entretanto, la preparación matemática y la ma- 
durez de los jóvenes educandos. En las escuelas indus- 
triales sería imposible, en cambio, postergar demasiado 
el estudio de nuestra materia, por requerirlo así en forma 
indispensable, el estudio de las ramas técnicas de aplica- 
ción. Otro tanto cabe decir de la ubicación de la Física 
en los planes de estudio de las escuelas normales y de co- 
mercio, donde se prefiere que en los últimos años los 
jóvenes se dediquen al estudio de las asignaturas especí- 
ficas, que guardan relación directa con las actividades 
que deberán desplegar en el ejercicio de su profesión. Por 



418 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


estas razones, el contenido, alcance y ordenamiento de un 
programa debe depender del contenido, alcance, ordena- 
miento y finalidad del plan de estudios a que aquél per- 
tenece. Las exigencias de orden práctico hacen ilusorio 
buscar para este problema soluciones ideales, consisten- 
tes, en nuestro caso, en fórmulas simples, del tipo: “la 
Física debe estar ubicada en tal lugar del plan de estu- 
dios”. 

Lo que debe tenerse en cuenta, en cada caso, es que el 
modo de encarar una misma cuestión deberá variar según 
la ubicación de la asignatura en el plan general. Dicha ubi- 
cación dependerá de la edad media de los alumnos al tiem- 
po de cursar tal o cual materia, pues con ella varía tam- 
bién el grado de madurez de los mismos y su prepara- 
ción. Dos programas de Física pueden parecer idénticos, 
pero si pertenecen a planes de estudio diferentes, tendrán 
que ser desarrollados también de diferente modo. 

Por ejemplo, la dinámica no puede enseñarse de la 
misma manera a muchachos de catorce años que a otros 
de dieciocho y sería absurdo encarar el estudio de la co- 
rriente eléctrica en idéntica forma en una escuela indus- 
trial que en el bachillerato. En las escuelas industriales 
interesan muy poco los fenómenos de electroestática, pero 
al tratar de este capítulo habrá que llegar lo más directa- 
mente posible al estudio de los condensadores, puesto que 
ellos intervienen en los circuitos oscilantes de la radiote- 
lefonía. Pero no tendremos por qué detenernos en la teo- 
ría ele la polarización de los dieléctricos, siendo preferible 
que aprendan a manejar las unidades prácticas, y que 
adquieran en este caso una noción precisa de lo que es 
un faradio o un microfaradio. Pero en cualquier plan y 
cualquiera sea el objetivo fundamental perseguido al en- 
señar Física, no habrá que olvidar el valor educativo y 
formativo de dicha enseñanza. Si ella es provechosa, ade- 
más de haber adquirido el alumno ciertas nociones que le 
serán útiles más tarde, ante ciertos fenómenos de la Na- 
turaleza, habrá aprendido a saber emplear su cabeza para 
interpretarlos y sus manos para producirlos o variarlos 



LAS MATEMÁTICAS Y LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 419 


a su antojo. Por esta razón, sería del todo contraprodu- 
cente que, por el afán de enseñar a nuestros alumnos mu- 
chas cosas, descuidáramos la parte experimental y los 
trabajos prácticos que ellos deben realizar. 


Las Matemáticas y la Física en los planes de estudio 


Todos los profesores de Física habrán advertido que 
sus alumnos aprenden, al estudiar otras asignaturas, mu- 
chas cuestiones pertinentes a su materia. En Botánica se 
les enseña algo de capilaridad y osmosis; en Química 
adquieren la noción de densidad y la de un sinnúmero de 
propiedades particulares de sólidos, líquidos y gases, em- 
pezando a familiarizarse allí con átomos y electrones; en 
Geografía, al tratar de los fenómenos meteorológicos, se 
inician en el conocimiento de los cambios de estado, ter- 
mometría, higrometría y presión atmosférica. Hasta en 
Historia se les enseña algo de Física, cuando se menciona 
la brújula, o al relatarles la anécdota, por supuesto falsa, 
de que Arquímedes incendió las naves que bloqueaban a 
Siracusa utilizando espejos cóncavos. Hasta en las clases 
de idiomas suelen aprender algo de Física, al dárseles el 
significado de tal o cual término, en tanto que, salvo ex- 
cepciones, las clases de Matemáticas se mantienen in- 
contaminadas de todo elemento extraño . . . Ellas son quí- 
micametne puras. Los ejemplos y las aplicaciones de la 
Aritmética se refieren, casi con exclusividad, a una ma- 
temática comercial de compra y venta, y al tratar de las 
proporciones, aparece siempre el consabido grupo de obre- 
ros realizando una obra en cierto tiempo, que llegaría a 
efectuarse, según el procedimiento enseñado, en un abrir 
y cerrar de ojos si el número de operarios dedicados a la 
construcción de la misma se hiciera suficientemente gran- 
de. El menos avispado de los alumnos advierte que se 
les está enseñando un disparate, y se cuidará muy bien 
de aplicar lo que aprendió en las clases de Matemáticas 



420 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


cuando, más adelante, contrate a cierto número de alba- 
ñiles para que le construya su casa. 

La Geometría, que nació a orillas del Nilo, para satis- 
facer necesidades de orden práctico, en manos de los grie- 
gos se convirtió en aristocrático juego, perfecto, pero per- 
fectamente inútil. 

Desvinculada de la realidad, se hizo totalmente in- 
fecunda, en tanto que por obra de los matemáticos de la 
escuela de Alejandría continuó sirviendo al objetivo para 
el cual había sido creada, consiguiendo ellos determinar 
así, no sólo el tamaño de la Tierra, sino también estimar 
las distancias que nos separan de la Luna y del Sol. Entre 
los griegos continentales, servidos por esclavos, el trabajo 
manual era considerado como algo despreciable, y despre- 
ciable debía ser también todo lo que se refiriera a medi- 
ciones reales, efectuadas sobre cosas también reales. Por 
esta razón no hubo físicos entre los griegos, y la misma 
Geometría, que no es más que la rama más antigua de la 
Física, se desnaturalizó de tal modo, que se convirtió en 
un juego que se desarrollaba en el cielo platónico de las 
ideas. Y es esta platónica geometría de Euclides la que, 
sin muchas variantes* se sigue enseñando aun hoy en 
nuestros colegios. 

Así como para manejar los trebejos del ajedrez de- 
bemos seguir las reglas establecidas, para accionar con 
el punto platónico, la recta platónica y el plano platónico 
.de la geometría de Euclides debemos conocer también las 
leyes del juego, dadas en forma de axiomas y postulados. 
¿Qué tiene entonces de extraño que un señor Lobatschevs- 
ki se haya tomado la libertad de modificar levemente las 
reglas del juego? También en esta geometría, los puntos, 
las rectas y los planos siguen siendo platónicos, como lo 
son en cualquiera otra que pudiera inventarse. Pero si 
enseñamos Geometría en las escuelas, no lo hacemos con 
el objeto de enseñarles un juego, que, por otra parte, los 
alumnos encuentran muy poco entretenido. Se enseña 
Geometría porque es útil, y ella es útil cuando la recta 
deja de ser platónica para convertirse en un rayo de luz 



LAS MATEMÁTICAS Y LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 421 


o en un hilo tirante, y un punto se convierte en una marca 
hecha de algún modo sobre el terreno. ¿A qué reglas obe- 
dece esta geometría física? Obedece, con mucha aproxi- 
mación, a las reglas del juego de la platónica geometría 
de Euclides, lo que no da derecho, evidentemente, a que 
el profesor permanezca durante todo el curso más allá del 
Olimpo, convirtiendo a los entes geométricos en verdade- 
ros instrumentos de tortura de sus pobres alumnos. La 
mayoría de ellos no logra pasar el puente de los burros , 
y no lo logra, según Hogben 1 porque los asnos que han 
enseñado estas cosas durante mucho tiempo han hecho 
todo lo posible para destruir el puente que enlaza la Geo- 
metría con la vida real. 

Pero no sólo se separa el estudio de la Aritmética y 
el de la Geometría del de la Física, sino que también se 
divide artificialmente el estudio de la propia Matemática: 
de aquí hasta aquí, Aritmética; a partir de esta línea, 
Álgebra; en este compartimiento, Geometría, y en el de 
más allá, Trigonometría. La geometría cartesiana, cuyas 
aplicaciones aparecen hoy hasta en los chistes de las re- 
vistas para niños, se incorpora a los planes de estudio 
cuando los muchachos ya están hartos de deducir teore- 
mas y teoremas que nunca aplicarán. 

¿Por qué al enseñar Aritmética no se la ejemplifica 
con leyes reales, tomadas de la Física? En lugar de los 
obreros que construyen la hipotética obra, según la ab- 
surda y falsa ley de que el tiempo empleado está en razón 
inversa de su número, podría tratarse de la ley de la pa- 
lanca o de la de Boyle y Mariotte, o de la del plano incli- 
nado, etc. 

El profesor de Matemáticas debe saber que si se es- 
tudian proporciones, es porque en la vida real existen 
magnitudes que varían proporcionalmente, y que en la 
aritmética comercial no vale dicha proporcionalidad, pues- 
to que hasta la menos avisada de las amas de casa soli- 


1 Lancelot Hogben, Las matemáticas al alcance de todos , 
p. 184. J. Gil, Buenos Aires, 1943. 



422 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


cita mayor descuento al comprar en mayor cantidad. Sé 
muy bien la facilidad con que los alumnos captan todos 
los problemas en que se trata de pesos moneda nacional, 
en contraste con las dificultades que encuentran para re- 
solver el mismo problema si se refiere a magnitudes fí- 
sicas de otro orden. Por eso no abogo aquí porque se de- 
jen de lado las aplicaciones comerciales, pero sí insisto en 
que, juntamente con aquéllas, se traten otros ejemplos, 
tomados de la Física. En el problema de las reparticiones 
proporcionales se trata siempre de dos o más amigos o 
socios que compran un billete de lotería, o instalan un 
comercio, para luego repartirse las ganancias. ¿Por qué 
no enseñar aquí, además de esos tradicionales ejemplos, 
la forma en que se reparte la fuerza de un peso entre dos 
hombres que lo transportan utilizando una barra que apo- 
yan en sus hombros? Si alguien piensa que el estudio de 
las proporciones se complicaría al explicarlas así, física- 
mente, yo le propongo que antes de abrir juicio ensaye 
con sus alumnos este procedimiento, y verá entonces que, 
por el contrario, obtiene de ese modo el mejor de los re- 
sultados. La antipatía de gran parte de los alumnos por 
los estudios matemáticos proviene de la vacuidad inso- 
portable que encuentran en sus fórmulas y en sus símbo- 
los. Escriben en el encerado, por ejemplo, la proporción: 


donde a, b, c y d no significan, para ellos, absolutamente 
nada. Si se sustituyen a, b, c y d por números, la igual- 
dad anterior se les presenta como una perfecta idiotez, 
de la cual no vale la pena ocuparse, por ser demasiado 
sabido que, por ejemplo, 


2 

3 



[ 2 ] 


Si les enseñamos, en cambio, que la fuerza F que de- 
bemos hacer para evitar que un automóvil de peso P se 



LAS MATEMÁTICAS Y LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 423 


deslice, estando desfrenado, por una pendiente, es tal que : 


siendo h y l la altura y la longitud del plano inclinado, y 
les hacemos realizar varios ejercicios con las representa- 
ciones gráficas correspondientes, ya no les parecerá in- 
útil ni idiota el estudio de las proporciones. 

Que de la [1] se obtenga que 

a d = b c 

les deja perfectamente indiferentes, así como también 
que 2X6 sea igual a 4 X 3. En cambio, no es nada tri- 
vial la igualdad que se obtiene de la [3] al escribirla 

Fl = Ph, 

ya que traduce, en un caso particular, el principio de los 
trabajos virtuales. 

Los profesores de Matemáticas químicamente puros, 
odian estos ejemplos, pues les obliga a salir del platónico 
reino de los números y a operar con kilogramos, metros 
y segundos, pero sus alumnos les quedarían eternamente 
agradecidos si, por lo menos de tanto en tanto, resolvie- 
ran bajar del cielo y ponerse en contacto con la tierra. 

Al enseñar Geometría, ciertos profesores de Matemá- 
ticas deben pensar que los manes de Euclides y de Platón 
se sublevarían si ellos recomendaran a sus alumnos efec- 
tuar alguna medida directa. ¿Para qué medir, se dirán, 
si con la fuerza del razonamiento llegamos a conclusiones 
absolutamente ciertas? Conclusiones absolutamente cier- 
tas. . . pero, ¿referentes a qué? Referentes a esos entes 
llamados puntos, rectas y planos que no tienen nada que 
ver con la realidad, y que, con igual lógica, aunque par- 
tiendo de otras definiciones, se llegaría a demostrar que 
son también absolutamente ciertas las conclusiones opues- 
tas. Si la luz no se propagara siguiendo con extraordina- 



424 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


ria aproximación las rectas de la geometría euclidiana, 
ésta no serviría para nada, y para ejercitar el entendi- 
miento valdría mucho más dedicarse al estudio del aje- 
drez. 

Es bueno, pues, que los profesores de Geometría sepan 
que lo que están enseñando es, en gran parte, óptica, y es 
bueno, también, que se lo digan a sus alumnos. 

Pero mejor que decírselo es hacer que ello se despren- 
da del propio método de enseñanza. 

Así, por ejemplo, el estudio de la semejanza de trián- 
gulos podría comenzarse encargando a los alumnos que 
en sus casas, independientemente, en determinado día y 
a determinada hora, midieran la longitud que proyecta 
sobre un plano horizontal una varilla dispuesta vertical- 
mente. Se les advertirá que no es necesario clavar en el 
suelo varilla alguna, y que al efecto pueden utilizar una 
tarjeta provista de un pequeño orificio, fija en el marco 
de una ventana, en el dintel de una puerta o en la rama 
de un árbol, y que deben medir cuidadosamente, utilizan- 
do una plomada y una regla milimetrada, la distancia 
vertical que media entre el orificio y el plano horizontal 
en que se proyectará la imagen del Sol, así como también 
la distancia entre el centro de esta imagen y el pie de la 
plomada. 

Naturalmente que todos deberán efectuar sus medidas 
exactamente en el mismo momento, para lo cual se les 
recomendará que, por ejemplo, cuando por radiotelefonía 
se indica que son las 15 en punto, de tal día, marquen en 
ese preciso instante, con un lápiz, el centro de la imagen 
solar, efectuando después las mediciones. Si son treinta 
los alumnos encargados de esta tarea, y si todos ellos vi- 
ven en la misma ciudad, treinta serán los triángulos se- 
mejantes que habrá que considerar. Supongamos que al- 
gunas de esas mediciones fueran las siguientes: 



LAS MATEMÁTICAS Y LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 425 


Observador 

h — altura de la 
varilla 

l = longitud de la 
sombra 

h 

T 

A 

125,5 cm 

97,0 cm 

1,294 

B 

231,0 „ 

178,0 „ 

1,298 

C 

75,0 „ 

58,0 „ 

1,293 

D 

105,5 „ 

81,5 „ 

1,293 



Fig. 181. 

A partir de aquí pueden ya hacerse ejercicios que des- 
pertarán realmente el interés de los alumnos. Si se pre- 
gunta a uno de ellos cuál era la altura por él utilizada, 
los demás podrán “adivinar” la longitud de la sombra 
que debe haber medido, o recíprocamente. Haciendo que 
midan con un transportador los ángulos agudos de los 
triángulos que se harán dibujar a escala a cada uno de 
ellos, todos observarán que obtienen el mismo valor, y 
aquí sería el momento de darles una tabla de tangentes. 
Con ella verían que el ángulo formado por los rayos so- 
lares y el plano del horizonte, en el momento en que efec- 
tuaron su medida, era, aproximadamente, en el ejemplo 
precitado, de 52° 20'. Pero observarían, también, al 
efectuar sus mediciones, que la imagen del Sol aparece 
alargada, y éste sería el momento de “presentarles” las 


20 


426 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


secciones cónicas, para que empezaran a trabar conoci- 
miento con elipses, parábolas e hipérbolas. Nada más 
fácil que producir un doble cono de luz colocando adecua- 
damente (fig. 181) un cilindro de cartón alrededor de 
una pequeña lámpara, y observar las secciones de estos 
conos contra el plano de la pared. Colocando el eje del 
cilindro, que es el eje del cono, perpendicular al plano de 
proyección, percibirán un círculo luminoso, y bastará 
alejar la lámpara del plano, para obtener círculos más y 
más grandes. Girando el “aparato proyector”, los círcu- 
los se convertirán en elipses, cada vez más y más alar- 
gadas, apareciendo luego, para una posición bien deter- 
minada, la parábola, y finalmente, para otras posiciones, 
las dos ramas de las secciones hiperbólicas. Cualquier 
muchacho de 10 ú 12 años entendería perfectamente lo 
concerniente a las secciones cónicas si se les explicara de 
este modo, pues no pueden ser ellos menos inteligentes 
que los perros de Pavlov, que tan bien aprendieron a dis- 
tinguir los círculos de las elipses. 

Hace ya tiempo que las clases de Física se dictan en 
los laboratorios de esa materia, o, por lo menos, hace ya 
tiempo que nadie discute que si así no se hace, así debe- 
ría hacerse. Las clases de Matemáticas deberían dictarse 
también en los “laboratorios de Matemáticas”, en los 
cuales los alumnos tendrían que aprender a manejar plo- 
madas, niveles, reglas milimetradas, escuadras mecánicas 
y ópticas, teodolitos, sextantes, etc. 

De ese modo no se preguntarían, como se preguntan 
hoy, para qué sirve tpdo lo que se les enseña. Es en las 
clases de Matemáticas donde debería enseñarse a los alum- 
nos el manejo del vernier, del tornillo micrométrico, del 
esferómetro, del catetómetro, del goniómetro, etc. Es allí 
donde deberían medir superficies y volúmenes, resolvien- 
do problemas sobre casos reales, acostumbrándose desde 
el comienzo a expresar los resultados con una aproxi- 
mación concordante con la de los datos que se obtienen 
de las mediciones. En la actualidad, nuestros bachilleres, 
que en su momento supieron todas las fórmulas de la tri- 



LAS MATEMÁTICAS Y LA FÍSICA EN LOS PLANES DE ESTUDIO 427 


gonometría plana y esférica, que resolvieron problemas 
cuyos datos consignaban hasta el segundo de arco, son 
incapaces de determinar la latitud de un lugar, no ya con 
una aproximación de minutos, sino ni siquiera de grados, 
creyendo que para ello se necesita ser astrónomo y utili- 
zar todo el arsenal de un observatorio astronómico. 

Si se encarara la enseñanza de las Matemáticas en la 
forma que hemos esbozado, ello redundaría en provecho 
no sólo del aprendizaje de la Física, sino del de las mis- 
mas Matemáticas, siendo seguro que serían entonces muy 
pocos -los alumnos que persistirían en su aversión hacia 
aquella rama de la ciencia. También allí será necesario 
seleccionar el material de los programas, dando en ellos 
cabida a la parte fundamental del cálculo diferencial e 
integral, lo que, lejos de complicar, simplificaría enor- 
memente el estudio de la Física. 

La fuente y el origen de los conocimientos matemáti- 
cos no son esencialmente distintos de la fuente y el origen 
de los conocimientos físicos como para que exista una di- 
ferencia esencial en el método de enseñanza de ambas 
ramas de la ciencia. También en Física nos vemos obli- 
gados a platonizar los hechos y los conceptos para poder 
referirnos a ellos. 

El “punto material ”, los “hilos inextensibles” , los “pla- 
nos rígidos”, los “líquidos” o los “gases ideales”, etc., son 
otras tantas idealizaciones de la reálidad. Pero nadie 
pregunta de dónde proviene el “misterio” de por qué la 
teoría de los líquidos ideales se aplica al agua con tanta 
aproximación, en tanto que para muchos sigue constitu- 
yendo un enigma el saber por qué la Matemática puede 
ser aplicada a la realidad. El enigma desaparece cuando 
se aprende que la Matemática es sólo una ampliación del 
lenguaje corriente, efectuada para podernos referir a 
ciertas características de los hechos reales. Sin olvidar 
el origen empírico de los conceptos matemáticos, el pro- 
fesor puede hacer que sus alumnos remonten el vuelo a 
tanta altura como les sea posible, a condición de que se- 



428 


LOS PROGRAMAS DE FÍSICA 


pan retornar más tarde al plano de la realidad, desde la 
cual partieron. 


Distribución del programa en lecciones 

No está en manos del profesor cambiar los programas 
actuales y los planes de estudio. Su enseñanza debe ser 
impartida siguiendo cierto orden y cumpliendo determi- 
nado horario. Para ello, es indispensable seguir un plan, 
que debe ser bosquejado al comienzo de cada curso. En 
Física tiene particular importancia determinar de ante- 
mano las horas que se dedicarán a trabajos prácticos y 
los dispositivos y experimentos que se encargará realicen 
los alumnos en sus propias casas. Pero el plan bosque- 
jado antes de conocer a los que serán nuestros alumnos, 
debe ser trazado con elasticidad suficiente como para que 
podamos movernos con libertad dentro del mismo. Si al 
llegar a determinado punto hallamos que nuestros alum- 
nos encuentran en él particular dificultad, caben enton- 
ces dos actitudes diametralmente opuestas: atacar o re- 
tirarse. 

Atacar significa, en este caso, insistir y dedicar al- 
gunas clases más al asunto que pensábamos explicar en 
una o dos lecciones. Retirarse significa postergar la 
cuestión para más adelante, o, simplemente, decidirnos a 
no tratarla. Entre ambos extremos, cabe también em- 
plear otras tácticas. Al tratar de la psicología del alum- 
no, consideramos el caso de que se debía explicar el mo- 
vimiento uniformemente acelerado, y vimos cómo, dando 
las leyes a manera de reglas, evitábamos una retirada 
forzosa, que hubiera dejado en el campo de batalla gran 
cantidad de víctimas. 

El plan preparado de antemano puede algunas veces, 
por la concurrencia de circunstancias felices, ser cumpli- 
do casi al pie de la letra, en tanto que en la mayoría de 
los casos deberá ser modificado a lo largo del curso, sobre 
todo si en él hemos especificado demasiados detalles. De 



DISTRIBUCIÓN DEL PROGRAMA EN LECCIONES 


429 


aquí que en el plan general sea conveniente consignar 
sólo el número de clases que dedicaremos a tópicos sufi- 
cientemente amplios, y la experiencia que iremos reco- 
giendo a lo largo de diferentes cursos será la que nos 
enseñará a perfeccionar nuestros planes futuros. 

Cuando el programa aparece como sumamente exten- 
so, comparado con el número de horas en que debe des- 
arrollarse, en el plan general deberán marcarse los pun- 
tos que se tratarán, a pesar de ello, con todo detenimien- 
to, y aquellos otros de los cuales nos conformaremos con 
dar sólo una noción superficial. Es siempre preferible 
que los alumnos aprendan alguna cosa Ibien, a que apren- 
dan muchas cosas mal o regular, lo que en verdad implica 
no aprender nada. 




XIV 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


Dibujos. — Dibujos animados. — Modelos mecánicos. — Movi- 
miento vibratorio armónico. — Ondas transversales progresivas. — 
Ondas transversales estacionarias. — Superposición de dos ondas 
progresivas iguales , que avanzan en sentido opuesto. — Ondas se- 
miestacionarias. — Ondas longitudinales progresivas y estaciona- 
rias. — Interferencia. — Consideraciones generales sobre los mo- 
delos mecánicos. 


Dibujos 

En la enseñanza de la mayor parte de las asignatu- 
ras, tiene el dibujo una importancia fundamental, que 
creemos no es necesario encarecer. En Física, aparte de 
los dibujos propiamente dichos, tales como esquemas de 
aparatos, intervienen representaciones gráficas de cier- 
tos conceptos. Las fuerzas y todas las magnitudes vecto- 
riales se representan por vectores, y casi no es posible 
explicar fenómeno alguno si no se efectúan para ello uno 
o varios diseños. Si se explica, por ejemplo, la ley de 
Newton o la de Coulomb, en que la fuerza actúa en razón 
inversa del cuadrado de la distancia, convendrá efectuar 
dos o tres dibujos en que dos masas (representadas por 
dos círculos), se encuentren sucesivamente a diversas 
distancias, de tal modo que si en un caso la distancia de 
separación es doble, la fuerza atractiva se representará 
por un vector cuatro veces menor. Para mostrar, en este 
caso, que las dos fuerzas de atracción (o de repulsión, 



432 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


en casos eléctricos) son iguales entre sí, cualesquiera sean 
los valores de ambas masas, convendrá representar a 
ambas por círculos de diferente radio, recibiendo así el 
alumno, visualmente, el significado de la ley que se le 
está enseñando. 

Ante un dibujo como el bosquejado, los alumnos cap- 
tarán y retendrán el significado exacto de la ley, dado 
que en la mayoría de ellos la memoria visual es la más 
desarrollada. Si, efectivamente, el sentido de la misma 
fué bien comprendido, serán capaces de averiguar, por 
ejemplo, a qué altura tendrá que llevarse un cuerpo para 
que su peso se reduzca a la cuarta parte, etc. 

En muchos casos basta un dibujo bien ideado para 
hacer comprender en seguida determinado asunto. Su- 
pongamos, por ejemplo, que después de haber mostrado 
y explicado el experimento de Torricelli, decimos a nues- 
tros alumnos que ya están en condiciones de poder cal- 
cular por sí mismos la masa total del aire que envuelve a 
nuestro planeta. No dejará de asombrarles, seguramen- 
te, que sea suficiente un tubo de vidrio y un poco de mer- 
curio para “pesar” en conjunto toda nuestra atmósfera, 
y pensarán, seguramente, que ese cálculo sólo podrán 
realizarlo físicos avezados. Si para guiarlos les deci- 
mos que nos encontramos en el fondo de un mar de aire, 
y que la presión que éste ejerce sobre el suelo es igual a 
la que produciría un baño de mercurio de 76 centímetros 
de altura, bastará, después de ello, hacer un dibujo que 
represente a toda la Tierra rodeada por una capa de mer- 
curio de 76 cm de espesor, y ya entonces, aunque no sepan 
efectuar el cálculo aritmético, comprenderán, sin duda, 
que la masa de toda nuestra atmósfera es igual a la de 
aquella costra esférica de mercurio. 

Indudablemente, más de un lector juzgará que no es 
indispensable efectuar el dibujo correspondiente, dado 
que, sin él, acabamos de explicar lo mismo. Lo que hemos 
hecho en las líneas que preceden, es un dibujo en pala- 
bras, suficiente para alumnos atentos e imaginativos, en 



DIBUJOS ANIMADOS 


433 


tanto que otros habrán sentido la falta del apoyo visual 
correspondiente. 

Cuando en mis clases hablo del principio de la igual- 
dad de la acción y la reacción, y menciono que si un ca- 
ballo tira de un carro con cierta fuerza, el carro tira del 
caballo con otra, exactamente igual y opuesta a la prime- 
ra, no dejo nunca de diseñar en el encerado, con cuatro 
trazos, un carro y un caballo, por más cómico que resulte, 
al final, el aspecto de éste. Pero puedo representar así 
las fuerzas que con los cascos efectúa el caballo contra el 
suelo, y los alumnos entienden que si se colocara carro y 
caballo sobre una plataforma con ruedas (que también 
dibujo), ésta sería impulsada hacia atrás a medida que 
el vehículo avanza. Piensan entonces en todos los peque- 
ñísimos e inapreciables movimientos que debe experimen- 
tar nuestro planeta cuando los trenes se ponen en mar- 
cha o se detienen, y, llevados por la imaginación, pueden 
representarse (lo que también es dibujar) a un hombre 
caminando sobre un minúsculo planeta, de masa compa- 
rable a la de él, que con sólo moverse puede hacer variar 
la duración del día o alterar el curso de las estaciones. 


Dibujos animados 

Si nuestros mediocres y estáticos diseños hechos en el 
encerado ayudan tanto a nuestros alumnos en su apren- 
dizaje, es fácil concebir lo que se lograría si se dispusiera 
de un adecuado equipo de películas con dibujos animados. 

Los modelos mecánicos, de que trataremos a conti- 
nuación, constituyen en verdad una especie de dibujos 
movibles, pero no todo puede representarse por modelos. 
Los “experimentos ideales”, aquellos de realización im- 
posible, serían los que deberían tener cabida, en primer 
término, en la colección de películas de que hablamos. Es 
posible que alguien imagine que no pueden tener mucha 
importancia experimentos ideales irrealizables. Bastará 
citar unos pocos ejemplos para convencernos de lo con- 



434 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


trario. Einstein sienta su famoso principio de equivalen- 
cia, entre un campo gravitacional y una aceleración con- 
veniente del sistema de referencia, basado en su experi- 
mento ideal del ascensor. Es éste una caja que se supone 
cae libremente en un campo gravitacional, que puede ser 
el de la Tierra. 

Durante la caída, todos los cuerpos de la caja caen 
con la misma aceleración que las propias paredes, el piso 
y el techo de la misma, por lo cual los observadores del 
interior verán que no hace falta percha alguna para sos- 
tener un sombrero, y que el peso de los cuerpos ha des- 
aparecido en absoluto. El ascensor de Einstein no es más 
que el obús de Julio Verne, aunque éste se imaginaba, 
erróneamente, que en él desaparecía el efecto gravitato- 
rio sólo en aquellos lugares en que la atracción terrestre 
era igual y opuesta a la de la Luna. 

En verdad, en el interior de una caja como la que 
estamos suponiendo, que se mueva libremente sometida a 
la acción del Sol, de la Luna, etc., el efecto gravitacional 
será nulo, pues todos los cuerpos de su interior recorren 
trayectorias paralelas a la de las paredes. Sólo si dicha 
caja está provista de un motor a reacción se podrá notar 
en su interior algún efecto gravitacional. Si la caja se 
mueve, por la acción del motor, con movimiento uniforme 
respecto a las estrellas, entonces sí el efecto gravitacional 
en su interior será la resultante de las atracciones new- 
tonianas de los astros que la circundan. ¡Qué hermoso y 
qué instructivo sería que Walt Disney produjera, aseso- 
rado por físicos, una película de esta clase! 

Que nuestros alumnos pudieran ver, al tratar de la 
conservación del impulso, al hombre de que hablábamos 
en el párrafo precedente, y que al ponerse en marcha o 
detenerse convulsionara el movimiento de su planeta ; que 
pudieran verlo haciendo girar una rueda en el mismo 
sentido con que rota aquél, para frenarlo y detener, como 
Josué, la marcha del Sol, y hasta lograr, al acelerar aún 
más la rueda, que aquél marchara en sentido opuesto! 
Sería notable presenciar, “desde afuera”, un baile reali- 



MODELOS MECÁNICOS 


435 


zado en el interior de un avión interplanetario, en que las 
parejas, si giran todas en el mismo sentido, producen 
una rotación opuesta del vehículo, y con ello un cambio de 
ruta, que deberá compensar con otra giración el piloto 
encargado del giróscopo. Cuando los motores a reacción 
del avión dejaran de funcionar, los bailarines no podrían 
tenerse en pie, y quedarían ingrávidos, inclinados unos en 
una dirección y otros en otra. Si alguno de ellos hubiera 
quedado en suspenso en medio del salón, le sería absolu- 
tamente imposible acercarse al techo, al piso o a cualquie- 
ra de las paredes laterales, en tanto que aquellos que que- 
daron cerca de una pared, podrían entretenerse saltando 
hasta la pared opuesta. 

En los dibujos cómicos corrientes, el efecto hilarante 
de los mismos proviene, muchas veces, de que en ellos no 
se cumplen las leyes de la física. Aquí, en cambio, se tra- 
taría de demostrar esas leyes en toda su pureza. 

No sólo la mecánica daría tema para películas didác- 
ticas de dibujos animados: la explosión de los átomos, la 
producción de energía solar, la propagación de la luz, etc., 
etc., serán, en un futuro próximo, los títulos de las pelí- 
culas que podremos mostrar a nuestros alumnos. 


Modelos mecánicos 

Todos los laboratorios de Física dedicados a la ense- 
ñanza deben contar con cierto número de dispositivos y 
modelos destinados a facilitar la comprensión de diferen- 
tes asuntos. Algunos de ellos consisten en cortes o sec- 
ciones, más o menos esquemáticos, de máquinas reales, 
con sus piezas movibles a mano. En los catálogos de las 
casas que construyen aparatos para la enseñanza se pue- 
den encontrar diversos modelos de esta clase de máqui- 
nas a vapor, motores a explosión, etc. A falta de ellos, 
pueden construirse modelos semejantes en cartón o ma- 
dera, y hasta encargarse su confección a los propios alum- 
nos. El modelo tiene la ventaja de ser un dibujo animado, 



436 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


que se va moviendo con el ritmo que requiere la explica- 
ción, de tal modo que, con su auxilio, los alumnos com- 
prenden, sin mayor esfuerzo y en pocos minutos, lo que 
se les quiere explicar. 

Pero aparte de esta clase de modelos mecánicos, que 
reproducen el mecanismo de máquinas reales, existen en 
gran cantidad muchos otros, destinados a aclarar el sig- 
nificado de una teoría o de un concepto. 

A continuación nos referiremos a algunos modelos 
aplicables a la explicación de diversos tópicos, y que, en 
general, pueden ser construidos o improvisados sin ma- 
yores dificultades. 


Movimiento vibratorio armónico 

Realmente, no parece necesario utilizar modelo alguno 
para explicar un movimiento que se observa con sólo ha- 
cer oscilar un péndulo. Pero si se define este movimiento 

como la proyección de otro 
circular uniforme sobre uno 
de los diámetros de la circun- 
ferencia, y se quiere mostrar 
dónde la velocidad o la acele- 
ración adquieren sus valores 
máximos, o dónde se anulan, 
para ello puede construirse 
el simple modelo que sigue: 
Se toma un alambre (fig. 182 ), y luego de doblarlo en 
la forma que muestra la figura, se clava un corcho en 
uno de sus extremos. Basta ahora hacer girar el alambre, 
tomando el otro extremo entre los dedos, y observar la 
sombra del corcho proyectada por una lámpara sobre el 
plano de la pared o una pantalla cualquiera. Naturalmen- 
te que la lámpara, o el sol, si se utiliza luz natural, debe 
encontrarse en el plano de giro, y la pantalla deberá ser 
perpendicular a la dirección de los rayos de luz. Si se 




MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO 437 

clavan en el corcho dos alfileres que formen entre sí un 
ángulo recto, y se dispone uno paralelamente al radio de 
giro y dirigido hacia el centro de giración, podrá él re- 
presentar la aceleración centrípeta, en tanto que el vector 
correspondiente a la velocidad tangencial del movimiento 
circular estará representado por el otro. La longitud de 
las sombras de estos alfileres representarán, respectiva- 
mente, en cada posición, la aceleración y la velocidad del 
movimiento vibrato- 
rio observado. Desde 
luego que el alambre 
puede adaptarse a la 
máquina centrifuga- 
dora, o utilizar con el 
mismo objeto el disco 
giratorio de un gra- 
mófono u otro dispo- D 
sitivo cualquiera. 

Otro modelo, algo 
más complicado, pero 
que tiene la ventaja 
de poderse mostrar 
con él, en la forma 
que veremos más ade- 
lante, la propagación 
de ondas longitudina- 
les, está representado 
en la figura 183. Un disco de cartón, D D ', puede ha- 
cerse girar alrededor de un eje, G, que pasa por su pro- 
pio centro, atravesando un cartón fijo, M N , provisto 
de una ranura tal como la A B. En el disco se dibuja, 
con trazo grueso, una circunferencia : A P B\ cuyo cen- 
tro, G, no coincide con G. Al girar el disco se obser- 
vará en la ranura la parte de la circunferencia que pasa 
por ella, obteniéndose de este modo la impresión de que 
un punto se mueve de A hacia B y de B hacia A con 
movimiento vibratorio. La amplitud de este movimiento 




438 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


es igual a la distancia a, que separa el eje de giro con el 
centro de la circunferencia dibujada. En la posición de 
la figura, el punto que parece recorrer la ranura se en- 
cuentra en el extremo A de la misma; al cabo de media 
vuelta del disco, será el punto B f de la circunferencia el 
que pasa por B . La giración del disco móvil puede lograr- 
se impulsándolo con la mano, o con una manivela y una 
polea, o, lo que es más cómodo todavía, apoyando la parte 
saliente del mismo contra un disco de gramófono en ro- 
tación. 

Si el disco gira con movimiento uniforme, ¿cumple 
realmente, el punto que parece recorrer la ranura, un mo- 
vimiento vibratorio armónico? Demos, desde ya, la res- 
puesta a esta pregunta, que demostraremos líneas más 
abajo. El movimiento periódico del punto no es vibrato- 
rio armónico, y sólo puede considerarse como tal si la 
distancia G C = a, entre ambos centros, es pequeña en 
comparación con el radio R de la circunferencia dibujada. 
Se ve, en efecto, que la distancia P G = r, de un punto P 
de la circunferencia de radio R al centro de giro es tal, 
que: 

R- = r 2 + a 2 — 2 a r eos <p ; 

de donde: 


r = a eos f + V a 2 eos 2 <p + ( R 2 — a J ) ; 

o sea: 

Y = a COS o + V & a ' 2 sen ' J 9* 

Cuando el disco haya girado el ángulo <p, la elongación 
x del punto móvil será igual a r — R , refiriendo esta elon- 
gación a un punto O de la ranura, tal que G O = R, pues r 
varía entre R + a y R — a. Se tiene, pues : 

x — a eos <p + V -R 2 — a2 sen2 9 — #• 

Si a es pequeño con respecto a R, se tendrá, simple- 
mente : 


x = a eos <p, 



MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO 


439 


y el movimiento será vibratorio armónico. Para R = 5 
cm, y a = 1 cm, la diferencia es ya casi inapreciable, pues 
está dentro de los límites de los inevitables errores de 
dibujo y del “juego” que pueda tener el disco en su mo- 
vimiento de giración. 



Se ve, inmediatamente, que la ecuación de la curva, 
que daría origen a un riguroso movimiento vibratorio 
armónico, es, en coordenadas polares de origen G, la si- 
guiente : 

r = e + a eos <p, 

que representa una cardioide. Supongamos, en efecto, que 
deseamos que en la ranura A B (fig. 184) aparezca el 



410 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


punto (intersección de la ranura con la curva) movién- 
dose sobre ese segmento de recta, con movimiento vibra- 
torio armónico, al girar el disco, con movimiento unifor- 
me, alrededor de G. 

Tracemos una circunferencia de radio ci igual a la 
amplitud del movimiento vibratorio, y centro C (punto 


medio del segmento A B 



r = GP - GC 


2 a). Consideremos que, en 
la posición inicial, el punto se 
encuentra en el extremo A 
del segmento A B. La curva 
que buscamos deberá pasar, 
por lo tanto, por dicho pun- 
to. Para un ángulo <p de giro, 
el punto deberá aparecer en 
la ranura en un punto P 9 tal, 
que CP = d eos <p, y siendo 
P el punto de la curva que 
cortará a la ranura en P 9 , 
tendrá que cumplirse: 

CP' = e + a eos f. 


Si se quiere que el punto móvil sobre la ranura cum- 
pla dos oscilaciones completas para una sola vuelta del 
disco, la ecuación de la curva será: 

r = e + a eos 2 <p, 


y, en general, se cumplirán n oscilaciones por vuelta si 
se dibuja la curva de ecuación: 

r = e + a eos n <p. 


La figura 185 reproduce una curva de esta clase para 
n = 3. Cuando un movimiento vibratorio armónico se re- 
presenta de la manera que precede, no hay ningún incon- 
veniente en mostrar al alumno el “secreto” de la repre- 
sentación. Al ver el disco giratorio con la circunferencia 



ONDAS TRANSVERSALES PROGRESIVAS 


441 


dibujada en él, comprenderá en seguida el mecanismo de 
las excéntricas,, tan usadas en toda clase de máquinas. 


Ondas transversales progresivas 

Existen muchísimos modelos para explicar la propa- 
gación de ondas de esta clase, consistentes, ya sea en una 
sucesión de péndulos iguales y vinculados entre sí, o en 
una serie de varillas movidas por excéntricas, o por una 
madera ondulada, etc. Todos estos aparatos son relativa- 
mente complicados, y pueden ser reemplazados ventajo- 






Fie. 186 . 


sámente por un dispositivo consistente en una simple hé- 
lice cilindrica de alambre, que se hace girar alrededor de 
su eje, mientras se observa la sombra que proyecta sobre 
un plano paralelo al mismo. Para construir el modelo, 
basta arrollar un alambre en un cilindro (un palo de es- 
coba, p. ej.), en forma de hélice, y disponer los extremos 
del mismo en la dirección del eje (fig. 186). En realidad, 
casi es innecesario observar la sombra del alambre, bas- 
tando observar la hélice en giración y su proyección con- 
tra una pared. 

Para que la ilusión sea perfecta, conviene mirar con 
un solo ojo, para que el relieve desaparezca. Puede tam- 
bién disponerse la hélice de tal modo, que su sombra se 
recoja sobre un vidrio esmerilado, cuya imagen se pro- 
yecte mediante un lente, sobre una pantalla. Para que se 


442 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


destaque que los puntos en vibración se mueven perpen- 
dicularmente a la dirección de propagación, pueden ha- 
cerse soldrr sobre la hélice, de tanto en tanto, esferitas 
iguales, pudiéndose así seguir el movimiento de cada una 
de ellas. 


Ondas transversales estacionarias 

En vez de arrollar el alambre en forma de hélice, se 
le da al mismo la forma de un sinusoide plano (fig. 187), 
y se observa la sombra proyectada por el mismo. Los pun- 



Figr. 187. 


tos de la sinusoide que cortan al eje de rotación del apa- 
rato originarán los modos del movimiento, dando lugar a 
los vientres aquellos otros que más se alejan del mismo. 


Superposición de dos ondas progresivas iguales, que 
avanzan en sentido opuesto 

Una de las cuestiones más difíciles de hacer entender 
bien a los jóvenes estudiantes es que la superposición de 
dos ondas progresivas iguales, que se propagan en sen- 
tido opuesto, da origen a una onda estacionaria. Durante 
mucho tiempo, el autor de este libro buscó en vano un 
modelo adecuado para explicar lo que precede, limitándose 
entonces a dibujar en papel transparente dos ondas igua- 
les, y a hacer observar a sus alumnos lo que ocurría al 
desplazarlas en sentidos opuestos, hasta que un buen día 
tomó un alambre y lo arrolló sobre un palo de escoba, 
formando con él una hélice “derecha”, y superpuesto al 
mismo, otro alambre formaba una segunda hélice, “iz- 



ONDAS SEMIEST ACION ARIAS 


443 


quierda”, de igual paso, es decir, de igual “longitud de 
onda” que la primera (fig. 191). Sacó luego del sostén 
de madera los alambres, y retorció sus puntas de manera 
de poder hacer girar el conjunto alrededor del eje; a par- 



tir de entonces, sus alumnos vieron también cómo ambas 
dan origen a una onda estacionaria. En el mismo modelo 
puede agregarse un sinusoide, cuyo plano atraviesa dia- 
metralmente al cilindro, de tal modo que su sombra, al 
girar, dé la representación de la onda estacionaria. 


Ondas semiestacionarias 

Si las dos ondas progresivas que avanzan en sentidos 
opuestos tienen diferente amplitud, la onda resultante no 
tiene, propiamente hablando, nodos. La amplitud de la 
vibración de las partículas varía entre un máximo y un 
mínimo. La amplitud máxima es igual a la suma de las 



amplitudes de las dos ondas, y la mínima, igual a la di- 
ferencia. Una onda de esta clase puede representarse por 
la proyección de una hélice elíptica en rotación. Como no 
es fácil ver este resultado intuitivamente, daremos la de- 
mostración del mismo, para facilitar así la comprensión 
y la construcción del modelo correspondiente. 



444 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


La figura 189 representa una hélice “derecha”, convi- 
niendo llamar así a las que están dispuestas como el filo 
de un tirabuzón corriente. Tomando como eje de las x el 
eje del cilindro de radio A, y los ejes y y z perpendicu- 
lares a aquél y perpendiculares entre sí, formando una 
terna derecha, las ecuaciones paramétricas de esta hélice 
pueden ser: 

hélice 

cilindrica [1] 

“derecha”. 

En la parte de la derecha 
de la figura se supone al eje 
de las x perpendicular al pla- 
no del dibujo y yendo de de- 
lante hacia atrás, en tanto 
que en la proyección de la par- 
te de la izquierda aparece el 
eje z teniendo un sentido que 
va de atrás hacia adelante. 
Si suponemos, ahora, que gi- 
ramos la hélice alrededor del eje x con velocidad angu- 
lar ü>, podemos pensar que solidariamente unidos a ella gi- 
ran los ejes y y z. Hallar la posición de la sombra de un 
punto de la hélice giratoria sobre un plano fijo, paralelo 
al eje x, en función del tiempo, se reduce a un simple 
cambio de coordenadas, por lo cual podremos escribir 
(fig. 190) llamando Yi a la ordenada de la proyección 
del punto y, z: 

Y i = y eos o) t — z sen <«> t, [2] 

de donde, por las [1] : 

Y, = A sen <p eos <*> t + A eos <p sen <,> t , 

o sea: 

Y } = A sen (o> t + <p) = A sen 2 n í ^ ^ j> [3] 


y = A sen 
2 = A eos <p 

X <p 

O’ — 

2 7T 




ONDAS SEMIESTACION ARIAS 


445 


que es justamente la ecuación del rayo de una onda pro- 
gresiva que se propaga en sentido negativo sobre el eje 
de las x . 

La hélice “izquierda” tiene por ecuaciones (fig. 191) 
las siguientes: 


y = — B sen <p 
z = — B eos <p 


X <p 



hélice 

cilindrica 

“izquierda” 


[4] 


Al girar esta hélice con la misma velocidad angular *> 
y el mismo sentido que la anterior (ambas están monta- 



Fig. 191. 


das en el mismo eje), la ordenada Yo de la proyección de 
un punto de la misma estará dada, de acuerdo a [2] y 
[4] por: 

Yo = — B sen <p eos w t + B eos <p sen o> t, 

o sea: 

Yo = B sen (o> t — <p) = B sen 2 tt | ^ ^ j • [5] 

Tenemos, así la ecuación del rayo de la onda que 
avanza en sentido positivo del eje de las x, y cuya ampli- 
tud B es igual al radio del cilindro de la hélice. 

La ordenada Y resultante será: 

Y = Y y + Yo = (A -j-J?) sen oj t eos y + 

( A — B) eos o> t sen <p, 

o sea, siendo A + B = a, y A — B = b: 



446 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


Y - 


a sen 2 ir — - eos 


2 7T X 

~*T~ 


ft eos 2 t r — sen 



Por otra parte, sumando la y y la z de [1] y [4], y 
conservando el valor de x, obtenemos: 

y = (A — 2?) sen <p = 6 sen 

£ = — (A + 2?) eos p = — a eos <p, [7] 


Éstas son las ecuaciones de una hélice elíptica, que al 
girar con la velocidad <d da origen, en su proyección, a 
una onda cuya ecuación obtenemos por [2] : 

Y = b sen <p eos «> t + a eos tp sen «o t; [8] 

que coincide, como era de esperar, con [6]. Si las am- 
plitudes de ambas ondas son iguales, el eje menor de la 
elipse se hace igual a cero, y la hélice elíptica degenera 
en una sinusoide plana. 

Si se hace girar una hélice elíptica, se aprecia en se- 
guida, por su sombra, las características de una onda que 
es, al mismo tiempo, "semiestacionaria” y "semiprogre- 
siva”. 

Una hélice elíptica se construye fácilmente, arrollan- 
do un alambre sobre un cilindro elíptico, y para ello no 
es difícil conseguir algún tarro o frasco de esta forma. 
También puede lograrse una hélice de esta clase, aplas- 
tando adecuadamente otra cilindrica. 


Ondas longitudinales progresivas y estacionarias 

La figura 192 representa el dibujo que debe efectuar- 
se en un disco para obtener con el dispositivo de la figura 
183 una representación de la propagación de una onda 



S 







os y vientres del 




V N V 


ni montos de Físi- 
len, hemos creído 
jarlos, que, como 
como tampoco la 
83 . 






INTERFERENCIA 


449 


Interferencia 

Parecería que habiendo estudiado bien la propagación 
de las ondas, no hiciera falta modelo alguno para aclarar 
lo referente al fenómeno de las interferencias. Y así es, 
efectivamente, si se exceptúa lo que debe entenderse por 
luz coherente. El modelo que describiremos a continua- 
ción es particularmente útil para aclarar aquel concepto. 

Sobre dos varillas, A V y A f V ', se fijan (fig. 194) 
sendos e iguales sinusoides de alambre. Estas varillas 
llevan en sus extremos las arandelas A y A', que permi- 
ten fijarlas a los clavos o chinches C y C' puestos en el 



encerado, de modo que puedan girar sin deslizarse. En 
estas condiciones, los clavos pueden representar los dos 
orificios del experimento de Young, y los sinusoides, las 
ondas que parten de los mismos. Haciendo girar las va- 
rillas, de modo que ambos sinusoides se crucen en diver- 
sas posiciones, se verá a qué puntos “llegan las ondas” en 
concordancia o en oposición de fase, comprendiéndose 
así por qué ciertas regiones aparecerán iluminadas y 
otras obscuras. Si, en cambio, se apoyan simplemente las 
varillas sobre los clavos, aquéllas podrán deslizarse in- 
dependientemente una de la otra. Cuando así se proceda, 
un punto cualquiera del espacio, en que los dos “trenes 
de onda” se superpongan, lo harán con todas las diferen- 
cias posibles de fase: ya anulándose, ya reforzándose, etc. 
El sistema de franjas de interferencia debe desaparecer. 
En resumen: basta apoyar las varillas sobre C y C* para 


21 



450 


RECURSOS DIDÁCTICOS 


obtener la representación de dos ondas de luz no coheren- 
te, o sea, independientes entre sí. 


Consideraciones generales sobre los modelos mecánicos 

Es suficiente hojear un catálogo cualquiera de apara- 
tos destinados a la enseñanza para ver que en ellos se 
mencionan gran número de modelos ideados para aclarar 
los tópicos más diversos. Naturalmente que no todos tie- 
nen el mismo valor didáctico. Algunos son muy bonitos, 
y llaman la atención del alumno en tal forma, que éste 
concentra todo su interés en el modelo en sí, perdiendo de 
vista el principal objetivo. 

Para citar un ejemplo, recordaré aquí que cuando me 
inicié en la enseñanza, mostraba siempre a mis alumnos 
el conocido modelo que se usa para explicar la imanación, 
consistente en una tablilla dispuesta horizontalmente, y 
sobre la cual pueden girar un sin fin de diminutos ima- 
nes. Para que el modelo resultara más llamativo aún, 
cada uno de los pequeños imanes iba provisto de un disco 
de cartón, en que la mitad del mismo estaba pintada de 
rojo. Acercar un imán al modelo y ver cómo los discos se 
ordenaban y disponían al igual que disciplinados solda- 
dos de un ejército, constituía para los muchachos un ver- 
dadero espectáculo. Pero no era nada fácil apartarlos 
luego de los movedizos cartones. Por esta razón, opté fi- 
nalmente por enseñarles la teoría elemental de la ima- 
nación prescindiendo de todo modelo, sin notar que 
encontraran en ello dificultad alguna. El modelo se lo 
mostraba después, sólo al final, pero no ya como modelo 
destinado a aclarar un concepto o una teoría, sino, sim- 
plemente, como un juguete. 

El excesivo uso de modelos mecánicos lleva al alumno 
a la concepción de que, en Física, todo debe ser explicado 
mecánicamente. 

Los físicos padecieron también de esta ilusión, y hubo 
una época — sobre todo entre los físicos ingleses — en 



CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LOS MODELOS MECÁNICOS 451 


que la construcción de modelos mecánicos llegó a consti- 
tuir una verdadera manía. Si se acerca un imán a un 
carrete, se produce en éste, por inducción, una corriente 
eléctrica. Nada más fácil que mostrar el fenómeno y dal- 
la ley del mismo. ¿Convendría que se construyera un 
modelo mecánico para “explicar” este fenómeno? Imagi- 
naos a las líneas de fuerza del imán sustituidas por re- 
sortes; a los electrones, por esferas, y un mecanismo 
complicado que pusiera en movimiento circular a éstas al 
estirar aquéllos. ¿Se habría explicado algo con este mo- 
delo? Indudablemente, no. Ningún físico piensa ya en 
reducir los fenómenos electromagnéticos a la mecánica, 
por lo cual deben considerarse las leyes fundamentales 
de la electricidad tan primitivas como la propia ley de 
inercia. 

Los modelos mecánicos de uso en la enseñanza no de- 
ben considerarse como si fueran copias de la realidad. 
Sólo constituyen auxiliares didácticos, como la tiza y el 
encerado. 




XV 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS 
TRES CICLOS 


Ciclo primario . — Ciclo medio. — Algunos escalones más. — Ci- 
clo superior. — La aberración de la luz y la rueda de Fizeau. — 
Sistema privilegiado y sistemas plebeyos . — La aberración de la 
luz y la relatividad de la simultaneidad. — La aberración de la luz 
en la teoría de la relatividad. — Deducción de las fórmulas de 
transformación de Lorentz, basándose en la aberración de la luz. — 
Representación intuitiva. — “ Apariencia y realidad — Aberra- 
ción mecánica y óptica. — La aberración astronómica y los sistemas 
de referencia. — Física superior en forma elemental. 


A) Ciclo primario 

Ya hemos hecho notar, en la pág. 95, que la enseñanza 
de la Física en el ciclo primario debe reducirse, casi exclu- 
sivamente, a mostrar ciertos fenómenos, a hacer que los 
chicos realicen por sí mismos sencillos experimentos, en 
su mayor parte sólo cualitativos, y a familiarizarlos con 
los nombres y las cosas que observan. Además de gran 
parte de los experimentos que hemos indicado en los capí- 
tulos VI y VII, para cuya realización no se requiere labo- 
ratorio especial alguno, es factible efectuar muchos otros 
aprovechando para ello las clases de trabajo manual, en ' 
las que puede hacerse que los alumnos construyan, por sí 
mismos, aparatos y dispositivos diversos. Pero todo no 
debe ser un desfilar de hechos y fenómenos curiosos o 



454 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


llamativos. Es necesario habituar al alumno, desde el 
comienzo, a vincular unos hechos con otros, y a extraer las 
consecuencias de las verdades establecidas. Hacer esto 
es hacer ya Física teórica, aunque con este nombre se 
entienda, habitualmente, sólo lo referente a la Física su- 
perior. Pero un mismo asunto puede ser encarado de mo- 
dos diversos, consistiendo la habilidad del maestro en 
trasladar sus conocimientos al plano mental del alumno. 
Para mostrar, con un caso concreto, que esto es posible, 
examinaremos en este capítulo las diversas graduaciones 
con que puede ser enseñado el mismo tópico. Elegiré, 
para ello, un asunto eminentemente teórico: el movimien- 
to relativo y la aceleración de Coriolis. La elección no 
ha sido fortuita: aun hoy recuerdo la manera como mi 
antigua maestra de quinto grado, de la escuela primaria, 
explicaba ese asunto, sin darle, como es natural, aquellos 
nombres. 

Sobre la mesa del aula de aquella simpática escuelita 
rural estaba el globo terráqueo, que podíamos tocar con 
nuestras propias manos, y que hacíamos girar con velo- 
cidad vertiginosa. Se trataba del mismo globo que en 
otras ocasiones, iluminado por una velita, había ser- 
vido para explicarnos, en la penumbra de la sala, la 
invariable sucesión de los días, las noches y las esta- 
ciones. Ya sabíamos que en la zona del ecuador reina- 
ba un calor infernal, y no nos era desconocido el in- 
hospitalario y glacial frío de las zonas polares. Al re- 
verberante y cálido aire del ecuador lo veíamos ascender, 
mientras impetuoso corría, a lo largo de los meridianos y 
desde los polos, el aire frío, que venía a ocupar el “lugar 
vacío” dejado por aquél. Superpuesta a estas corrientes 
frías, que se iban entibiando a medida que lamían la su- 
perficie de la Tierra, veíamos progresar también, en sen- 
tido opuesto, por las altas regiones de la atmósfera, las 
masas de aire que viajaban, para completar el ciclo, ha- 
cia los helados casquetes polares. 

Y llegamos así a nuestro asunto, a lo extraordinario, 
a la desviación que experimentan los vientos alisios a cau- 



CICLO PRIMARIO 


465 


sa de la rotación de la Tierra. Ésta da una vuelta en 24 
horas: las casas, los árboles y el aire mismo de la región 
ecuatorial deben marchar a una velocidad fantástica para 
poder recorrer 40 000 km en aquel tiempo. ¡Una velocidad 
de más de 1600 km por hora! 

Ya entonces todos los alumnos de la clase compren- 
díamos perfectamente el principio de relatividad de la 
mecánica de Galileo, pues sabíamos que si saltábamos en 
el interior de un tren en movimiento, caeríamos en el 
mismo lugar del tren en que habíamos efectuado el salto. 
Era motivo de risueños comentarios entre nosotros, lo que 
nos había contado nuestra maestra acerca de ciertas ob- 
jeciones que se hacían a la teoría del movimiento rotacio- 
nal de la Tierra. Eso de que pensaran que al dar un salto 
el suelo debía correr debajo de nuestros pies, y chocar 
contra nosotros las paredes situadas del lado del oeste, 
nos resultaba de lo más divertido. 

Entendíamos también, perfectamente, que los puntos 
de la superficie de la Tierra cercanos a los polos debían 
moverse con una velocidad mucho menor que los situados 
sobre el ecuador. 

En este punto se nos formuló la siguiente pregunta: 
Si dos trenes marchan por vías paralelas, bien juntos y 
con la misma velocidad, ¿tendrían ustedes miedo de dar 
un salto para pasar del uno al otro? Era la época del 
auge de las películas de cow-boys, en las que con frecuen- 
cia el héroe saltaba de su caballo a un tren o a un auto- 
móvil en marcha, por lo cual lo único que sentíamos era 
no poder demostrar a nuestra maestra, prácticamente, 
que sin ningún temor realizaríamos la prueba, aun en el 
caso de que los trenes hubieran marchado bastante sepa- 
rados entre sí. Alguno de mis compañeros observó que ni 
siquiera era necesario saltar, pues bastaba poner una ta- 
bla, a modo de puente, entre ambos, para pasar cómoda- 
mente del uno al otro. 

— “¿Y si el segundo tren marcha más rápido que el 
primero?” "¿Y si marcha más despacio?” ¡Qué algarabía! 



456 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


¡Qué bien comprendíamos que en esas circunstancias re- 
cibiríamos nuestros buenos porrazos! 

Después de esto nos fué fácil imaginar a las heladas 
masas de aire, que acudían desde los polos a refrescar la 
zona ecuatorial, cruzando a través de los paralelos te- 
rrestres, cada vez más veloces, y quedando en consecuen- 
cia retrasadas con respecto a ellos. 

Si se nos hubiera preguntado qué ocurriría si con un 
gran cañón dispararan un proyectil desde Londres, diri- 
gido al África, es seguro que todos hubiéramos respon- 
dido que el impacto se efectuaría en el Brasil, y con los 
ojos de la imaginación hubiéramos podido seguir también 
la trayectoria de una bala que, disparada desde Quito 
hacia el- Canadá, se adelantaba paulatinamente, para lle- 
gar, quizás, a Suecia o a Noruega. 

Física teórica de este tipo, puede enseñarse perfecta- 
mente en la escuela elemental. Felizmente, son muchos 
los maestros inteligentes y entusiastas que así lo hacen. 


B) Ciclo medio 

En realidad, todo este libro está dedicado a la ense- 
ñanza de la Física en el ciclo secundario, por lo cual será 
muy poco lo que aquí agregaremos. Dicho ciclo abarca 
desde las clases postprimarias hasta las preuniversitarias, 
siendo entonces necesario saber elegir la manera cómo, 
en cada caso, ha de enseñarse un mismo asunto. Prosi- 
guiendo con el ejemplo que estábamos considerando, vea- 
mos de qué modo podría ser tratada aquella cuestión en 
un plano algo más elevado. 

Debo advertir que en muchos de mis cursos del Cole- 
gio Nacional he explicado a mis alumnos (muchachos de 
16 a 17 años, término medio) lo que expondré a continua- 
ción, y si así lo hice, fué por exigencia de ellos mismos. 
Hago esta advertencia, porque ningún programa de Física 
de enseñanza media menciona nada de ello, que, por otra 



CICLO MEDIO 


'157 


parte, tampoco es tenido en cuenta en los textos elemen- 
tales. 

La “exigencia” de que hablaba surgió del modo si- 
guiente: Estábamos explicando lo referente a la conser- 
vación del impulso rotatorio; el experimento de la silla 
giratoria había sido repetido dos o tres veces por otros 
tantos alumnos. 

Para que comprendieran que se trataba de un princi- 
pio general, y con objeto de que quedara en ellos bien 
grabado lo que estábamos tratando, les propuse esta cues- 
tión: “Supongan que un maniático poderoso dispone que 
miles de barcos se dediquen, en forma continua e ininte- 
rrumpida, a transportar tierra y piedras desde los polos 
al ecuador, hasta lograr que el abultamiento ecuatorial 
aumente en forma apreciable. ¿Qué ocurriría?”* La res- 
puesta no se hizo esperar, y hasta alguien propuso que en 
lugar de alargar la duración del día por ese procedimien- 
to, convendría más efectuar el acarreo en sentido inverso, 
para que, acortándose, fueran más breves las horas de 
clase. 

Pero he aquí que uno de los mejores alumnos dice 
que no concibe, que no comprende cómo puede “agarrar- 
se" la Tierra para que aumente o disminuya su velocidad ; 
necesita saber cómo nacen las fuerzas que serían capaces 
de producir semejante prodigio. Nos dice que el experi- 
mento de la silla giratoria tampoco lo comprende; acierta 
a describirlo, pero no sabe por qué ocurren las cosas así 
y no de otra manera. Al poco tiempo ya no era él el 
único que no comprendía, y todos querían repetir por sí 
mismos el experimento, en el cual veían algo de mágico 
u oculto. 

Desde luego, advertí que lo que querían era la demos- 
tración del principio de la conservación del impulso rota- 
torio. Pero, ¿cómo hacerla? ¿Tendría que decirles que 
eso era una cuestión de “mecánica superior”, inalcanza- 
ble para ellos? No, el fenómeno es demasiado simple co- 
mo para que no admita una demostración sencilla. Para 
la clase siguiente hice preparar, en el taller del laborato- 



458 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


rio, un dispositivo consistente en una canaleta de madera, 
como de un metro de longitud, que fijé por su parte cen- 
tral a una pequeña plataforma giratoria montada sobre 
municiones (fig. 195). En el centro de la canaleta colo- 
qué dos pesadas bolas de acero, que podían deslizarse a 

lo largo de la misma. 
Haciendo girar la plata- 
forma horizontalmente, 
y manteniendo las esfe- 
ras en las proximidades 
del eje de giro, una a 
cada lado, mediante una 
lata doblemente acoda- 
da, se advertía que al 
retirar ésta, las bolas se 
alejaban del eje, y que 
con ello disminuía la ve- 



Fig. 196. 


p locidad angular del con- 

^ \ v junto. Con esto, todo 

\ \ \ p» pudo ser explicado en 

^ ^ f =:= forma muy simple. Su- 

— ^ — ; =?= pongamos que la cana- 

> leta gire alrededor de O 

¡ con velocidad angular 

/'vP / constante, mientras la 

/ C masa situada en ella se 

aleja del eje (fig. 196). 
En este caso, la veloci- 
Fig . i 96< dad tangencial de la bo- 

la tendrá que ir cre- 
ciendo, pudiéndosela representar por los vectores 1, 2, 3, 
a medida que aquélla pasa por A B C , . . . Para que esta 
velocidad aumente, será necesario que la pared P P f 
de la canaleta aplique a la bola cierta fuerza; otra fuer- 
za, F, igual y opuesta, ejercerá la masa en movimiento 
contra dicha pared. Es el momento de esta fuerza res- 
pecto al eje O el que produce la disminución de la velo- 
cidad angular. 




CICLO MEDIO 


450 

Esta demostración, aunque correcta, es incompleta. 
Las dificultades deben ser atacadas una por una. Ya con 
esto los alumnos entienden de dónde hubieran nacido las 
fuerzas capaces dé frenar o acelerar a la Tierra en su 
movimiento, a raíz de aquel fantástico transporte de ma- 
teriales de que hablábamos. Si se trata de un tren que 
marcha desde Buenos Aires hacia el ecuador, es el riel 
de la izquierda (el situado al oeste) el que presionará 
contra las pestañas de las ruedas que por él corren, para 
hacer que el vehículo vaya adquiriendo la velocidad, cada 
vez mayor, de los pa- 
ralelos que atraviesa, 
debiendo entonces el 
tren apoyarse, con 
igual fuerza, por 
reacción, contra ese 
mismo riel, fijo a la 
tierra, como si trata- 
ra de frenar a ésta 
en su movimiento. Si 
marcha en sentido 
opuesto, atraviesa pa- 
ralelos que tienen ca- 
da vez menor veloci- 
dad, presionando entonces contra el riel situado hacia el 
este, como si tratara de descarrillar hacia ese lado. 

Ya no se asombrarán, después de la sencilla explica- 
ción que precede, cuando lean, en algún tratado de Geolo- 
gía, que en el hemisferio norte se desgasta más la ribera 
derecha de los ríos (sobre todo si corren siguiendo la di- 
rección de los meridianos), en tanto que en el sur es la 
izquierda la que experimenta mayor erosión. Los espíri- 
tus prácticos querrán saber si de todo esto puede obtener- 
se alguna aplicación, y estando ya en condiciones de po- 
derles explicar el fundamento de la brújula giroscópica, 
podríamos hacerlo del siguiente modo: Imaginemos una 
canaleta A B fija a un disco de gramófono en movimiento 






4G0 


LA ENSEÑANZA I>E LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


(fig. 197). Por ella supondremos que corren esferas a 
cierta velocidad. 

En (a) se ha supuesto que marchan de A hacia B. 
En este caso, las esferas que se acercan al centro O, tra- 
tando de conservar la mayor velocidad que tenían en 
sentido tangencial, cuando estaban próximas a la perife- 
ria del disco, presionarán contra la pared de la canaleta, 
originándose así las fuerzas Fi representadas en la figu- 
ra. Las que se alejan de O presionarán también con las 

fuerzas F., en el mismo 
sentido, oponiéndose, 
por inercia, al aumento 
de velocidad tangencial 
que debe producirse de- 
bido a aquel alejamien- 
to. Las fuerzas F i tien- 
den a hacer que la ve- 
locidad del disco aumen- 
te; las F l „ a que dismi- 
nuya. La resultante de 
estas fuerzas tendrá el 
sentido y la dirección 
del vector F . 

En la parte ( b ) de 
la figura, en que las es- 
feras marchan de C ha- 
cia D, la fuerza resultante, que actúa sobre la canaleta, 
está representada por el vector F\ 

Consideremos, ahora, un tubo rectangular A B C D 
(fig. 198), que pueda girar alrededor del eje EE\ y su- 
pongamos que por el interior del mismo circulan esferas 
en el sentido ABCD . Montando el soporte de este tubo 
sobre un disco giratorio, las fuerzas F y F' originarán 
una cupla que tiende a hacer que el plano del tubo se co- 
loque paralelamente al disco, de tal modo que las esferas 
que circulan por su interior lo hagan, finalmente, en el 
mismo sentido en que gira la plataforma. Sustituyendo 
ahora a ésta por la tierra, y al tubo por una rueda en 


! 




ALGUNOS ESCALONES MÁS 


401 


rápido movimiento de rota- 
ción, con suspensión apropia- 
da, el alumno comprenderá, 
sin dificultad, por qué el eje 
de aquélla tiende a colocarse 
paralelamente al terrestre y, 
de tal modo, que coincidan 
los sentidos de ambas rota- 
ciones. En la figura 199 se 
ve al cuadro A B que puede 
girar alrededor del eje verti- 
cal b En este cuadro está 
montado el giróscopo, que gira sobre el eje horizontal 
a a Este eje es el que se dispone paralelamente al me- 
ridiano del lugar. En el ecuador es donde el aparato ad- 
quiere el máximo de sensibilidad. 


Algunos escalones más 

En general, la explicación que hemos dado líneas más 
arriba es suficiente para satisfacer a la mayor parte de 
los alumnos. Ocurre, sin embargo, felizmente, de tanto 
en tanto, que alguno de ellos quiere saber, por ejemplo, 
cuánto vale la fuerza con que el tren presiona contra las 
vías, y estimulándole tratará de calcular por sí mismo la 
aceleración que origina a aquélla. En la posición A de la 
figura 196, si es n la distancia del punto al eje de giro, 
la velocidad tangencial, en ese instante, será ü> n. En 
otra posición B, distante r 2 del eje, la velocidad tangen- 
cial valdrá o> r 2 , siendo entonces el aumento de la misma 
o) (r 2 — ri). Si el pasaje de A a B ha ocurrido en un 
tiempo t , bastará dividir por este tiempo para obtener 
la aceleración. Como el cociente de r 2 — r x por t nos da 
la velocidad v, resulta así que la aceleración buscada ten- 
dría que ser igual a o> v. En más de una oportunidad, al- 
guno de mis exalumnos efectuó por sí mismo el cálculo 




462 


I,A ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


precedente, quedando perplejo cuando le decía que el va- 
lor correcto no era aquél, sino el doble : a = 2 » v. 

Desde luego que deseaba saber de dónde podría surgir 
ese otro “aumento” de la velocidad en sentido tangencial. 
A muchachos que se interesan de ese modo por estas cues- 
tiones basta, en general, con sugerirles el camino que de- 
ben seguir. Encuentran placer en recorrerlo y hallar so- 
los el resultado que buscan. Basta con indicarles, en este 
caso, que la otra parte de la aceleración la hallarán si 
tienen en cuenta el cambio en dirección que va experi- 
mentando continuamente, al girar el tubo, la velocidad v. 

Advierten que dicho vector gira en un ángulo ai en 
el tiempo t, y supuesto este tiempo muy pequeño, encuen- 
tran, siguiendo el mismo camino empleado para hallar el 
valor de la aceleración centrípeta, la otra parte de la ace- 
leración de Coriolis. Es esta segunda parte la que no tu- 
vimos en cuenta para nada en todas las explicaciones pre- 
cedentes. Los alumnos nos agradecerían íntimamente si 
supieran de estos “olvidos” voluntarios, que son de im- 
periosa necesidad en la enseñanza. Al profesor que le re- 
pugne explicar algo a medias, que sienta en su interior 
que está ocultando a sus alumnos la mitad de la verdad 
(exactamente la mitad, en el caso del ejemplo tratado), le 
bastará, para evitar el tener que soportar durante toda la 
clase esa especie de presión psíquica, el decir, desde el 
comienzo, en el caso que nos ocupa, que la pared del tubo 
debe presionar a la esfera que se aleja del centro por dos 
razones: una, para hacer que aumente su velocidad tan- 
gencial; otra, para torcer, para desviar, para cambiar la 
dirección de la velocidad radial. 

Puede todavía darse de esto mismo una demostración 
directa sencillísima. Consideremos al punto en la posi- 
ción A : las componentes de su velocidad son v y <i> r. Si 
quedara libre en ese momento (si el extremo del tubo coin- 
cidiera con A), seguiría, a partir de entonces, la diagonal 
del paralelogramo construido sobre esos vectores (fig. 
200), y se encontraría, al cabo de un tiempo t, suficiente- 
mente pequeño (como para poder confundir al arco con 



ALGUNOS ESCALONES MÁS 


463 


la tangente), en un punto tal como C, siendo A B = ©r t 
y B C = v'l. Pero se encuentra realmente en D. El es- 
pacio C D, recorrido en forma suplementaria por la ac- 
ción del tubo, tendrá que ser igual a f (i t-, siendo a la 
aceleración, y como es C D — <o t . v t, se obtiene a = 2 w v. 

Continuando por este camino escalonado, que estamos 
recorriendo a título de ejemplo, para mostrar que las di- 
ficultades pueden ser vencidas más fácilmente si se las 
ataca una tras otra, en lugar de arremeter desde el co- 
mienzo contra todas ellas en conjunto, indicaremos la 
manera de completar lo referente a la aceleración de Co- 
riolis, en el caso de que la dirección de la velocidad v for- 
me cierto ángulo que difiera de 
90° con el eje de giro. Bastará 
descomponer el vector v de tal 
modo, que una de las componen- 
tes tenga la dirección del eje de 
rotación, debiendo ser la otra 
normal al mismo. 

Esta última, igual a v sen «, 
originará la aceleración compuesta, cuyo valor resulta ser, 
eri el caso general, 2 o> v sen «. 

Recién ahora nuestro alumno está en condiciones de 
calcular la fuerza que el tren del ejemplo ejerce contra 
las vías. Encuentra, así, que una máquina de diez tone- 
ladas, marchando a razón de 100 kilómetros por hora, en 
la dirección de los meridianos, ejerce contra los rieles, en 
sentido lateral, a la latitud de 45°, una fuerza de casi tres 
kilogramos. Ahora que comprende perfectamente el por- 
qué del aumento de la velocidad angular de la silla gira- 
toria al encoger los brazos, es posible que quiera saber si 
de ello podría deducirse la ley de la conservación del im- 
pulso rotatorio. Volvamos, para ello, a nuestro tubo que 
gira con la velocidad u, y en cuyo interior se desplaza la 
masa m, con velocidad v. Ya sabemos que la aceleración 
es igual a 2 a> v ; la fuerza, 2 m u > r, y el momento de ésta, 
2 m,oV r, si en el momento considerado es r el radio de 



Fík. 20#. 



4C4 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


giro. Si llamamos / 0 al momento de inercia del tubo, el 
momento de inercia total del sistema será J 0 -|- m r 2 , por lo 
cual la aceleración angular, igual al momento de la fuer- 
za actuante sobre el momento de inercia, tendrá por ex- 
presión : 

d (a 2 m túV r m 

dt~~ Jo + m r 1 ^ ^ 

El signo menos proviene del hecho de que la veloci- 
dad angular debe disminuir si r aumenta. Tenemos, así: 

d <i> 2 mrdr rol 

“T “ ” io + mr 2 ’ 

por ser v d t = dr. Llamando I al momento de inercia 
total, se tiene entonces: 

— + = 0; [3] 

ü) i 

que conduce de inmediato a 

/ o> = constante. [4] 

El planteamiento de la ecuación diferencial [1] no 
asusta a ningún muchacho que tenga cierta predisposi- 
ción por estas cosas, y el pasaje de [1] a [2] se efectúa 
también sin dificultad. En cambio, ¿cómo pasamos de 
[2] a [3] si el alumno no sabe cálculo diferencial y, lo 
que es peor, cómo integramos esa ecuación para llegar a 
la [4]? 

En mi experiencia docente se me han presentado, con 
bastante frecuencia, casos análogos al que precede. No 
en las horas de clase, sino fuera de ellas, en que los alum- 
nos preguntan esto o aquello. Efectúo la demostración 
para mí (en los casos en que puedo hacerlo), y luego me 
esfuerzo por traducir lo encontrado al lenguaje de los 
alumnos. Hago lo posible por satisfacer su sana curiosi- 
dad intelectual, y, realmente, me apena cuando no lo 
logro. 



ALGUNOS ESCALONES MÁS 


465 


Si he intercalado esto último, ha sido, más que nada, 
para mostrar concretamente cómo, en muchos casos, es 
posible efectuar esa traducción. Para ello, comencemos 
por escribir la [2] reemplazando el signo de diferencial, 
que puede asustar al alumno, por el A, que sólo repre- 
senta una diferencia finita. Tenemos, así: 

A o 2 m r : A r 

<■> ~~ / 0 + m r- 

Claro está que advertiremos que estos A tienen que 
ser suficientemente pequeños para que el primer miem- 
bro de la [1], escrito en esta forma, pueda representar 
la aceleración angular instantánea y no la aceleración 
media. 

Escribiendo ahora: 

I = lo + mr-, 

/' = lo + m (r + A r)-, 

y restando, se encuentra: 


I' — I = A / = 2 mr. A r — m. A r. 

Que el segundo término del segundo miembro puede 
dejar de considerarse, es entendido por los alumnos sin 
dificultad alguna, sobre todo si se les hace suponer que 
A r vale sucesivamente un milésimo, un millonésimo de 
r, etc. 

Llegamos así a escribir: 

A* _ A/ 

I ’ 


o lo que es lo mismo : 

I A <■> + <» A / = 0. 

Si suponemos 

I „> = constante = A, 



466 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


e incrementamos a I en A / y « en A <♦>, tendrá que cum- 
plirse : 

(/ 4“ A /) (w + A o») = A, 

o sea: 

/Aío + ü>A/+ A / . A &> — 0. 

que, luego de “tachar” al último término del primer miem- 
bro, coincide con la ecuación establecida. Ya el alumno 
aprenderá, más tarde, a pulir estas demostraciones; en- 
tretanto, quedará satisfecho y con ansias de seguir estu- 
diando. 


C) Ciclo superior 

El modo de encarar la enseñanza de la Física en el 
ciclo dependerá, fundamentalmente, de lo que se propo- 
nen llegar a ser los alumnos que reciben aquella ense- 
ñanza: ingenieros, profesores, físicos, etc. 

Pero la Física para ingenieros no difiere de la Física 
para químicos; la Física es una, aun cuando sus diversos 
temas no interesen a todos por igual. Lo que en todos 
los casos deberá procurarse es que los alumnos lleguen 
a comprender íntimamente la parte esencial de lo que 
se conceptúa como más importante, poniéndolos en con- 
dición de que puedan proseguir, más tarde, el estudio 
por su propia cuenta. 

En este ciclo, las dificultades que encuentran los alum- 
nos en el estudio de nuestra materia no radican, en ge- 
neral, en la mayor o menor complicación del aparato 
matemático que se emplee, i Cuántas veces nos ha ocu- 
rrido que, a pesar de poder seguir una larga demostra- 
ción matemática paso a paso, tenemos conciencia de que 
lo fundamental se nos ha escapado! En los exámenes de 
fin de curso es frecuente ver que un alumno llena el 
encerado de fórmulas correctas, que sólo sirven para di- 
simular la oscuridad del concepto que tiene sobre lo que 
se le ha preguntado. Saben, por ejemplo, hacer una de- 
mostración general de mecánica para n puntos materiales 



CICLO SUPERIOR 


467 


cualesquiera, y se quedan anonadados e impotentes ante 
un modestísimo problema en que intervienen sólo dos de 
aquéllos. Pero no siempre son ellos los culpables de esta 
anomalía. Muchas veces son los profesores quienes no 
han sabido explicar el asunto con la claridad debida. Al- 
gunos, temperamentalmente, gustan demasiado de las 
demostraciones elegantes y generales. Con ellas, en dos 
saltos llegan a la olímpica cima. Les parece absurdo que 
pudiendo volar, se marche penosamente paso a paso. Pa- 
recería que desconocieran el penoso esfuerzo que ha re- 
querido el hallazgo de cualquiera de los conocimientos que 
ahora, en forma perfecta y acabada, pretenden que sean 
asimilados por sus alumnos. Desprecian el ejemplo sen- 
cillo y las demostraciones simples y concretas. Parecen 
prestidigitadores que, en lugar de conejos, extrajeran 
consecuencias : en uno y otro caso, no se advierte el truco. 

Auténtico profesor, en cambio, es aquel que sabe po- 
ner en descubierto y en forma descarnada ese mismo 
truco; el que no oculta las ideas en un ropaje de fórmu- 
las, sino que, por el contrario, muestra cómo aquéllas ex- 
presan el concepto que las nutre, las alienta y les da vida. 

Hace también demostraciones generales y elegantes, 
pero se cuida muy bien de preparar previamente el cami- 
no, para estar seguro de llegar a la cumbre acompañado 
de sus alumnos. Después de una larga y penosa demos- 
tración, sabe volver atrás y repetir los pasos esenciales, 
señalando cuáles han sido los puntos de apoyo y cuáles 
los hilos principales de la trama. Se produce en él como 
una especie de desdoblamiento, pues, mientras habla co- 
mo profesor, se está escuchando a sí mismo como alumno. 
Como tal, es severo en sus juicios, procurando rectificar 
en la clase de mañana los yerros cometidos en la de hoy. 

Si se me pidiera que condensara en una fórmula la 
manera cómo, a mi juicio, debe enseñarse Física en el 
ciclo superior, diría que ella debe ser tratada en forma 
elemental. 

“En forma elemental”. ¿Qué quiero expresar con 
ello? Para poner de manifiesto mi pensamiento, he de ser- 



468 


LA ENSEÑANZA ÜE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


virme de algunos ejemplos concretos. Si en un curso de 
mecánica vamos a tratar la teoría del movimiento rela- 
tivo, considero que no es nada desdeñable que al comienzo 
se considere el asunto en forma parecida a como lo hemos 
hecho en párrafos anteriores. Después vendrá la demos- 
tración general, que se encuentra en cualquier libro de 
mecánica; pero sólo después. Si nos vamos a ocupar del 
principio de D’Alembert y de las ecuaciones de Lagrange, 
¿por qué no comenzar con algunos de los sencillos pro- 
blemas que hemos mencionado en el capítulo VIII? Aun 
asuntos sumamente difíciles pueden ser encarados ele- 
mentalmente. Elementalmente no quiere decir superfi- 
cialmente. Más bien, todo lo contrario, pues, al tratar 
un asunto, deberá analizarse parte por parte y elemento 
por elemento del mismo. 

La síntesis vendrá luego, y entonces sí podremos abar- 
car el conjunto de un solo golpe de vista. 

Trataré, a continuación, elementalmente, a título de 
ejemplo, un asunto que es considerado en general como 
difícil, ya que su interpretación ha originado y origina, 
aun hoy, no pocas controversias. Me referiré a la teoría 
clásica y relativista de la aberración de la luz, y marcharé 
peldaño por peldaño. Además, al referirme a la teoría de 
la relatividad, se verá de paso, en líneas generales, cómo 
podría enseñarse la parte esencial de la misma en ciclos 
menos avanzados. 


La aberración de la luz y la rueda de Fizeau 

El fenómeno de la aberración astronómica de la luz, 
descubierto por Bradley en 1725, consiste en un movi- 
miento que parecen tener todas y cada una de las estre- 
llas. Se observa, en efecto, que describen (o parecen des- 
cribir) pequeñas elipses. 

El eje mayor de todas ellas tiene una amplitud angu- 
lar de 41"; en cambio, la del eje menor es variable, pues 
depende de la latitud celeste de la estrella. Si ésta se en- 



LA ABERRACIÓN DE LA LUZ Y LA RUEDA DE FIZEAU 


469 


cuentra situada sobre el mismo plano de la eclíptica (en 
el plano de la órbita que recorre la Tierra), el eje menor 
es nulo, por lo cual la elipse de aberración se convierte, 
en este caso, en un segmento de arco. La estrella, situada 
en ese plano, parece recorrerlo en uno y otro sentido, co- 
mo un péndulo. 

En los polos de la eclíptica (latitud celeste igual a 
90°), las elipses de aberración son circunferencias: el eje 
menor de la elipse es igual al eje mayor. En general, si 
la latitud celeste es A, el eje menor, b, de la elipse es 
igual al eje mayor, a, por el seno de aquel ángulo: b = a 
sen A. Además, el tiempo que tardan las estrellas en re- 
correr esas elipses es, pa- 
ra todas ellas, exactamen- 
te igual a un año, y el sen- 
tido del movimiento coin- 
cide con el de la Tierra en 
su movimiento orbital al- 
rededor del Sol. 

Todo esto hace pensar 
que el movimiento de la 
Tierra debe desempeñar 
un papel principalísimo en 
la explicación del fenómeno. Pero no puede tratarse aquí 
de un efecto de perspectiva, de paralaje, pues si así fuera, 
las elipses tendrían que ser tanto menores cuanto más le- 
janas estuvieran las estrellas. La más cercana a nosotros 
( a del Centauro) parece recorrer, por efecto de paralaje, 
una elipse cuyo eje mayor vale tan sólo 1",5 no alcalzando 
el movimiento paraláctico de Canopus ni siquiera a dos 
centésimos de segundo de arco, pero, en ambos casos, la 
amplitud de la aberración es la misma. 

La explicación clásica del fenómeno, dada por el mis- 
mo Bradley dos años después de haber descubierto el 
efecto, es la siguiente : Supongamos un vagón de tren que 
marcha horizontalmente con la velocidad v (fig. 201). 
Consideremos que el techo del mismo sea de cristal, y que 
sobre él incidan, en un momento dado, verticalmente, los 


E 




470 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


rayos de luz provenientes de una estrella E . Si el vagón 
estuviera en reposo, el rayo de luz que penetró por O 
incidiría en un punto A del suelo del mismo, pero si aquél 
se desplaza con velocidad v, ya no incidiría en ese punto. 
Si la luz empleó un tiempo t en atravesar el vagón — en 
ir de O a A — en ese tiempo éste avanzará cierto espacio 
B A y igual a v t, y el rayo incidirá en el punto B . Con 
respecto al vagón, el rayo parece seguir la dirección O B y 
aunque el camino “realmente” seguido es O A. La tra- 
yectoria aparente del rayo, la O B f podría quedar regis- 
trada si imaginamos que se disponen, paralelamente al 
techo del mismo, placas de vidrio sensibles a la luz. Que- 
darían así, marcados sobre ellas, puntos tales como el 1, 
el 2, etc. Si desde el interior del vagón se desea observar 
la estrella con un anteojo, éste deberá inclinarse, con 
respecto a la vertical, en un ángulo El eje del anteojo 
tendrá que seguir la dirección O B . Si llamamos c a la 
velocidad de la luz, es O A = c t, y como en ese tiempo t f 
el vagón recorre el espacio B A = v t, resulta : 

tga = c • 

Imaginemos, ahora, que nuestro vagón recorra, sobre 
una pista, una circunferencia, conservando siempre la ve- 
locidad v. Como imaginar no cuesta nada, supondremos 
que esta velocidad alcanza el fantástico valor de 1300 
kilómetros por segundo. Si la longitud de la circunfe- 
rencia de la pista fuera de 130 km, nuestro vehículo da- 
ría una vuelta completa en sólo un décimo de segundo. 

Prescindamos, por un momento, del extraordinario 
valor que alcanzaría a tener la fuerza centrífuga (unos 
8 millones de veces mayor que el peso), y subamos a ese 
vehículo, en una noche estrellada, para contemplar, desde 
él, el aspecto del cielo. En ese vagón habrá seguramente 
sillones giratorios, para poder dirigir la vista, cómoda- 
mente, a determinada región de la bóveda estrellada. 
¿Qué aspecto presentaría ésta? Aplicando la fórmula 
anterior a este ejemplo, el ángulo « resulta ser igual a 



LA ABERRACIÓN DE LA LUZ Y LA RUEDA DE FIZEAU 


471 


15', y las estrellas situadas en el cénit paracerían descri- 
bir en 0,1 segundo, una circunferencia de este radio an- 
gular, igual, aproximadamente, al radio aparente del Sol 
o de la Luna. 

Como en aquel espacio de tiempo las imágenes reti- 
nianas no desaparecen totalmente, las veríamos transfor- 
madas en brillantes anillos. 

Éstos aparecerían cada vez más y más aplastados, 
cuanto más cercanos estuvieran del horizonte, donde las 
elipses serían vistas, finalmente, sólo como líneas. Si se 
quisiera registrar fotográficamente el fenómeno, basta- 
ría disponer la máquina de tal modo que se trasladara so- 
bré la órbita de la pista sin girar, disponiéndola, por 
ejemplo, sobre una biela cuyos extremos recorran circun- 
ferencias idénticas. 

Realmente, da pena no poder gozar de un espectáculo 
semejante. Pero, ¿no será posible, aunque no fuera tan 
espectacularmente, realizar en la Tierra, en forma expe- 
rimental, el fenómeno de la aberración de la luz? Hasta 
hace poco hubiera respondido, sin titubear, que tal cosa 
era prácticamente imposible. La Tierra recorre su órbita 
anual a razón .aproximadamente, de 30 km por segundo, 
resultando así que el ángulo a es de 20", 5. Éste es el 
valor de la llamada constante de aberración , cuyo duplo, 
41", mide la amplitud angular total de los ejes mayores 
de las elipses de aberración. Para experimentos que in- 
tentáramos realizar sobre la Tierra, con las velocidades 
reales de los vehículos de que disponemos, la constante 
de aberración se reduciría prácticamente a cero, y la pe- 
queñísima desviación originada por el fenómeno sería 
totalmente cubierta por las inevitables trepidaciones que 
experimentarían los instrumentos destinados a registrar 
el efecto. Para un vehículo que se desplazara con la velo- 
cidad del sonido, la constante de aberración valdría tan 
sólo 0"23. Parece, pues, que no tenemos derecho ni si- 
quiera a soñar que se pueda estudiar ese fenómeno ex- 
perimentalmente. Sin embargo, hace ya casi un siglo que 
Fizeau realizó su célebre experimento de la rueda denta- 



472 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


da, con el que midió experimentalmente, por primera vez, 
la velocidad de la luz, y ese experimento, aunque hasta 
ahora, al parecer, nadie lo haya advertido, no es otra co- 
sa que una prueba experimental del fenómeno de la abe- 
rración de la luz. Todas las discusiones originadas por la 
interpretación clásica y relativista del fenómeno, todo el 
complejo asunto de los sistemas de referencia, que trata- 
remos más adelante, se hubieran simplificado, quizás 
hasta desaparecer, en el caso de tener presente aquella 
identidad que — cosa asombrosa — no hemos visto que 
haya sido mencionada, hasta ahora, por ningún autor. 
Nada más fácil, sin embargo, que probar esa identidad. 



Fig:. 202. 


El rayo que parte del punto central A , figura 202, de una 
de las aberturas, y se refleja en el espejo E, retorna co- 
mo si proviniera del punto A\ simétrico de A con res- 
pecto a aquél. Si la velocidad de la rueda es la adecuada 
para que se produzca el primer eclipse, dicho rayo cho- 
cará, a su regreso, con el punto central B del diente que 
sigue a la abertura. Para el observador del sistema -cons- 
tituido por las paredes del laboratorio, sistema S, el rayo 
reflejado es recibido como si su trayectoria hubiera sido 
A' A. Para un observador fijo a la rueda, sistema S ', ese 
trayecto es, en cambio, A ' B. El ángulo A A' B = a, e s el 
ángulo de aberración. 

Si la velocidad lineal de los dientes de la rueda es v, 
deberá tenerse: 

v __ a 
c ~ 2 d 


t Cj a ~ 



LA ABERRACIÓN EN LA TEORÍA ONDULATORIA 


473 


si a es el ancho común de espacios y dientes, y d la dis- 
tancia de la rueda al espejo. 

Si n es el número de dientes de la rueda, que da N 
vueltas por segundo, cuando se produce el primer eclipse, 
la velocidad v será: 

v = 2 n a . N, 

resultando así, para c, la conocida expresión: 

c = 4 d n N . 

Resulta extraordinario pensar que en los experimen- 
tos de Fizeau se midieran con precisión ángulos de abe- 
rración del orden de los centésimos de segundo, iguales a 
la separación angular que resultaría de mirar desde 17 
km de distancia los bordes de un diente cuyo ancho no 
sobrepasaría, seguramente, los 2 mm. 


La aberración en la teoría ondulatoria 

La explicación del fenómeno que hemos dado líneas 
más arriba se conoce con el nombre de explicación balís- 
tica. Si desde el costado de una vía de tren se ametralla 
a un vagón en movimiento, la trayectoria de las balas, 
con respecto al vagón, queda individualizada por los ori- 
ficios de entrada y salida de las mismas. Esta dirección 
difiere de la seguida por las balas con respecto al suelo, 
por lo cual es lamentable que un efecto así no haya sido 
aprovechado, todavía, por los autores de novelas policia- 
les. 

En la teoría clásica ondulatoria de la luz, ésta se pro- 
paga en el éter. En el “éter fijo”, en el “éter en reposo 
absoluto”. Dentro de ese mar de éter se mueve la íierra 
y nos movemos nosotros, sin que estos movimientos per- 
turben en lo más mínimo aquella quietud, sólo compara- 
ble a la de los sepulcros. (Veremos, dentro de poco, que 
el éter es un cadáver que se guarda momificado en los 


22 



474 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


archivos históricos; el certificado de defunción fué ex- 
tendido en 1905, por el entonces su médico de cabecera, 
doctor Alberto Einstein). 

La luz que nos envía una estrella E (fig. 203), se 
propaga entonces a través de este medio privilegiado, y 
en cierto momento son alcanzados los puntos A u A 2 , A a , 
. . de cierta superficie t r. Si la estrella está muy lejana, 
podremos considerar esta superficie como un plano. 

Cada uno de estos puntos, al ser alcanzado por la per- 
turbación, se convierte en centro de emisión de ondas. 

En el éter (¡ sólo en el éter en 
reposo!), la luz se propaga 
con igual velocidad en todas 
direcciones, por lo que, para 
conocer cuál será la próxima 
superficie de onda, debemos 
trazar, con centro en cada 
uno de los puntos, esferas de 
igual radio. La superficie en- 
volvente de todas estas esfe- 
ras será, en este caso, el pla- 
no 7 r', y tenemos así que la 
dirección de propagación es 
normal a la superficie de 
onda. Supongamos, ahora, 
que la luz llegue al techo de 
nuestro vagón, que se mueve, con respecto al éter , con la 
velocidad v. ¿Qué pasa entonces? Nada de extraordi- 
nario. Poco le importa a la luz y al éter nuestro movi- 
miento. La luz sigue propagándose en el éter en reposo, 
y volviendo a trazar nuestras esferas en puntos del éter 
fijo, encontramos que la superficie envolvente de todas 
ellas será un plano tal como tt", paralelo al techo de nues- 
tro vagón. ¿Con qué dirección parece propagarse enton- 
ces la luz en el interior de nuestro vehículo? Es ésta una 
pregunta muy delicada, que debemos considerar con toda 
atención. Si admitimos que la dirección de propagación 
debe ser normal a la superficie de onda, la respuesta re- 


E 





LA ABERRACIÓN EN LA TEORÍA ONDULATORIA 


475 


suita asombrosa: no existiría el fenómeno de aberración. 
En un trabajo reciente, del profesor Wíirschmidt \ se lie- 
ga precisamente a ese resultado. En él se dice textual- 
mente (pág. 56) : “Definiéndose como ángulo de aberra- 
ción el ángulo entre la nueva y la primitiva dirección del 
rayo , en la física clásica no hay aberración de la luz!*\ 
Pero no es así. En la física clásica, sólo con respecto al 
éter en reposo es que debe considerarse la dirección de 
propagación (dirección del rayo) normal a la superficie, 
de onda. Con respecto a cualquier otro sistema, la direc- 
ción de propagación deja de ser normal a esa superficie. 
Es sumamente fácil probar esto. En el instante cero, los 



puntos del éter, tales como A y B (fig. 204) se convierten 
en centros de emisión de ondas. En ese instante coinci- 
den con A y B dos puntos del sistema que se mueve con 
velocidad v (dos puntos del techo del vagón). Al cabo de 
cierto tiempo, t, estarán en vibración puntos de superfi- 
cies esféricas de radio r = c t, y centros en A y B. Cuan- 
do hayan sido alcanzadas estas superficies, los puntos del 
sistema en movimiento donde comenzó la onda ya no esta- 
rán ni en A ni en B , sino en A ■ y B\ siendo A A f = B B* = 
= v t . 

Para el sistema en movimiento, las superficies de 
onda parciales siguen siendo superficies esféricas, pero 


1 JOSÉ WuRSCHMIDT, Aberración , efecto Doppler y presión de 
luz , en Revista de la Unión Matemática Argentina , volumen XI, 
pág. 47, 1945. A pesar de citar este trabajo a propósito de lo que 
juzgamos un error, consideramos al mismo como una de las contri- 
buciones más importantes, hechas hasta hoy, sobre ese tema. 



476 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


no concéntricas entre sí. Para este sistema, la dirección 
de propagación, de acuerdo con la teoría clásica, está da- 
da por las rectas A' T o B' T\ determinadas por los cen- 
tros iniciales de las ondas parciales y los puntos de tan- 
gencia de las mismas con su envolvente. 

En la figura 205 hemos representado cómo ocurren 
>as cosas tomando como referencia al sistema en movi- 

£ 

miento. En dicha figura se ha supuesto v = . Las su- 

perficies de onda sucesivas son las esferas de centros en 
A () , Ai, Ao, A h y So, B u S 2 , y S ;{ ... Las superficies en- 
volventes son planos paralelos entre sí, que coinciden 
efectivamente con las superficies de onda resultantes en 
el éter en reposo, pero en cambio no coinciden las direc- 
ciones de propagación. Aquí — en el sistema en movi- 
miento — la dirección queda determinada por el lugar 
geométrico de los puntos de tangencia sucesivos: T lt T 2t 
r 3 ... Se advierte de inmediato que con esta explica- 
ción se llega, como antes, al mismo valor para el ángulo 
de aberración. La velocidad c debe interpretarse ahora 
como la velocidad con respecto al éter en reposo, y, lo 
que es más importante, el ángulo de aberración sería 
igual al ángulo formado por el rayo y la normal a la su- 
perficie de onda. 


Sistema privilegiado y sistemas plebeyos 

Tenemos así que, en la física clásica, la luz se compor- 
ta con alguna decencia sólo en un sistema: en el sistema 
del éter en reposo. Sólo allí se propaga con igual veloci- 
dad en todas direcciones; sólo allí los rayos son normales 
a la superficie de onda. En cualquier otro sistema de re- 
ferencia — sobre nuestra Tierra, por ejemplo — la veloci- 
dad de la luz dependería de la dirección (véase fig. 205), 
propagándose de un modo torcido, como los caballos que 
avanzan de costado. Aquel éter en reposo, aquel sistema 
que gozaba de tantos privilegios, sólo era apropiado para 



SISTEMA PRIVILEGIADO Y SISTEMAS PLEBEYOS 


477 


la época ele Luis XIV. En el mundo democrático de nues- 
tros días no podrían admitirse semejantes cosas. Fué así 
como los sistemas plebeyos hicieron su revolución y pro- 
clamaron su absoluta equivalencia. Einstein fué el voce- 
ro de ese movimiento (1905), cuya carta fundamental 
reza así: 

1 Q ) A partir de hoy, todos los sistemas de referencia 
(los que se trasladan unos respecto de otros, con movi- 
miento rectilíneo y uniforme y para los cuales valga el 
principio de inercia, sistemas iner cíales) , serán equivalen- 



tes. El que quiera considerarse en reposo, podrá hacerlo : 
no encontrará en ello ningún inconveniente. 

2 9 ) Para refirmar esto último, establecemos, en for- 
ma explícita, que en cualquier sistema la luz tendrá que 
propagarse con igual velocidad en todas direcciones, cual- 
quiera sea la fuente de donde provenga. 

3 Q ) Para acabar de una vez por todas con cualquier 
clase de privilegios, establecemos también que el valor de 
la velocidad de la luz deberá ser el mismo en todos los 
sistemas. 

4<?) Procédase a revisar toda la Física, para ponerla 
de acuerdo con lo que precede. 

Esta declaración fué precedida de breves y contun- 
dentes considerandos. En ellos se mencionaba una carta 



478 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


análoga, firmada por Galileo Galilei hacía ya 300 años, 
y en la cual se reconocía la equivalencia de todos los 
sistemas con relación a los fenómenos mecánicos. Nada 
más justo — se agregaba — que extender esa equivalencia 
a todos los fenómenos físicos (ópticos y electromagnéti- 
cos), pues sería absurdo que se tuviera derecho a consi- 
derarse en reposo para tratar asuntos de mecánica, y no 
se le tuviera para cuestiones de óptica. Se aludía, por 
fin, a los ruidosos fracasos de los físicos que intentaron 
demostrar el movimiento de la Tierra con respecto al 
éter, los cuales habían encontrado, para asombro y ver- 
güenza de aquellos que todavía seguían creyendo en sis- 
temas privilegiados, que sobre nuestra Tierra, sobre nues- 
tro modesto planeta en movimiento alrededor del Sol, la 
luz se propagaba en toda época y en cualquier momento 
con igual velocidad en todas direcciones! 

Se señalaba, igualmente, que las observaciones astro- 
nómicas revelan que la velocidad de la luz no depende del 
movimiento de la fuente. Si dependiera, se observarían 
cosas extraordinarias en los sistemas constituidos por 
un par de estrellas. 


La aberración de la luz y la relatividad de la 
simultaneidad 

¿Qué quiere decir que dos acontecimientos se han 
producido simultáneamente? Hubo una época en que se 
hubiera dicho que esta pregunta pertenecía al dominio 
de la Filosofía y no al de la Física. Al postular, en la 
teoría de la relatividad, la constancia de la velocidad de 
la luz, estamos en condiciones de definir qué es lo que 
debe entenderse por simultaneidad. Y estamos en condi- 
ciones de hacerlo, porque ese postulado nos proporciona 
un reloj patrón. La definición que puede darse de ía si- 
multaneidad es de carácter indicativo, en el sentido de 
que ella nos proporcionará la manera de calcular, en po- 
sesión de los datos necesarios, si dos acontecimientos han 



LA ABERRACIÓN DE LA LUZ Y LA RELATIVIDAD DE LA SIMULTANEIDAD 47í) 


sido o no simultáneos, y también el modo de verificar 
experimentalmente si dos sucesos ocurren o no al mismo 
tiempo. 

Si observáramos, en 1949, la explosión de una estrella, 
que sabemos dista de nosotros 70 años luz, podríamos de- 
cir que dicho suceso fué simultáneo (aproximadamente) 
con el nacimiento de Einstein, ocurrido en 1879. Para 
verificar si dos sucesos, A y B, se producen o no simul- 
táneamente, podríamos instalarnos en el punto medio del 
segmento AB (fig. 206), y mirar desde allí (utilizando 
dos espejos inclinados), o fotografiar, lo que va ocurrien- 
do en aquellos puntos. Siendo la distancia A E igual a 
B E y y marchando la luz con igual velocidad en ambos 



sentidos, todos los acontecimientos ocurridos en aquellos 
puntos, y registrados en el mismo cuadro del film , serían 
simultáneos. Claro está que no es indispensable, para 
verificar la simultaneidad de dos acontecimientos, insta- 
larse en el punto medio del segmento determinado por los 
puntos en que aquellos se producen. Un observador si- 
tuado en un punto tal como C , podrá verificar igualmente 
la simultaneidad, si dispone de un reloj y conoce las dis- 
tancias A & y B C. Si fuera, por ejemplo, B C — A C = 
= 300 000 km, juzgará que el acontecimiento ocurrido 
en B fué simultáneo con el acaecido en A si la señal lu- 
minosa que partió de B llegara, con respecto a la otra, 
con un segundo de retraso. Todo esto es tan lógico, tan 
natural y tan sencillo, que hasta parece no valiera la pena 
mencionarlo, ¿verdad? 

Formulemos ahora la siguiente cuestión: dos aconte- 



480 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


cimientos que son simultáneos con respecto a un sistema 
de referencia, ¿lo serán también con relación a otro? 
Pensemos en el vagón de tren que utilizamos para explicar 
el fenómeno de la aberración de la luz, y concretemos 
nuestra pregunta en la forma siguiente: al costado de la 
vía por donde marcha el tren (fig. 207), ocurren dos 
sucesos, A y B, dos lámparas que se encienden, por ejem- 
plo. 

Estos sucesos son simultáneos con respecto al sistema 
de referencia constituido por la vía, por el suelo, en fin, 
con relación a un sistema de coordenadas fijo ; digamos, a 
la casilla del guardabarreras. ¿Serán simultáneos, tam- 
bién, con respecto al 
tren, con respecto a 
un sistema de coorde- 
nadas fijo al vagón 
en movimiento? 

Antes de Einstein, 
todos hubiéramos 
respondido afirmati- 
vamente, sin titubear. 
Y sin embargo, no es 
así. El fenómeno de 
la aberración de la 
luz nos permitirá comprender en seguida, que la simul- 
taneidad no es absoluta; que si dos acontecimientos son 
simultáneos con respecto a un sistema, no lo serán, en 
general, con respecto a otro. Digo “con respecto a un sis- 
tema^, y no “con respecto a un observador”, para evitar 
que se interpreten los resultados de la teoría de la rela- 
tividad como si se tratara de cuestiones subjetivas. Puede 
hablarse, naturalmente, de los “observadores” de tal o 
cual sistema, pero entiéndase bien que dichos observado- 
res podrían ser placas fotográficas o aparatos automáti- 
cos. En el experimento de la rueda dentada, de Fizeau, 
ésta es uno de los sistemas de referencia, sin que sea ne- 
cesario que debamos trepar sobre ella para observar con 
nuestros ojos lo que desde allí se vería. 




LA ABERRACIÓN DE LA LUZ Y LA RELATIVIDAD DE LA SIMULTANEIDAD 481 


Hecha esta observación, volvamos al costado de la vía. 
Los acontecimientos A y B se han producido simultánea- 
mente: Podrían atestiguarlo todos los habitantes de la 
Tierra que en ese momento no se encontraran de viaje. 
El guardabarrera nos jura, además, que verificó escru-* 
pulosamente esa simultaneidad, y nos muestra el cuadrito 
del film en que aquélla quedó registrada. Digo esto por- 
que, firmado por todos los pasajeros del tren, se recibió 
este radiograma: “De acuerdo con nuestros registros, es* 
absolutamente indudable que el suceso B fué anterior 
al A”. 

Si se tiene un punto centro de emisión de luz, por 
propagarse ésta con igual velocidad en todas direcciones, 
la superficie de onda será una esfera con centro en el 
punto. La luz llega a todos los puntos de esa superficie 
esférica simultáneamente. Si el radio de la esfera es muy 
grande, puede considerarse como plana una porción de la 
misma ; tal el caso de la luz que recibimos de las estrellas. 
Consideremos, pues, que los dos acontecimientos A y B 
consisten en que dichos puntos han sido alcanzados por 
la superficie de onda 7 r de la luz proveniente de una fuen- 
te lejana. ¿En qué dirección se propaga esa misma luz 
con respecto al tren ? 

Debido a la aberración, el trayecto está dado por los 
rayos R\ en lugar de los R. Ambos forman cierto ángu- 
lo a. Antes, cuando pensábamos en el éter en reposo, nos 
referíamos a él (en lugar de la vía del ejemplo), y nos 
expresábamos en la forma siguiente: “El trayecto de los 
rayos es realmente el R; la dirección en que se observan 
desde un sistema en movimiento, es sólo aparente”. Ahora 
sabemos que se acabaron los sistemas privilegiados: los 
observadores del tren pueden suponerse en reposo, con 
el mismo derecho que los de la vía, siendo por lo tanto tan 
reales sus observaciones como las efectuadas desde el otro 
sistema. Creíamos, antes, que sólo en el éter en reposo 
la dirección de los rayos era normal a la superficie de 
onda. Ahora, en cambio, podemos afirmar que eso ocurre 
en todos los sistemas. En consecuencia, para los obser- 



482 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


vadores del tren, la superficie de onda de la luz será un 
plano tt', normal a la dirección R' de los rayos. Los planos 
ir y ir' no son paralelos. Basta mirar la figura para com- 
prender inmediatamente que el punto B es alcanzado por 
la onda tt' antes que el A. Por el modo como ha sido hecha 
la figura, tal vez se piense que son más dignas de crédito 
las afirmaciones de los observadores que se encuentran 
sobre tierra firme. Para evitar esto, consideraremos aho- 
ra que es en el interior del tren donde se producen las 
señales luminosas A' y B' (fig. 208), simultáneas con 
respecto a los observadores que viajan en el mismo. En 
este caso serán los observadores que están junto al guar- 

el radiograma: “A' se 
produjo antes que 
B”’. Los rayos se pro- 
pagan ahora, con res- 
pecto al tren, según 
la dirección R f , sien- 
do tt' la superficie de 
onda. Respecto a la 
vía, la dirección es 
R, y la superficie de 
onda el plano tt, que antes alcanza el punto A' que el B’. 
La diferencia de tiempo con que se han producido los 
acontecimientos A y B respecto al tren (fig. 207), está 
dada por el tiempo que, de acuerdo con las medidas de 
los observadores situados en el mismo, emplea la luz 
en recorrer el trayecto C A. En el caso de la figura 208, 
la diferencia de tiempo transcurrido según el sistema de 
la vía, entre el suceso B' y A' estará dada por el tiempo 
que en dicho sistema emplea la luz en efectuar el tra- 
yecto C B'. 

Se comprende, en seguida, que si la distancia entre los 
puntos en que ocurren dos sucesos simultáneos, respecto 
a un sistema, es muy pequeña, dichos sucesos serán tam- 
bién simultáneos respecto a cualquier otro. Hemos con- 
siderado, hasta ahora, sucesos simultáneos respecto a un 
sistema, que no lo son con referencia a otro, estando los 


dabarrera los que despacharían 




LA ABERRACIÓN DE LA LUZ EN LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD 483 


puntos en que aquéllos ocurrían distantes entre sí, y ubi- 
cados en la misma dirección de la velocidad relativa de 
ambos sistemas. 

En los ejemplos, los segmentos AB o A' B' eran pa- 
ralelos a la vía. Supongamos, ahora, que en dos puntos, 
P y Q (fig. 207), ubicados en un plano perpendicular a 
la dirección de la velocidad relativa, ocurren dos sucesos 
simultáneos respecto a la vía (sistema S ) . 

¿Serán simultáneos respecto al tren (sistema S') ? 
Naturalmente que sí. En la dirección de la velocidad re- 
lativa no se produce el fenómeno de aberración, y la onda 
plana, que alcanza en un momento dado a los puntos P y Q, 
respecto al sistema S coincide con la onda que alcanza 
a los mismos puntos respecto al sistema S'. En otros tér- 
minos: los planos tt y tt' son coincidentes en este caso. 

Veremos, líneas más abajo, el mismo asunto con toda 
generalidad. 


La aberración de la luz en la teoría de la relatividad 

Consideremos un “aparato” como el de la figura 209, 
constituido por un soporte, S t en cuya parte superior se 
fija una pantalla con una ranura, O, y en la parte inferior 
una placa fotográfica, P. Junto a aquella pantalla y a 
esta placa se deslizan otras dos, fijas al soporte S'. En la 
figura 210 se ve, en (a), el aparato cerrado, al comienzo 
de nuestro “experimento”. La luz incide sobre la parte 
superior del mismo, y con movimiento uniforme proce- 
demos a separar un soporte de otro. En ( b ) coinciden ya 
las dos ranuras, O y 0\ En este momento penetra luz del 
exterior, que se propaga hasta las placas fotográficas. 
En (c), la representación corresponde al instante en que 
la luz llega a las mismas, produciendo en ellas las man- 
chas M y M\ entonces coincidentes. En el tiempo que 
tardó la luz en pasar desde los orificios O y O', cuando 
se superpusieron, hasta las placas, los soportes continua- 
ron separándose, y es esta separación la que se ve en 



484 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


la parte (c) de la figura. Si los soportes tuvieran una 
altura de 300 000 km, y se separaran a razón de 10 m/seg, 
la distancia O O' representada debería ser igual a 10 m. 
Se comprenderá ahora, después de este ejemplo, por qué 

razón encerramos en- 
tre comillas las pala- 
bras “aparato” y “ex- 
perimento”. Se trata 
de una especie de es- 
tilización del método 
de la rueda dentada 
de Fizeau. Si ésta tu- 
viera, al efecto, una 
sola ranura, bastaría 
con recubrir con una película fotográfica la parte de la 
misma que mira hacia el espejo, para registrar los ángu- 
los de aberración. 




w 



S' 


Fis. 210. 


Observando la parte (c) de la figura 210, se ve que 
para el sistema S, el trayecto recorrido por la luz ha sido 
el O M; para el sistema S', el O' M'. 

¡ No preguntemos cuál es el trayecto “ real ”, ni creamos 
que se trata de dos rayos! Acordémonos de Galileo: la 
piedra que cae libremente en el interior de un barco que 



LA ABERRACIÓN DE LA LUZ EN LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD 485 


navega plácidamente recorre una recta con respecto al 
navio, y una parábola si se la refiere a la ribera. Aquí, 
el trayecto real para S es O M ; para S' es O' M'. Ambos 
forman entre sí cierto ángulo: se trata del fenómeno de 
la aberración de la luz. Elegimos para S y S' dos siste- 
mas de coordenadas, orientados en la forma que muestra 
la parte ( b ) de la figura. El origen del sistema S es el 
orificio O; el de S\ el O'. Los ejes x x' tienen la dirección 
de la velocidad relativa, siendo en consecuencia la direc- 
ción de los ejes . y e y ' normal a la misma. 

Si llamamos ¡3 al ángulo que forman los rayos con el 
eje y del sistema S, el problema consistirá en poder cal- 
cular, en cada caso, el ángulo ¡3' 
que forman con el eje y’ del sis- 
tema S\ y recíprocamente. 

Interesa, particularmente, el 
caso en que ¡3 = 0, y llamaremos 
entonces al ángulo correspondien- 
te, ¡3', ángulo de aberración prin- 
cipal de los dos sistemas , que de- 
signaremos con la letra a. En la 
figura 211 se representa este ca- 
so. Los observadores del sistema 
S' pueden, para hallar dicho án- 
gulo, medir la distancia O'M' y la abscisa x f de la man- 
cha M\ Si de acuerdo a sus relojes ha transcurrido un 
tiempo t f en el pasaje de la luz de O' a M', por la cons- 
tancia de la velocidad de la luz, deberá ser: 

O'M' = c t'. 

Si la velocidad relativa con que se desplazan ambos 
sistemas es v , será también: 

x' — — v V 

De acuerdo con esto, se tendrá : 

, v 
sen = — — 
c 



Fig. 211. 



486 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


Análogamente, en el caso de ser = 0 se obtendría 
(fig. 212) : 

v 

• sen a = — • 
c 

En la teoría clásica, en cambio, si la luz se propaga en 
el éter perpendicularmente a la velocidad relativa , el án- 
gulo de aberración a es, como vimos, 

4 - V 

t g „= -• 

En cambio, en la misma teoría clá- 
sica, si la luz se propaga perpendicu- 
larmente a la velocidad relativa en 
el sistema en movimiento con respec- 
to al éter (o sea dentro del vagón 
del ejemplo) el ángulo de aberración 
a', para el sistema fijo al éter, será 

, v 

sen a = — > 

c 

como se comprende inmediatamente 
haciendo la figura correspondiente. No hay simetría en- 
tre los dos sistemas, éter y vagón en nuestro caso, porque 
ambos no son equivalentes. Ésta es la diferencia esencial 
entre la teoría clásica y la relativista. 



Deducción de las fórmulas de transformación de Lorentz, 
basándose en la aberración de la luz 

Consideremos que una onda plana se propaga en el 
sistema S' teniendo los rayos la dirección y el sentido del 
eje de las y ' (fig. 213). Suponiendo que en el instante 
í' = 0 la onda pasa por el origen, la ecuación del plano 
de la superficie de onda será, simplemente: 


y' = ct' 


[ 1 ] 



DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 487 


En el sistema S, los rayos formarán con el eje de las y 
un ángulo <*, y la ecuación del plano de la superficie de 
onda que se propaga en este sistema será : 

x sen a + y eos a = ct, [2] 

si la onda pasó en el instante cero por el origen O. Se 
comprende, por simples razones de simetría, que las me- 
didas de longitud correspondientes a ambos sistemas coin- 



cidirán cuando ellas se refieran a puntos situados en un 
plano perpendicular a la velocidad relativa. Ya había- 
mos hecho notar, además, que dos sucesos simultáneos 
respecto a un sistema, que ocurren en uno de esos planos, 
son también simultáneos respecto al otro. Podremos, pues, 
poner : 

y ' = y; y también: z 9 = z. [3] 

Reemplazando el valor de y ' dado por [1] en [2], ob- 
tenemos : 

* x 

t — — sen ol 
c 


V = 


eos a 


[4] 



488 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 

Supongamos, ahora, que en el instante en que ambos 
orígenes, O 0\ coincidían, un rayo de luz comenzó a pro- 
pagarse a lo largo del eje de las x. En esta dirección no 
se produce aberración, por lo que el rayo coincide con 
los ejes x y x'. Respecto a ambos sistemas, se propaga 
con la velocidad c, por lo cual será: 

x — ct; x' = c t/. [5] 


Multiplicando ambos miembros de [4] por c, teniendo 
en cuenta [5] , se obtiene : 


C9] 


, x — sen a 

'Y*' 

eos a 


Recordando que: 

v — 

sen a = — ; eos a = V 1 — sen- a 
c 



las [6] y [4] se transforman en seguida en: 



Tenemos así las conocidas fórmulas de transforma- 
ción de Lorentz, que permiten pasar de las medidas efec- 
tuadas en el sistema S a las que se realizarían desde S\ 
Despejando de ellas x y t, en función de x' y t', o, tam- 
bién, repitiendo la misma demostración, suponiendo aho- 
ra que la superficie de onda que se propaga en el siste- 
ma S es un plano perpendicular al eje y, se obtendría: 




REPRESENTACIÓN INTUITIVA. “APARIENCIA Y REALIDAD” 


1 SI) 


Representación intuitiva. “Apariencia y realidad” 


No es mi propósito analizar aquí detalladamente el 
contenido y signidicado de las fórmulas [8] y [9]. Me 
limitaré a dar una representación que juzgo será de gran 
utilidad en la enseñanza. De dichas fórmulas se despren- 
de que si desde el sistema S se mide la longitud de una 
regla, situada por ejemplo, en S' y orientada en el sen- 
tido de la velocidad relativa, el valor l que arrojará la 
medida estará vinculado al l' y longitud medida por los 
observadores de S ' por la 
relación 


l - V 


1 — 


v- 


o, lo que es lo mismo, intro- 
duciendo el ángulo de abe- 
rración de los dos sistemas : 

7 T/ / Contracción \ 

l = V eos «. , , 

\ del espacio / 

[ 10 ] 



x 1 


Para deducir esta fórmula, basta hacer en la primera 
de las [8] t = constante (¡la medida se efectúa desde S!), 

¡/\ x 

con la cual, A x' = — , y haciendo A x = l, y A x f = V, 

COS - a 

se obtiene el resultado mencionado. 

Se trata de la célebre contracción de Fitzgerald y 
Lorentz. De acuerdo con ella, si la velocidad relativa de 
dos sistemas fuera tan grande que el ángulo de aberra- 
ción de los mismos’ alcanzara a valer 60°, desde uno de 
ellos se vería a todos los cuerpos del otro aplastados, y 
reducidas sus dimensiones a la mitad en el sentido del 
movimiento. 

Una regla de 1 m la veríamos en su verdadero tamaño 
cuando estuviera colocada en dirección normal a la veloci- 



490 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


dad; pero si aquélla girara 90°, hasta coincidir con la 
dirección del movimiento relativo, observaríamos que se 
va acortando, hasta reducirse a la mitad. Naturalmente 
que el efecto es recíproco: desde S se ven achatados los 
cuerpos de S'; desde S' se ven también achatados los cuer- 
pos de S. Si desde S' se mide una regla situada en S, ha- 
brá que hacer que los extremos de ésta coincidan simultá- 



neamente , para S\ con dos puntos de la regla de medida 
de este último sistema. Deberá ser, pues, V = constante, 

A x' 

obteniéndose así de la primera de las [9] A x = > 

eos a 


o sea: 


V = l eos a : 


No se trata, aquí, de la clase de relatividad a que se 
refieren los famosos cuentos de Gulliver, cuando éste apa- 
recía como enano en el país de los gigantes, y como gi- 



REPRESENTACIÓN INTUITIVA. “APARIENCIA Y REALIDAD” 


491 


gante en el de los enanos. Mucho más fantástico hubiera 
sido que los gigantes se consideraran enanos frente a él, 
y él gigante en comparación con aquéllos. Esto último 
es, justamente, lo que pasa en la teoría de la relatividad, 
y se comprende sin más trámite observando la figura 214. 
Las dos rectas forman entre sí un ángulo igual al de 
aberración, y las cosas ocurren como si las medidas efec- 
tuadas desde un sistema correspondieran a una simple 
proyección de las del otro. 

Con el tiempo ocurre algo análogo, pero en sentido 
inverso: en lugar de contraerse, se dilata. Para x' = o, 
resulta, en efecto (por [9] ) : 

v 

eos a ’ 


en tanto que de [8] , para x = o, resulta : 

t' = — — ■ 

COS a 

La representación gráfica correspondiente se indica 
en la figura 215, donde la proyección se efectúa a la in- 
versa. Esta clase de rela- 
tividad es la que ocurre 
en el plano psíquico : en- 
tre políticos opositores, 
virtudes y defectos se 
contraen y dilatan de 
modo recíproco. ¡Cuán- 
to más tolerantes sería- 
mos si dispusiéramos, en estos casos, de fórmulas análo- 
gas a las de Lorentz, conociendo el ángulo de aberración 
de los dos sistemas! 

Pero, sin salir del plano físico, pueden encontrarse 
ejemplos correspondientes a esta clase de relatividad. En 
la figura 216, los ojos de dos observadores se miran a 
través de un lente convergente, y ambos se atribuyen, 





492 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


recíprocamente, ojos monstruosamente grandes. Con un 
lente divergente, en cambio, se contraerían. Si bajo la 
sugestión de estos ejemplos pensáramos que tanto la re- 
latividad del espacio como la del tiempo se reducen a 
puras apariencias , debidas a la aberración de la luz, 
habríamos dejado de entender lo que es fundamental en 
la teoría de la relatividad. No, no se trata de apariencias . 
Se trata del espacio y del tiempo real, del espacio y del 
tiempo que exploramos y medimos con reglas y relojes. 
Si detrás de estas medidas siguiéramos buscando el 
“tiempo absoluto” y el “espacio absoluto”, cometeríamos 
el mismo error de los que afirman que la “temperatura” 
es algo que no se puede medir. En mi experiencia docente 
encontré siempre que las dificultades que se oponen a la 
comprensión de algunos capítulos de la Física teórica 
moderna (y aún de otros de la clásica) tienen sus raíces 
en prejuicios de orden filosófico. Los que creen que la 
Física va buscando la “cosa en sí”, es lógico que piensen 
en el “tiempo en sí”, en el “espacio en sí” o en la “tempe- 
ratura en sí”. Lo más que pueden aparecer son invarian- 
tes, que ni el sentido común ni el “sentido filosófico” 
— éste, menos aún — , son capaces de descubrir. 

Espero que en otras partes de este mismo libro, ya 
que han sido incluidas con ese objeto, el lector encontrará 
la manera de abatir aquellos prejuicios, para poder en- 
trar, sin ellos, por los claros y amplios senderos de la 
Física de nuestros días. 


Representación gráfica 1 

Creemos que ha de ser de suma utilidad en la ense- 
ñanza la representación siguiente: Si la velocidad rela- 
tiva de los sistemas S y S' es v, el ángulo de aberración 


J Puede consultarse al respecto: Loedel Palumbo, Enrique , 
Aberración Y relatividad, en Anales de la Sociedad Científica Ar- 
gentina , Tomo CXLV, pág. 3, 1948. 



REPRESENTACIÓN GRÁFICA 


4íi;t 


principal de los mismos está dado, como hemos visto, por 
la relación 

v 

sen a = 

c 


Siendo la dirección de la velocidad relativa coinci- 
dente con la dé los ejes x y x' de ambos sistemas, elegire- 
mos para S un siste- 


ma de coordenadas 
tal, que x forme con 
el eje del tiempo un 
ángulo : 


4- Xt = — + a. 


Estando el tiempo 
medido por el trayec- 
to de la luz, resulta 
más simple tomar en 
las ordenadas, en el 
eje del tiempo, el es- 


u=ct 



pació que la luz recorre en un intervalo dado; en otros 
términos: elegimos en lugar de t la variable 


u — ct. 


De este modo, un rayo de luz que se propaga en el 
sentido de las x positivas, y que pasa por el origen O en 
el instante cero, estará representado por la bisectriz b 
(fig. 217) de los ejes x y u, pues siendo así, para cual- 
quiera de los puntos de esta recta vale: 

x = u = ct. 

Para la otra bisectriz b' del mismo ángulo, se cumple: 
X = — u = — ct. 

La bisectriz b' representa entonces un rayo de luz que 
se propaga en el sentido de las x negativas, y que pasa 



494 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


por el origen en el instante t = 0. Un punto P en reposo 
sobre el eje de las x, se representa por una recta paralela 
al eje del tiempo u. Las rectas paralelas al eje x , tal co- 
mo la r, representan los acontecimientos que ocurren 
simultáneamente a lo largo del eje x en el instante 


ti = 


Ui 

c 


Una recta tal como la O A, que forma con el ‘eje u 
cierto ángulo 0, representa un punto que se mueve sobre 
el eje de las x con cierta velocidad V, y que pasó por el 
origen en el instante t = 0. El punto A de esa recta nos 

O B 

dice que el punto móvil pasó por C en el instante t = ■ 

G 

Si llamamos, para generalizar, *> al ángulo que for- 
man los ejes x y u, el ángulo BAO será igual a <* — 0, 
por lo cual, considerando el triángulo que tiene esos mis- 
mos vértices, puede establecerse: 

B A __ sen 0 
BO sen (o — 9) 


Siendo B A = x = V t y B O = u = ct, se tiene : 


sen 9 


V 


c sen («• — 0) 


Si en particular consideramos 0 = a y o 
resulta : 

V v 


+ 


sen a '■= 


El movimiento del origen O' del sistema S\ que se 
mueve respecto a S con la velocidad v, estará entonces 
representado en el sistema S por la recta u f (fig. 221), 
que resulta ser perpendicular al eje x. Pero el punto O' 
está en reposo con respecto al sistema S\ Elegiremos, 



REPRESENTACIÓN GRÁFICA 


495 


pues, a esta recta u' como eje del tiempo de dicho sistema, 
haciendo 

u' = ct' . 

En cuanto a la dirección del eje x', basta observar 
que, debiendo la luz propagarse con igual velocidad en 
ambos sistemas, la recta b tendrá que seguir siendo bi- 
sectriz del ángulo u’ O x'. Queda así determinada la di- 
rección de este eje. La recta u, que forma con la v! el 
ángulo a, representa el movimiento del origen O con ve- 
locidad v en el sentido negativo del eje x'. 

En cuanto a los de- 
más ejes de referencia 
de ambos sistemas de 
coordenadas, pueden 
imaginarse al y e y' per- 
pendiculares en O al 
plano x u, que coincide 
con el x ' u'. En el espa- 
cio de tres dimensiones 
no tenemos lugar para 
los ejes z y z'; los ubi- 
camos, entonces, en una 
cuarta dimensión. Pero 
nada de esto nos preocupará a nosotros por el momento, 
ya que nos limitaremos a ver lo que pasa en el plano en 
que yacen los ejes x, u y x', u'. Un punto P de este plano, 
representa un acontecimiento que, para el sistema S, se 
produce en un punto del eje x, de abscisa igual a x, y en 

Ib 

el instante t = — 
c 

El mismo acontecimiento se produce, para el sistema 

v/ 

S', en un punto de abscisa x' y en el instante t' = 

c 

En la forma que han sido tomados los ejes de ambos sis- 
temas, resulta que x' es perpendicular a u, y «' perpendicu- 
lar a x, por lo cual basta observar la figura para estable- 
cer : 




496 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


x' eos a + u sen « = x; 

y 

u' eos a + x sen a = u; 
de los cuales se obtiene en seguida: 


y 


x/ 


x — u sen « 
eos a 


, u — x sen « 

u' = 

eos a 


ti] 

[ 2 ] 

[3] 

[4] 


Estas fórmulas, que permiten pasar de uno a otro 
sistema de coordenadas, son simplemente las ecuaciones 
de transformación de Lorentz, pues no olvidemos que: 


sen a 


— ; u = ct; y u' = c t\ 
c 


Si hallamos x y u en función de x f y u' y se obtiene: 


x' + u' sen « 

y 

[5] 

eos « 

u f + x f sen a 

COS a 

l 1 

i — i 


Con esta representación, resulta ahora un juego de 
niños interpretar los resultados más importantes de la 
teoría de la relatividad \ 


1 Si en la conocida representación de Minkowski, con tiempo 
real, se elige un par cualesquiera de sistemas de coordenadas, ha- 
brá que utilizar, en general, en cada uno de ellos, unidades diferen- 
tes de medida. El hecho de que en el mismo dibujo deban emplearse 
para cada sistema unidades distintas, hace imposible efectuar una 
comparación visual entre los mismos. Pero los infinitos sistemas 
de coordenadas de la representación de Minkowski pueden ser agru- 
pados por pares, en los cuales se utiliza la misma unidad. Las cu- 
plas de sistemas que cumplen esta condición son justamente aque- 
llas cuyos ejes x x' y u u ' forman entre sí un ángulo igual al lla- 
mado, por nosotros, ángulo de aberración principal. Éste es el se- 
creto de la gran simplificación que se logra en la representación 
que estamos explicando. 



REPRESENTACIÓN GRÁFICA 


-i;< v 


En la figura 219 se ha supuesto, lo mismo que en las 


figuras 214 y 215, eos a 


3 

5 


siendo en consecuencia 


sen a 


4 

5' 


lo que significa que v 


4 

- - c, o sea: v = 
5 


240 000 


km 

seg 


En ella, la franja rayada paralelamente 


UrrCt' 



al eje x\ representa un segmento (una regla) fijo en 
el sistema S' de longitud, igual a 5 unidades. Este seg- 
mento (esta regla) se mueve, respecto a S, con la ve- 
locidad v. Los puntos A' y B' significan que en el ins- 
tante t' = 0 ambos extremos de la regla se encuen- 
tran en puntos tales, que x' = 5 (para A’) y x' = 10 
(para B'). Pero A' y B', simultáneos respecto a S', no 
lo son respecto a 5. Para este sistema, en el instante 
í = 0 se encontraban simultáneamente ambos extremos 
en los puntos x = 3 y x = 6. La otra franja, rayada pa- 


23 



498 LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 

ralelamente al eje x, representa una regla fija en S, etc., 
etc. 

Se comparan también, en la misma figura, la marcha 
de dos relojes: el uno fijo en O', y el otro fijo en O. Para 
los observadores del sistema S, el reloj de 0' se desplaza 
con la velocidad v. Para estos observadores, en el instan- 
te en que el reloj propio marca 25 seg, el otro, el que 
está en movimiento respecto a ellos, marca sólo 15 seg; 
cuando el propio marque 50, el otro indicará 30; y así 
siguiendo. Concluyen: los relojes de S' marchan despa- 
cio. Podrían agregar, todavía: ¡Qué felices los habitan- 
tes del sistema S'\ Aquí, casi nadie llega a cumplir 100 
años, y cuando eso ocurre, se trata de viejos achacosos e 
inútiles, en tanto que allí, en S' un hombre que nació 
hace 100 años, de acuerdo a nuestro calendario, tiene sólo 
60, y lo vemos todavía ágil y robusto. 

¿Qué dicen los observadores de S"? Exactamente lo 
mismo. Para ellos, son los relojes de S los que marchan 
despacio, y son los habitantes de ese sistema los que 
alcanzan a vivir, ágiles y robustos, hasta los 100 años. 


Aberración mecánica y óptica 


No olvide el lector que todo lo que venimos diciendo 
en este capítulo, a propósito de la aberración de la luz 
y de la teoría de la relatividad, tiene por principal objeto 
mostrar en qué consiste el tratamiento de un asunto de 
Física superior en forma “ elemental ”. Muchos autores, al 
referirse al problema de la aberración, hablan en tono 
que parece ser despectivo de la “explicación elemental” f 
de la “explicación balístico” del fenómeno, dando a enten- 
der que la “explicación superior”, dada por ellos, no tiene 
nada que ver con aquélla. Pero la explicación es siempre 
la misma; lo único que cambia es el ropaje. Es más, aún: 
probaremos, a continuación, que la aberración de la luz 
es sólo un caso particularísimo del problema mecánico de 



ABERRACIÓN MECÁNICA Y ÓPTICA 


499 


la composición de dos movimientos. Trataremos la cues- 
tión desde el punto de vista relativista y clásico. 

Consideremos, para ello, los dos sistemas, S y S', con 


sus ejes dispuestos en la forma habitual. En el sistema S, 
un “punto” se desplaza rectilíneamente con la velocidad 
V, que f.orma con el eje de las x el ángulo#. La proyec- 
ción del vector V sobre el plano z y forma, con el eje y, 
un ángulo y. Si el punto pasa en el intante t = 0 por el 
origen, se tendrá: 

x = V t eos 9 ; 

[1] 

y = V t sen 9 eos 

[2] 

z = V t sen 9 sen <¡>. 

[3] 

Llamemos W a la velocidad del punto en 
yectoria, en dicho sistema, será también una 
tanto las ecuaciones de Lorentz como las de 
lineales. Tendremos, así : 

S'. La tra- 
recta, pues 
Galileo son 

x' = W t' eos 6 

[4] 

y' = W t' sen 9' eos 

[5] 

z' = W t' sen 9' sen /. 

[ 6 ] 

Las ecuaciones de Lorentz: 

[7] 



nos permitirán hallar 9' y / en función de 9 y <p, para 
cualquier valor de V. En particular, si es V = c, tendre- 
mos que obtener W = c y las fórmulas generales de la 
aberración óptica. Dividiendo [6] por [5], y [3] por 
[2], resulta: 



500 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


tg <p' = 




De donde, por [7] : 

/ = ?• 


[8] 


Esta fórmula significa que el azimut se conserva, o 
sea, que el vector V/ se encuentra en el mismo plano que 
forma V con x, ya que x y x f coinciden. 

De [4] aplicando [7], se obtiene: 


W eos 6' = 


x' 

t 7 


X V t 



Dividiendo por t numerador y denominador, y tenien- 
do en cuenta la [1], resulta: 


W eos 


V eos 6 

V X 

c :i 


1 


V 

eos $ 


[9] 


Análogamente : 


W sen 0' = 



[ 10 ] 


Tenemos así el teorema de la adición de velocidades 
en la mecánica relativista, para cualquier caso. Si estu- 
viéramos haciendo cinemática de la relatividad, hubiéra- 
mos debido comenzar, naturalmente, por considerar ca- 
sos particulares antes de tratar el problema general. Pero 
ya que encontramos esto en nuestro camino, observemos 
que si hacemos 6 = 0 (el punto se mueve en la dirección 
de las x positivas), resulta por [10] 6 = 0, obteniéndose 
de [9], como caso particular: 



ABERRACIÓN MECÁNICA Y ÓPTICA 


50 ! 



V — 1t 
_ v V ' 
c r 


Si invertimos el sentido de la velocidad relativa, re- 
sultará : 


W = 


V + v 

T+ * Z 

Cr 


[ii] 


que es la conocida expresión del célebre teorema de Eins- 
tein. Cuadrando y sumando [9] y [10], se obtiene: 


V- v- 

V- — 2V v eos 6 + v- , - sen 2 9 

— • !- 12 3 

4 -. 2 - eos 9)-- 

C 


que permite hallar el módulo de la velocidad resultante 
en cualquier caso. 

En particular, si F = c (se trata ahora de la velocidad 
de la luz), so obtiene de [12], como es natural: 


W = C (para V = c). [13] 

El ángulo 9' del fenómeno de “aberración mecánica” 
se obtiene de [9], [10] y [12] : 


eos 9' 


V eos 0 — v 


v V 

W (1— J eos 0) 


[14] 


sen 9' = 


V sen 9 1 — V ~- 

V V 

W (1— --- eos 9) 

c ¿ 


[15] 



502 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


Para la aberración óptica, basta hacer W = c y V = c 
de acuerdo a [13], obteniéndose, así: 


eos 0' 


„ v 

eos 9 — — 
c 

1 eos 0 

c 


[ 16 ] 


sen 



[17] 


Lo que precede, así como lo concerniente al efecto 
Doppler y otras cuestiones de mecánica relativista, pue- 
den resolverse gráficamente utilizando la representación 
explicada en el párrafo anterior. 

Para tratar el problema desde el punto de vista clási- 
co, habrá que emplear, en lugar del grupo de transfor- 
mación de Lorentz [7], el de Galileo: 

x' — x — v t; y' = y; z' = z; t’ = t. [18] 


Procediendo en forma enteramente análoga, se 
ne, además de la [8], que subsiste, lo siguiente: 

W- = V- — 2 V v eos 9 + v- 


cos 6' 


V eos 6 — v 

_____ . 


sen 6' 


V sen 9 

VT 


obtie- 

[19] 

[ 20 ] 


Estas serían las fórmulas de la “aberración mecánica” 
en la física clásica. Para la aberración óptica habría que 
considerar que el sistema S es el “éter en reposo”, y en 
él, V = c. La velocidad de la luz en S' resultaría variable, 
dependiente de la dirección, y estaría dada por la [19] si 
se reemplaza en ella V por c. Lo mismo habría que hacer 
en la [20] para obtener la “aberración óptica con res- 
pecto al éter en reposo”. 



ABERRACIÓN MECÁNICA Y ÓPTICA 


503 


Es interesante observar que la explicación balística 
clásica da cuenta del resultado negativo del experimento 
de Airy. Este astrónomo, en 1871 midió el ángulo de 
aberración, utilizando un anteojo que llenaba con agua. 
Se pensaba que, siendo la velocidad de la luz, en un medio 


de índice de refracción n, igual a 


c 

n 


para la constante 



Fig. 220. 


de aberración se tendría que obtener, procediendo de 
aquella manera, un valor n veces mayor. Se obtuvo siem- 
pre, sin embargo, el mismo valor, siendo indiferente ' la 
substancia con que se llenara el tubo. 

Este resultado, considerado en su hora extraño e in- 
explicable, es, no obstante, una consecuencia inmediata 
del principio de relativi- 
dad. Para comprenderlo 
recurramos de nuevo a 
nuestro vagón (fig. 220), 
que haremos balear des- — 
de un costado del cami- 
no. La bala que entra, — 
por A recorre, con res- 
pecto al vagón, el tra- 
yecto A C . Pero, por el 

principio de relatividad de Galilea , todo sucede en su in- 
terior como si se encontrara en reposo. A consecuencia 
de ello, si colocáramos un tubo T que frenara a la bala 
(al tener que perforar ésta la tapa S) f la trayectoria, res- 
pecto al vagón, seguiría siendo A C. El resultado negativo 
del experimento de Airy puede interpretarse, entonces, 
como una prueba de que el principio de relatividad de 
Galileo es válido también en el dominio de la óptica. El 
principio sigue siendo el mismo, lo que cambia son las 
fórmulas de transformación. Si se usaran las [18], se ob- 
tendría, por [19], para la luz una velocidad que depen- 
dería de la dirección y también de la velocidad de la fuen- 
te, lo que está en desacuerdo con la experiencia. 

Para entender ahora cómo Airy y sus contemporá- 
neos se asombraron ante el resultado negativo de las ob- 




504 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


servaciones, habría que retornar al “éter en reposo”, pero 
juzgamos preferible dejarlo descansar en paz. 


La aberración astronómica y los sistemas de referencia 

Muchos estudiantes creen que todo consiste en llegar 
a la fórmula final, pensando que las dificultades terminan 
simultáneamente con la demostración. En la mayoría de 
loa casos, aquéllas comienzan recién entonces. 

Un magnífico ejemplo de lo que precede lo tenemos en 
el tema que estamos considerando. En el párrafo prece- 
dente hemos deducido las fórmulas generales de la abe- 
rración de la luz, tanto en la teoría relativista como en 
la clásica. Para el caso de la aberración astronómica, en 
que la velocidad de traslación de la Tierra es pequeña, 
en comparación con la de la luz, los dos grupos de fórmu- 
las coinciden prácticamente. Un análisis superficial po- 
dría hacer creer, entonces, que el problema está totalmen- 
te terminado. Sin embargo, muchas cosas deben ser to- 
davía aclaradas. Prestigiosos físicos ( Leñar d, Tomas- 
chek, Kopff, etc.), han hecho valer argumentos, por su- 
puesto nada triviales, en contra de la interpretación re- 
lativista. No podemos suponer que ellos no han compren- 
dido la deducción matemática de las fórmulas cuya de- 
mostración, hecha de uno u otro modo, se encuentra en 
cualquier libro algo superior, que trate de la teoría de 
la relatividad. 

Ante todo, tengamos presente que en la interpretación 
del fenómeno de la aberración que hemos dado en este 
capítulo, consideramos siempre dos sistemas de referen- 
cia independientes de la fuente luminosa. 

Respecto a uno de ellos, un rayo de luz forma, con uno 
de los ejes, el ángulo «; respecto al otro, con el eje para- 
lelo al primero, el ángulo <*'. Dado « y la velocidad rela- 
tiva, queda determinado d , cualquiera sea la fuente lu- 
minosa. En el experimento de Fizeau, uno de los siste- 
mas está constituido por las paredes del laboratorio, el 



LA ABERRACIÓN ASTRONÓMICA Y LOS SISTEMAS I)E REFERENCIA 505 


otro, por la rueda en movimiento. La fuente luminosa 
puede ser cualquiera: una estrella, cohetes luminosos en 
rápido movimiento, etc. El resultado es siempre el mis- 
mo. En todo esto no hay ningún desacuerdo; la aberra- 
ción depende siempre, únicamente, de la velocidad rela- 
tiva de los sistemas. En uno de ellos puede estar fija la 
fuente luminosa (en el experimento de Fizeau, la lám- 
para respecto a las paredes del laboratorio), dependiendo 
entonces la aberración de la velo- 
cidad relativa del observador (en , 
nuestro ejemplo, la rueda) con res- 
pecto a la fuente. Tratándose de 
las estrellas, el ángulo de aberra- 
ción dependerá, entonces, en cada 
caso, y para cada una de ellas, de 
la velocidad relativa de la Tierra 
respecto a la misma. Esto es evi- 
dentemente cierto. Negarlo sería 
negar la teoría de la relatividad. 

Pero mucho cuidado, ajiora, con lo 
que parece ser consecuencia lógica 
de lo que precede: “Si el ángulo 
de aberración depende de la velo- 
cidad relativa de la Tierra respec- 
to a cada estrella, teniendo éstas 
velocidades propias variadas y dis- 
tintas, la aberración tendría que 
ser también variable de estrella a 

estrella, y no constante, como muestra la observación”. 
Se agrega, todavía: “En un sistema formado por un par 
de estrellas, éstas tienen velocidades opuestas; tendrían 
que resultar valores diferentes de la aberración, y esto 
no sucede”. 



Filar- 2^ 


Algunos autores han considerado el caso de una estre- 
lla, constituyente de un par, que se moviera con la misma 
fase que la Tierra : en todo momento su velocidad relativa 
es nula, no obstante lo cual la aberración se observa en 
ella como en cualquier otra. Podríamos agregar, todavía, 



506 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


la siguiente “objeción”, que no sabemos si ha sido formu- 
lada o no: “Si la aberración depende de la velocidad re- 
lativa entre el observador y la fuente, tendremos que 
considerar, en el caso de una estrella determinada, no una 
fuente luminosa, sino millones y millones de fuentes, que 
se mueven en todas direcciones y con velocidades varia- 
bles, ya que la luz que recibimos proviene de los átomos 
de la atmósfera estelar. Para cada uno de ellos resultaría 
un ángulo de aberración diferente (esto es cierto) y, en 
consecuencia (?), tendríamos que ver a todas las estre- 
llas con un diámetro aparente, que debería ser tanto ma- 
yor cuanto mayor fuera su temperatura”. 

Si el estudio de la Física resulta apasionante, es jus- 
tamente porque a cada paso presenta problemas como 
éstos. 

Cierta parte de los argumentos precedentes provienen 
de la confusión que se origina al usar el mismo término, 
aberración , algunas veces con la significación de aberra- 
ción relativa entre dos sistemas , y otra como aberración 
astronómica . 

Consideremos (fig. 221) que en el sistema S se en- 
cuentre el observador y la estrella E u fija con respecto 
al mismo. Alrededor de E x giren las estrellas E 2 y E->. 
El sistema de coordenadas fijo a E 2 sea S el fijo a E. u S". 
Al pasar Z? 2 por la posición indicada en la figura, emite 
luz en todas direcciones. De esos rayos, llega a O uno 
que tiene la dirección del eje y: el R 2 - ¿Qué ángulo forma 
con el eje y' del sistema S' ese mismo rayo? Si la velei- 
dad de S' respecto a S, en el momento de la emisión, fuera 
igual a v, se cumpliría : 

sen «•» = * 

c 

En cambio, el rayo emitido por la estrella en E Zi y que 
llega a O en la dirección del eje y, debe formar, con res- 
pecto al eje y”, un ángulo tal que.: 



LA ABERRACIÓN ASTRONÓMICA Y LOS SISTEMAS DE REFERENCIA 507 


No tiene esto nada de extraño: cualquier aviador de 
la pasada guerra lo comprendería en seguida. Si O es el 
blanco, y el avión se mueve con la velocidad v 2 , el cañón 
tendrá que apuntar en la dirección R ' 2 . 

Se trata, simplemente, de la regla del paralelogramo. 
En el caso de la luz, el valor , el módulo de la velocidad, 
no depende de la velocidad de la fuente; pero la dirección 
del rayo sí depende de la velocidad relativa. Es ése, jus- 
tamente, el fenómeno de aberración. Claro está que el 
observador de O no nota absolutamente nada: al cabo del 
tiempo que tardó la luz en propagarse de E 2 a O, verá a 
la estrella en la posición E<¿. Vemos a las estrellas en los 
lugares en que se encontraban en el momento de emitir 
la luz. Los argumentos precedentes inducían a pensar, 
falsamente, que aquéllas debían verse en las direcciones 
r-j y r 3 . En cuanto a la estrella E u la luz que de ella re- 
cibimos, en la dirección del eje y, proviene, efectivamente, 
de átomos que se mueven en todas direcciones, y se ten- 
drá, para cada sistema ligado a cada uno de ellos, un án- 
gulo de aberración diferente, pero no por ello dejaremos 
de verla como un punto. 

Supongamos, ahora, que el sistema S del observador 
se traslada con movimiento uniforme respecto a la es- 
trella Ex. Se modificarán los ángulos <* 2 y <*3, y la luz que 
recibimos de E x formará con el eje y un ángulo diferente 
del que forme con el eje homólogo del sistema vinculado 
a la estrella. Pero en todos los casos, seguiremos viendo 
a cada estrella en el lugar (determinado por las coorde- 
nadas del sistema del observador) en que se encontraba 
al emitir la luz que de ellas recibimos. Y con todo esto, 
no habría aberración astronómica: los infinitos ángulos 
de aberración, correspondientes a los pares de sistemas 
formados por el del observador y cada uno de los átomos 
de las atmósferas estelares, permanecerían incógnitos. 
Para que el fenómeno se produzca, como se produce, es 
necesario que haya un cambio en la velocidad. 

Pero ahora interesa saber si es igual que el cambio 
lo experimente el observador o la fuente. Un cambio de 



508 


LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA EN LOS TRES CICLOS 


velocidad implica una aceleración, y sólo son equivalentes, 
en el sentido de la relatividad restringida, los sistemas 
que se trasladan, unos respecto de otros, con movimiento 
rectilíneo y uniforme. En nuestro exagerado ejemplo de 
la página 470 se observan elipses enormes de aberra- 
ción, pero también era enorme el valor de la aceleración 
centrípeta. 

Es evidente que si supusiéramos que es una estrella la 
que gira en las condiciones de aquel observador, no apa- 
recería aberración alguna. La aberración astronómica 
prueba, entonces, que es la Tierra y no las estrellas la 
que experimenta cambios en la velocidad. El ángulo de 
aberración es una función de la velocidad relativa, pero 
el fenómeno de la aberración astronómica depende única 
y exclusivamente del movimiento acelerado del observa- 
dor . Sea S un sistema inercial; por ejemplo, el sistema 
de las estrellas fijas de la mecánica clásica. Supongamos 
otro sistema S' que cumpla, con respecto al primero, el 
movimiento : 

x = A sen a» t . 


En el sistema S se encuentra una estrella (o un foco 
luminoso lejano) que envía luz en la dirección del eje y . 
Si en S' se encuentra un observador, verá a la estrella 
cumplir el movimiento angular : 

v A o» 

a = • — — COS o) t . 

c c 


La amplitud de este movimiento es 



indepen- 


diente de la distancia d a que se encuentra el foco lumi- 
noso (prescindiendo de la paralaje). En cambio, si fuera 
éste el que tuviera aquel movimiento, la amplitud an- 

A 

guiar observable valdría — . Si suponemos que ambos, 


estrella y observador, se mueven, lo único que ocurre es 
que los dos efectos se superponen. Puede una estrella 



FÍSICA SUPERIOR EN FORMA ELEMENTAL 


50Í) 


moverse en igualdad de fase que la Tierra; la aberración 
astronómica se observará para ella igual que para las 
demás. 

Puede llamar la atención que, tratando un problema 
dentro del marco de la teoría de la relatividad, haya que 
apelar al sistema inercial de referencia de la mecánica 
clásica. Al mismo sistema habría que recurrir para ex- 
plicar muchísimas otras cosas: el experimento del pén- 
dulo de Foucault, por ejemplo. Es que estamos todavía 
dentro de la relatividad restringida, la que hace equiva- 
lentes entre sí sólo a los sistemas en traslación rectilínea 
y uniforme. 

Para concederle a los observadores, tales como el de S' 
de nuestro último ejemplo, el derecho a considerarse en 
reposo, si así lo desean, Einstein extendió, en 1914, su 
teoría de la relatividad a los movimientos acelerados. 
Demasiado lejos nos llevaría entrar ahora a explicar esta 
segunda revolución, que hizo que imperara en la Física, 
desde entonces, una total y absoluta democracia entre los 
sistemas. Para referirnos sólo a nuestro ejemplo, dire- 
mos únicamente que si el observador de S' se supone en 
reposo, verá temblar a todo el universo; semejante tem- 
blor es el que origina el campo gravitacional variable, por 
el cual hasta se balancean los rayos de luz. Naturalmente 
que ya éstos no se propagan con velocidad constante, ni 
en línea recta, y la aberración observada se explica ahora 
por las variaciones de la dirección de la tangente a la 
curva que sigue el rayo luminoso. 


Física superior en forma elemental 

Creo que ahora, después del análisis precedente, se 
habrá interpretado bien qué es lo que entiendo cuando 
afirmo que conviene elementalizar en lo posible la ense- 
ñanza de la Física. El subrayar la conveniencia de exa- 
minar casos particulares antes de abordar el problema 
en su totalidad, no significa, en modo alguno, que se me- 



510 


;,a enseñanza dl la física en los tres ciclos 


nosprecien con ello las demostraciones generales. Pero, 
hasta para apreciar la belleza de éstas es necesario y ven- 
tajoso “recorrer a pie” algunos trechos del camino, y al 
regreso detenerse en los mismos lugares que a la ida. 
Volver, después de estar en posesión de la demostración 
general, a extraer de ella, como consecuencia, este y aquel 
caso. 

En el clásico libro del célebre físico Laue (premio No- 
bel) Das Relativitatsprinzrp , se da, en sólo una página y 
pocos renglones más, la teoría general de la aberración, 
con el agregado de que, simultáneamente, se obtiene la 
fórmula, aplicable también a todos los casos, del efecto 
Doppler. Para ello se escribe la ecuación de una onda 
plana, que se propaga en cualquier dirección en el siste- 
ma S. Se aplica la transformación de Lorentz, y se obtie- 
ne todo. El cálculo, que no ofrece ninguna dificultad, 
puede realizarse en menos de una hora. Con ello no se 
logra entender, sin embargo, la teoría del fenómeno. 

En las fórmulas de los dos efectos aparece la misma 
velocidad relativa y, no obstante, uno se esfuma (la abe- 
rración astronómica observable) cuando las variaciones 
de esa velocidad provienen de la fuente. 

Ahora estamos en condiciones de afirmar que consti- 
tuye un grave inconveniente, aunque se llegue a resulta- 
dos aparentemente correctos, el tratar en forma conjunta 
el efecto Doppler y la teoría de la aberración astronómica 
de la luz. Desde el tren giratorio de nuestro ejemplo, 
veríamos a las estrellas, no sólo recorrer aquellas fan- 
tásticas elipses de aberración, sino que, además, obser- 
varíamos en todas ellas, un periódico cambio de color. 
Si fueran éstas, en cambio, las que giraran, subsistiría el 
último efecto, pero habrían desaparecido las elipses. 

Para concluir: elementalizar, analizar, disecar y sa- 
ber, en cada caso, qué es lo que conocemos, y, sobre todo, 
qué es lo que ignoramos. 



INDICE ALFABETICO 


A 

Aberración astronómica y los sis- 
temas de referencia, 504. 

— de la luz, 468 y sig., 483. 

— mecánica y óptica, 498. 

— relativa entre dos siste- 
mas, 506. 

Absorción de la luz, 361. 
Academia del Cimento, 400, 411. 
Acción y reacción, 8, 433. 
Aceleración, 101. 

— angular, 296. 

— de Coriolis, 454, 462. 

— de la gravedad, 24, 106, 
133. 

Acústica, 164. 

Adjetivación científica, 44. 
Aerodinámicas, paradojas, 170. 
Agua, dilatación del, 203. 

— tensión máxima del vapor 
de, 207. 

Aire, expansibilidad del, 183. 

— masa total del, 432. 

— peso del, 185. 

A ir y, 503. 

“Algo más”, 76. 

Alisios, vientos, 454. 

Alumno, 87. 

— el, y la Física, 103. 
Ampére, 370. 

Amplitud de los programas, 403. 
Ángulo de desviación, 223. 

— límite, 219. 

Apariencia y realidad, 78, 489. 


Aplicador, tipo, D3. 

A priori, ilusión del, 6. 

Aptitud matemática, 92, 95. 
Aptitudes y tendencias, 87. 
Aristóteles, 21, 392, 394. 
Arquímedes , 4, 5, 6, 25, 26, 118, 
201, 419. 

Ascensor de Einstein, 434. 
Atmósfera, masa de la, 432. 
Atmosférica, presión, 182, 184. 
Átomos, 74, 79, 80, 84. 

Atwoocl , máquina de, 287, 297. 


B 

Balanza de Mohr, 195. 

— de pesas, 272. 

— de precisión, 193. 

— de resorte, 275. 

— de rotación, 259. 

— de torsión, 248. 

— hidrostátiea, 193. 

Balmer , serie de, 359, 361, 363. 
Bandas, espectros de, 361. 
Barlow, 111. 

Barómetros y termómetros, 412. 
Bergson , 47. 

Beta, partículas, 370. 

Binet, A., 94. 

Bohr , 84, 355, 364, 365. 
Boltzmann, 398. 

Boy l e y Mariotte , ley de, 10, 25, 
35, 185, 421. 

Brackett , serie de, 359. 



512 


ÍNDICE ALFABÉTICO 


Bradley, 468, 469. 

Brewster , ley de, 243. 
Brodhun , 414. 

Bryan, G . H., 302. 

Bunsen, 219, 414. 
Burali-Forti, 330, 333. 
Burros, puente de los, 421. 


C 

Caída, leyes de la, 6, 100, 122- 
129, 132. 

— parábola de, 131. 

— paradoja de la, 166. 

— uor un plano inclinado, 
136, 152-156. 

Calor, 200, 397, 408, 409. 

— específico, 206. 

— y trabajo, 208, 397. 
Calórico, tensión del flúido, 312. 

— teoría del flúido, 310, 397. 
Calorimetría, 205, 206. 

Cámara obscura, 209. 

Caos molecular, 397. 

Capacidad eléctrica, 65. 
Cardioide, 439. 

Caimot, ciclo de, 327. 

Casa, la Física en, 115, 181. 
Catenaria, 178. 

Catenoide, 178. 

Causalidad, 72, 365, 371-388. 
Centro de gravedad, 166. 

Ciclo medio, 456. 

— primario, 453. 

— superior, 466. 

Cinética, teoría, 396. 

Ciausius, 398. 

Coeficiente de restitución, 197. 
Coherente, luz, 449. 

Coito, J., 301, 308, 314. 
Comprobación simple, 28. 

Comte , 88, 111, 417. 

Conceptos primitivos, 45. 
Conceptual, la trama, 43. 
Condensación, 200. 

“Conocer”, 76, 77, 78. 
Conocimientos latentes, 414. 


Contracción de Fitzgerald y Lo- 
rentz, 489. 

Copérnico , 13, 14, 85. 

Coriolis, aceleración de, 454, 462. 
Corriente eléctrica, 250. 
Cosmovisión, 69. 

Coulomb, 245, 404, 431. 

Cuantos, teoría de los, 83, 355- 
365, 373-386. 


D 

D' Alembert, principio de, 279- 
298, 468. 

D aitón, 323. 

Davy, 399. 

De Broglie, L., 379. 

Declinación magnética, 213. 
Decrecimiento logarítmico, 200. 
Deducción, Inducción y, 11, 
Definiciones enunciativas e indi- 
cativas, 45, 60. 

— incorrectas, 65, 66. 
Densidad, 65, 117. 

Descartes, 11, 13, 391, 392. 
Diámetro aparente del Sol, 210. 
Didáctica, experimentación, 20. 
Didácticos, métodos, 2. 

— recursos, 431. 

Difracción, 225. 

— espectros de, 231-234. 

— - redes de, 231-234. 

Dilatación del agua, 203. 

— • de gases, 204. 

— de sólidos, 201. 

Dinámica, 409. 

— principios de la, 8, 58. 
Dinamómetro, 116. 

Dirac, 13. 

Disco estroboscópico, 162. 
Disney, Walt, 434. 

Distribución d e 1 programa e n 
lecciones, 428. 

Don Juan, 108. 

Doppler, 510. 

Dualidad corpuscular ondulato- 
ria, 82, 371-388. 



ÍNDICE ALFABÉTICO 


613 


Dabois Reiymond, 56. 

Duhem , 17. 

Dulong , 312. 

E 

Ebullición, 200. 

Eclíptica, inclinación de la, 212. 
Édwon, 16. 

Einstein, 15, 16, 47, 49, 54, 72, 
77, 351, 354, 367, 371, 
434, 474, 477, 480, 609. 
Elásticos, cuerpos, 197. 
Electrización por influencia, 249. 
Eléfctroestática, 245. 

Electróforo de Volta, 249. 
Electrólisis, 63. 

Electrómetro absoluto, 250. 
Electrones, 372. 

— difracción de, 379. 

— fusil de, 378. 

Electroscopio, 246. 

Elipses, 426. 

— de aberración, 468, 4.71. 
Emisión de la luz, 361. 
Empiristas, realistas y, 16. 
Energía, 137, 414. 

— nuclear, 403. 

Engranaje (mental), 105. 

Entes geométricos y físicos, 48. 
Epistemología, 3. 

Equivalencia entre calor y tra- 
bajo, 397, 414. 

— de Einstein, principio de, 
434. 

Errores de observación, 28, 33, 
128. 

Escala, arbitrariedad de la, 339. 

— logarítmica, 321. 
Esferómetro, 188. 

Espacio, 46, 72, 366, 387. 

— absoluto, 265, 492. 
Espectros de bandas, 361. 

— de difracción, 231, 234. 

— de líneas, 41, 359, 361, 363. 

— solar, 220. 

Espectroscopio, 41. 

Espejo, 214, 215, 221. 


— analizador y polarizador, 
242. 

Estado, cambios de, 200. 
Estática, 116. 

Estroboscópico, disco, 162. 

— método, 160. 

Éter, 81, 84, 366, 473, 478. 
Euclides , 11, 15, 47, 72, 405, 420 
423. 

Evidencia, 12. 

Expansibilidad del aire, 183. 
Experimentación cíclica, 39. 

— didáctica, 20. 

— los modos de la, 21. 
Experimental, material, 38. 
Experimento de Fresnel, 240. 

— de la “A.”, 251. 

— del paraguas, 253. 

— de Young, 238. 
Experimentos ideales, 433. 

— paradojales, 165. 


F 

Fahrenheit , 303, 319, 405. 
Faraday, 86. 

Femando III , 391. 

Física en casa, 115, 181. 

Física y ciencias naturales, 19. 

— las matemáticas y la, 419. 

— nuclear, 369. 

Físicos y químicos, 111. 
Fitzgerald y Lorentz, contracción 

de, 489. 

Fizeau, 468, 471, 473, 480, 604. 
Fotometría, 219. 

Fotómetro, 40, 219. 

Fotones, 72, 81, 82, 354, 380, 384. 
Foucault, 265. 

Franck, Ph 14. 

Fresnel, 84, 240, 406. 

Fuente en el vacío, 184. 

Fuerza centrífuga, 148. 

Fuerzas concurrentes, 118. 

— paralelas, 119. 

Fusión, 44, 200. 

— calor de, 206. 



514 


ÍNDICE ALFABÉTICO 


G 

Galileo , 6, 21, 70, 85, 88, 90, 100, 
208, 265, 281, 391, 394, 
399, 400, 401, 411, 455, 
484. 

Galois , 93. 

Galle , 86. 

Ganot , 352. 

Gans, R., 302. 

Gas ideal, 319. 

Gases, dilatación de, 204. 

Gauss , 92. 

Geissler, tubo de, 41. 

Geometría cartesiana, 421. 

— euclideana, 72, 420, 424. 

— no euclídea, 49, 75, 345, 
369. 

— platónica, 420. 

— y Física, 420. 

Gnomon, método del, 212. 
Gramos locales, 274. 

Gravedad, aceleración de la, 24, 

106, 133. 

— centro de, 166. 

Gravesande , experimento de, 203. 
Gravitacional, campo, 434. 
Guericke , Otto de, 390, 398. 
Gulliver , 490. 


H 

Haas, A., 302. 

Hechos físicos, 20. 

Heisenberg , W 373, 381, 385. 
Helmholz, 398. 

Hemisferios de Magdeburgo, 182. 
Iíertz, .86. 

Heurísticos, métodos, 2. 
Hidrodinámicas, paradojas, 170. 
Hidrostática, 408. 

Hielo, calorímetro de, 204. 
Hierón, 118. 

Higrometría, 207. 

Hipérbolas, 426. 

Historia de la Física en la ense- 
ñanza, 389. 


Hogben , L., 421. 

Hoohe , 11. 

Hume, 874. 

Huygens, 11, 105, 405, 406. 

I 

Ideales, experimentos, 433. 
Imagen física del mundo, 69. 
Imagen virtual, distancia de la, 
215. 

Imaginativo, tipo, 93. 

Imanación, 450. 

Impulso, 141. , 

— rotatorio, 251, 434, 457, 
464. 

Indefinibles, 45. 

Independencia de movimientos, 
8, 130. 

Indeterminación, principio de, 
373-881. 

Indiferente (alumno), 104. 
Inducción, 4. 

— y deducción, 11. 

Inductivo, proceso, 9. 

Inercia, 8. 

— momento de, 152. 

Inercial, sistema, 266, 368, 477. 
Intensidad de corriente, 65. 
Interacción entre el observador 

y lo observado, 379. 
Interés primario y secundario, 
89, 104. 

Interferencia, 237, 238, 449. 
Ionización, 360. 

Isnardi, T., 301, 308, 314, 341. 
Isocronismo, 410. 


J 

Jordán, P., 304. 

Josué , 434. 

Joule , 327, 329, 352, 396, 398. 
Juicios analíticos y sintéticos, 

375. 

— sintéticos a priori, 376, 

376. 



ÍNDICE ALFABÉTICO 


515 


K 

Kant, 371, 374, 375, 386. 

Kelvin, lord, 250, 325. 

— grados, 324. 

Kepler , 9, 15, 24, 404. 

Kirchhoff , 58. 

Kopff, 504. 

L 

Laplace , 34, 173, 178, 377. 
Latitud, medida de la, 212. 
Laue, 510. 

Lavoisier , 34, 111. 

Lecciones, distribución del pro- 
grama en, 428. 

Leibniz, 13. 

Leñará , 504. 

Lentes, 223. 

Leverrier , 86. 

Ley causal, 371 y sig. 

Leyes, contenido implícito de 

las, 7. 

— de equilibrio, 25. 

— triviales, 8. 

— y teoremas, 3. 

Libertad, sistemas con dos gra- 
dos de, 293. 

Lobatchevsky , 49, 420. 

Longitud de onda, 227, 232, 234, 

239. 

Longitudes, medida de, 188. 
Looping the loop , 139. 

Lorentz , fórmulas de, 488. 

Luis XIV , 105, 477. 

Lummer, 414. 

Luz, aberración de la, 468. 

— coherente, 449. 

— emisión y absorción de la, 
361. 

— monocromática, 230. 

— polarización de la, 41, 241. 

— propagación rectilínea de 
la, 213. 

— reflexión de la, 213. 

— velocidad de la, 54, 55, 368, 
477, 478. 

Lyman , serie de, 35-9, 361, 363. 


LL 

Lloyd , 240. 


M 

Mach, 17, 7JL 85, 342, 343, 344, 
414. 

Magdeburgo, hemisferios de, 182. 
Magnetismo y electricidad, 245. 
Magnitud, 330. 

Magnitudes derivadas, 64. 

— no sensoriogenéticas, 60. 

— observables, 81. 

— sensoriogenéticas, 56. 

— suma de, 332. 

Máquina neumática, 182, 390. 
Mareas, 52. 

Mariotte, ley de, ver: Boyle . 
Masa, 8, 58, 65, 139, 267-279. 
Matemática y Física, 419 y sig. 
Materia, 111. 

— ondas de, 379. 

Material experimental, 38. 
Maxwell , 13, 81, 86, 398, 404. 
Mayer t 352, 396, 398. 
Mecanicismo, 13. 

Mecanizador, tipo, 93. 

Medida, instrumentos de, 186, 

188, 426. 

Medidas indirectas, 196. 

Medio, ciclo, 456. 

Mercurio, importancia del, 184. 

— desplazamiento del peribe- 
lio de, 15. 

Meridiana, 212. 

Meridiano, determinación d e 1, 

212 . 

Metafísica, 45, 56. 

Método, discurso del, 11. 

— estroboscópico, 160. 

— problema del, 1. 
Metrónomo, 40. 

Michelson , 265. 

Minkowsky , 73, 77, 496. 

Modelos mecánicos, 435, 450. 
Momento de inercia, 152, 296. 



516 


ÍNDICE ALFABÉTICO 


— de fuerzas, 120. 
Movimiento relativo, 454. 

— uniformemente variado, 
96, 106, 158. 

— vibratorio, 157, 436. 

— vibratorio amortiguado, 

200 . 

Movimientos, composición de, 158. 


N 

Naftalina, 200. 

Neill, 94. 

Neumática, 408. 

— máquina, 182, 390. 
Neutrón, 370, 387. 

Newton , 8, 9, 11, 15, 16, 20, 71, 
85, 265, 270, 271, 365, 
390, 401, 404, 405, 431. 
Nuclear, Física, 369. 


O 

Observables, magnitudes, 81. 
Oersted , 370. 

Ohm, ley de, 25, 63, 413, 416. 
Olivier , H. t 301. 

Onda piloto, 82. 

Ondas de materia, 379. 

— de probabilidad, 83. 

— estacionarias, 442. 

— longitudinales estaciona- 
rias, 448. 

— longitudinales progresivas, 
446. 

— semiestacionarias, 443. 

— transversales estaciona- 
rias, 442. 

— transversales progresivas, 
441. 

— tren de, 363. 

— y corpúsculos, 81, 379. 
Óptica, 208, 408, 411. 
Ordenamiento de los programas, 

404. 


P 

Palanca, 4, 29, 120, 194, 421. 
Parábolas, 426. 

Paradojales, experimentos, 165, 
166, 170, 172. 

Paraguas, experimento del, 253. 
Paralel ogramo, regla del, 118. 
Pascal, 93. 

Paschen, serie de, 359. 

Pavlov, 426. 

Péndulo, 5, 7, 22, 23, 24, 28, 67, 
409. 

— balístico, 145. 

— cónico, 149. 

Perrin , J., 176. 

Peso, masa y, 141. 

Petit , 312. 

Pitágoras, 90. 

Planck , 82, 299, 302, 314, 351, 
353, 356, 379, 381. 

Planes de estudio, 403, 419. 
Plano horizontal, movimiento 
acelerado en un, 286. 
Plano inclinado, 121, 421, 423. 

— caída por un, 136, 284. 

— de Galileo, 100. 

— doble, 288. 

— torno y, 292. 

Plásticos, cuerpos, 197. 

Platón , 423. 

Poder separador, 384. 
Poggendorf , 397. 

Pohl, 60, 61. 

Poincaré, H., 47, 53, 58, 70, 281, 
314, 342, 348, 400. 
Polarización (de la luz), 41, 241. 
— - cromática, 243. , 

— rotatoria, 244. 

Polarizador, aparato, 244. 

Polea, 32, 289. 

Potencial, diferencia de, 65, 416. 
Práctico (el), 109. 

Presión, 67. , 

— atmosférica, 182, 184. 
Previsión, 30. 



ÍNDICE ALFABÉTICO 


517 


Primario, ciclo, 453. 

— interés, 89, 104. 

Prisma, 220, 222. 

Probabilidad, 6, 363, 388. 
Programas de Física, 403 y sig. 

— distribución en lecciones, 
428. 

Propagación rectilínea de la luz, 
209. 

Proporciones, 422. 

Q 

Quanta, véase: cuantos. 

Quijote , 339, 340. 

Químicos, físicos y, 111. 


R 

Racionalismo, 12. 

Radiactividad, 370. 

Ramón y Cajal, 395. 

Realidad, 70. 

— y apariencia, 78, 489. 
Realistas y empiristas, 16. 
Reamur , escala, 308. 

Recursos didácticos, 431 y sig. 
Redes de difracción, 231, 234. 
Redescubrimiento, 21. 

Referencia, sistemas de, 266. 
Reflexión de la luz, 213. 

— del sonido, 165. 

— total, 218. 

Refracción, 215, 409. 

Refractario, tipo, 93. 
Reichenbach, 387. 

Relatividad de la simultaneidad, 

478. 

— del espacio, 489. 

— del tiempo, 491. 

— principio de, 368. 

— principio de Galileo de la, 
455, 478, 503. 

— teoría de la, 54, 55, 366, 
476, 483, 489, 492. 

Reloj, 50, 54. 


— mental, 56. 

— patrón, 53, 54, 368. 
Resistencia eléctrica, 66. 
Resonancia, 159, 164. 

Restitución, coeficiente de, 197. 
Rey Pastor, J, t 301, 306, 308, 

309, 321, 331. 

Riemann, 15, 49. 

Roentgen, 79, 365. 

Romana, 195. 

Rompevejigas, 182. 

Rotación, balanza de, 259. 

— de la Tierra, revelación 
experimental de la, 250. 

Rotaciones, 295. 

Rousseau, 20. 

Rozamiento, 298. 

Rumford , 399. 

Russell, B., 394. 

Rutherford, 369, 392, 395. 
Rydberg, constante de, 358. 


S 

San Martín, 90. 

Savart, rueda de, 165. 

Schiller, W. t 68. 

Secciones cónicas, 426. 
Secundario, ciclo, 456. 

— interés, 89, 104. 
Semiinductivo, 27. 

Separador, poder, 384. 
Seudoproblemas, 56. 
Simultaneidad, 47. 

— relatividad de la, 478. 
Síntesis teóricas, 415. 

Sistemas de referencia, 266, 47 6, 

504. 

Sol, diámetro aparente del, 210. 
Solidificación, 200. 

Sommier feld , 84. 

Sonido, 164, 183. 

Substancias termométricas, 310, 
312, 315. 

Suma de magnitudes, 332. 
Superficial, tensión, 172-179. 
Superposición de ondas, 442. 



518 


ÍNDICE ALFABÉTICO 


T 

Tales y 411. 

Técnico (el), 110. 

Temperatura, 59, 301, 492. 

— calorimétrica, 334. 

— - centígrada, 303. 

— - cervantina en e, 340. 

— dimensiones de la, 317. 

— Fahrenheit, 303. 

— legal, 314. 

— logarítmica, 323. 

— termodinámica, 324. 

— y tiempo, 346, 347, 492. 
Temperaturas, cociente de, 303. 

— la y las, 328. 

— suma de, 303. 

Tendencias y aptitudes, 87. 
Tensión superficial, 172-179. 
Teoremas, leyes y, 3. 

Teoría física, 14, 69, 388. 
Teorías en la enseñanza, las, 83. 
Teórico (el), 105. 

— tipo, 93. 
Teóricomatemático, 108. 

Terencio , 389. 

Termómetros y barómetros, 412. 
Tiempo, 50, 72, 368, 387, 486 y 
sig. 

— absoluto, 492. 

— de estacionamiento, 80. 
Tierra, revelación de la rotación 

de la, 250. 

Tipos psicológicos, 88, 91, 93. 
Tolomeo, 14, 208. 

Tomaschek, 504. 

Tornillo micrométrico, 188. 
Toi;no, 291. 

— y plano inclinado, 292. 


Torricelli , 185, 394, 399, 432. 
Torsión, balanza de, 248. 
Trabajo, calor y, 208, 397. 
Trabajos virtuales, 408, 423. 
Triángulos, semejanza de, 424 
Tyndall, luz de, 209. 


V 

Vacío, 182, 183, 184. 

— horror al, 393. 
Vaporización, 200. 

Variedad cronotópica, 70. 

Vaz Ferreira , 104. 

Velocidad de la luz, 54, 368, 477, 

478. 

— del sonido, 164. 

Verne, Julio, 434. 

Vivencia, 91. 

Vocabulario científico, 43. 

Volta, electróforo de, 249. 


W 

Wheatstone, 413. 
Wilson , 369. 
Würschmidt, J., 475. 


Y 

Young , experimento de, 238, 449. 


Z 

Zenón de Elea, 76. 




La EDITORIAL KAPELUSZ S.R.L. 
dió término a esta obra el 8 de 
noviembre de 1949, en los talleres 
gráficos E. L. Frigerio e Hijo, 
Perú 1257, Buenos Aires. 


K - 3190 







Enseñanza 


SnriqueLoedfíl 


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